ALFONSO GARCÍA CASTRO
Ing. Mecánico - M.Sc.
VIBRACIONES MECANICAS
MODULO I
BUCARAMANGA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMECANICAS
ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
2001
Índice general
1. INTRODUCCION A LAS VIBRACIONES MECANICAS ... 5
1.1 VIBRACIÓN ... 5
1.2 VIBRACIÓN MECÁNICA ... 5
1.3 FENÓMENO VIBRATORIO EN SISTEMAS MECÁNICOS ... 5
1.3.1 Excitación... 6
1.3.2 Sistema. ... 7
1.3.3 Respuesta. ... 7
2. CINEMÁTICA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS ... 9
2.1 CLASIFICACIÓN TEMPORAL DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO ... 9
2.2 DOMINIOS PARA DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE VIBRACIÓN ... 11
2.3 CARACTERÍSTICAS, PARÁMETROS Y NIVELES DE VIBRACIÓN ... 12
2.4 VIBRACIONES PERIÓDICAS ... 14
2.4.1 Vibración armónica. ... 14
2.4.2 Vibración periódica no armónica. ... 15
2.5 VIBRACIÓN NO PERIÓDICA ... 24
2.5.1 Integral de Fourier. ... 25
2.6 VIBRACIONES ALEATORIAS ... 27
2.6.1 Vibración aleatoria estacionaria. ... 28
2.6.2 Vibración aleatoria no estacionaria. ... 29
3. MEDICIÓN DE VIBRACIÓN ... 31
3.1 CADENA DE MEDICIÓN ... 31
3.2 CAPTACIÓN ... 31
3.3 ACONDICIONAMIENTO DE LA SEÑAL ... 32
3.4 VISUALIZACIÓN ... 32
3.5 MEDICIÓN (INDICACIÓN Y REGISTRO) ... 33
3.6 ANALISIS ... 35
4. SENSORES DE VIBRACIÓN ... 38
4.1.1 Sensor de desplazamiento por contacto. ... 38
4.1.2 Sensor de desplazamiento sin contacto (Proximitor). ... 39
4.2 SENSOR DE VELOCIDAD (SÍSMICO) ... 40
4.3 SENSOR DE ACELERACIÓN ( ACELERÓMETRO) ... 41
5.CINÉTICA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS... 44
5.1 ANÁLISIS DE FENÓMENOS VIBRATORIOS ... 44
5.2 CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS MECÁNICOS VIBRATORIOS ... 47
5.3 PARÁMETROS CINÉTICOS DEL MODELO DE UN SISTEMA MECÁNICO VIBRATORIO ... 47
5.3.1 Parámetros del cuerpo. ... 48
5.3.2 Parámetros del resorte. ... 48
5.3.3 Parámetros del amortiguador. ... 49
5.4 DINÁMICA DE SISTEMAS MECÁNICOS VIBRATORIOS DE UN GRADO DE LIBERTAD ... 50
5.4.1 Vibración libre. ... 50
5.4.1.1 Sistemas sin amortiguamiento. ... 50
5.4.1.3 Amortiguación de Coulomb. (Fricción seca). ... 59
5.4.2 Vibración forzada. ... 63
5.4.2.1 Vibración forzada armónicamente. ... 63
5.4.2.2 Vibración excitada por desequilibrio rotatorio. ... 68
5.4.2.3 Vibración excitada por movimiento del soporte. ... 70
5.4.2.4 Fuerza transmitida al soporte del sistema vibratorio ... 72
5.4.2.5 Vibración excitada por fuerzas periódicas. ... 74
6. BALANCEO DE ROTORES ... 76
6.1 CONSIDERACIONES BASICAS SOBRE ROTORES ... 76
6.2 DESEQUILIBRIO MÁSICO ... 77
6.2.1 Tipos de Desequilibrio. ... 77
6.2.2 Desequilibrio Estático. ... 78
6.2.3 Desequilibrio de Momento ( Par desequilibrado). ... 78
6.2.4 Desequilibrio Cuasi-Estático. ... 78
6.2.5 Desequilibrio Dinámico. ... 78
6.3 BALANCEO O EQUILIBRADO ... 80
6.3.1 Operaciones en el Balanceo de Rotores. ... 80
6.3.2 Clasificación del Balanceo. ... 80
6.3.4 Balanceo Estático. ... 81
6.3.5 Balanceo Dinámico. ... 85
6.3.5.1 Balanceo Dinámico en un Plano. ... 85
6.3.5.2 Balanceo Dinámico en dos Planos. ... 90
6.3.5.3. Balanceo en Múltiples Planos. ... 94
6.4 CALIDAD DE BALANCEO. ... 95
6.5 PROGRAMA PARA BALANCEO EN DOS PLANOS ... 101
PROGRAMA PARA BALANCEO EN DOS PLANOS ... 104
1. INTRODUCCION A LAS VIBRACIONES MECANICAS
Las máquinas utilizadas en la mayoría de procesos industriales, no obstante sean sometidas a cuidadosos procedimientos de fabricación, montaje y operación, presen-tan imperfecciones en los elementos componentes que al entrar en movimiento vibra-torio de la estructura de la máquina y sus alrededores.
El desarrollo tecnológico ha facilitado nuevos métodos y medios para el tratamiento de las vibraciones, gracias a los cuales actualmente es posible controlar los niveles de vibración, detectar y predecir las causas generadoras del movimiento vibratorio. Las vibraciones en las máquinas pueden ser causadas por fuerzas de inercia, o por fuerzas del medio de trabajo, cuyos niveles se incrementan con la presencia de fallas, desperfectos o deterioros en los componentes dinámicos de las máquinas.
El movimiento vibratorio no es el problema, pero el incremento en su nivel es la mani-festación de que están apareciendo anomalías.
El nivel de vibración es indicativo del estado de la máquina y el análisis de la vibración producida permite detectar los problemas de la misma, establecer la severidad y hacer seguimiento de la evolución antes de que la falla ocurra.
1.1 VIBRACIÓN
Es la oscilación de un sistema físico o de una propiedad alrededor de una posición de equilibrio (o de referencia). Ejemplo : movimiento oscilatorio de un cuerpo unido a un resorte, oscilaciones de presión, de temperatura, de corriente eléctrica.
1.2 VIBRACIÓN MECÁNICA
Es la oscilación de un sistema mecánico (por ejemplo : una máquina, una estructura) alrededor de su posición de equilibrio.
1.3 FENÓMENO VIBRATORIO EN SISTEMAS MECÁNICOS
Un sistema mecánico (mecanismos, máquina, estructura, etc.) vibra cuando sobre él actúan fuerzas variables y la intensidad (o amplitud) de la vibración depende de la movilidad del sistema.
V = F X Mov. (1) V = Vibración (velocidad)
F = Fuerza
Mov. = Movilidad
El fenómeno vibratorio (o problema de vibraciones) está constituido por tres elementos esenciales.
Excitación del sistema, dado por la FUERZA sobre él actúa, características del sistema, representadas por la MOVILIDAD. Respuesta del sistema, es la VIBRACION resultante. La vibración representa la transformación y/o transferencia de energía causada por las fuerzas que actúan sobre el sistema.
Figura 1. Elementos del fenómeno vibratorio
1.3.1 Excitación.
Es la acción externa (o inherente al movimiento del sistema) que causa la vibración del sistema en consideración, representada en una fuerza variable o un movimiento que desplaza al sistema alternativamente en torno a su posición de equilibrio.
La excitación puede ser debida a fuerzas externas que actúan directamente sobre el sistema (p. ej. impactos) o causada por el movimiento del mismo, (autoexcitado), o por otros sistemas en movimiento, o por fuerzas del medio de trabajo.
Las causas de vibraciones en máquinas están relacionadas principalmente con pie-zas rotativas desequilibradas, movimiento relativo de piepie-zas en contacto, es
alinea-miento de partes acopladas, tolerancias de mecanización, desajuste de elementos mecánicos y en general por fallas técnicas de diseño, manufactura, montaje u opera-ción.
La excitación a que puede estar sometido un sistema mecánico vibratorio (SMV) suele clasificarse en los siguientes grupos :
a. Condiciones iniciales b. Excitación armónica
c. Excitación periódica no armónica
d. Excitación no periódica (determinística) e. Excitación aleatoria
1.3.2 Sistema.
Es un conjunto de elementos (mecánicos) interconectados y dispuestos en forma apropiada para cumplir una función dada. Por ejemplo, una máquina o equipo mecáni-co, una estructura, una viga.
Para el estudio analítico del comportamiento vibratorio del sistema, es de interés caracterizarlo y prever su respuesta.
Es necesario elaborar un modelo físico-matemático del sistema mecánico con sus elementos que asocian fuerzas al movimiento como son inercia, rigidez y amortiguamiento.
Se debe tener en cuenta la configuración geométrica, las restricciones al movimiento, opción para concentración de parámetros, linealización, etc ; lo cual conduce a establecer las ecuaciones que gobiernan el movimiento, en las correspondientes coordenadas del sistema. Desde el punto de vista técnico interesa establecer el efecto que la excitación (fuerzas) y la respuesta (movimiento) causan sobre la estructura del sistema (máquina)
El efecto de la vibración en una se manifiesta en fuerzas alternativas, rozamiento, desgaste, holguras, impacto, ruido, calentamiento y otros factores que generan esfuerzos alternativos en la estructura de la máquina causando deterioros progresivos que puede conducir a la falla por fatiga de los elementos mecánicos del sistema. 1.3.3 Respuesta.
Es el movimiento que adquieres el sistema por acción de la excitación y de las fuerzas recuperadoras inherentes a los parámetros del sistema.
La respuesta depende dela excitación y de las características del sistema. Sin embargo, a veces el tipo de excitación predomina sobre las características del sistema y es determinante del tipo de respuesta y los métodos de análisis.
Al estudiar la respuesta de un sistema vibratorio es de interés establecer los métodos y procedimiento apropiados para su determinación y análisis.
La respuesta es una excitación periódica se establece analíticamente mediante la aplicación del TEOREMA DE FOURIER (Series de Fourier).
En el estudio de la respuesta a una excitación determinística no periódica se aplica la Transformada de Fourier o integral de Fourier.
Cuando la excitación es aleatoria es necesario un tratamiento estadístico para el estudio dela respuesta del sistema.
Según el momento en que actúa la excitación la respuesta se clasifica en vibración libre, forzada y paramétrica.
n Vibración libre : Cuando la excitación actúa solamente en las condiciones iniciales del movimiento.
n Vibración forzada : Cuando la excitación actúa durante el movimiento del sistema.
n Vibración paramétrica : Cuando la vibración es causada por la variación de un parámetro del sistema, como inercia o rigidez.
2. CINEMÁTICA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS
En este capítulo se presenta una descripción del movimiento vibratorio sin considerar las causas que lo producen ni las características del sistema vibratorio.
Se presenta una clasificación temporal de los diversos tipos de movimiento vibratorio y algunos procedimientos para establecer las ecuaciones que lo describen y relacionan sus parámetros cinemáticos.
2.1 CLASIFICACIÓN TEMPORAL DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO
Armónicas. Ej. Función Senoidal Periódicas
No armónicas. Ej. Función Rectangular
VIBRACIONES Determinísticas. Ej. Impactos Estacionarias
No Periódicas Aleatorias (Promedios Constantes) No estacionarias
CLASIFICACIÓN DOMINIO DEL TIEMPO EJEMPLOS
ARMONICA SIMPLE
(SENOIDAL) o Desbalanceamiento
de rotores
o Fuerzas de inercia en
moto-PERIODICA res de combustión interna
CUALQUIERA o Paso de alabes en
turbomáquinas o Componentes de engranes o Laminadores TRANSIENTE o Prensas o Golpes o Sismos o Cavitación
ALEATORIA o Vibraciones inducidas
por flujo hidrodinámico o Rozamientos
IMPULSIVA o Golpe de martillo
(Ensayo dinámico de estructuras)
Figura 2. Diferentes tipos de vibraciones mecánicas
PERIODICAS
2.2 DOMINIOS PARA DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DE VIBRACIÓN
La señal que describe una vibración puede ser representada en dominio de tiempo o en dominio de frecuencia.
La presentación en dominio de tiempo se llama descripción temporal u oscilograma. La presentación en dominio de frecuencia se conoce como el “espectro” de la vibración. La evaluación de las componentes del espectro en las diferentes frecuencias se denomina “análisis”.
2.3 CARACTERÍSTICAS, PARÁMETROS Y NIVELES DE VIBRACIÓN
Las características de una vibración ( o parámetros característicos) son las magnitudes mediante las cuales la vibración queda definida o determinada.
Para una vibración simple, las características son : Amplitud - Indica la intensidad de la vibración Frecuencia - Indica el ritmo de la vibración
Fase - Indica la posición relativa a otra señal de referencia.
Los parámetros o funciones de una vibración son los parámetros cinemáticos usados para denotar la amplitud de dicha vibración.
Los parámetros ( cinemáticos) usados normalmente son : Aceleración, velocidad y desplazamiento.
Los niveles o valores de vibración son las diferentes formas en que se puede valorar la intensidad o amplitud de una vibración ( Ver Figura 4).
Valor Pico-Pico : Indica el recorrido o desplazamiento total de la pieza. Es útil cuando el desplazamiento es crítico por los esfuerzos generados o por el espacio disponible. Valor Pico : Es la amplitud máxima de la vibración a partir de la posición de equilibrio. Es útil para indicar niveles de choque de corta duración, pero no considera la historia de la vibración en el tiempo.
Valor medio : ( Rectificado) Hace intervenir la historia de la vibración en el tiempo, pero es de poco interés práctico porque no está relacionado directamente con alguna magnitud física.
Valor medio = Y (t) = 1/T ∫t 0
y (t) dt (2)
Valor eficaz : RMS ( Root Mean Square ). Es el valor más significativo de la amplitud de vibración porque además de tener en cuenta la historia de la vibración en el tiempo da un valor de amplitud relacionado directamente con la energía, es decir, con la capacidad destructora de la vibración.
Valor eficaz = RMS = Yrms =
√
1/T ∫t 0
Figura 4. Niveles o valores de vibración
MULTIPLICAR EL VALOR DE (POR) PARA OBTENER PICO-PICO PICO RMS VALOR MEDIO
(RECTIFICADO) PICO-PICO 1.000 2.000 2.828 3.142 PICO 0.500 1.000 1.414 1.571 RMS 0.354 0.707 1.000 1.111 VALOR MEDIO 0.318 0.637 0.900 1.000 (RECTIFICADO)
2.4 VIBRACIONES PERIÓDICAS
Una vibración periódica es una movimiento ( vibratorio) que se repite a iguales intervalos de tiempo T.
El intervalo de tiempo T de cada oscilación es denominado “ Período” , y su recíproco f = 1/ T es la frecuencia de la oscilación.
Designando la vibración por y(t), toda vibración periódica debe satisfacer la relación. y(t) = y ( t + T)
Por extensión : (4) y(t) = y ( t + nT), n= 0,± 1, ± 2, ± 3... La vibración periódica más simple es la denominada “ vibración armónica”. 2.4.1 Vibración armónica.
Una vibración armónica puede ser ilustrada como el movimiento que presenta una masa suspendida al extremo de un resorte liviano, como se muestra en la Figura 6. El movimiento armónico puede ser representado por la proyección sobre una línea recta, de un punto que se mueve sobre una circunferencia con velocidad constante. Considerando la proyección del movimiento del punto P sobre el eje vertical (Figura 6), la velocidad angular ω de la línea OP es denominada “ frecuencia circular” y el desplazamiento y(t) puede escribirse como :
y(t) = ASenωt (5)
Como el movimiento se repite cada 2π radianes ( cada vuelta), 2π = ω T y como f = 1 / T, se tiene :
ω = 2/T π = 2πf (6) donde :
A = Amplitud de la vibración, [ m, mm, cm]
ω = Frecuencia circular [rad/s] f = Frecuencia de oscilación [ s- 1]
La velocidad y la aceleración se determinan por diferenciación de la ecuación (5) ·y(t) = AωCost = AωSen( wt + π/2) ω2 (7)
ÿ(t) = Aω2Senwt = Aω2Sen( wt + π) (8)
Se observa que la velocidad y la aceleración son también armónicas, con la misma frecuencia de oscilación pero están adelantadas en π/2, y π radianes respectivamente a la señal de desplazamiento.
Las amplitudes de los parámetros o funciones del movimiento son : Desplazamiento : Y = A
Velocidad : Y = Yω (9) Aceleración : Y = Y ω2
Como el período de la oscilación es contante, la frecuencia también es constante (única), por tanto la representación en dominio de frecuencia es un espectro d una sola componente ( Ver Figura 6).
2.4.2 Vibración periódica no armónica.
La mayoría de las vibraciones presentes en sistemas mecánicos no son del tipo armó-nicos aunque sí pueden caracterizarse como periódicas.
Vibraciones en máquinas como motores de combustión interna, compresores, turbinas, ventiladores, cajas de engranajes, son ejemplos de vibración periódica no armónica. El físico y matemático francés, Jean Baptiste Joseph Fourier ( 1768 - 1830 ) formuló un teorema en el cual establece que cualquier función periódica no importa su complejidad, puede ser expresada por una serie de funciones armónicas, es decir, por una suma de funciones senoidales y cosenoidales relacionadas armónicamente. Si y(t) = y( t + T), entonces : y(t) = aº/2 + a 1 Cosw 1 t + a 2 Cos2w 1 t + a 3 Cos3w 1 t + ... + b 1 Senw 1 t + b 2 Sen2w 1 t + b 3 Sen3w 1 t + ... (10)
y(t) = aº/2 + ∑∞ n=1 (a n Cosnw 1 t + b n Sennw 1 t) (11) en donde w 1 = 2π/ T, w 1 = nw 1
Figura 7. Vibración periódica no armónica.
ω1 es la frecuencia de la función periódica y(t), o sea, de la función total (frecuencia fundamental).
Generalmente se conoce la función total y se buscan los coeficientes a
n
y b
n
que son las amplitudes de las funciones armónicas de frecuencia ωn ( n = 1,2,3,,,,∞ ). Este proceso es conocido como análisis de Fourier o análisis por series de Fourier.
Los coeficientes a
n
y b
n
pueden ser determinados a partir de la ecuación (11), multiplicando ambos lados por Cosw
n
t + Senw
n
t e integrando cada término sobre un período.
Recordando las siguientes relaciones matemáticas, T/2
∫
Cos(mw 1 t)dt = 0 para m ≠ 0 -T/2 T/2∫
Sen(mw 1t)dt = 0 para todo m entero -T/2 T/2
∫
Cos(mw 1 t)Cos(nw 1 t)dt = 0 0 para m ≠ 0 (12) -T/2 T/2 para m = n ≠ 0 T/2∫
Sen(mw 1 t)Sen(nw 1 t)dt = 0 0 para m ≠ 0 -T/2 T/2 para m = n ≠ 0 T/2∫
Sen(mw 1 t)Cos(nw 1t)dt = 0 para todo m y n enteros -T/2
Todos los términos del lado derecho se anulan, excepto uno : cuando m = n.
T/2 T/2
∫
y(t)Cos(mw 1 t)dt = a n ∫ y(t)Cos(nw 1 t)Cos(nw 1 t)dt = a n (T/2) -T/2 -T/2T/2 T/2
∫
y(t)Sen(mw 1 t)dt = b n∫
y(t)Sen(nw 1 t)Sen(nw 1 t)dt = b n (T/2) -T/2 -T/2de donde se obtienen los coeficientes : T/2 a 0 = 2/T
∫
y(t)dt -T/2 T/2 a n = 2/T∫
y(t)Cos(nw 1 t)dt (13) -T/2 T/2 b n = 2/T∫
y(t)Sen(nw 1 t)dt -T/2 n = 1,2,3,....En las ecuaciones (13) la integración puede hacerse sobre cualquier período puesto que para una función periódica por ejemplo f(t), se cumple :
T/2 t +T
∫
Sen(mw1
t ) =
∫
f(t)dt =∫
f(t)dt (14) T -T/2 tPara algunas aplicaciones prácticas es conveniente expresar la serie trigonométrica de la ecuación (11) en términos de una función y un ángulo de fase. Se puede escribir entonces la serie de Fourier cosenoidal como :
∞ y (t) = C 0 + ∑ C n Cos(nw 1 t - φ n ) (15) n = 1 donde C 0 = a 0 /2 y C n =
√
(a n 2 + b n 2 ) (16) φ n = ArcTan[ b n / a n ] (17)Los C
n
se conocen como amplitudes armónicas y los φ
n
como ángulos de fase.
La notación de la serie de Fourier en forma exponencial o compleja resulta algunas veces de mayor conveniencia para el análisis de señales periódicas.
Aplicando las relaciones de Euler :
iθ
e = Cos θ + iSen θ
(18) -iθ
e = Cos θ - iSen θ
Coswnt = I/2 (eiwnt - e-iwnt)
(19) w n t w n t Senw n t = -1/2 ( e - e ) donde : i =
√
-1 Se tienen : -inw1t a n Cos (nw1t) + b n Sen(nw1t) = ½ (a n - ib n )einw1t + ½ (a n + ib n ) e Llamando : C n = ½ (a n + ib n ) (20) C -n = ½ (a n + ib n ) n > 0∞ inw 1 t -inw 1 t y(t) = a 0 /2 + ∑ (c n e + c n e ) (21) n=1
Las partes imaginarias de los vectores en rotación se eliminan y las partes reales se suman. Por tanto, la suma es igual a duplicar la parte real de uno de los vectores rotativos.
Además, considerando solamente las partes reales : -inw 1 inw 1 c n e + c n e
Tomando la sumatoria de cada miembro, transponiendo los límites al mismo tiempo que se cambian los signos, se obtiene la relación :
∞ -inw 1 -1 inw 1 ∑ c n e = ∑ c n e (22) n = 1 n=-∞
La ecuación (21) se convierte entonces en : -1 -inw 1 ∞ inw 1 y(t)= a 0 /2 ∑ c n e = ∑ c n e n =-∞ n=1
Las sumas anteriores incluyen todos los valores enteros de n excepto n=0. Pero como el término constante se obtiene considerando n=0, entonces éste puede quedar incluido en la sumatoria y la serie queda en la forma :
∞
∫
y(t)Sen(mw 1 t)dt =∫
∑ y(t)C n dt = C n T T T -∞ -inw 1 t C n = 1/T∫
∑ y(t)e dt (24)Nótese que cada componente tiene frecuencia ω
n
= nω1 amplitud |C
n
De las ecuaciones (16) y (20) se deducen las relaciones : C n = | 2C n | φ n =Tan -1 [ b n /a n ] (25) Si se grafican los coeficientes C
n contra frecuencia ω n y las fases φ n contra frecuencia ω n
, se obtiene dos series de puntos o valores discretos denominados “Espectro de Fourier “ de amplitudes y de fases respectivamente
Para hacer más expresivos los gráficos generalmente se trazan líneas de cada punto al eje de frecuencia y se forman espectros de líneas como se muestra en la figura 8.
Figura 8. Función periódica y espectros de amplitud y fase.
Una función periódica y(t) puede ser representada por la serie de Fourier, si dicha serie converge a y(t).
Esto se satisface cuando la función cumple las “condiciones de Dirichlet”.
1. Que la función y(t) tenga número finito de discontinuidades en cada período. 2. Que la función y(t) tenga número finito de máximos y mínimos en cada período. 3. Que la función y(t) sea absolutamente integrable en cada período, es decir : ∫
Las condiciones 1 y 2 son equivalentes a decir que la función sea continua a trozos en el intervalo de un período, por ejemplo : [ -T/2, T/2].
NOTA : Las series de Fourier de las ecuaciones (11) y (23) convergen a y(t) cuando el número de términos tiende a infinito (n → ∞ ).
En Ingeniería es suficiente una aproximación del grado N, tomando N o (2N +1) términos respectivamente, con lo cual las ecuaciones quedan en la forma :
N y (t) = a 0 /2 + ∑ (a n Cosnw 1 t - b n Sennw 1 t) n = 1 N inw 1t y (t) = ∑ C n e n = 1
2.5 VIBRACIÓN NO PERIÓDICA
Las vibraciones no periódicas se clasifican en determinísticas y aleatorias o estadísticas. Las vibraciones aleatorias son debidas a combinación de fenómenos diversos de participación o influencia no determinada. Por ejemplo, la vibración de una estructura que soporta corrientes de aire, máquinas en operación y personal en movimiento.
En el caso de vibración determinística se puede conocer la función y(t), pero no tiene comportamiento periódico, por tanto no se puede describir mediante una serie de Fourier.
Hay varias formas para describir y analizar este tipo de vibración, entre las cuales las más aplicadas son la integral y transformado de Fourier, función y respuesta impulsiva, métodos numéricos.
En el caso de vibraciones aleatorias no se tiene función y(t), por tanto no se le puede dar el tratamiento de Fourier, no se pueden describir mediante una función analítica. Las características de una vibración aleatoria : intensidad y frecuencia se describen mediante tratamiento estadístico ( promedios estadísticos) o también por análisis de correlación.
2.5.1 Integral de Fourier.
En el tratamiento de una función periódica la señal se describe por extensión del comportamiento en un período. Una señal no periódica no puede ser descrita en esa forma. Si en una señal periódica el período se incrementa cada vez más, la señal deja de ser periódica cuando el período se aproxima a infinito ( T ® ¥ ).
Partiendo de la ecuación (23) y tomando X como variable de integración en (24), se tiene : ∞ T/2 -inw 1 x inw 1 x
Y(t) = ∑ [1/T ∫ y(x)e dx]e con 1/T=w
1 /2π - ∞ -T/2 ∞ T/2 -inw 1 x inw 1 x Y(t) = ∑ [1/T ∫ y(x)e dx]e w
1
(26)
∞ -T/2
La “ Transformada de Fourier” de y(x) se denota por F[y(t)]. Para la señal de vibración y(t) se tiene :
∞ -inw 1 x F[ y(t)] = Y (w) ∫ y(t)e dt (27) -∞ Y la ecuación : ∞
y(t) = 1/2π ∫ y(t)eiwt dw (28) -∞ Las ecuaciones : ∞ Y(w) = ∫ y(t)e-wt dt (27r) -∞ y ∞
y(t) = 1/2π ∫ Y(w)eiwt dw
(28r) -∞
Constituyen lo que se conoce como el par de Transformadas de Fourier y Fourier y pueden ser representadas por :
y(t) ↔ Y (ω)
La transformada de Fourier convierte una función de dominio de tiempo a dominio de frecuencia (ω = frecuencia angular en rad/s).
La transformada inversa de Fourier convierte una función de dominio de frecuencia a dominio de tiempo.
TRANSIENTE
ALEATORIA
IMPULSIVA
Figura 11. Espectros de funciones no periódicas.
2.6 VIBRACIONES ALEATORIAS
Son procesos vibratorios en los cuales el sistema vibratorio presenta movimientos (vibratorios) en ciclos que nunca se repiten exactamente.
La descripción de estos procesos vibratorios se hace por métodos estadísticos y encierra conceptos tales como distribución de probabilidades o densidad de probabilidades de amplitud y espectro continuo de frecuencias de la vibración en términos de la “densidad espectral media cuadrada”, o “densidad espectral de potencia”.
El concepto de probabilidad denota la posibilidad de que un evento particular ocurra. Si el evento en cuestión tiene absoluta certeza de que ocurra, la probabilidad de ocurrencia es 1.
De otro lado, si hay completa certeza de que el evento no ocurra, la probabilidad de ocurrencia es 0.
Por lo tanto, en el sentido usado en este texto, las probabilidades son valores correspondientes a números reales positivos comprendidos entre cero y uno [0,1].
En el estudio de procesos continuos de vibraciones aleatorias frecuentemente es conveniente usar el concepto de “densidad de probabilidad” en lugar de probabilidad.
Físicamente la “densidad de probabilidad” puede ser definida como la probabilidad de encontrar valores instantáneos de amplitud dentro de un cierto intervalo ( de amplitud) y, dividido por la magnitud de tal intervalo.
Esto significa que mientras las probabilidades son cantidades adimensionales, la densidad de probabilidad es una cantidad que tiene cierta dimensión.
2.6.1 Vibración aleatoria estacionaria.
Cuando los promedios posibles de {yk(t)} no dependen de t (son constantes en el tiempo), se dice que el proceso es estacionario.
Si se conoce una muestra de la historia de un proceso aleatorio estacionario, y(t), frecuentemente es conveniente reducirlo a una función de densidad de probabilidad p(y). En la práctica se hace convirtiendo la función y(t) en señal de voltaje con la cual se alimenta un analizador de densidad de probabilidad.
Teniendo la función de densidad de probabilidad, se puede calcular varios promedios. Considerando que se dispone de la función continua de valores reales g(y) de la variable aleatoria y(t), los siguientes promedios y/o valores estadísticos son de interés :
Figura 12. Vibración aleatoria estacionaria. 2.6.2 Vibración aleatoria no estacionaria.
Vibraciones aleatorias no estacionarias pueden ser definidas como vibraciones aleatorias cuyas propiedades estadísticas varían con el tiempo dentro del intervalo de tiempo considerado esencial para su propia descripción. Para describir y analizar tales vibraciones es necesario tener en cuenta la variación temporal de sus propiedades estadísticas.
Para analizar teóricamente vibraciones aleatorias no estacionarias es necesario introducir al concepto de “Promedio total” o promedio de conjunto, el cual es obtenido como el promedio tomado sobre una gran cantidad de experiencias repetidas. (Ver figura 13). Hay varias razones por las cuales este método de descripción no es útil en la práctica.
— Se requiere que el proceso no estacionario pueda ser repetido una gran cantidad de veces.
— En los procesos reales muchas veces la repetición no es posible por el costo del experimento.
— La cantidad de datos necesarios para la descripción y en general alguna forma de promedio temporal es usada.
Normalmente es necesario buscar otro método de descripción y en general alguna forma de promedio temporal es usada.
No obstante, hay ciertas limitaciones impuestas para esta clase de promedio temporal en la respuesta y el tiempo de promediación del equipo de medición empleado, el cual debe ser relativamente pequeño en comparación con la importantes tendencias temporales de los datos del proceso no estacionario.
3. MEDICIÓN DE VIBRACIÓN
3.1 CADENA DE MEDICIÓN
La medición y el análisis de vibración comprende las siguientes fases : Captación, acondicionamiento, medición o valoración y análisis. Casa una de estas fases puede llevarse a cabo en un instrumento distinto, instalado consecuentemente, o bien varias fases integradas en un único instrumento.
3.2 CAPTACIÓN
La captación de la vibración constituye el eslabón crítico de la cadena de medición. La captación implica la traducción de una magnitud mecánica ( aceleración, velocidad o desplazamiento) en una magnitud eléctrica ( voltaje o corriente) mediante un sensor apropiadamente especificado. En la captación se basan todas las demás fases de la medición, análisis y procesamiento de señales de vibración.
Para que la captación de una señal de vibración sea confiable, es necesario tener en cuenta los siguientes factores :
n Elegir adecuadamente el punto y dirección de captación, según los intereses del ensayo.
n Fijar correctamente el sensor.
n No perturbar apreciablemente el sistema vibratorio, por ejemplo por efecto de la presión de contacto o por la masa del captador.
n Elegir adecuadamente las características del sensor, como son : la sensibilidad o factor de conversión de la magnitud vibratoria en magnitud eléctrica, el rango de frecuencia y masa del sensor.
Figura 14. Cadena de Medición.
3.3 ACONDICIONAMIENTO DE LA SEÑAL
Para que un sensor genere una señal útil a efectos de medición y análisis, es necesario una instrumentación electrónica auxiliar. Algunos sensores generan por si solos una señal eléctrica (en voltaje). En este caso, la instrumentación auxiliar tiene por objeto amplificarla o adecuar impedancias.
Otros sensores no producen por ellos mismos una tensión eléctrica, sino que traducen la vibración en variación de un parámetro eléctrico (resistencia, capacidad, inducción). Para transformar esta variación en forma de tensión es necesario previamente suministrar alimentación eléctrica al sensor.
3.4 VISUALIZACIÓN
Actualmente, la medición y análisis de vibración se efectúa por medio de instrumentos electrónicos y no por observación directa de su representación gráfica, pero es conveniente y muy aconsejable utilizar la observación directa ( por medio, por ejemplo,
de un osciloscopio) en la puesta a punto y supervisión de una cadena de medición. La visualización directa facilita la detección de errores en el funcionamiento del sensor y de su instrumentación auxiliar. Defectos de puesta a tierra, introducción de señales parásitas, interrupción en la conducción de la señal, saturaciones, mala adherencia o fijación del sensor, etc. son de fácil observación visual.
3.5 MEDICIÓN (INDICACIÓN Y REGISTRO)
Consiste en la valoración (y registro) de las características de la vibración (amplitud, intensidad, frecuencia y fase). Las características a medir se eligen de acuerdo con los objetos de la medición. Por ejemplo, si es de interés en el análisis de la vibración, las características a medir son amplitud y frecuencia, en cambio si el objetivo es el balanceo del rotor de una máquina, las características a medir son la amplitud y la fase con respecto a una posición de referencia.
La valoración de intensidad de la vibración puede expresarse en valor pico, valor pico-pico o valor RMS.
El valor RMS ( Root Mean Square) es el más usado en medición de vibraciones. Las funciones o parámetros en que se expresa la vibración son :
Desplazamiento, velocidad y aceleración.
Se usan diversas unidades para expresar los valores de vibración, dependiendo de la norma aplicada, del equipo utilizado y del sistema de unidades aplicado en el campo de trabajo.
No obstante, existe acentuada tendencia al uso del sistema internacional SI (m, m/s, m/s2), favoreciendo el empleo de las subunidades µm (micra o milésima de milímetro,
(mm, mm/s, mm/s2, g, (g=9.81 m/s2)).
Recientemente se han ido introduciendo unidades logarítmicas en decibeles (dB), análogas a las empleadas en la medición de ruido.
Para representar amplitudes y frecuencias, la escala logarítmica en decibeles es útil porque singulariza las amplitudes y frecuencias de valores pequeños y comprime las de valores altos, presentando un gráfico con resolución proporcional constante y de tamaño moderado.
El decibel es el logaritmo de la relación entre el nivel que se mide y un nivel de referencia, por eso carece de dimensiones. Para conocer el valor absoluto del nivel medido es necesario definir al nivel de referencia.
No existe aún niveles de referencia normalizados para la medida de vibraciones, pero en la tabla siguiente se indican los valores recomendados para normalización de trabajos sobre vibración.
3.6 ANALISIS
Para efectos prácticos de análisis es útil la clasificación de las vibraciones en periódicas ( cuya forma se repite a intervalos regulares de tiempo) y aleatorias ( cuya evolución temporal es imprevisible).
Figura 16. Vibración periódica y composición espectral.
El tipo de análisis más usual es el frecuencial o de Fourier, que describe las vibraciones como superposición de vibraciones armónicas (sinusoidales).
Una vibración periódica puede descomponerse en una suma de vibraciones sinusoidales, cada una de ellas definida por su frecuencia y amplitud, conjunto que se
denomina espectro de la vibración. Las frecuencias son siempre múltiplos de la frecuencia fundamental fº, que es la frecuencia de la vibración total ( fº = 1/T).
En el caso de vibraciones aleatorias, la no existencia de un período temporal que se interpreta como un período temporal de repetición extraordinariamente grande, interpretación que conduce a una descripción frecuencial en la cual la frecuencia fundamental fº es muy pequeña y por tanto a un conjunto de vibraciones sinusoidales de frecuencia muy próxima ( un espectro de rayas muy juntas).
El paso al límite ( fº → 0 ) conducen a un espectro continuo y en tal caso se habla de densidad espectral.
Si un espectro continuo contiene uno o más picos agudos, ello es indicativo de la superposición de una o más vibraciones sinusoidales a una aleatoria.
Los espectros correspondientes a desplazamientos, velocidad y aceleración están relacionados ya que, para un movimiento sinusoidal de frecuencia f (Hz), las amplitudes de estas magnitudes son proporcionales entre si a través de la frecuencia :
n Amplitud de VELOCIDAD = Amplitud de DESPLAZAMIENTO * 2πf
n Amplitud de ACELERACION = Amplitud de DESPLAZAMIENTO * (2πf)2
Tomando como referencia el espectro de velocidades, el espectro de aceleración presenta refuerzo de las altas frecuencia, mientras que el desplazamiento lo presenta refuerzo de las bajas frecuencias
Por el contrario, al elegir la magnitud o parámetro vibratorio a medir, si el interés está centrado en el contenido de altas frecuencias de la vibración, es conveniente medir aceleración ; si por el contrario, son de interés los contenidos a bajas frecuencias, el desplazamiento es la magnitud más adecuada.
4. SENSORES DE VIBRACIÓN
Un sensor de vibración es un dispositivo que convierte la energía mecánica de la vibración en energía eléctrica proporcional a un parámetro del movimiento vibratorio. Los sensores de vibración se clasifican en los siguientes tipos básicos.
n Sensores de desplazamiento
n Por contacto
n Sin contacto ( Proximitores)
n Sensores de velocidad ( tipo sísmico)
n Sensores de aceleración ( acelerómetros, sensores piezoeléctricos)
n Sensores de deformación (Deformímetros), para aplicaciones especiales.
Los sensores de deformación o galgas de deformación tienen aplicación en casos especiales, por ejemplo para medición de fuerzas o deformación en estructuras, recipientes o elementos de máquinas.
4.1 SENSORES DE DESPLAZAMIENTO
4.1.1 Sensor de desplazamiento por contacto.
El más popular es el transformador diferencial, basado en el principio de inductancia variable.
Consiste en tres bobinas espaciadas simétricamente y enrolladas sobre un carretel aislado. Un núcleo magnético se mueven sin contacto a través de las bobinas proporcionando la trayectoria para la conexión del flujo magnético entre las bobinas. La posición del flujo magnético controla la inductancia mutual entre la bobina central o primaria y las bobinas laterales o secundaria.
Figura 19. Sensor de desplazamiento por contacto.
4.1.2 Sensor de desplazamiento sin contacto (Proximitor).
El sensor de proximidad es un sistema no contactante de medición de distancia. Es como un micrómetro electrónico que constantemente mide la distancia entre la punta del sensor y la superficie conductora a medir.
El sensor convierte la distancia en un voltaje DC negativo proporcional, por tanto cualquier cambio en distancia resulta en un cambio proporcional en voltaje.
El sensor de desplazamiento sin contacto opera bajo el principio de corriente parásita. Requiere de una señal portadora que genera un campo en la punta del sensor.
A cualquier variación de la distancia cambia proporcionalmente la amplitud de la señal de retorno. El rango de frecuencia es de 0 a 10 KHz.
Figura 20. Proximitor.
4.2 SENSOR DE VELOCIDAD (SÍSMICO)
El sensor de velocidad típico, está constituido por una “ masa” formada por una bobina, suspendida por dos resortes, amortiguada por un imán (Ver figura 21).
La operación de este es adherido a un elemento vibratorio, el casco junto con el imán se mueven con el elemento vibratorio, mientras que la bobina suspendida por resortes permanece estática. De esta forma se genera el voltaje proporcional al movimiento relativo.
Como el voltaje generado es proporcional a la rata d corte del campo magnético, la salida del instrumento es proporcional a la velocidad del cuerpo vibrante.
Un sensor típico de esta clase puede tener frecuencia natural de 1 a 5 Hz.y un rango útil de frecuencia de 10 a 2000 Hz.
La sensibilidad de este tipo de sensores puede estar en el rango de 20 mV/(cm/s) a 350 mV/(cm/s). El desplazamiento máximo normalmente está limitado a cerca de 0.5 cm pico a pico.
Es de notar que si la captación se hace con un sensor de velocidad, la aceleración y desplazamiento están disponibles en la práctica por medio de instrumentos acondicionadores de señal que realizan las operaciones de diferenciación e integración. Un sensor sísmico está constituido por los siguientes elementos principales :
a. Carcaza b. Bobina c. Amortiguador d. Masa e. Resorte f. Imán
Figura 21. Construcción básica de un sensor de velocidad.
4.3 SENSOR DE ACELERACIÓN ( ACELERÓMETRO)
Un acelerómetro es un sensor autogenerador que provee un voltaje de salida proporcional a la aceleración de la vibración.
El funcionamiento de un acelerómetro se basa en la propiedad de los materiales piezoeléctricos de generar carga eléctrica cuando son sometidos a fuerzas de comprensión, tensión o corte, generando una señal eléctrica cuyo voltaje entre las caras del sensor es proporcional a la aceleración. Entre los principales materiales piezoeléctricos se encuentran : titanato de bario y cerámica policristalina.
El acelerómetro no necesita fuente de alimentación.
El acelerómetro está constituido por una masa (4) rígidamente unida a los elementos piezoeléctricos (3). Mediante el tornillo de fijación (1) o por otro medio de fijación, se une al cuerpo o marco (2) al elemento vibratorio.
Carcaza Bobina Amortiguador Resorte Masa Imàn Agujero Rosado Salida V. AC
Cuando el cuerpo se mueve, el material piezoeléctrico es comprimido por la masa, mediante la cual se aplica una fuerza.
Figura 22. Acelerómetro.
Como el potencial eléctrico ( voltaje) es proporcional a la fuerza aplicada y como la fuerza F es igual a la masa por la aceleración ( F = m *a), el voltaje generado depende de las dos cosas : masa y aceleración.
n A mayor masa, mayor voltaje generado.
n A mayor aceleración de la masa, mayor voltaje generado.
Como la masa del acelerómetro es un valor constante, el voltaje generado depende solamente de la aceleración.
Los acelerómetros comerciales presentan normalmente un rango de sensibilidad de 1 a 10 mV/(m/s2) y linealidad hasta alrededor de 100.000 m/s2 .
El rango de frecuencias depende de cada acelerómetro, pero normalmente el límite inferior puede ser hasta por debajo de 1 Hz. Y el límite superior, comúnmente entre 20 y 30 KHz., aunque puede ir hasta 180 KHz.
5.CINÉTICA DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS
En Cinética de vibraciones se estudia la relación entre la causa (excitación), las características del sistema vibratorio y la respuesta del sistema ( movimiento vibratorio).
5.1 ANÁLISIS DE FENÓMENOS VIBRATORIOS
Para el análisis de un problema vibratorio hay dos métodos :
n Análisis teórico - Solución analítica
n Análisis práctico - Método experimental
La solución analítica de un problema de vibraciones comprende tres partes :
n Desarrollo de un modelo físico.
n Establecimiento de un modelo matemático.
n Determinación del comportamiento vibratorio.
El modelo físico es un “modelo analítico” constituido por los siguientes elementos :
- Un conjunto de asunciones o hipótesis simplificativas hechas para reducir el sistema real al modelo analítico.
- Un conjunto de dibujos que describen el modelo analítico.
- Una lista de parámetros de diseño ( dimensiones, materiales, etc).
El modelo matemático es un conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento del modelo físico, resultantes de la aplicación de leyes físicas por ejemplo Ley de Newton, ecuaciones de Lagrange, relaciones esfuerzo-deformación, etc.
El modelo matemático está formando por ecuaciones diferenciales parciales si el modelo físico es continuo ( infinito número de grados de libertad) o por ecuaciones diferenciales ordinarias si el modelo físico es discreto, es decir, de parámetros concentrados ( finito número de grados de libertad).
En la práctica la designación e modelo matemático se refiere al conjunto formado por el modelo físico y el modelo matemático.
El comportamiento vibratorio ( o comportamiento dinámico) se obtiene mediante la solución de las ecuaciones que describen la respuesta dinámica ( o respuesta del sistema). Los dos tipos de comportamiento dinámico más importantes en sistemas mecánicos son los denominados “ Vibración forzada”.
La vibración libre resulta de la aplicación de condiciones iniciales especificas al sistema, mientras que la vibración forzada resulta de la aplicación de fuentes externas con entradas específicas al sistema.
DE IGIL Amortiguados DISCRETOS (EDO) No Amortiguados DE MGL Amortiguados LINEALES No Amortiguados CONTINUOS INFINITO Amortiguados (EDP) Nº. de
GIL No Amortiguados SISTEMAS
VIBRATORIOS
Presentan relación no proporcional entre excitación y respuesta.
Se describe por ecuaciones diferenciales, NO no lineales. Se resuelven por mètodos: LINEALES Analíticos : Integral de funciones elípticas
Variación lenta de amplitud y fase Ecuaciones lineales equivalentes Método de perturbación
Método de iteracción Gráficos : Método de las isoclinas Método de plano de fase
5.2 CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS MECÁNICOS VIBRATORIOS
Al modelar un sistema mecánico vibratorio se encuentra constituido por los siguientes elementos característicos :
El cuerpo (con masa y momento de inercia) como almacenador de energía cinética. Es el elemento que relaciona la fuerza con la aceleración.
El resorte. Como almacenador de energía potencial. Es el medio que relaciona la fuerza con el desplazamiento.
El amortiguador. Como elemento de disipación de energía ( transformación de energía térmica). Es el medio que relaciona la fuerza la velocidad.
El excitador. Como fuente de energía del sistema vibratorio. (Algunas veces este elemento se considera externo al sistema mecánico).
Figura 26. Modelo simple de sistema mecánico vibratorio
5.3 PARÁMETROS CINÉTICOS DEL MODELO DE UN SISTEMA MECÁNICO VIBRATORIO
Para poder determinar los parámetros del modelo es necesario haberlo definido. Es decir, antes de averiguar el valor de los parámetros se debe hacer la clasificación (Figura 24) según que el sistema sea continuo, discreto de cuántos grados de libertad, tipo de amortiguamiento, etc.
5.3.1 Parámetros del cuerpo.
Para estudiar el comportamiento dinámico de un cuerpo (Rígido) es necesario conocer los siguientes parámetros pertenecientes a dicho cuerpo :
n Masa, m - Posición del centro de gravedad
n Ejes principales de inercia ( de masa)
n Momentos principales de inercia ( de masa)
Si el cuerpo en estudio puede ser clasificado como partícula de masa puntual y/o si el movimiento es solamente traslación, es suficiente determinar la masa y la posición del centro de gravedad, cuyas magnitudes pueden ser evaluadas prácticamente (pesado y midiendo) si se dispone del modelo, o analíticamente ( efectuando cálculos) si se dispone solo del diseño.
Si el cuerpo en estudio posee movimiento de rotación y su masa no es puntual, se requiere determinar además la posición de los ejes principales y los momentos principales de inercia
Para cuerpos simétricos es conveniente hacer coincidir las coordenadas de referencia con los ejes geométricos y así los ejes principales de inercia ( elipsoide de inercia) coinciden con los ejes de simetría del cuerpo.
Los momentos de inercia pueden ser determinados experimentalmente (Ej : péndulo físico) o analíticamente por integración o por subdivisión en cuerpos elementales. El centro de masa puede ser determinados analíticamente si se tiene diseño ( integración, subdivisión en elementos) o experimentalmente (suspención péndulo, plomada) si se dispone del modelo.
5.3.2 Parámetros del resorte.
El elemento elástico ( almacenador de energía potencial) se especifica por la constan-te de rigidez K. La rigidez de los componenconstan-tes elásticos del sisconstan-tema vibratorio depen-de depen-del tipo depen-de sistema y dl tipo depen-de movimiento que presenta.
Según el tipo de movimiento puede clasificarse en resortes de translación ( movimiento lineal) y resortes de torsión ( movimiento angular o de rotación).
Cuando el medio elástico está formado por varios elementos interconectados se determina la rigidez equivalente para elementos en serie en paralelo según el caso.
Si los elementos deformables son distribuidos, por ejemplo vigas o placas, la rigidez del sistema se expresa mediante los coeficientes de influencia de Maxwell, los cuales indican la relación entre fuerzas y deformaciones.
La figura 28 presenta la rigidez, la masa y la frecuencia natural para algunos modelos de sistemas vibratorios comunes.
5.3.3 Parámetros del amortiguador.
En un sistema vibratorio puede presentarse amortiguamiento externo y/o amortigua-miento interno.
El amortiguamiento externo se clasifica en amortiguamiento viscoso y amortiguamiento por fricción seca.
El amortiguamiento interno es debido a la fricción entre las partículas del material por histéresis o movimiento relativo en la estructura interna del material.
Se usan varios parámetros para indicar la cantidad o el grado de amortiguación presente en un sistema entre los cuales los más importantes son :
Constante de amortiguamiento : (c) indica la relación entre la fuerza transmitida por el amortiguador y la velocidad del sistema.
Amortiguamiento crítico. Es el máximo amortiguamiento que permite oscilación del sistema.
Factor de amortiguamiento : Es la razón entre el amortiguamiento presente en un sistema y el amortiguamiento crítico.
ξ = c/C
c
(29)
Decremento logarítmico : (δ). Es el logaritmo natural de la razón entre dos amplitudes consecutivas de una oscilación libre con amortiguación viscosa.
δ = Ln X
n
/X
n
+ 1 (30)
Amortiguación específica : Es la razón entre la energía disipada y la energía total del sistema durante cada ciclo de movimiento del sistema.
se relaciona directamente con el decremento logarítmico y el factor de amortiguamiento.
∆
u/u =
π
cwx
2/1/2kx
2≈
2
δ
= 4
πξ
(31)
La amortiguación específica es útil para comprobar la capacidad de amortiguación de los materiales de ingeniería.
En la sección 5.4 se amplían algunos conceptos relacionados con el movimiento vibratorio de sistemas con amortiguación.
5.4 DINÁMICA DE SISTEMAS MECÁNICOS VIBRATORIOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
5.4.1 Vibración libre.
Es la vibración que presenta un sistema en ausencia de fuerzas o momentos externos. La vibración libre se origina dando condiciones iniciales ( desplazamiento o velocidad) que lleven al sistema fuera de su posición de equilibrio. No hay excitación externa durante el movimiento.
En el estudio de la vibración libre es de interés establecer la ecuación diferencial de movimiento, determinar parámetros de inercia rigidez y amortiguamiento, hallar la frecuencia natural y establecer la ecuación que describe el comportamiento vibratorio.
n FRECUENCIA NATURAL : Es la frecuencia a la cual un sistema vibra libremente cuando se lleva fuera de la posición de equilibrio.
Para establecer la ecuación de movimiento se aplica la “Segunda Ley de Newton”. En sistemas conservativos la ecuación de movimiento puede de deducirse a partir del principio de conservación de energía.
5.4.1.1 Sistemas sin amortiguamiento.
Aplicando la segunda Ley de Newton, se tiene : ∑F = ma (32)
W - k ( ∆ + x ) = mx ; W = mg = k∆ mx + kx = 0
X + k/mX = 0 (33)
La ecuación anterior es la ecuación diferencial de movimiento EDM. Una solución particular puede hallarse asumiendo.
X= Sen
√
k/m t de donde X =√
k/m Cos√
k/m tX = -k /m Sen
√
k /m t Remplazando en (33)- k / m Sen
√
k / m t + k / m Sen√
k / m t = 0Comparando la solución anterior con el movimiento armónico, ecuación (5), se deduce que :
W
n
=
√
k / m (35)Es la frecuencia circular de la vibración libre, denominada “frecuencia natural”. La solución general de la ecuación (33) es :
x = ASenω
n
t + BCosω
n
t (35)
en donde A y B son dos constantes arbitrarias que se evalúan a partir de las condiciones iniciales x(o) y x(o). La ecuación anterior se convierte en :
X = x(o)/W n SenW n t + x(o)CosW n t (36)
La ecuación (36) describe el comportamiento vibratorio del sistema de un grado de libertad, sin amortiguamiento.
Cuando el elemento elástico es un resorte lineal de masa no despreciable, por evaluación de la energía cinética puede demostrarse que la masa efectiva ( fracción equivalente en movimiento) es 1/3 de la masa total del resorte.
La ecuación (34) se convierte en : W n =
√
k / m s + m r /3 (37) m s= masa del sistema ( cuerpo) m
r
= masa del resorte k = rigidez del resorte ω
n
= frecuencia natural circular del sistema T = período de la oscilación
f
n
= frecuencia natural de oscilación del sistema T = 2π/ω = 2π
√
k /m (38) fn
= 1/T = 1/2π
√
k/m = (1/2π√
g/ ∆ ) * (39) * Para sistema masa-resorte verticalSistema con amortiguamiento viscoso. La amortiguación fluida puede ser viscosa o
turbulenta. En el modelo de amortiguación viscoso la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad. En la amortiguación turbulenta la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad. En la amortiguación de Coulomb o fricción seca, la fuerza de amortiguación es constante.
El mecanismo de amortiguación más comúnmente usado es el de amortiguación viscosa. En este modelo, la relación entre la fuerza y la velocidad depende de la viscosidad del fluido, el área superficial, el espesor de la película de fluido, la diferencia de presiones y el régimen de cambio de volumen. Todos estos factores se agrupan en una constante de amortiguación c, de proporcional tal que la fuerza de amortiguación es :
F
d
= cv = cx (40)
La fuerza de amortiguación actúa en sentido opuesto a la velocidad del sistema. Aplicando la segunda Ley de Newton al sistema representado en la Figura siguiente, se establece la ecuación diferencial de movimiento :
Figura 29. Sistema amortiguamiento y diagrama de cuerpo libre. - kx - c·x = ma = ¨mx
¨mx + ·cx + kx = 0
x + c/m x + k/m x = 0 (41)
La expresión anterior es la ecuación diferencial de movimiento, cuya ecuación característica es :
S2 + c/m S + k/m = 0 (42)
y las raíces de esta ecuación son :
S
1,2
= - c/2m ±
√
(c/2m)2 - k/m (43)La solución general de la ecuación (41) es entonces : w 1 t w 2 t x = Ae + Be (44)
x (o), x(o).
Reemplazando la ecuación (43) en (44) se obtiene :
-(c/2m)t
√
(c/2m)2 - k/m t -√
(c/2m)2 - k/m tX = e [ Ae + Be
]
(45)El tiempo
e
-(c/2m)t es una función que decrece exponencialmente con el tiempo.El comportamiento del factor dentro del paréntesis depende del valor numérico del radical, según sea positivo, cero o negativo. Se presentan entonces tres casos :
CASO 1
(c/2m)2 > k/m
En la ecuación (43) el radical es positivo, las raíces de la ecuación característica, s
1
,
s
2
son reales, el movimiento del sistema es dominado por la amortiguación y no hay oscilaciones posibles.
El movimiento se expresa mediante la ecuación (45) y se muestra en la Figura 30 a.
CASO 2
(c/2m)2 = k/m
En la ecuación (43) el radical vale cero, las raíces s
1
,
s2
son reales y repetidas. En este caso se dice que el sistema está críticamente amortiguado . La constante de amortiguamiento crítico C
c
es función de los parámetros característicos del sistema, k y m. C c = 2
√
km = 2mw n (46)La ecuación que describe el movimiento con amortiguamiento crítico es : x = (A + Bt)e-(Cc/2m)t = (A + Bt)e-ωnt (47)
y la gráfica correspondiente se muestra en la figura 30b.
La relación entre la constante de amortiguamiento real c y la constante de amortiguamiento crítico Cc, se conoce como razón de amortiguamiento o factor de amortiguamiento ( ecuación 29)
ξ = c/Cc.
CASO 3
(c/2m)2 < k/m
En la ecuación (43) el valor dentro del radical es negativo, por tanto resulta un término imaginario y la ecuación (45) queda en la exponencial así :
x = e-(c/2m)t [Aei
√
k/m - (c/2m)2 t + Bei√
k/m - (c/2m) t ] (48) o en la forma trigonométrica : x = e-(c/2m)t ( C 1 Senω d t + C 1 Cosω d t) (49) donde : W d =√
k/m - (c/2m)2 = W n =√
1 - ξ2 (50)conocida como frecuencia circular de la oscilación amortiguada.
La ecuación que describe el movimiento amortiguado puede ser expresada también en las formas : -ξw n t x = e [ C 1 Sen
√
1-ξ2 w n t + C 2 Cos√
1 - ξ2 w n t ] (51)ò -ξw n t x = Xe Sen (
√
1- ξ2 w n t + φ) (52) Las constantes X, φ, C 1 , C 2se determinan a partir de las condiciones iniciales. El movimiento resultante en este caso es un movimiento oscilatorio con amplitud decreciente exponencialmente, como se muestra en la Figura 30 c.
Figura 30. Movimiento de sistema con amortiguación viscosa. En resumen, los tres casos de amortiguación viscosa son :
(c/2m)2 > k/m, c > C c
, ξ > 1 No hay oscilación del sistema.
Movimiento con amortiguamiento crítico (c/2m)2 < k/m, c < C
c
El sistema está a punto de oscilar (pero no oscila). Movimiento subamortiguado
(c/2m)2 < k/m, c < C n
, ξ < 1 El sistema presenta oscilación.
DECREMENTO LOGARíTMICO. Una forma de determinar la cantidad de
amortiguamiento presente en un sistema consiste en medir la amplitud de las oscilaciones libres y determinar la rata de caída. A mayor amortiguación, mayor rata de caída.
Para expresar la rata de caída se usa el término “decremento logarítmico” δ, que se define como el logaritmo natural de la razón entre dos amplitudes sucesivas cualesquiera.
Partiendo de la ecuación (52) se tiene : x 1 = Xe-ωnt Sen(ω d t + φ) x 2 = Xe-ξωn( t - γ )Sen(ω d ( t - γ) + φ) -ξw n t e δ = Ln x 1 /x 2 = Ln
[
-ξw n ( t - γ )]
e δ = ξw n γd = ξw n 2π/w d = 2πξ/ √ 1-ξ2 (53)Cuando el amortiguamiento es pequeño (ξ<0.3), el valor del radical es próximo de 0.1 y la expresión anterior se puede escribir como :
Para oscilaciones no consecutivas se puede demostrar que. δ = Ln x 1 /x 2 = 1/n Ln x 1 /x 2 (55)
Figura 31. Rata de caída de oscilación. Decremento logarítmico.
5.4.1.3 Amortiguación de Coulomb. (Fricción seca).
El amortiguamiento de Coulomb se presenta por deslizamiento de dos superficies secas. Las fuerza de amortiguación es la fuerza de fricción, igual al producto entre la fuerza normal N y el coeficiente de fricción m. Esta fuerza es independiente del des-plazamiento del sistema o de sus derivadas, por eso se denomina a veces “Amortigua-ción constante”.
La fuerza de fricción se opone al movimiento, por tanto su signo cada vez cambia el sentido del movimiento.
Lo anterior hace necesario establecer dos ecuaciones de movimiento, una para cada medio ciclo.
Figura 32. Sistema con amortiguación de Coulomb.
Para el medio ciclo de movimiento de derecha a izquierda ( Figura 31), la ecuación de movimiento, ecuación (32) es : ∑F = mx, - kx +µN =mx la solución es : x = A 1 Senw n t + B 1 Cosw n t - µN/k (56)
Para el movimiento de izquierda a derecha la ecuación de movimiento en este medio ciclo es : - kx - µN = mx (57) y la solución es : x = A 2 Senw n t + B 2 Cosw n t - µN/k (58)
Las constantes A 1, B 1 ,A 2, B 2
se denominan de las condiciones iniciales de cada medio ciclo sucesivo. El factor µN/k es una constante equivalente al desplazamiento virtual del resorte bajo la fuerza de fricción µN, si ésta se aplicara como una fuerza estática. El movimiento es armónico durante cada medio ciclo y la gráfica es una curva medio-senoidal pura, en la que la posición de equilibrio cambia cada medio ciclo de + µN/k a
µN/k.
En el sistema es armónico de la Figura 31 para las condiciones iniciales x(o) =Xo, x(o) = 0, se puede evaluar las constantes A
1, B 1 a partir de la ecuación (56). Xo = B 1 + µN/k B 1 = Xo -µN/k 0 = A 1ωn Cos(0)+ B 2ωn Sen(0) + 0 A 1 = 0 x = (Xo - µN/k)Cosw n t + µN/k (59)
La ecuación (59) describe una curva cosenoidal desplazada en la dirección positiva en la cantidad µN/k. Es válida de 0 a T/2 es decir, 0 < t < π/ω n . Cuando t = π/ω n , x =2µN/k -Xo
Para el segundo medio ciclo, se usa la ecuación (58) ya que el movimiento se invierte. (2µN/k - Xo) = A 2 Sen(π)+ B 2 Cos(π) - µN/k B 2 = Xo - 3µN/k, A 2 = 0 x = (Xo - 3µN/k)Cosw n t - µN/X (60)
La ecuación anterior es una curva cosenoidal desplazada la cantidad µN/k en la dirección negativa, y con una amplitud (reducida) de
Xo - 3µN/k. Es válida para π /ωn Cos(0)+ 2π/ω n .
En el tiempo t = 2π/ω
n
, x = ( Xo - 4µN/k), que es la amplitud inicial para el medio ciclo siguiente
Como el movimiento se invierte, se una nuevamente la ecuación (56) y en forma similar se obtiene :
x = ( Xo - 5µN/k) Cosω
n
t+ µN/k (61)
La amplitud se reduce en 4µN/k entre cada ciclo sucesivo. El movimiento se detiene al final del medio ciclo para el cual la amplitud es menor que µN/k.
El decremento para la amortiguación constante no es logarítmico, sino lineal. X
n+1
= X
n
- 4µN/k (62)
La envolvente de la oscilación en dominio de tiempo es un par de líneas rectas que se aproximan a la posición de equilibrio con pendiente de 2µN ω
n
/πk, como se muestra en la Figura 33.
Es de observar que la frecuencia natural no se altera por la amortiguación de fricción seca.
5.4.2 Vibración forzada.
El movimiento de un sistema vibratorio bajo la acción de fuerzas o movimientos de excitación causados por efectos externos o inherentes al movimiento mismo del siste-ma, es conocido como “ Vibración Forzada”.
La función forzante o excitación puede ser generada por elementos de máquinas, equipos o sistemas mecánicos que presentan movimientos rotativos, alternativos, combinados, choques, etc.
La excitación puede ser clasificada en armónica, periódica, determinística y aleatoria. A continuación se presenta el estudio dinámico para sistemas vibratorios de un grado de libertad sometidos a los tipos de excitación más comunes.
5.4.2.1 Vibración forzada armónicamente.
Cuando un sistema dinámico vibratorio es sometido a una excitación la respuesta del sistema tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.
La excitación armónica es común en sistemas mecánicos, por ejemplo, causadas por desequilibrios másicos en máquinas rotativas.
La dinámica de sistemas excitados armónicamente es básica para el estudio de sistemas sometidos a otros tipos de excitación,
La ecuación de movimiento puede ser establecida a partir de la segunda Ley de Newton : F Senwt - cx - kx = mx ; mx + cx + kx = F Senwt
La ecuación de movimiento es entonces : m¨x + c·x + kx = F Senwt ¨x + c/m ·x + k/m x = F/m Senwt (63) ¨x + 2ξw n ·x + A 1 w2 n x = F/m Senwt
Figura 34. Sistema excitado armónicamente
La solución de la ecuación consta de dos partes ; la solución particular a la ecuación homogénea más una solución particular. La solución a la homogénea es una función transitoria, mientras que la solución particular es una función permanente o estacionaria. x = x n + x p -ξw n t x h = X 1 e Sen (w d t + φ 1 )
Como la excitación es armónica y el sistema es lineal, se puede asumir una solución particular armónica.
x = Xsen ( wt - φ ) (64)
donde X es la amplitud de la vibración estacionaria y φ es el ángulo de fase entre excitación y respuesta.
La vibración resultante está indicada en la Figura 35 y se describe por la siguiente ecuación : -ξw n t x = X 1 e Sen (w d t + φ 1 ) + Xsen (wt - φ) (65)
Figura 35. Vibración forzada armónicamente
La vibración transitoria se estudio como en la sección anterior, correspondiente a la vibración libre amortiguada ; esta componente generalmente es de menor importancia que la vibración estacionaria en sistemas mecánicos, por ejemplo máquinas rotativas. En la vibración estacionaria es de interés determinar la amplitud X y la fase φ en función de la frecuencia de la excitación y de los parámetros característicos del sistema mecánico vibratorio.
Sustituyendo la ecuación (64) en la ecuación (63a), se tiene : -mXω2Sen(ωt-φ)+ωcXCos(ωt-φ)+KXSen(ωt-φ)=FSenωt (66)
La fase entre la excitación F y la respuesta X está dada por el ángulo φ las fases de la velocidad y de la aceleración están adelantadas del desplazamiento en 90º y 180º respectivamente.
Figura 36. Relación vectorial para vibración forzada amortiguada
De la figura anterior se obtiene
F =
√
(k-mw2)2+(cw)2 X de donde : X =√
F / (k-mw2) +(cw )2 (67) φ = Tan-1 cw . k-mw2 (68)Las ecuaciones anteriores pueden ser expresadas en forma adimensional para facilitar una concisa representación gráfica. Dividiendo numerador y denominador por k y usando las relaciones :
W
n
= k/m Frecuencia natural circular C n = 2mw n Factor de amortiguamiento cw/k = 2ξ(w/w n )
F/k = ∆ Deformación estática
Las expresiones adimensionales para amplitud y fase quedan de la forma : X/∆ = 1 . (69)
√
[1-(w/w n )2]2 + [2ξ(w/w n )2]2 2ξ(w/w n ) φ = Tan-1 . 1 - (w/w n )2 (70)La Figura 37 es la representación gráfica de las ecuaciones anteriores.
Puede observase que la amplitud adimensional o “ Factor de amplificación “ X/∆ y la fase φ son funciones solamente de la razón de frecuencias ω/ωn y del factor amortiguamiento. Nótese que el factor de amortiguamiento tiene gran influencia sobre la amplitud y el ángulo de fase, en la región a la resonancia.
Figura 37. Representación gráfica de las ecuaciones (69) y (70) para vibración con excitación armónica.
