Sistemas sin amortiguamiento

Aplicando la segunda Ley de Newton, se tiene : ∑F = ma (32)

W - k ( ∆ + x ) = mx ; W = mg = k∆ mx + kx = 0

X + k/mX = 0 (33)

La ecuación anterior es la ecuación diferencial de movimiento EDM. Una solución particular puede hallarse asumiendo.

X= Sen

√

k/m t de donde X =

√

k/m Cos

√

k/m t

X = -k /m Sen

√

k /m t Remplazando en (33)

- k / m Sen

√

k / m t + k / m Sen

√

k / m t = 0

Comparando la solución anterior con el movimiento armónico, ecuación (5), se deduce que :

W

n

=

√

k / m (35)

Es la frecuencia circular de la vibración libre, denominada “frecuencia natural”. La solución general de la ecuación (33) es :

x = ASenω

n

t + BCosω

n

t (35)

en donde A y B son dos constantes arbitrarias que se evalúan a partir de las condiciones iniciales x(o) y x(o). La ecuación anterior se convierte en :

X = x(o)/W n SenW n t + x(o)CosW n t (36)

La ecuación (36) describe el comportamiento vibratorio del sistema de un grado de libertad, sin amortiguamiento.

Cuando el elemento elástico es un resorte lineal de masa no despreciable, por evaluación de la energía cinética puede demostrarse que la masa efectiva ( fracción equivalente en movimiento) es 1/3 de la masa total del resorte.

La ecuación (34) se convierte en : W n =

√

k / m s + m r /3 (37) m s

= masa del sistema ( cuerpo) m

r

= masa del resorte k = rigidez del resorte ω

n

= frecuencia natural circular del sistema T = período de la oscilación

f

n

= frecuencia natural de oscilación del sistema T = 2π/ω = 2π

√

k /m (38) f

n

= 1/T = 1/2π

√

k/m = (1/2π

√

g/ ∆ ) * (39) * Para sistema masa-resorte vertical

Sistema con amortiguamiento viscoso. La amortiguación fluida puede ser viscosa o

turbulenta. En el modelo de amortiguación viscoso la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad. En la amortiguación turbulenta la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad. En la amortiguación de Coulomb o fricción seca, la fuerza de amortiguación es constante.

El mecanismo de amortiguación más comúnmente usado es el de amortiguación viscosa. En este modelo, la relación entre la fuerza y la velocidad depende de la viscosidad del fluido, el área superficial, el espesor de la película de fluido, la diferencia de presiones y el régimen de cambio de volumen. Todos estos factores se agrupan en una constante de amortiguación c, de proporcional tal que la fuerza de amortiguación es :

F

d

= cv = cx (40)

La fuerza de amortiguación actúa en sentido opuesto a la velocidad del sistema. Aplicando la segunda Ley de Newton al sistema representado en la Figura siguiente, se establece la ecuación diferencial de movimiento :

Figura 29. Sistema amortiguamiento y diagrama de cuerpo libre. - kx - c·x = ma = ¨mx

¨mx + ·cx + kx = 0

x + c/m x + k/m x = 0 (41)

La expresión anterior es la ecuación diferencial de movimiento, cuya ecuación característica es :

S2 _{+ c/m S + k/m = 0 (42)}

y las raíces de esta ecuación son :

S

1,2

= - c/2m ±

√

(c/2m)2 _{- k/m (43)}

La solución general de la ecuación (41) es entonces : w 1 t w 2 t x = Ae + Be (44)

x (o), x(o).

Reemplazando la ecuación (43) en (44) se obtiene :

-(c/2m)t

√

_(c/2m)2 _{- k/m t -}

√

_(c/2m)2 _{- k/m t}

X = e [ Ae + Be

]

(45)

El tiempo

e

-(c/2m)t _{es una función que decrece exponencialmente con el tiempo.}

El comportamiento del factor dentro del paréntesis depende del valor numérico del radical, según sea positivo, cero o negativo. Se presentan entonces tres casos :

CASO 1

(c/2m)2 _{> k/m}

En la ecuación (43) el radical es positivo, las raíces de la ecuación característica, s

1

,

s

2

son reales, el movimiento del sistema es dominado por la amortiguación y no hay oscilaciones posibles.

El movimiento se expresa mediante la ecuación (45) y se muestra en la Figura 30 a.

CASO 2

(c/2m)2 _{= k/m}

En la ecuación (43) el radical vale cero, las raíces s

1

,

s

2

son reales y repetidas. En este caso se dice que el sistema está críticamente amortiguado . La constante de amortiguamiento crítico C

c

es función de los parámetros característicos del sistema, k y m. C c = 2

√

km = 2mw n (46)

La ecuación que describe el movimiento con amortiguamiento crítico es : x = (A + Bt)e-(Cc/2m)t _{= (A + Bt)e}-ωnt ₍₄₇₎

y la gráfica correspondiente se muestra en la figura 30b.

La relación entre la constante de amortiguamiento real c y la constante de amortiguamiento crítico Cc, se conoce como razón de amortiguamiento o factor de amortiguamiento ( ecuación 29)

ξ = c/Cc.

CASO 3

(c/2m)2 _{< k/m}

En la ecuación (43) el valor dentro del radical es negativo, por tanto resulta un término imaginario y la ecuación (45) queda en la exponencial así :

x = e-(c/2m)t _[Aei

√

k/m - (c/2m)2 t _{+ Be}i

√

k/m - (c/2m) t _{] (48)} o en la forma trigonométrica : x = e-(c/2m)t _{( C} 1 Senω d t + C 1 Cosω d t) (49) donde : W d =

√

k/m - (c/2m)2 _{= W} n =

√

1 - ξ2 ₍₅₀₎

conocida como frecuencia circular de la oscilación amortiguada.

La ecuación que describe el movimiento amortiguado puede ser expresada también en las formas : -ξw n t x = e [ C 1 Sen

√

1-ξ2 _w n t + C 2 Cos

√

1 - ξ2 _w n t ] (51)

ò -ξw n t x = Xe Sen (

√

1- ξ2 _w n t + φ) (52) Las constantes X, φ, C 1 , C 2

se determinan a partir de las condiciones iniciales. El movimiento resultante en este caso es un movimiento oscilatorio con amplitud decreciente exponencialmente, como se muestra en la Figura 30 c.

Figura 30. Movimiento de sistema con amortiguación viscosa. En resumen, los tres casos de amortiguación viscosa son :

(c/2m)2 _{> k/m, c > C} c

, ξ > 1 No hay oscilación del sistema.

Movimiento con amortiguamiento crítico (c/2m)2 _{< k/m, c < C}

c

El sistema está a punto de oscilar (pero no oscila). Movimiento subamortiguado

(c/2m)2 _{< k/m, c < C} n

, ξ < 1 El sistema presenta oscilación.

DECREMENTO LOGARíTMICO. Una forma de determinar la cantidad de

amortiguamiento presente en un sistema consiste en medir la amplitud de las oscilaciones libres y determinar la rata de caída. A mayor amortiguación, mayor rata de caída.

Para expresar la rata de caída se usa el término “decremento logarítmico” δ, que se define como el logaritmo natural de la razón entre dos amplitudes sucesivas cualesquiera.

Partiendo de la ecuación (52) se tiene : x 1 = Xe-ωnt _Sen(ω d t + φ) x 2 = Xe-ξωn( t - γ )_Sen(ω d ( t - γ) + φ) -ξw n t e δ = Ln x 1 /x 2 = Ln

[

-ξw n ( t - γ )

]

e δ = ξw n γd = ξw n 2π/w d = 2πξ/ √ 1-ξ2 ₍₅₃₎

Cuando el amortiguamiento es pequeño (ξ<0.3), el valor del radical es próximo de 0.1 y la expresión anterior se puede escribir como :

Para oscilaciones no consecutivas se puede demostrar que. δ = Ln x 1 /x 2 = 1/n Ln x 1 /x 2 (55)

Figura 31. Rata de caída de oscilación. Decremento logarítmico.

In document Libro Vibraciones (página 50-59)