Notas-Calculo-Diferencial-e-Integral-Ene-Jun-2012-completo.pdf

(1)

Enero – Julio

2012

NOTAS DE

CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL

Comisión de Cálculo Diferencial e Integral Violeta Mena

Aurelio Hernández Ignacio Elizalde Rogelio Deheza Cruz Silverio Mera Luna

Moisés Salas de los Santos Esaú Emanuel

Jesús García Flores

Comisión de Cálculo Diferencial e Integral Violeta Mena Cervantes

Aurelio Hernández Ignacio Elizalde Rogelio Deheza Cruz Silverio Mera Luna

Moisés Salas de los Santos Esaú Emanuel

(2)

Introducción ... 1

1.1. Definición informal del límite ... 2

1.1.1. Idea intuitiva del límite usando diferentes representaciones del límite de una función 2 1.2. Límite de una función ... 3

1.2.1. Definición formal del límite ... 4

1.2.2. Leyes de los límites ... 6

1.2.3. Determinación algebraica del límite ... 13

1.2.4. Límites unilaterales ... 18

1.2.5. Límites infinitos y asíntotas verticales ... 21

Asíntotas verticales ... 30

1.2.6. Límites en el infinito y asíntotas horizontales ... 33

Asíntotas horizontales ... 36

1.2.7. Límites infinitos en el infinito ... 40

1.2.8. Asíntotas oblicuas ... 41

1.3. Continuidad ... 45

1.3.1. Idea intuitiva de continuidad. ... 45

1.3.2. Continuidad en un punto. ... 45

1.4. Derivada ... 57

1.4.1. El problema de la tangente y la velocidad ... 57

1.4.2. Definición de la derivada ... 61

2. La derivada y sus aplicaciones ... 1

2.1. Teoremas de derivación ... 2

2.1.1. Derivadas de funciones algebraicas ... 3

2.1.2. Derivadas de polinomios ... 5

2.1.3. Derivadas de funciones trigonométricas ... 7

2.1.4. Derivadas de funciones trascendentales ... 8

2.1.5. Derivadas de funciones trigonométricas inversas ... 13

Teorema 2.11 Derivadas de funciones trigonométricas inversas ... 13

2.2. La regla de la cadena ... 17

2.2.1. Derivación implícita ... 19

2.2.2. Derivadas de orden superior ... 25

2.2.3. Teorema del valor medio... 28

(3)

Razones de cambio relacionadas ... 37

2.3.3. Problemas de optimización ... 43

2.3.4. Regla de L´hôpital ... 53

2.3.5. Análisis de función ... 58

2.3.6. Método de Newton –Raphson ... 75

2.4. Definición de anti derivada o primitiva ... 78

3. La integral y sus aplicaciones ... 1

3.1. Teorema fundamental del cálculo ... 1

Teorema 3.1 Primer teorema fundamental del cálculo. ... 1

Teorema 3.2 Segundo teorema fundamental del cálculo. ... 1

3.1.1. Reglas básicas de integración... 3

Integración por sustitución ... 3

3.1.2. Definición de la integral definida ... 4

3.2. Integrales impropias ... 7

3.2.1. Integración por sustitución y cambio de variable... 12

3.2.2. Integración de funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas ... 16

Función exponencial ... 16

Función logaritmo natural ... 18

3.2.3. Integración de funciones trigonométricas e inversas trigonométricas ... 21

3.2.4. Integración al completar el TCP. ... 23

3.3. Técnicas de integración ... 28

3.3.1. Integración por partes ... 28

3.3.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas ... 39

3.3.3. Integración por sustitución trigonométrica ... 60

3.3.4. Integración por descomposición en fracciones parciales ... 64

3.4. Aplicaciones de la integral ... 77

3.4.1. Integración numérica ... 77

3.4.2. Regla del trapecio y de Newton – Cotes ... 82

5.1.1. Área entre curvas, longitud de curva ... 88

5.1.2. Volúmenes de revolución ... 99

3.5.5. Problemas de ingeniería química para determinar el trabajo, calor o la cinética. ... 105

(4)

(5)

1. Limites

Introducción

Suponga que desea dibujar la gráfica de la función dada por ( )

Para todos los valores distintos de , es posible emplear las técnicas comunes para la representación de curvas. No obstante, en no está claro qué valor obtenemos. Para obtener una idea del comportamiento de la gráfica de ceca de , se pueden usar dos conjuntos de valores de , uno que se aproxime a 2 por la izquierda y otro que se aproxime a 2 por la derecha,

1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.35 ( ) 10.562 11.410 11.940 11.994 ? 12.006 12.060 12.61 14.222 Figura 1.1 f x x 3 ₈ x 2 lim x 2f x 12 (2,12) 4 2 2 4 10 15 20 25

𝑥 se aproxima a 2 por la izquierda

𝑓(𝑥) se aproxima a 12

𝑥 se aproxima a 2 por la derecha

(6)

1.1. Definición informal del límite

La función tiende hacia el límite cerca de , si se puede hacer que ( ) este tan cerca cómo queramos de haciendo que este suficientemente cerca de , pero siendo distinto de

1.1.1. Idea intuitiva del límite usando diferentes representaciones del

límite de una función

Para tener una idea más clara de una definición formal del límite primero veamos algunos ejemplos numéricos:

Ejemplo 1.1. Estimación numérica de un límite

Evaluar la función ( ) (√ ) en varios puntos cercanos a y usar el resultado para estimar el límite:

( ) _√

Solución En la siguiente tabla se registran los valores de ( ) para diversos valores de cercanos a . Figura 1.2 fno esta definida en x 0 f x x x 4 2 4 2 2 4 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

(7)

Comportamiento asociados a la no existencia de un límite

1. ( ) se aproxima a números diferentes por la derecha de que por la izquierda 2. ( ) aumenta o disminuye sin límite a medida que se aproxime a .

3. ( ) oscila entre dos valores fijos a medida que se aproxime a

1.2. Límite de una función

La función tiende hacia el límite cerca de , si para todo número podemos hacer | ( ) | haciendo que | | sea suficientemente pequeño y .

A simple vista, la descripción anterior parece ser muy técnica, Sin embargo, es informal porque aún hay que conferir un significado más preciso de la frase:

“ ( ) se acerca arbitrariamente a ” Y más aun

“ se aproxima”

Sea (minúscula de la letra griega épsilon) la representación de un número positivo (muy pequeño). Entonces, la frase “ ( ) se acerca arbitrariamente a ” significa que ( ) pertenece al intervalo ( ). Al usar la noción de valor absoluto, esto lo podemos escribir de la siguiente forma

| ( ) |

De la misma manera para el caso de la frase “ se aproxima a ” significa que existe un número positivo tal que pertenece al intervalo ( ) o bien al intervalo ( ). Por lo tanto, se puede expresar de manera concisa mediante la doble desigualdad

(8)

1.2.1. Definición formal del límite

Examinando nuevamente la descripción informal del límite. Si ( ) se acerca de manera arbitraria a un número a medida que se aproxima a por cualquiera de sus lados, se dice que el límite de ( ) cuando se aproxima a es , y se escribe

( )

Nota: La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue Agustin-Louis Cauchy. Su definición de límite es la que se usa en la actualidad

Definición de limite

La función tiende hacia el límite en significa: para todo existe algún tal que, que para todo , si | | , entonces | ( ) | .

Esta es una de las definiciones de mayor importancia, el alumno debe de razonar esta definición ya que posteriormente les será de mucha utilidad sobre todo si desea entender con más facilidad la demostración de teoremas importantes en el cálculo diferencial, ecuaciones diferenciales, etc.

Ejemplo 1.3. Determinar para un dado

Dado el límite

3

lim (2 5) 1

  

x x , encontrar delta tal que |( )| , siempre que

| | .

Solución En este problema se trabaja con un valor de . Para encontrara un apropiado, se observa que

|( ) | | | | |

Como la desigualdad |( ) | es equivalente a | | , podemos escoger ( ) , la cual funciona porque

| | lo que implica que

(9)

Ejemplo 1.4. Aplicación de la definición de límite.

Utilizando la definición de límite para demostrar que l m

( )

Solución Debemos mostrar que para todo , existe un tal que |( ) | siempre que | | . Puesto que la elección de depende de , es necesario establecer una relación entre los valores absolutos |( ) | y | |.

|( ) | | | | |

De tal manera, que para cada dado, se puede tomar . Esta opción funciona porque | |

Lo que implica que

|( ) | | | . /

Ejercicios 1.2.1 En los ejercicios 1 a 5, completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el

límite 1 ( ) 2 √ √ ( ) 3 √ √ ( ) 4 ( ) 5 √ ( ) 6 ( )

(10)

En los ejercicios 7 a 12, elabore una tabla de valores para la función y utilizar el resultado para estimar el límite. Trate de esbozar la gráfica a mano o utilice alguna herramienta computacional para confirmar el resultado

7 8 9 10 11 12

En los ejercicios 13 a 18, encontrar el límite . Luego utilice la definición de límite para demostrar que el límite es .

13 ( ) 14 ( * 15 ( ) 16 √ 17 ( * 18 | |

1.2.2. Leyes de los límites

Teorema 1.1 Límites básicos.

Si y son números reales y un número entero positivo

1. 2. 3.

Ejemplo 1.5. Evaluación de límites básicos

a) 2 lim 5 5   x b) xlim4x 4 c) 2 2 2

lim

2





x

(11)

Teorema 1.2 Propiedades de los Límites.

Si y son números reales y

un número entero positivo, y son funciones con los límites siguientes: ( ) ( ) 1. Múltiplo escalar: , ( )- , ( )- 2. Suma o diferencia: , ( ) ( )- ( ) ( ) 3. Producto: , ( ) ( )- ( ) ( ) 4. Cociente: * ( ) ( )+ ( ) ( ) siempre que 5. Potencias: , ( )-

Ejemplo 1.6. Límite de un polinomio

( ) ropiedad . / ropiedad ( ) Ejemplo 5

En el ejemplo anterior se observa que el límite (cuando ) de la función polinomial ( ) es simplemente el valor de en en .

( ) ( ) ( )

Nota: Esta última propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones

polinomiales cuyos denominadores no se anulen en el punto a considerar.

Teorema 1.3. Límites de las funciones polinomiales y racionales. Si es una función polinomial y un número real, entonces:

( ) ( )

Si es una función racional dada por ( ) ( )_{( )} y un número real, tal que ( ) , entonces:

( ) ( ) ( ) ( )

(12)

Ejemplo 1.7. Límite de una función racional Encontrar el límite: 3 1 2 lim 2 x x x x    

Solución Puesto que el denominador no es cuando , se puede aplicar el teorema 1.3 para obtener

Las funciones polinomiales y racionales son consideradas dos de los tres tipos básicos de funciones algebraicas.

Teorema 1.4. Límites de una función radical.

Si es un entero positivo. El siguiente teorema es válido para todo si es impar y para todo si es par:

√ √

El siguiente teorema muestra cómo tratar el límite de una función compuesta. Para su demostración ver el apéndice A.

Teorema 1.5. Límites de una función compuesta. Si y son funciones tales que

lim

 

xa

g x



L

y

lim

xL

f x

 



f L

 

entonces:

 







 



 

lim lim

xa f g x  f xag x  f L

Ejercicios 1.2.21.2.3

Calcular los siguientes límites

1 2 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 8 ( ) 9 √ 10 √ 11 12

(13)

13. ( ) 19 √ √ √ √ 14 20 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 15 ( ) 21 ( ( ( ( ) ) ) ) 16 ( )( )( ) ( )( )( ) 22 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 17 √ ₂₃ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 24

25 Sean ( ) y ( ) dos funciones tales que

( ) ( )

a) ¿Qué se puede decir de ( ) y de ( ) ? b) Calcule el límite de ( )( ) c) Calcule el límite de ( )( ) d) Calcule el límite de . / ( )

26 Sean ( ) y ( ) dos funciones tales que ( ) ( ) Calcule el límite ( )( ) ( )

27 Considere las funciones ( ) { y ( ) { a) alcule ( )( ) b) alcule ( )( ) c) alcule ( )( ) d) alcule ( )( ) e) alcule . / ( )

(14)

Ejercicios 1.2.2

En los ejercicios 1 a 14, calcular el límite En los ejercicios 28 a 31, encontrara los límites

28 ( ) , ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ( )) 29 ( ) , ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ( )) 30 ( ) , ( ) √ ) ( ) ) ( ) ) ( ( )) 31 ( ) , ( ) √ ) ( ) ) ( ) ) ( ( ))

En los ejercicios 32 y 33 Utilizar la información expuesta para evaluar los límites

32 ( ) ( ) , ( )- , ( ) ( )- , ( ) ( )- * ( ) ( )+ 33 ( ) √ ( ) ( ) , ( , ( Límites trigonométricos

Teorema 1.6. Propiedades de los Límites trigonométricos.

Si es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada se cumplen las siguientes propiedades:

1. 2. 2. 4. 5. 6.

(15)

Una herramienta que le será de gran utilidad en el cálculo de límites conocer algunas propiedades o características importantes, dos de ellas se mencionan a continuación.

Dos límites trigonométricos especiales. 1.

2.

Usar el límite fundamental

 

0 

lim 1

x

sen x

x y algunos artificios para hallar el límite de las siguientes

expresiones: Ejemplo 1.8.

 

0 lim sen x x x

 , forma indeterminada de la forma

0 0

 

0 0 0

1

1 lim

lim

1 sen

sen

1 lim

  



 

x x x

x

Ejemplo 1.9.

 

0 sen 4 lim x x

x , forma indeterminada de la forma

0 0

Primero hagamos , lo que implica que si entonces

Nota: “el alumno debe tener atención en este tipo de situaciones”

 

        _ _ _ _     0 0 0

sen 4 sen 4 sen

lim lim4 4 lim 4

4 x x y x x y x x y Ejemplo 1.10.

 

0 sen 5 lim 2 x x x , forma indeterminada 0 0.

Al igual que el ejercicio 9, .

 

_{ }

0  0   sen 5 sen 5 5 5 5 lim lim 1 2 5 2 2 2 x y x y x y Ejemplo 1.11.

 

0 sen lim x mx nx , forma indeterminada 0 0, cambio de variable

 

_{ }

0  0   sen sen lim lim 1 x y mx y m m m m n mx n y n n

(16)

Ejemplo 1.12.

 

0 sen 3 lim sen 2 x x x , forma indeterminada 0 0, cambios de variables 3 ; 0, 0, 2 ; 0, 0 y x x y z x x z

 

0 0 0 0 0

sen

sen 3

lim

3 sen 3

₃

3 3 1

3 lim

lim

sen 2

sen

sen 2

2 2 1

2

2 lim

2

y x x x z

y

x

x x

_x

y

x

z

x x

x

z

    

 



_{ }



 

Ejemplo 1.13.

 

0 sen lim sen x mx nx , cambios de variables y mx x ; 0,y0,z nx x ; 0,z0

 

           _{ }    0 0 0 0 0 sen

sen sen _lim

sen 1

lim lim lim

sen sen sen

sen 1 lim y x x x z y mx mx m mx x _x _mx m y m m nx nx z nx x n n n n x nx z Ejemplo 1.14.

 

0 tan lim x x x

 

0  0  0   0  0  0    sen

tan cos sen 1 sen 1

lim lim lim lim lim lim 1 1 1

cos cos cos

x x x x x x x x x x x sen x x x x x x x x x Por lo tanto

 

0  tan lim 1 x x x Ejemplo 1.15.





   2 2 1 tan 1 lim 1 a a a 2 _1, _1, _0; w a  a w





 

      2 2 1 0 tan 1 _tan lim lim 1 1 a w a _w w a , por lo tanto





    2 2 1 tan 1 lim 1 1 a a a

(17)

Ejercicios 1.2.2 Encontrar el límite de la función trigonométrica. 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10

Determine el límite (si existe) de la función trigonométrica

11 16 ( ) 12 17 13 18 14 19 15 20

1.2.3. Determinación algebraica del límite

En el caso de algunas estrategias para el cálculo de límites se deben tener en cuenta algunas situaciones especiales, tales como racionalización, factorización en el caso de ser necesario y sobre todo si se detecta indeterminaciones en la función sobre todo en las funciones racionales.

Teorema 1.7. Funciones que coinciden en todo salvo en un punto

Sea un número real y ( ) ( ) para todo en un intervalo abierto que contiene a . Si existe el límite de ( ) cuando se aproxima a , entonces también existe el límite de ( ) y

(18)

Calculo del límite de una función

Ejemplo 1.16. Determinar el límite de la siguiente función:

3 2

8 lim

.

2

x





Solución sea ( ) ( ) ( ). Factorizando y cancelando términos, se puede reescribir de la siguiente manera

( ) ( )( )

( ) ( )

Aquí podemos observar que para rodos los valores de distintos de , las funciones y coinciden, como se muestra en la siguiente figura, puesto que el límite

2 lim ( )

x g x existe, se puede

aplicar el teorema anterior y concluir que y tienen el mismo límite en .

( )( ) ( ) Factori ar. ( )( )

( ) ancelando factores identicos o factores comunes.

plicando el teorema anterior. ustituci n directa. implificando. Figura 1.3 a) Figura 1.4 b) f x x 3 ₈ x 2 2 1 0 1 2 3 4 6 8 10 12 g x x2 x 4 2 1 0 1 2 3 4 6 8 10 12

(19)

Estrategias para el cálculo de límites

i. Aprender a reconocer cuales límites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa.

ii. Si el límite de ( ) cuando se aproxima a no se puede evaluar por sustitución directa, tratar de encontrar una función que coincida con para todo distinto de . [Seleccionar una tal que el límite de ( ) se puede evaluar por medio de la sustitución directa.]

iii. Aplicar el teorema 1.7 para concluir de manera analítica

( ) ( ) ( ) iv. Utilizar un gráfico o una tabla para respaldar la conclusión

Técnica de cancelación y racionalización

En los siguientes dos ejemplos veremos dos de las técnicas más usuales para el cálculo de límites.

Ejemplo 1.17. técnica de cancelación. Encontrar el límite 2 3

12 lim

3

x



 



.

Solución Aunque es una función racional, no se puede aplicar el teorema anterior debido a que el límite del denominador es .

( )

a sustituci n directa falla en este caso.

( )

Aquí el límite del numerador también es , numerador y denominador tienen un factor común: ( ). Por lo tanto, para todo , se cancela este factor y por lo tanto podemos obtener el límite de la siguiente manera

( )

( )( )

( ) ( ) Empleando el teorema anterior, podemos calcular el límite de la siguiente manera

( )

Este resultado lo podemos ver con más claridad en el siguiente gráfico, observe que la función coincide con la de la función ( ) , solo que la gráfica de la función tiene un hueco en el punto ( ).

(20)

Figura 1.5

Ejemplo 1.18. Técnica de racionalización. Encontrar el límite: 0 9 3 lim x x x    .

Solución al utilizar la sustitución directa

√

a sustituci n directa falla en este caso.

En este caso, podemos reescribir la fracción racional del siguiente modo √ (√ ) (√ √ ) (√ ) (√ ) √

Empleando el teorema anterior, podemos calcular el límite de la siguiente manera √ _√ f x x 2 _x ₁₂ x 3 6 4 2 2 4 6 2 2 4 6 8 10

(21)

Figura 1.6

Ejercicios 1.2.3

Indeterminaciones

16 27 17 28 √ 18 29 √ √ 19 30 √ √ √ 20 31 √ √ √ √ 21 32 √ √ 22 33 √ 23 34 √ √ 24 ( ) ( ) 35 √ √ 25 36 √ √ √ √ 26 √ 37 √ √ √

En base a los últimos ejercicios los siguientes limites calcular los siguientes límites, comentar con su profesor que herramienta utilizo para llegar al resultado.

38 _a) √ ) √ 41 √ √

(22)

39 √ 42 √ √ √ √ √ 40 ( √ ) 43 √ √ √

1.2.4. Límites unilaterales

En ocasiones nos interesa conocer el comportamiento de una función f x cuando

 

x se encuentra cerca de un valor a por un lado en concreto a ese punto (pensando como si los puntos de la recta de números reales tuvieran dos lados: el derecho y el izquierdo)

Por la izquierda los valores menores que a

Por la derecha los valores mayores que a

Se dice que el límite de la función f x cuando

 

x tiende a apor la derecha es L , lo cual se escribe:

 

lim_   x a f x L De manera rigurosa:

 

lim si dado 0 existe 0 tal que 0            x a f x L x a f x L    

Se dice que el límite de la función f x cuando

 

x tiende a apor la izquierda es L , lo cual se escribe:

 

lim_   x a f x L De manera rigurosa:

 

lim si dado 0 existe 0 tal que 0 x a f x L a x f x L               

Los valores de f x

 

se pueden acercar a un mismo valor L cuando

x

tiende a

a

por ambos lados (izquierda y derecha), o sea los limites unilaterales lim_

 

 

x a f x L y xlima f x

 

L sean iguales, le

llamaremos limite bilateral a lim

 

 

(23)

El límite bilateral lim

 

 

x a f x L existe, si y solamente si los dos limites unilaterales xlima

 



f x L y

 

lim_

 

x a f x L existen y son iguales.

Ejemplo 1.19. Considere la función

 

₂ 1

3 1    _{ } _  x si x f x x si x Figura 1.7

Determine los límites unilaterales lim_

 

 

x a

f x L y lim_

 

 

x a

f x L y el límite bilateral lim

 

 

x a f x L si es

que existe

 

   

1 1 , 1 1 , 1

lim_ lim_ lim_ 1 1

         x f x x x f x x x x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 -2

-1

0

1

2

3

(24)

 



₂



 

2

1 1 , 1 1 , 1

lim_ lim_ lim_ 3 1 3 2

            

x f x x x f x x x x

Ya que los límites unilaterales son diferentes, el límite bilateral

 

1

lim



x f x no existe.

Ejemplo 1.20. Considere la función

  



2 1 2 3 2 x si x f x x si x          Figura 1.8

Determine los límites unilaterales lim_

 

 

x a

f x L y lim_

 

 

x a

f x L y el límite bilateral lim

 

 

x af x L si es

que existe

 





2 2 , 2 2 , 2

lim_ lim_ lim_ 3 3 2 1

          

x f x x x f x x x x

 



 

2



2

2 2 , 2 2 , 2

lim_ lim_ lim_ 1 2 1 1

          

x x x x x

f x f x x

Ya que los limites unilaterales son iguales, concluimos que el límite bilateral existe y

 

2

lim 1

 

x f x

Ejercicios 1.2.4. Para las siguientes funciones, calcula los límites unilaterales

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(25)

 

lim_

 

x a f x L , xlima f x

 

L

Y el límite bilateral lim

 

  x a f x L si es que existe 1.

 

2 3 en 3 3 1 3 x si x f x a x si x    _{ }    2.

 

2 0 en 0 3 0 x si x f x a x si x   _    3.

 

2 2 2 3 1 en 1 1 1 x x si x f x a x si x     _     4.

 

4 2 1 en 1 2 1 x si x f x a si x     _{ }      5.

 

2 2 5 2 en 2 4 2 x si x f x si x a x si x     _         6.

 

4 2 1 1 1 3 1 en 1 9 1 x si x x f x si x a si x   _{ }    _      _  

1.2.5. Límites infinitos y asíntotas verticales

Consideremos la función f x

 

 1₂

x e investiguemos que sucede con sus imágenes con f x

 

cuando la " "x se encuentra cerca del cero.

La grafica siguiente puede ayudar a entender el comportamiento

x

2 1 ( ) f x x 1 1 0.5 4 0.1 100 0.01 10000 0.001 1000000

x

2 1 ( ) f x x -1 1 -0.5 4 -0.1 100 -0.01 10000 -0.001 1000000

(26)

Figura 1.9

Para referirse al comportamiento anterior, diremos que esta función tiende al infinito cuando

x

tiende a cero y lo escribimos

2 0 1 lim    x _x

En general diremos que la función f x( ) tiende a infinito cuando

x

tiende a

a

lo cual se escribe como: lim ( )

  

x af x el cual diremos que es un “l mite infinito”

De manera rigurosa, esta idea queda escrita como: la función f x

 

tiende a infinito cuando

x

tiende a

a

, lo cual se escribe como: lim ( )

  

x a f x , si dado cualquier M 0 existe un 0 tal

que 0   x a  f x

 

M

¿En qué tipos de funciones podemos encontrar límites infinitos?

La situación más común que se presenta está dada por el siguiente resultado de carácter general.

 

_{ }

 

una función tal que

lim 0 y una función tal que lim 0 Entonces lim

x a x a x a Sea g x g x g x k h x h x h x         -10 10 30 50 70 90 110 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

(27)

Ejemplos 1.21. Sea f x

 

1 x 

 

0 0 0 0 lim1 1 1 lim lim lim 0 x x x x f x x x         

El numerador 1 tiende a 1 cuando

x

tiende a 0 , mientras que el denominador tiende a cero cuando

x

tiende a 0

El ejemplo anterior nos o liga a ser más precisos con “el signo” del infinito, se indica con



el resultado de un límite infinito cuando f x

 

toma valores cada vez más grandes (positivos) cuando

x

tiende a

a

y se indica con



el resultado de un límite infinito cuando f x

 

toma valores negativos cada vez más grandes en valor absoluto. Observemos en una tabla el comportamiento del ejemplo anterior cuando

x

tiende a 0 por el lado de los números negativos ó x0

x

Numerador 1 Denominador

x

 

1 f x x  -2 1 -2 -0.5 -1 1 -1 -1 -0.5 1 -0.5 -2 -0.1 1 -0.1 -10 -0.01 1 -0.01 -100 -0.001 1 -0.001 -1000

Según la tabla anterior se observa que si

x

tiende acero, por la izquierda, el numerador es 1 , el denominador tiende a cero, pero tomando valores negativos, por lo anterior el signo del cociente es negativo y la función tiende a



. Para el presente ejemplo diríamos que el límite unilateral por la izquierda es



lo cual queda escrito.

0

1 lim

x _x

 

Observemos en una tabla el comportamiento del ejemplo anterior cuando

x

tiende a 0 por el lado de los números positivos ó x0

(28)

x

Numerador 1 Denominador

x

 

1 f x x  2 1 2 0.5 1 1 1 1 0.5 1 0.5 2 0.1 1 0.1 10 0.01 1 0.01 100 0.001 1 0.001 1000

x

tiende a cero, por la derecha, el numerador es 1_{, el} denominador tiende a cero, pero lo hace tomando valores positivos, por lo anterior el signo del cociente es positivo y la función tiende a



. Para el presente ejemplo diríamos que el límite unilateral por la derecha es



lo cual queda escrito

0 1 lim x_x   La grafica de f x

 

1 x 

ayuda a entender el comportamiento

Figura 1.10 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -1 -0.5 0 0.5 1

(29)

Ejemplos 1.22. Sea

 

₂ 2 4 x f x x   

 

2 lim x f x 





2 2 2 2 2 lim 2 2 4 lim 4 lim 4 0 x x x x x x x             Por que

El numerador x2 tiende a 4 cuando

x

tiende a 2, mientras que el denominador tiende a cero cuando

x

tiende a2

Pero ¿será  ó  ?

El ejemplo anterior nos o liga a anali ar “el signo” del infinito, como se reali en el ejemplo anterior.

x

Numerador 2  x Denominador 2 4  x

 

2 2 4    x f x x -4 -6 12 -0.5 -3 -5 5 -1 -2.5 -4.5 2.25 -2 -2.1 -4.1 0.41 -10 -2.01 -4.01 0.0401 -100 -2.001 -4.001 0.004001 -1000

x

tiende a 2, por la izquierda, el numerador tiende a 4

 Pero tomando valores negativos. Mientras el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos, por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a



2 2 2 lim 4 x x x      

Ahora observemos en una tabla el comportamiento cuando

x

tiende a 2_{por el lado de los} números positivos.

(30)

x

Numerador 2  x Denominador 2 4  x

 

2 2 4    x f x x 0 -2 -4 0.5 -1 -3 -3 1 -1.5 -3.5 -1.75 2 -1.9 -3.9 -0.39 10 -1.99 -3.99 -0.0399 100 -1.999 -3.999 -0.003999 1000

x

tiende a 2, por la derecha, el numerador tiende a 4 , pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores negativos, por lo cual es signo del cociente es positivo y la función tiende a



. Para el presente ejemplo diríamos que el límite unilateral por la derecha es



2 2 2 lim 4 x x x       La grafica de

 

₂ 2 4 x f x x  

 nos puede ayudar a entender el comportamiento recordemos que hay una discontinuidad de hueco en x2

Figura 1.11 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(31)

Ejemplo 1.23. Sea

 





2 4 2 x f x x   

 

2 lim x f x  2





2 4 lim , pero ó 2 x x x         

nalicemos “el signo” del infinito, como se ha reali ado

x

Numerador 4 x Denominador





2 2 x

 





2 4 2 x f x x    0 -4 4 -1 1 -3 1 -3 1.5 -2.5 0.25 -10 1.9 -2.1 0.01 -210 1.99 -2.01 0.0001 -20100 1.999 -2.001 1E-06 -2001000

x

tiende a 2, por la izquierda, el numerador tiende a 2, pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos, por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a







2 2 4 lim 2 x x x    _{ } 

Ahora observemos en una tabla el comportamiento cuando

x

tiende a 2 por el lado de los números positivos.

(32)

x

Numerador 4 x Denominador





2 2 x

 





2 4 2 x f x x    4 0 4 0 3 -1 1 -1 2.5 -1.5 0.25 -6 2.1 -1.9 0.01 -190 2.01 -1.99 1E-04 -19900 2.001 -1.999 1E-06 -1999000

x

tiende a 2, por la derecha, el numerador tiende a 2 , pero tomando valores negativos, el denominador tiende a cero, pero tomando valores positivos, por lo cual el signo del cociente es negativo y la función tiende a



. Para el presente ejemplo diríamos que el límite unilateral por la derecha también es







2 2 4 lim 2 x x x      

En este caso podemos concluir que:





2 2 4 lim 2 x x x     

(33)

Figura 1.12 Figura 1.13 -50 -40 -30 -20 -10 0

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6 Gráfica

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22 Acercamiento

(34)

Ejercicios 1.2.5. Determina el límite

1.





4 2 1 lim 2 x _x 2. 2 2 1 8 9 lim 2 1 x x x x x      3. 3 2 2 0 3 2 9 lim x x x x x    4. 3 2 3 2 1 3 2 2 lim 3 3 1 x x x x x x x        5. 5 4 2 3 2 2 2 3 7 2 lim 3 11 8 4 x x x x x x x x        

Asíntotas verticales

Una asíntota vertical es una recta

x a



para la cual se cumple

 

lim lim xa f x   ó xa f x   Recordando que

 

_{ }

 

una función tal que

x a x a x a Sea g x g x g x k h x h x h x        

Ejemplo 1.24. Determine la o las asíntotas verticales de existir de la función

 

2 2 5 6 1 x f x x    Se trata de una función racional que puede ser vista como

 

_{ }

 

2 2 2 2 5 6 1 5 6 y 1 g x x f x x h x Donde g x x h x x        

Encontramos los valores donde se anula el denominador, planteando la ecuación respectiva

 

2 1 2 0 1 0 1 2 h x x x x     

Para que los valores anteriores sean las asíntotas deben cumplir con

 

_{ }

 

x a x a x a g x g x k h x h x h x         Primero x₁1

 



2



1 1 lim lim 5 6 11 0 x g x  x x    y

 





 

2 1 1 1

lim lim 1 0 lim

x x x

g x

h x x

h x

        

(35)

Segundo x₂  1

 



2



1 1 lim lim 5 6 11 0 x g x x x    y

 





 

2 1 1 1

lim lim 1 0 lim

x x x

g x

h x x

h x

        

Por lo que x₂  1 es una asíntota vertical Grafica de

 

2 2 5 6 1 x f x x    Figura 1.14

Ejemplo 1.25. Determine la o las asíntotas verticales de existir de la función

 

2 2 2 12 16 5 6 x x f x x x     

Se trata de una función racional que puede ser vista como

 

_{ }

 

2 2 2 2 2 12 16 5 6 2 12 16 y 5 6 g x x x f x x x h x Donde g x x x h x x x            

Encontramos los valores donde se anula el denominador, planteando la ecuación respectiva

 

2 1 2 0 5 6 0 2 3 h x x x x x      

Para que los valores anteriores sean las asíntotas deben cumplir con

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

(36)

 

_{ }

 

x a x a x a g x g x k h x h x h x         Primero x₁2

 



2



2 2 lim lim 2 12 16 0 x g x x x  x  y

 





2 2 2 lim lim 5 6 0 x h x  x x  x 

Por lo que x₁2 NO es una asíntota vertical Segundo x₂ 3

 



2



3 3 lim lim 2 12 16 20 0 x g x  x x  x    y

 





 

2 3 3 1

lim lim 5 6 0 lim

x x x

g x

h x x x

h x

         

Por lo que x₂ 3 SI es una asíntota vertical La gráfica de

 

2 2 2 12 16 5 6 x x f x x x      Figura 1.15

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(37)

Ejercicios (Asíntotas verticales)

Determine de existir, las asíntotas verticales de las siguientes funciones, sino existen indique porque: 1.

 

₂ 1 x f x x   2.

 

2 ₅ ₆ x f x x x    3.

 

₂ 1 x f x x   4.

 

2 2 3 1 2 2 x x f x x x      5.

 

3 3 ₁ x f x x   6.

 

4 2 3 1 1 x x f x x    

1.2.6. Límites en el infinito y asíntotas horizontales

Consideremos la función f x

 

1 x

 . Ahora estamos interesados en el comportamiento de f x

 

cuando

x

toma valores muy grandes, ya sea en sentido positivo, como en sentido negativo. Observemos la siguiente tabla

Se observa que a medida que los valores de aumentan, los valores de ( ) se acercan a cero. Este hecho lo referimos diciendo: si tiende a , entonces la función f x

 

1

x  tiende a cero, y lo escribimos como: 1 lim 0 x_x

En general, decimos que la función f x

 

tiende al límite L cuando

x

tiende a infinito, si a medida que el valore de

x

se hace más grande, el valor de f x

 

se encuentra más próximo a L. Lo cual se escribe:

x

 

1 f x x  -1 -1 -10 -0.1 -100 -0.01 -1000 -0.001 -1000000 -0.000001 -1E+12 -1E-12

x

 

1 f x x  1 1 10 0.1 100 0.01 10000 0.0001 100000000 0.00000001 1E+16 1E-16

(38)

 





 

lim

dado cualquier 0 existe un M>0 Tal que: x f x L Si x M ó x M f x L           

 

Teorema

Sea un número natural y sea una constante.

Entonces la función = _n tiende a cero cuando tiende a infinito. Es decir:

n k k f x x x lim _n 0 x k x  

El hecho establecido en el teorema anterior lo podemos entender fácilmente si pensamos que en el cociente k_n

x el numerador es una constante mientras, mientras que el denominador es una cantidad que está volviéndose cada vez más grande, el resultado de la división es cada vez más cercano a cero

Ejemplo 1.26. Calcule el límite

2 3 2 4 8 lim 2 7 11 12 x x x x x x      

Dividimos tanto el numerador como el denominador entre la potencia más grande de la

x

, que este ejemplo es x3 2 2 ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ 3 2 3 2 2 2 3 2 3 4 8 1 4 8 1 4 8 lim 4 8

lim lim lim

7 11 12 7 11 12 2 7 11 12 2 7 11 12 ₂ _{lim 2} 1 4 8 lim Por el teorema anterior

x x x x x x x x x x _x _x _x _x _x _x _x x x x x x x x x x x x x x x x x         _ _ _ _   _ _ _ _       _{ } _ _{ } _   2 0 0 0 0 = =0 7 11 12 ₂ ₀ ₀ ₀ ₂ lim 2 x _x _x _x         

Ejemplo 1.27. Calcule el límite

6 3 2 6 5 2 5 2 4 lim 8 20 7 x x x x x x x x        

x

, que este ejemplo es x6

(39)

6 3 2 6 3 2 ₆ ₃ ₄ ₅ ₆ 6 5 6 5 5 6 6 3 4 5 6 5 6 2 5 2 4 2 5 2 4 1+ 2 5 2 4

lim lim lim

1 20 7 8 20 7 8 20 7 ₈ 2 5 2 4 lim 1+

Por el teorema ant

1 20 7 lim 8 x x x x x x x x x x x x x _x _x _x _x _x x x x x x x x x x x x x x x x x x          _ _ _              _{ } _       3 4 5 6 5 6 2 5 2 4 lim 1+ 1 0 0 0 0 1 erior = 1 20 7 8 0 0 0 8 lim 8 x x x x x x x x x      _{   }       

En resumen los resultados de los casos vistos de los límites al infinito de funciones racionales son: 1 1 1 0 1 1 1 0 0 ... lim ; para 0, 0 ...            _ _ _  _     _ n n n n n m m x m m m si n m a x a x a x a a b a si n m b x b x b x b b

Ejercicios 1.2.6.

Determine los siguientes límites 1. 3 2 2 2 lim 3 1 x x x x x      5. 8 4 8 4 4 5 7 lim 3 5 9 x x x x x x      2. 3 2 4 2 3 2 1 lim 3 1 x x x x x x       6. 3 2 6 7 3 6 2 8 1 lim 8 2 x x x x x x x       3. 3 3 2 2 2 lim 3 1 x x x x x x       7. 2 3 4 2 1 3 lim 1 1 x x x x x x x         4. 5 4 3 9 7 8 3 lim 1 x x x x x      8.

(40)

Asíntotas horizontales

Cuando se tiene una función racional y se quiere calcular el límite de la función, debemos considerar algunas situaciones que nos puede ser de utilidad en el cálculo de límites para el caso de las asíntotas horizontales se deben considerar dos casos especiales, sea ( ) una función racional ( ) 1 1 ... 1 0 n n n n a x ax   a xa 1 1 ... 1 0 m m m m b x b _x   b xb Casos

I) Cuando el grado del polinomio numerador es menor que la del polinomio cociente, es decir .

II) Cuando ambos polinomios tienen el mismo grado, es decir . Caso I)

Una asíntota horizontal es una recta yL talque,para todo L para la cual se cumple:

 

lim lim

xf x L ó xf x L

Retomemos lo escrito anteriormente

 

1 1 1 0 1 1 1 0 ...

lim 0 0 la asíntota horizontal sería 0 ... 0 n n n n m m x m m a x a x a x a si n m L y b x b x b x b ó f x          _ _ _ _ _ _     

Ejemplo 1.28. Determine la asíntota horizontal de existir para:

 

4 2 8 4 4 2 4 2 ₈ 4 6 8 8 4 8 4 4 8 8 3 6 7 5 7 7 3 6 7 3 6 7 _lim 3 6 7 0 0 0 0

lim lim lim 0

7 7

5 7 7

5 7 7 5 0 0 5

lim 5 lim 0 0, la asíntota horizontal

x x x x x x x x f x x x x x x x _x x x x f x x x x x x x x f x L                _ _     _ _              _ _       

(41)

Figura 1.16 Figura 1.17 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 -0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0

1

2

3

4

5 Acercamiento

(42)

Caso II) 1 1 1 0 1 1 1 0 ...

lim la asíntota horizontal sería

... n n n n n n n m m x m m m m m a x a x a x a a a a si n m L y b x b x b x b b b b          _ _ _ _ _ _    

Veamos un ejemplo de esta situación

 

2 2 2 12 16 5 6 x x f x x x     

 

2 2 ₂ 2 2 2 2 2 12 16 2 12 16 _{lim 2} 2 12 16 2 0 0 2

lim lim lim 2

5 6

5 6 1 0 0 1

lim 1

lim 2 2, la asíntota horizontal es 2 2

x x x x x x x x x x _x x x f x x x x x x x x f x L y ó f x           _ _     _ _              _{ }             Figura 1.18

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(43)

 

2 2 5 10 1 3 4 5 x x f x x x     

 

3 2 ₃ 2 3 3 2 2 3 3 10 1 5 10 1 _{lim 5} 5 10 1 5 0 0 5

lim lim lim

4 5

3 4 5

3 4 5 3 0 0 3

lim 3

5 5 5 5

lim , la asíntota horizontal es

3 3 3 3 x x x x x x x x x x _x x x f x x x x x x x x f x L y ó f x           _ _     _ _             _ _             Figura 1.19

Ejercicios (asíntotas horizontales)

Determine de existir la asíntota horizontal para las siguientes funciones: 1.

 

3 3 7 5 x x x f x x x     2.

 

3 8 1 x f x x    3.

 

2 2 7 9 3 5 8 x x f x x x     4.

 

3 3 2 6 3 5 3 8 6 2 x x f x x x x       5.

 

2 5 3 7 9 4 6 8 5 x x f x x x x       6.

 

7 7 3 4 3 9 6 x f x x x x    

-1

0

1

2

3

4

5 -50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

(44)

1.2.7. Límites infinitos en el infinito

Antes vimos lo que sucede en el caso de que el grado del polinomio en la posición del numerador es menor que el grado del polinomio en la posición del numerador y también cuando el grado de ambos son iguales. Ahora veremos lo que sucede cuando el grado del polinomio en la posición de numerador es mayor que el grado del polinomio en la posición del denominador.

Ejemplo 1.31. Determine el límite de f x

 

cuando

x

tiende a infinito:

 

5 7 ₄4 3 ₃5 2 9 2 4 3 2 x x x x f x x x x        

x

, que este ejemplo es x7 7 3 2 7 3 2 ₇ ₄ ₅ ₆ ₇ 4 3 4 3 3 4 6 7 7 4 5 6 6 3 4 6 7 5 4 5 9 2 4 5 9 2 5+ 5 4 5 9 2

lim lim lim

1 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 5 9 2 lim 5+ Por el teorema 1 4 3 2 lim x x x x x x x x x x x x x _x _x _x _x _x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x          _ _ _              _ _ _      

 

lim 5+0 0 0 0 ₅ anterior = lim 0 0 0 0 0

El limite no es un numero al cual tiende

x x L f x          

Por lo tanto, lo llamamos límite infinito en el infinito.

Ejemplo 1.32. Determine el límite de f x

 

cuando

x

tiende a infinito:

 

7 4 3 3 2 5 4 5 9 2 4 3 2 x x x x f x x x x        

x

, que este ejemplo es x7

(45)

7 3 2 7 3 2 ₇ ₄ ₅ ₆ ₇ 4 3 4 3 3 4 6 7 7 4 5 6 6 3 4 6 7 5 4 5 9 2 4 5 9 2 5+ 5 4 5 9 2

lim lim lim

1 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 5 9 2 lim 5+ Por el teorema 1 4 3 2 lim x x x x x x x x x x x x x _x _x _x _x _x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          _ _ _      

 

lim 5+0 0 0 0 ₅ anterior = lim 0 0 0 0 0 El limite no es un numero al cual tiende

x x L f x          

Ahora podemos plantear que

1 1 1 0 1 1 1 0 ... lim , para 0 y b 0. ... n n n n n m m m x m m a x a x a x a si n m a b x b x b x b          _{ } _ _ _    

Ejercicios 1.2.7.

Determina los siguientes límites 1.

 

3 1 1 x f x x    2.

 

6 3 2 7 8 5 x x x f x x     3.

 

3 4 1 9 5 x f x x x     4.

 

2 7 8 x f x   5.

 

7 6 2 3 6 8 3 7 x x x f x x x     

1.2.8. Asíntotas oblicuas

Una situación de carácter especial en el caso de las funciones racionales, es cuando el grado del polinomio numerador es mayor que el grado del polinomio denominador, pero solo en una unidad, como ejemplo tenemos la siguiente función que se analizará en el siguiente ejemplo con más detalle

( )

En este ejemplo podemos observar que el polinomio numerador tiene grado dos y el polinomio denominador tiene grado uno, lo cual cumple con las condiciones que tratamos de analizar, siempre que tengamos una situación de este tipo, se encuentra lo que se conoce como asíntota oblicua.

Una asíntota oblicua es la recta mx b con m0 para la cual la diferencia entre f x

 

y mx b

tiende a cero conforme

x

se aleja del origen, escrito sería:

  



lim 0