Sistemas y Señales. Definiciones Básicas

Definiciones Básicas

Llamaremos sistema sistema al conjunto de elementos físicos, que relacionados entre sí, constituyen un todo para cumplir un determinado objetivo.

A las partes distinguibles las llamaremos componente del sistema.componente del sistema. El comportamiento de un sistema está determinado por un conjunto de ecuaciones matemáticasecuaciones matemáticas que relacionan las variables que interconectan diferentes elementos del sistema.

La elección de la variable variable debe ser tal que : • Exista la facilidad para medirlas

• Entreguen una descripción total del sistema

Lo anterior se puede lograr a través de las leyes físicas inherentes al sistema, representándolo por una ecuación del sistema.ecuación del sistema.

Como el interés se centra en conocer cuando ocurren las cosas, lo que nos lleva a la conclusión de que las variables que estudiaremos estarán en función del tiempo.

Visión Externa de un Sistema

Si se toma bajo observación un sistema y lo aislamos del resto del universo, podemos visualizar que para suministrarle energía o medir alguna variable del sistema debemos atravesar la zona que separa el sistema del universo.

Sistema Instrumentos de medición Fuente de

Energia

Excitación Respuesta

Puertas del sistema

Figura 1.1. Visión externa de un sistema.

Los puntos de entrada y salida del sistemas se llaman puertaspuertas y estas pueden ser: • Puertas de alimentación (causas). Excitación

• Puertas de observación (efectos). Respuesta Diagrama de Bloque

El diagrama de bloque es un elemento que nos permite caracterizar en forma sencilla los sistemas, considerando éstos como simples “cajas negras”. Estas cajas negras poseen puertas de entrada y salida las cuales sirven para comunicarse con el exterior o con otros sistemas y así crear entes más complejos.

Sistema

Excitación Respuesta

Figura 1.2. Diagrama de Bloque.

Excitación del sistema : Es un conjunto de señales independientes aplicadas simultáneamente al sistema.

Respuesta del sistema : Es el conjunto de cantidades físicas, medidas en las puertas de observación que nos interesan.

Visión Interna del Sistema

Dentro de un sistema, podemos encontrar subsistemas interconectados entre sí

Sub-Sistema 1 Sub-Sistema 2

Sub-Sistema 3

Sistema

Figura 1.3. Visión Interna de un sistema.

Componente del sistema : Es el elemento básico del sistema. Estos son subsistemas que por su simplicidad, no es necesario seguir dividiéndolas. Dentro de estas componentes del

sistema, existen elementos que almacenan energíaalmacenan energía, las cuales presentan un estadoestado energético

energético del sistema.

Estado energético del sistema : : Se define estado energético de un sistema en un instante de tiempo determinado, como el conjunto de los estados de todas las componentes que almacenan energía del sistema.

Problemas del Análisis y Síntesis

Se dice que se conoce un sistema si se contestan las siguientes interrogantes : • ¿Qué componentes forman el sistema?

• ¿Cómo se interconectan?

• ¿Cuál es el estado del sistema?

De acuerdo con esto podemos definir dos situaciones:

Análisis del sistema : Es el estudio que nos permite determinar como responde un sistema conocido a una cierta excitación dada.

Síntesis del sistema : Es el estudio de la construcción de un sistema a partir de una relación dada entre la excitación y la respuesta.

Tipos de Variables Asociadas a los sistemas

Los sistemas pueden ser representados como simples cajas negras, la fig.fig. 1.4 establece algunos elementos básicos en la caja negra

u Sistema Sistema y 1 1 u ₂ u _n y 2 y n x (0) , ...,₁ x (0) _n v ₁ v ₂ v _n

Figura 1.4. Variables asociadas a un sistema.

Como se indica en la fig. 1.4, se distinguen distintos tipos de variables: Entradas

Entradas ( ui ): La entrada es un estímulo o excitación aplicada desde una fuente de energía externa. Usualmente para producir un respuesta determinada por ésta.

Perturbación

Perturbación (vi): Es una entrada indeseable que afecta la salida del sistema, puede ser medible o no medible.

Salidas

Salidas ( yi): Son las respuestas obtenidas del sistema ante estímulos externos aplicados. Existen adicionalmente las salidas suprimidas, llamadas también variables internas.

Estados

Estados (xi), Son las variables que definen el estado energético del sistema.

Para el caso de un sistema determinístico, el conocer la función de entrada para todo t>t0, y los estados iniciales en t=t0, es posible determinar completamente una única señal de salida para t>t0.

Clasificación y Tipos de Sistemas

Existen diferentes formas de clasificar los sistemas, algunas de las cuales se indican a continuación.

Sistemas lineales y no lineales

Sean e₁ (t) la excitación de un sistema y r_{1 (t) la respuesta del sistema a e1}(t). Sea e₂(t) la excitación al mismo sistema anterior r_{2 (t) la respuesta del sistema a e2}(t) . Se dice que el sistema es lineal si y solo si se cumple :

Ae (t) + Be (t)_{1 2} Ar (t) + Br (t)_{1 2}

Sistema Lineal

Donde A, B ctes. reales

Figura 1.5. Entrada y salida de un sistema lineal.

Es decir , en un sistema lineal se cumplen las principios de homogeneidadhomogeneidad y superposición

superposición.

Propiedad de Homogeneidad (proporcionalidad): Si la excitación es aumentada (o disminuida) por una constante, la respuesta también es aumentada (o disminuida) por la misma constante.

Ae (t)

Sistema Lineal

Ar (t)

1 1

Figura 1.6. Propiedad de Homogeneidad.

Propiedad de Superposición: Si el sistema se excita con más de una señal (excitación) de entrada, la respuesta será la suma de las respuestas correspondiente a cada excitación de entrada.

Sistema Lineal

e (t) +e (t)+e (t)+...+e (t)_{1 2 3 n} r (t) +r (t)+r (t)+...+r (t)_{1 2 3 n}

Figura 1.7. Propiedad de Superposición.

Básicamente esto significa que si se aplican dos (o más) excitaciones al sistema en forma separada, y se obtienen dos (o más) respuestas, al aplicar ahora una excitación que corresponda a la suma de dos (o más) excitaciones, se debería obtener, una respuesta igual a la suma de las respuestas independientes.

Finalmente, un sistema lineal se caracteriza por tener una relación entrada - salidaentrada - salida de la siguiente forma r (e) e r (e) e

Figura 1.8. Curva característica de un sistema lineal.

Donde e es la excitación y r es la respuesta en función de la excitación. Si la excitación es una función dependiente del tiempo, es decir, e(t), la respuesta r también será función del tiempo. Ejemplo

Sea la siguiente curva de entrada /salida de un sistema y e(t) la excitación. Aplicar la propiedad de homogeneidad. r (e) e m 1 e(t) t A t1 t2 0

Para aplicar esta propiedad, primero se debe determinar la respuesta asociada a la excitación.

( )

t m e

( )

t r = ⋅

Como la propiedad establece que se debe multiplicar la excitación por una constante, entonces, sea

( )

t K e

( )

t eK = ⋅

Luego, la respuesta a dicha excitación será

( )

t m e

( )

t rK = ⋅ K reemplazando

( )

t m

{

K e

( )

t

}

rK = ⋅ ⋅

( )

t K

{

m e

( )

t

}

rK = ⋅ ⋅

( )

t K

{ }

r

( )

t rK = ⋅

La propiedad de homogeneidad dice que la respuesta de un sistema sometido a una excitación Ke(t), deberá ser igual a la respuesta Kr(t), donde r(t) es la respuesta producto de la excitación e(t).

Observe que si se toma la respuesta

( )

t m e

( )

t r = ⋅ Y se multiplica por K, entonces esta nueva función

( )

t K m e

( )

t r

K⋅ = ⋅ ⋅

Será igual a rK(t), luego se cumple la propiedad de homogeneidad. Ejemplo

Considere el sistema del ejemplo anterior y las entradas e1(t) y e2(t). Aplique la propiedad de superposición. r (e) e m 1 e (t) t A t1 t2 0 1 e (t) t C 2 0

El aplicar esta propiedad requiere conocer las respuestas de las dos excitaciones, sean

( )

t m e

( )

t r1 = ⋅ 1

( )

t m e

( )

t r2 = ⋅ 2

Las respuestas del sistema debido a las excitaciones e1(t) y e2(t). Luego, la propiedad de superposición establece que se debe ingresar la suma de las dos excitaciones y determinar su respuesta.

Sea la nueva excitación

( )

t e

( )

t e

( )

t eS = 1 + 2 Luego, la respuesta a dicha excitación será

( )

t m e

( )

t rS = ⋅ S Reemplazando

( )

t m

{

e

( ) ( )

t e t

}

rS = ⋅ 1 + 2

( )

t m e

( )

t m e

( )

t rS = ⋅ 1 + ⋅ 2

( ) ( ) ( )

t r t r t rS = 1 + 2

Ahora, si se consideran las respuestas individuales obtenidas inicialmente, la propiedad de superposición dice que, la suma de estas respuestas individuales debe ser igual a la respuesta obtenida usando como excitación la suma de las excitaciones individuales.

Como se puede apreciar, esta situación ocurre, pues rS(t) es igual a la suma de las respuestas obtenidas individualmente.

El sistema planteado en el ejemplo cumple con ambas propiedades, resulta bastante simple de trabajar, pues, su respuesta no es más que la excitación multiplicada por m, que es el parámetro que relaciona la entrada con la salida.

Tarea

Demostrar ambas propiedades gráficamente, usando la curva de entrada salida y las excitaciones dadas en el ejemplo 2.

Sistemas Activos y Pasivos

Sistemas Activos: Son aquellos sistemas que bajo alguna condición de excitación excitación y durante algún intervalo de tiempo, son capaces transformar algún tipo de energía que les ha sido suministrada por la excitación para ser utilizada en la obtención del objetivo del sistema.

Excitación

Sistema Activo respuesta

Energía

Figura 1.9. Sistema Activo.

También se dice que un sistema activo es un sistema que tiene componentes activas. Estas componentes activas sirven para proveer la energía para el funcionamiento de otras componentes del sistema. Como todos los sistemas (eléctricos, mecánicos, electrónicos, etc.), este transforma la energía .

Un amplificador de audio recibe señales de baja potencia, ya sea de un sistema Toca cinta (“DECK”) o de un CD Player, estas señales son amplificadas y la señal de salida, que va a los parlantes (Música), es de mayor potencia. La cantidad de energía restante, para proveer dicha potencia, es provista por el amplificador a través de su fuente de alimentación (red de 220 volts), la cual le permite funcionar.

Entrada Salida (Audio) (Potencia) 220 V Amplificador DECK Parlantes e(t) r(t)

Figura 1.10. Equipo de audio.

Podríamos considerar una radio, la cual capta a través de su antena la señal de la emisora, esta es transformada y se manifiesta en la salida del parlante.

Sistemas pasivos: Por lo general, todos los sistemas son pasivos cuando no existe ninguna excitación para que ocurra el proceso de transformación de energía.

Sistemas Variantes e In variantes en el tiempo

Sistema invariante en el tiempo : Es cuando la relación excitación - respuesta no dependen del instante en que es aplicada la excitación. Esto implica que la componentes del sistema permanecen constantes.

e (t) r (t) Sistema Invariante e (t-a) r (t-a) en el Tiempo Sistema Invariante en el Tiempo

En la práctica ningún sistema es invariante en el tiempo, pues, sus parámetros son afectados por determinados factores, sobretodo ambientales. La temperatura por ejemplo suele ser un factor importante en muchos sistemas electrónicos, ya que hace que la operación de dichos sistemas sea inapropiada. Si logramos controlar algunos factores externos, podríamos considerar que un sistema mantiene sus parámetros invariables, pero sólo por un período muy pequeño de tiempo. Por otro lado, un sistema mecánico puede ser considerado como un sistema variante en el tiempo, pues, resulta natural el hecho de que sus partes o componentes sufran deterioros.

Sistemas Determinísticos y Probabilísticos

Un sistema es determinístico cuando existe una relación unívoca entre la excitación y la respuesta. Es decir, que existe certeza que para determinada excitación la respuesta también será conocida.

En el caso de un sistema probabilístico, solo tenemos un valor de una determinada probabilidad del valor de la respuesta.

Los sistemas Estocásticos, son una extensión de los probabilísticos pero consideran además una variable temporal.

Sistemas de Parámetros Concentrados y Distribuidos

Los sistemas según su estructura pueden ser de parámetros concentrados o distribuidos. Un elemento puede considerarse concentrado, si su tamaño es despreciable comparado con la longitud de onda, correspondiente a la frecuencia normal de operación del sistema.

En el caso de parámetros concentrados, el modelo matemático que resulta es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (las variables sólo serán en función del tiempo).

Por el contrario, si el sistema se de parámetros distribuidos generará un sistema de ecuaciones en derivadas parciales; esto ocurre cuando al menos una de las variables es función a la ve<za del tiempo y del espacio. Ej. Una línea de transmisión, pues, sus parámetros varían de acuerdo a la distancia.

Sistemas Analógicos y Digitales

Sistema análogo : Son aquellos cuyas excitaciones y respuestas pueden tomar valores continuos. Muchos amplificadores de audio son todavía analógicos.

Sistema digital : Cuando la excitación y la respuesta toman valores discretos. Por ejemplo un microprocesador (componente fundamental de un computador) es un sistema digital. La gran mayoría de los sistemas digitales trabaja la información en forma numérica.

t f(t)

t f(t)

Sistemas Electrónicos y de Poder

Antiguamente la capacidad para manejar la energía eléctrica hacía la diferencia entre los sistemas electrónicos y de Poder. Hoy Muchos sistemas electrónicos son capaces de manejar grandes cantidades de energía.

Sistema de poder : Son aquellos que pueden realizar trabajos que demanden gran cantidad de energía, además ellos poseen dimensiones físicas “grandes”. Por ejemplo , para sistemas eléctricos que circulan corrientes altas de valores de más de un Ampere.

Sistemas electrónicos: Poseen dimensiones físicas mucho menores que las anteriores y están asociados al manejo de señales de pequeña potencia.

Formulación de Sistemas

Relaciones matemáticas del sistema : Esto implica, conocer las relaciones matemáticas de las variables de cada componente (leyes físicas) y las relaciones matemáticas de las variables a través de las conexiones de las componentes.

Sistema Físico Modelo Simbólico

Modelo Matemático

Figura 1.13. Elementos para la formulación de un sistema.

Para la formulación del sistema se debe tener muy claro la simbología a usar y las leyes físicas que gobiernan a cada uno de los componentes del sistema.

Ejemplos de algunos sistemas

Un generador eléctrico, es un sistema que tiene una puerta mecánica y eléctrica de entrada y una puerta de salida que entrega energía eléctrica. En este caso una turbina o motor genera el movimiento, el cual es transformado en energía eléctrica.

Un sistema de bases de datos puede ser visto de tal forma que las excitaciones son las consultas realizadas por el usuario, cuyo resultado corresponde a la respuesta obtenida.

Un acondicionador de señal es un sistema que transforma señales emitidas por algún sensor o transductor, de tal forma de entregar en su salida una señal de magnitud estándar compatible con un instrumento industrial de medición.

Un manipulador mecánico accionado digitalmente, permite el posicionamiento de alguna herramienta (fresa) el cual es controlado por un computador o microprocesador

Interconexión de sistemas

Los sistemas dependiendo del tipo de entrada y salida que tengan pueden ser interconectados, de tal modo de formar nuevos sistemas mucho “más grandes” y con objetivos distintos a los planteados para los sistemas originales. Existe una conexiones básica llamada conexión en cascada en la cual la salida de un sistema es conectada con la entrada de otro sistema. Como se indica en la fig. 1.14 , la entrada e2(t) tomará el valor de la salida r1(t). La relación de entrada salida del sistema estará dada por e1 / r2.

Sistema-1 e1 r1 e2 r2 Sistema-2 r =_{1 e2} Donde Nuevo Sistema e1 r2

Figura 1.14. Sistemas conectados en cascada.

Un ejemplo clásico de sistemas conectados en cascada, son los amplificadores multietapa, los cuales son conectados de esa forma para mejorar la capacidad de amplificación. Existen otro tipo de conexiones de sistemas que pueden ser más complejas en los cuales las entradas pueden alimentar a múltiples sistemas y a su vez la salidas de éstos pueden ser sumadas.

Ejemplo

Considere los sistemas S1 y S2 los cuales son conectados en cascada, es decir, la salida de uno es la entrada del otro. Determine la relación de entrada - salida, r/e1 del nuevo sistema.

r (e ) e m 1 1 1 1 1 r (e ) e m 1 2 2 2 2 S r e₁ 1 S2 r1 e2 r2

Las respuestas de cada sistema individual

( )

t m e

( )

t r1 = 1⋅ 1

( )

t m e

( )

t r2 = 2⋅ 2 Pero

( )

t e

( )

t r1 = 2 Luego

( )

t m e

( )

t m r

( )

t m

{

m e

( )

t

}

r2 = 2⋅ 2 = 2⋅ 1 = 2⋅ 1⋅ 1 Adicionalmente

( ) ( )

t r t r = 2 Finalmente

( )

t m

{

m e

( )

t

}

r = 2⋅ 1⋅ 1

Ejemplo

Considerando los mismos sistemas del ejemplo anterior, determine la curva r/e1

r + + e S S 1 2 1 r r 1 2

En el sistema mostrado, la entrada e1 alimenta los sistemas S1 y S2, por otro lado, las salidas de ambos sistemas son sumadas para obtener una nueva respuesta del sistema.

Considerando el sistema mostrado se tiene

( )

t m e

( )

t r1 = 1⋅ 1

( )

t m e

( )

t r2 = 2⋅ 1 Pero

( ) ( ) ( )

t r t r t r = 1 + 2

( )

t m e

( )

t m e

( )

t r = 1 1 + 2⋅ 1 Finalmente

( )

t

(

m m

)

e

( )

t r = 1+ 2 1

Señales

Muchos de los sistemas eléctricos y electrónicos son alimentados por fuentes de energía las cuales pueden variar o no en función del tiempo. Las señales son funciones de una o más variables independientes y contienen información a cerca de la naturaleza o comportamiento de algún fenómeno físico, como por ejemplo, las corrientes o los voltajes en un sistema eléctrico, los cuales fuerzan a una respuesta al sistema eléctrico.

Estas señales pueden ser representadas mediante formas de onda o funciones cuyo argumento, para nuestro interés, es el tiempo. En el presente apartado se clasifican y caracterizan estas señales.

t

f(t)

Figura 1.15. Señales como funciones variables en el tiempo.

Clasificación desde el punto de vista de los sistemas Estas pueden ser de Entrada o de Salida. Señales de Entrada:

Estas pueden ser de dos tipos Excitaciones y Perturbaciones. En las primeras, existe control sobre ellas, pueden ser manipuladas a voluntad, pueden tomar cualquier valor que se desee, obviamente dependiendo de los rangos máximos permitidos para dicha fuente de energía y en las segundas no existe control y pueden ocurrir en cualquier momento. Por lo general son entradas indeseables, tales como Ruido en el caso de un sistema de radio comunicación, la apertura de una puerta en el caso de un sistema térmico, etc.

Señales de Salida

Estas señales pueden ser Respuesta o Variables Internas. La respuesta es la señal entregada por el sistema como consecuencia de alguna señal de excitación (o perturbación). Las variables internas son señales que representan las salidas de las diferentes componentes internas del sistema.

Clasificación desde el punto de vista de su comportamiento en el tiempo.

Estas señales se clasifican en Periódicas y aperiódicas. Sea f(t) una señal, ésta será periódica si y solo si se cumple que

( ) (

t

f

t

nT

)

Donde T es el período de la señal y n es un valor entero.

Estas señales presentan un comportamiento que se repite después de determinado tiempo. En las señales aperiódicas no existe este comportamiento repetitivo, luego no se cumple lo planteado inicialmente.

La Fig.Fig. 1.16 muestra señales periódicas clásicas usadas en ingeniería Eléctrica y Electrónica. Se tiene un tren de pulsos, dientes de cierra, señal sinusoidal rectificada.

f (t) t T a 2T 3T f (t) t T a 2T 3T (a) (b) f(t) A π 2π 3π ωt (c)

Figura 1.16. Señales periódicas. (a) Tren de Pulsos. (b) Diente de Sierra. (c) Señal sinusoidal rectificaca.

Señales Pares e Impares

Una señal es par si es idéntica a su reflexión alrededor del origen es decir:

( ) ( )

t

f

t

f

=

−

Una señal es impar si se cumplen que :

( )

t

f

( )

t

f

=

−

−

La Fig. 1.17 muestra los ejemplos de señales pares e impares.

t f(t) A -A ω f(b)=f(-b) -b b t f(t) A -A ω f(b)=-f(-b) -C C -b b (a) (b)

Señales Típicas

Existen ciertos tipos de señales que son encontradas frecuentemente al trabajar con sistemas eléctricos y electrónicos, la gran mayoría son funciones que dependen del tiempo.

t f(t) C 0 f(t)=C t f(t) A -A ω f(t)=A sen tω t f(t) k 0 f(t)=Ke-at t f(t) k 0 f(t)=Ke αt

Figura 1.18. Señales típicas usadas en un sistema eléctrico.

La señal constante, es decir, la que tiene un valor fijo para cualquier instante tiempo, es comúnmente llamada señal continua, se asocia habitualmente a una batería o pila, la cual entrega un valor fijo de voltaje entre sus terminales para todo instante de tiempo en condiciones ideales.

La función sinusoidal es una señal conocida como señal alterna es utilizada para el análisis de diferentes sistema eléctricos y electrónicos, pues la gran mayoría de éstos son excitados por este tipo de señal.

La señales exponenciales están asociadas a la respuesta de algunos sistemas lineales, producto de haberse producido alguna “conmutación” en dicho sistema.

No son las únicas, una combinación de dichas señales serán también parte del exhaustivo análisis en este curso.

Señales singulares

Las señales singulares son formas de onda básicas no diferenciables formalmente (presentan discontinuidades), representables en forma matemática muy simple, y sirven para construir un gran número de señales. Estas señales sólo pueden concebirse en sistemas ideales. Señal Escalón Unitario u((t))

t u(t) 1 0 0- 0+

( )

_     > = < = + − 0 1 0 0 0 t t t t u indeterminado

Esta señal se hace cero cuando el argumento es negativo y toma el valor 1 cuando el argumento es positivo. Al multiplicar la función escalón por una constante, esta toma el valor de la constante cuando su argumento toma el valor positivo y cero en el otro caso.

( )

t C u

( )

t f = ⋅

Observe que C puede tomar distintos valores, en el caso de ser negativo, C=-K1, tenemos lo siguiente t f(t) -K 0 f(t)=-K u(t)₁ 1

Figura 1.20. Escalón Unitario multiplicado por una constante negativa.

Se puede también atrasar o adelantar la función en el tiempo, esto se logra cambiando el argumento de la función ya sea sumándole o restándole una constante, es decir

t f(t) 1 a 0 _t f(t) 1 -a 0

Figura 1.21. Escalón Unitario atrasado y adelantado en el tiempo.

Para invertir la señal con respecto al tiempo (inversión de fase) sólo se debe cambiar el argumento a “menos su argumento”, es decir u(-t)

t f(t)

1

0

Figura 1.22. Escalón Unitario con argumento negativo.

Físicamente la función escalón se puede obtener usando una fuente de energía que tenga un valor constante en conjunto con un interruptor, pues, cuando éste esta abierto la excitación esta en cero y cuando el interruptor se cierra, la excitación toma el valor de la fuente de energía (Se produce un cambio abrupto). Evidentemente se debe considerar que el tiempo que se demora el interruptor en abrir y cerrar es cero.

Sistema 1 t=0 Sistema 2 + _ Sistema 1.5 Volts t=0

Figura 1.23. Implementación Física de un escalón.

Señal Rampa Unitaria r(t)

La siguiente señal se conoce como Rampa Unitaria.

t r(t) 1 1

( )

   ≥ ≤ = 0 0 0 t t t t r

Figura 1.24. Rampa unitaria.

Esta señal Toma el valor cero cuando su argumento es negativo y toma el valor t cuando su argumento es positivo. La rampa puede expresarse en función de la señal escalón, es decir

( )

t t u

( )

t

r = ⋅

La rampa unitaria tiene pendiente igual a 1, y para cambiarla basta con multiplicar dicha rampa por una constante. La pendiente entonces tomará dicho valor.

( )

t C r

( )

t f = ⋅

Al igual que el escalón unitario, la función rampa puede desplazarse en el tiempo, provocándose un adelanto o un atraso de la señal de la siguiente forma:

t r(t) 1 a+1 a t r(t) 1 1-a -a r(t-a) r(t+a)

Para esta función se cumple lo siguiente:

( )

_∫

( )

∞ − = tu d t r τ τ Entonces

( )

t = ⋅u

( )

−∞=t⋅u

( )

t −0 r _{τ τ} t o

( )

( )

dt

t

dr

t

u

=

Señal Impulso o Delta De Dirac δδ((t))

La siguiente función se conoce como Delta de Dirac o Función Impulso unitario

t (t) (1) 0 δ

( )

   = ∞ ≠ = 0 ₀0 t t t δ

Figura 1.26. Impulso Unitario.

La función impulso unitario se relaciona con la función escalón mediante la siguiente expresión:

( )

_∫

( )

∞ −

=

t

d

t

u

δ

τ

τ

Donde la función escalón unitario es la integral de la función impulso unitario. De la expresión se deduce que:

( )

( )

dt

t

du

t

=

δ

A partir de esto es posible determinar el área bajo la curva, es decir

( )

_∫

( )

_∫

( ) ( )

( ) ( )

∫

+ − + − + − ∞ ∞ − = − = − − + = = = = = 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 u u u du d d du d Area τ τ τ τ τ τ τ δ

Es obvio que existe alguna dificultad formal con la derivada, como una definición de impulso unitario, ya u(t) es discontinua en t=0 y en consecuencia NO es diferenciable formalmente.

Sin embargo, podemos interpretar esta ecuación considerando a u(t) como el límite de una función continua.

Definamos uε(t) como se indica en la siguiente figura.

t u (t) 1 0 ε ε t (t) 1 0 ε ε δ ε

Figura 1.27. Funciones continuas que llevadas al límite representa un escalón y una rampa respectivamente.

Por lo tanto u(t) se define como

( )

t

lim

u

( )

t

u

_ε

ε→0

=

Luego definimos δ ε ( t) como:

( )

( )

dt

t

du

t

ε ε

δ

=

Observemos que δε (t) tiene un área unitaria para cualquier valor de ε, y es cero fuera del intervalo (0 , ε). Note que mientras más angosto se hace el intervalo, la función se hace más angosta y más alta manteniendo el área unitaria en su forma límite.

t

(t)

1 0 ε ε

δ

ε

t

u (t)

1 0 ε ε 1 ε ε

Figura 1.28. Haciendo el límite en forma gráfica.

( )

t

lim

_ε

( )

t

ε

δ

δ

0 →

=

Observe que el área siempre es unitaria, debido al producto de la base por la altura del rectángulo. En forma más general, la función impulso multiplicada por una constante K tendrá un área bajo la curva igual a K. Es importante mencionar que la amplitudamplitud de impulso es infinitainfinita.

Al igual que las señales anteriores, podemos desplazarla del origen sumándole o restándole una constante, la que producirá el corrimiento a ese valor cuando el argumento sea cero. t (t) (1) 0 δ a t (t) (1) 0 δ -a

( )

t

−

a

δ

δ

( )

t

+

a

Figura 1.29. Impulso Unitario atrasado y adelantado en el tiempo.

Señal Exponencial Compleja Y Sinusoidal

Este tipo de señal se caracteriza por la siguiente forma :

( )

_{t Ke}st f = Donde s=±α ± jω y K es real.

Dependiendo de los valores de estos parámetros, la exponencial compleja puede adoptar varias características diferentes.

Considere s real, s=α:

( )

_{t Ke}t f ₌ α

• Para s=α, positivo, se tiene una exponencial creciente, cuyo valor para t=0 es K. Esta señal es utilizada para describir una amplia variedad de fenómenos, incluyendo reacciones en cadena en explosiones atómicas, reacciones químicas complejas, etc. • Para s=-α, negativo, se tiene una exponencial decreciente, cuyo valor para t=0 es K. Esta

forma de señal también es usada para describir una amplia variedad de fenómenos tales como la respuesta de circuitos RC, de sistemas mecánicos amortiguados y muchos otros más.

• La unidad de α, es la de t-1_{, este coeficiente mide la rapidez de cambio de la señal.} Al inverso de α se designa con la letra

τ

, llamada constante de tiempo, y su unidad es la misma de t.

( )

τ t

Ke

t

f

=

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke

−α

= Ke

-t

τ

τ

t

t

f(t)

k

0

f(t)=Keαt = Ke

t

τ

Figura 1.30. Curvas exponenciales decreciente y creciente.

La constante de tiempo τ corresponde al tiempo en el cual la señal exponencial ha decaído un 63% del valor máximo.

Esta señal puede también estar desplazada en el tiempo, ello se logra sumando o restando un valor constante en el argumento de la función.

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke

-a(t+b)

-b

t

f(t)

k

0

f(t)=Ke

-a(t-b)

b

Figura 1.31. Curva exponencial decreciente desplazada en el tiempo.(a) Adelantada (b) Retrasada

Tarea

Graficar las siguientes señales. Considere los valores de t hasta cinco veces la constante de tiempo. ¿Cuál es la constante de tiempo de cada curva?.

( )

_{t e} t f ₌₃ −0.05

( )

_t

(

_e t

)

f ₌₂₁₋ −0.05

( )

_t

(

_e t

)

f ₌₋₄₁₋ −0.1

Para valores de s complejo conjugado :

( )

_{t Ke} ω _{s j}ω f ₌ ±j t_{, =±}

Luego utilizando la relación de Euler, la cual asocia a las exponenciales complejas con las sinusoides, se tiene:

t

j

t

e

jωt

₌

_cos

_ω

₊

_sen

_ω

o

t

jK

t

K

Ke

jωt

₌

_cos

_ω

₊

_sen

_ω

Sea

t

jK

t

K

Ke

−jωt

₌

_cos

_ω

₋

_sen

_ω

Entonces, si se suman ambas ecuaciones

t

K

t

jK

t

K

jK

t

K

Ke

Ke

jωt

₊

−jωt

₌

_cos

_ω

₊

_sen

_ω

₊

_cos

_ω

₋

_sen

_ω

₌

₂

_cos

_ω

Claramente se llega a

2

cos

t j t j

e

e

t

ω ω

ω

=

+

−

Restando las ecuaciones, se tiene

j

e

e

t

t j t j

2

sen

ω ω

ω

=

−

−

Observe que se está en presencia de una señal periódica.

En forma general se puede decir que la parte real de una exponencial compleja, correspondería a una señal sinusoidal de la siguiente forma:

( )

_t

₌

{

_Ke

(ω+φ)

}

₌

_K

₍

_ω

_t

₊

_φ

₎

f

_Re

j t

_cos

Y la parte imaginaria corresponde a

( )

_t

₌

{

_Ke

(ω+φ)

}

₌

_K

₍

_ω

_t

₊

_φ

₎

f

_Im

j t

_sen

t ω φ K sen( t+ )ω K cos( t+ )ω φ f(t) φ

Figura 1.31. Señal sinusoidal.

Donde ω es llamada frecuencia angular de la sinusoide, y está relacionada con el período de la señal T de la siguiente manera:













=

seg

rad

T

π

ω

2

Y φ corresponde al ángulo de fase de esta señal, es decir, que para t=0, el valor de f(t) es

( )

0

K

cos

φ

f

=

K corresponde a la amplitud de la señal.

Por lo general φ está en grados, luego conviene dejar ω en [º/seg], es decir

      = seg T º 360 ω Para K es real y s=0

Se genera lo que llamamos señal continua y su valor es igual a K.

t f(t)

K

0

f(t)=K

Descomposición de señales

En este punto se verá como se pueden componer diferentes formas de señales, utilizando las presentadas anteriormente.

Suponga que se quiere representar la función de la fig.fig. 1.33. como la suma de señales conocidas. t f(t) 0 3 6 12 15 4 -2 -1 a=1

Figura 1.33. Señal compuesta por diferentes funciones variables en el tiempo.

Note que dicha señal tiene componentes con pendiente, componentes que se mantienen en un valor constante durante un determinado instante de tiempo, componentes que cambian abruptamente y componentes que caen con cierta “suavidad”.

f (t) 0 4 -1 3 1 f (t)=r(t+1)1 f (t) 0 3 2 f (t)=-r(t-3)₂ 6 -3 f (t) 0 4 -1 3 3 _{f (t)=f (t)+ f (t)} 3 1 2 f (t) 0 6 -4 3 4 f (t)=-4u(t-6)4 f (t) 0 4 -1 3 5 _{f (t)=f (t)+ f (t)} 5 3 4 6 t f (t) 0 6 4 6 f (t)={u(t-6)-u(t-12)} 4e₆ -(t-6) t f (t) 0 3 6 12 15 4 -1 7 f (t)=f (t)+ f (t)7 6 5

f (t) 0 6 -2 12 8 f (t)=-2u(t-12)₈ f (t) 0 6 2 12 9 f (t)=2u(t-15)9 15 f (t) 0 6 -2 12 10 f (t)=f (t)+f (t)10 _{9 8} 15 t f (t) 0 3 6 12 15 4 -1 7 f (t)=f (t)+ f (t)7 6 5 f (t) 0 6 -2 12 10 f (t)=f (t)+f (t)_{10 9 8} 15 t f(t) 0 3 6 12 15 4 -2 -1 a=1

Finalmente sumando f7(t) y f10(t) se obtiene la señal original. La expresión analítica para la función es la siguiente

( ) (

_{t =r t+1}

) (

_{−r t−3}

)

_−4u

(

_t−6

)

₊

{

_u

(

_t−6

) (

_−ut−12

)

}

_4e−(−6)_−2u

₍

_t−12

₎

_+2u

₍

_t−15

₎

f at o podría considerarse

( ) (

_{t =r t+1}

) (

_{−r t−3}

)

_−4u

(

_t−6

) (

_+ut−6

)

_4e− ( )−6 _−2u

₍

_t−12

₎

_+2u

₍

_t−15

₎

f at

Tomando en cuenta que la exponencial es aproximadamente cero para 5 veces la constante de tiempo.

Tarea

Construir las señales periódicas de la Fig. 1.16a y Fig. 1.20b en base a señales singulares. Considere período T.

Valores Instantáneos, Máximos, Peak to Peak, Medios y Efectivos de señales Sinusoidales

Valor Instantáneo

El valor instantáneo de una señal se define como el valor que toma dicha función en un tiempo determinado.

Sea f(t) = 4 sen ( 3t + 30o

) Si evaluamos la función en t=6, tendremos el valor instantáneo en dicho tiempo.

( )

6

4

sen

3

6

( )

180

30

=

−

1

.

28









₊













=

π

f

Sea f(t) = 3 e-2t_{, luego el valor instantáneo en t=5 es}

f(5) = 3 e-2*5 = 4,54.10-5

Valor Máximo y Valor Peak to Peak

Es el valor máximo que toma la función en algún intervalo de tiempo considerado. También es llamado valor “Peak”

Ejemplo

Sea f(t) = 4 cos( 5

π

t + 19), el valor máximo de esta señal es 4.

El valor “peak to peak” o Valor “Cresta a Cresta” se define como 2 veces el valor máximo de la señal. t f(t) A -A ω f(t)=A sen tω V_{máximo Vpeak-peak} T

Figura 1.34. Valor máximo y valor Peak de una señal.

Valor Medio

Se define como la media algebraica de los valores instantáneos durante un periodo. El valor medio de la señal f(t) =Fm, luego se tiene

∫

− = 2 1 ) ( 1 1 2 t t m _{t t} f t dt F

Para el caso de una señal periódica, se tiene

∫

= T o m _T f t dt F 1 ( ) Donde T es el periodo de la señal.

En el caso de las sinusoides, siempre que no esté desplazada respecto de su origen, este valor seria cero. Ahora, si la señal tiene un desplazamiento, el valor medio corresponde a dicho desplazamiento, se indica en la siguiente figura.

t

f(t)

ω

Valor medio

T

Figura 1.35. Valor medio de una señal sinusoidal desplazada. Ejemplo

Calcular el valor medio de la siguiente señal periódica. Si se considera que el periodo es T.

t f(t) A ω T T 2

El valor medio calculado sería en un semi-periodo, debido a que la señal vale cero en el resto del período.

∫

= 1T/2 ( ) o med _T f t dt F

∫

= 1T/2 ( ) o med _T f tdt F

{

}

π π π ω ω π π π _A t A t td A F o

med =₂

∫

sen =₂ −cos 0 = 1

Valor Eficaz o Efectivo o RMS (Root Means Square)

Es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un periodo o ciclo completo. El valor efectivo de f(t) será Fef, luego

( )

∫

− = = 2 1 2 1 2 1 t t RMS ef f t dt t t F F El significado físico es el siguiente:

La energía que disipará una corriente i(t) en una resistencia durante un lapso de tiempo, t2-t1, se identifica con lo que disiparía en iguales condiciones una corriente constante de valor Ief. El valor Ief así calculado se define como el valor efectivo o eficaz de la corriente i(t) en el lapso t2

-t1.

Si la energía en el periodo de tiempo t2-t1 se define como

(

−

)

=

_∫

2

( )

1 1 2 t t dt t p t t W

En la cual p(t) es la potencia. Reemplazando, la potencia en función de la corriente, donde R es la resistencia eléctrica, se tiene

(

−

)

=

_∫

( )

=

_∫

2

( )

1 2 1 2 2 1 2 t t t t dt t i R dt t Ri t t W Llamando a i(t)=Ief

( )

_∫

∫

= 2 1 2 1 2 2 t t t t dt I R dt t i R ef Simplificando

( )

_∫

∫

=2 1 2 1 2 2 t t ef t t dt I dt t i Integrando

( )

_∫

(

)

∫

= 2 = − 1 2 1 1 2 2 2 2 t t ef ef t t t t I dt I dt t i Despejando Ief

( )

∫

− = 2 1 2 1 2 2 1 t t ef i tdt t t I

( )

∫

− = = 2 1 2 1 2 1 t t dt t i t t I I_{ef RMS} Ejemplo Ejemplo

Calcular el valor eficaz de la señal sinusoidal de la Fig. 1.34.

(

)

∫

= = π ω ω π 2 0 2 ) sen( 2 1 _{A t d t} F Fef RMS

{

}

∫

∫

= − = π π ω ω π ω ω π 2 0 2 0 2 2 ) 2 cos( 1 2 ) ( sen 2 d t t A t d t A Fef       ₋ =

_∫

π ω

_∫

π ω ω π 2 0 2 0 2 ) 2 cos( 2 1 2 d t t t d A Fef       ₋ = 0 2 2 2 π π A Fef Finalmente 2 A Fef =

Observe que es independiente del periodo de la señal. Luego, una señal sinusoidal cuyo valor efectivo es el calculado, produce el mismo efecto calorífico que una señal constante de valor

2 A Fef = . Tarea