1 Ingresos y Satisfacción en el trabajo: La siguiente tabla presenta el resultado de una encuesta para estudiar la relación entre el nivel de ingresos y la satisfacción en el trabajo.
Satisfacción en el trabajo Muy insatisfecho Poco insatisfecho Moderadam. Satisfecho Muy satisfecho Ingresos(€) < 12000 20 24 80 82 12000-24000 22 38 104 125 24000-48000 13 28 81 113 >48000 7 18 54 92
¿El grado de satisfacción es explicado por el nivel de ingresos? Creación de la Tabla de Contingencia:
> y <- c(20, 24, 80, 82, 22, 38, 104, 125, 13, 28, 81, 113, 7, 18, 54, 92) > options( digits=4 )
> tabla.y <- as.table( matrix(y, nrow=4, ncol=4, byrow=T) ) > rownames( tabla.y ) <- c(" < 12", " 12-24", " 24-48", " > 48")
> colnames( tabla.y ) <- c(" m.insat", " p.insat", " mod.sat", " muy.sat")
> tfrec <- t( addmargins( tabla.y ) ) > tfrec < 12 12-24 24-48 > 48 Sum m.insat 20 22 13 7 62 p.insat 24 38 28 18 108 mod.sat 80 104 81 54 319 muy.sat 82 125 113 92 412 Sum 206 289 235 171 901
Test chi-cuadrado de No Asociación > summary( tabla.y )
Number of cases in table: 901 Number of factors: 2
Test for independence of all factors: Chisq = 12, df = 9, p-value = 0.2
Tabla de probabilidades “observadas”, condicionadas por ingresos: > tpobs <- tfrec/matrix(rep(tfrec[5,],5),5,5, byrow=T)
> tpobs < 12 12-24 24-48 > 48 Sum m.insat 0.09709 0.07612 0.05532 0.04094 0.06881 p.insat 0.11650 0.13149 0.11915 0.10526 0.11987 mod.sat 0.38835 0.35986 0.34468 0.31579 0.35405 muy.sat 0.39806 0.43253 0.48085 0.53801 0.45727 Sum 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000
> ### generación de factores asociados a filas y columnas de la tabla > ing <- gl( 4, 4, 16 ) ### ingresos: levels 1,2,3,4.
> sat <- gl( 4, 1, 16 )
> cbind( y, ing, sat ) ### la tabla 4x4: xtabs( y ~ sat + ing ) y ing sat [1,] 20 1 1 [2,] 24 1 2 [3,] 80 1 3 [4,] 82 1 4 [5,] 22 2 1 [6,] 38 2 2 [7,] 104 2 3
2 [8,] 125 2 4 [9,] 13 3 1 [10,] 28 3 2 [11,] 81 3 3 [12,] 113 3 4 [13,] 7 4 1 [14,] 18 4 2 [15,] 54 4 3 [16,] 92 4 4
Consideraremos como variable respuesta el nivel de satisfacción en el trabajo, y la variable ingresos como variable explicativa.
Ajuste de un modelo logit multinomial > library( nnet )
> m.logit <- multinom( sat ~ ing, weights=y, Hess=T ) # weights: 20 (12 variable) initial value 1249.051219 iter 10 value 1048.208339 final value 1042.629719 converged > summary( m.logit ) Call:
multinom(formula = sat ~ ing, weights = y, Hess = T)
Coefficients:
(Intercept) ing2 ing3 ing4 2 0.1823 0.3642 0.5849 0.7622 3 1.3863 0.1671 0.4432 0.6568 4 1.4110 0.3263 0.7514 1.1649
Std. Errors:
(Intercept) ing2 ing3 ing4 2 0.3028 0.4043 0.4520 0.5386 3 0.2500 0.3429 0.3896 0.4732 4 0.2494 0.3401 0.3847 0.4647 Residual Deviance: 2085 AIC: 2109
> fitted( m.logit ) ### igual que predict(m.logit, type="probs") 1 2 3 4 1 0.09709 0.1165 0.3883 0.3981 2 0.09709 0.1165 0.3883 0.3981 3 0.09709 0.1165 0.3883 0.3981 4 0.09709 0.1165 0.3883 0.3981 5 0.07612 0.1315 0.3599 0.4325 6 0.07612 0.1315 0.3599 0.4325 7 0.07612 0.1315 0.3599 0.4325 8 0.07612 0.1315 0.3599 0.4325 9 0.05532 0.1191 0.3447 0.4808 10 0.05532 0.1191 0.3447 0.4808 11 0.05532 0.1191 0.3447 0.4808 12 0.05532 0.1191 0.3447 0.4808 13 0.04094 0.1053 0.3158 0.5380 14 0.04094 0.1053 0.3158 0.5380 15 0.04094 0.1053 0.3158 0.5380 16 0.04094 0.1053 0.3158 0.5380
Tabla de probabilidades estimadas bajo el modelo logit
> tplogit <- round(t( fitted( m.logit )[c(1,5,9,13),] ), 3)
> rownames(tplogit)<- colnames(tabla.y); colnames(tplogit) <- rownames(tabla.y); > addmargins( tplogit ) ### idéntica a tpobs
3 < 12 12-24 24-48 > 48 Sum m.insat 0.097 0.076 0.055 0.041 0.269 p.insat 0.117 0.131 0.119 0.105 0.472 mod.sat 0.388 0.360 0.345 0.316 1.409 muy.sat 0.398 0.433 0.481 0.538 1.850 Sum 1.000 1.000 1.000 1.000 4.000
En este ejemplo, el modelo logit coincide con el modelo saturado asociado al producto de las 4 multinomiales de la respuesta en los cuatro grupos de ingresos. El modelo logit solo constituye una reparametrización de las 12 probabilidades de las cuatro multinomiales.
Ajuste de un modelo de Odds proporcionales: > library(MASS)
> m.polr <- polr( sat ~ ing, weights=y, Hess=T ) > summary( m.polr )
Call:
polr(formula = sat ~ ing, weights = y, Hess = T)
Coefficients:
Value Std. Error t value ing2 0.119 0.169 0.704 ing3 0.325 0.178 1.828 ing4 0.552 0.196 2.820
Intercepts:
Value Std. Error t value 1|2 -2.392 0.171 -13.970 2|3 -1.241 0.139 -8.899 3|4 0.400 0.132 3.032
Residual Deviance: 2087.63 ¡¡¡INTERPRETAR!!! AIC: 2099.63
Valoración del ajuste de m.polr
> difdev <- deviance( m.polr ) - deviance( m.logit ) > p.val.dif <- 1-pchisq( difdev, 12-6 )
> cbind( difdev, p.val.dif ) difdev p.val.dif
[1,] 2.372 0.8825
La pérdida de ajuste del modelo m.polr respecto del saturado no es significativa. Probabilidades estimadas bajo m.polr de odds proporcionales
> tp.polr <- round(t( fitted( m.polr )[c(1,5,9,13),] ), 3)
> rownames(tp.polr)<- colnames(tabla.y); colnames(tp.polr)<- rownames(tabla.y); > addmargins( tp.polr ) < 12 12-24 24-48 > 48 Sum m.insat 0.084 0.075 0.062 0.050 0.271 p.insat 0.140 0.129 0.111 0.093 0.473 mod.sat 0.375 0.366 0.346 0.320 1.407 muy.sat 0.401 0.430 0.481 0.538 1.850 Sum 1.000 1.000 1.000 1.001 4.001 > ### Gráficos mosaicplot > x11()
> mosaicplot( t(tplogit), color=c("red","orange","green","lightblue"), + xlab="ingresos", ylab="satisfacción en el trabajo", main="" )
> mtext( text="modelo logit: prob. estimadas (saturado)", + side=3, line=1, cex=1, font=2)
4 ingresos s a ti sf acci ón en el t rabaj o < 12 12-24 24-48 > 48 m. in s a t p. in s a t mo d. s a t m u y. sa t
modelo logit: prob. estimadas (saturado)
ingresos s a ti sf acci ón en el t rabaj o < 12 12-24 24-48 > 48 m. in s a t p.i n s a t m od.s a t m u y. sa t
odds proporcionales: probabilidades estimadas
> x11()
> mosaicplot( t(tp.polr), color=c("red","orange","green","lightblue"), + xlab="ingresos", ylab="satisfacción en el trabajo", main="" )
> mtext( text="odds proporcionales: probabilidades estimadas", + side=3, line=1, cex=1, font=2)
5 ¿Y un modelo de No Asociación (homogeneidad de las 4 multinomiales)?
Homogeneidad de las 4 multinomiales (independencia satisfa, ingresos) > m.ind <- multinom( sat ~ 1, weights=y, Hess=T )
# weights: 8 (3 variable) initial value 1249.051219 final value 1048.648158 converged > summary( m.ind ) Call:
multinom(formula = sat ~ 1, weights = y, Hess = T)
Coefficients: (Intercept) 2 0.5552 3 1.6381 4 1.8942 Std. Errors: (Intercept) 2 0.1593 3 0.1388 4 0.1362 Residual Deviance: 2097 AIC: 2103
Probabilidades bajo independencia (homogeneidad de las 4 multinomiales) > tpind <- round(t( fitted( m.ind )[c(1,5,9,13),] ), 3)
> rownames(tpind)<- colnames(tabla.y); colnames(tpind) <- rownames(tabla.y); > addmargins( tpind ) < 12 12-24 24-48 > 48 Sum m.insat 0.069 0.069 0.069 0.069 0.276 p.insat 0.120 0.120 0.120 0.120 0.480 mod.sat 0.354 0.354 0.354 0.354 1.416 muy.sat 0.457 0.457 0.457 0.457 1.828 Sum 1.000 1.000 1.000 1.000 4.000
Valoración del ajuste de m.ind
> d.ind.sat <- deviance( m.ind ) - deviance( m.logit ) > p.val.ind.sat <- 1-pchisq( d.ind.sat, 12-3 )
> cbind( d.ind.sat, p.val.ind.sat ) ### m.ind ajusta bien d.ind.sat p.val.ind.sat
[1,] 12.04 0.2112
La deviance (TRV) asegura un buen ajuste del modelo de No Asociación, lo cual ya habíamos constatado mediante un test chi-cuadrado en: summary(tabla.y)
¿Es mejor m.ind o m.polr? > AIC( m.polr )
[1] 2100
> AIC( m.ind ) [1] 2103
A pesar de su mayor complejidad, m.polr (6 parámetros) debe ser considerado un modelo mejor que m.ind (3 parámetros).
