Agregaciones espacio-temporales. Test de Knox.

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Agregaciones espacio-temporales. Test de Knox.

1. Introducción

La complejidad de los modelos medioambientales es que virtualmente cualquier proceso físico lleva consigo una variabilidad en el espacio y tiempo.

Definición. Si se toman al azar dos sucesos arbitrarios en tiempo y espacio y existe una relación entre ellos de poca distancia espacial y temporal, se dirá que existe una interacción espacio-tiempo.

¿Cómo se modelizan las interacciones espacio-tiempo?

Si sólo se considera la componente temporal usaremos modelos autoregresivos que son dinámicos en el sentido que explotan la componente unidireccional del flujo del tiempo.

Si sólo se considera la componente espacial los métodos geoestadísticos son métodos descriptivos en el sentido que no hay ninguna interpretación causativa asociada.

Una metodología que modelice ambas componentes sería la adecuada, un modelo estadístico que fuera temporalmente dinámico y espacialmente descriptivo.

¿En qué contextos son útiles estos modelos?

El estudio de aglomeraciones en dominios espacio-temporales va más allá de la detección de conglomerados (clusters) en el espacio, por un lado, y en el tiempo, por otro; de hecho, ambos pueden existir por separado sin que haya interacción. La interacción supone que los casos cercanos en el espacio son, además, cercanos en el tiempo, de modo que la localización de un caso depende de la localización del caso que lo precede. Este tipo de patrones es muy útil cuando se desea investigar enfermedades transmisibles. También se pone de manifiesto la interacción cuando la causa de la enfermedad es la exposición a un agente geográficamente localizado (una sustancia tóxica, ciertos tipos de radiaciones, etc.). Así consideraremos una epidemia, desde el punto de vista temporal, una función del número de eventos en una unidad de tiempo elegida.

La epidemia se traza en un mapa con respecto al tiempo, se observa que los sucesos se agregan discretamente y son las columnas del histograma las que indican una epidemia.

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Desde el punto de vista espacial, las enfermedades epidémicas se pueden extender en el espacio y si a menudo se ignora este hecho es porque las condiciones de un estudio están frecuentemente limitadas por límites geográficos dentro de lo que es un modelo bastante homogéneo y simultáneo en el tiempo.

Inconveniente la claridad en una dimensión exige la restricción en la otra

Una de las necesidades que plantea el comportamiento de estas entidades es el perfeccionamiento de los sistemas de vigilancia, de manera que puedan identificar cuando una agregación de casos de enfermos observada en un área geográfica determinada, en un período de tiempo limitado, o teniendo en cuenta ambos escenarios a la vez, es superior a lo

esperado, y si ello representa un brote. Las técnicas estadísticas pueden ayudar a los epidemiólogos a reconocer si la agrupación de casos fuera de lo usual es estadísticamente significativa, y puede corresponder al inicio de una epidemia.

El estudio de agregaciones espacio-temporales va más allá de la detección de conglomerados en el espacio, por un lado, y en el tiempo, por otro; de hecho, ambos pueden existir por separado sin que haya interacción. La interacción supone que los casos cercanos en el espacio son, además, cercanos en el tiempo, de modo que la localización de un caso depende de la localización del caso que lo precede. Este tipo de patrones es muy útil cuando se desea investigar enfermedades transmisibles. También se pone de manifiesto la interacción cuando la causa de la enfermedad es la exposición a un agente geográficamente localizado (una sustancia tóxica, ciertos tipos de radiaciones, etc.).

La principal prueba es el Método de Knox. Epidat incluye el método de Knox para la detección de agregaciones espacio-temporales.

Otras pruebas de interacción de espacio-tiempo son los métodos propuestos por David y Barton (1966), Manto (1967), Pica y Smith (1968), Diggle (1995), Jacquez (1996) y Panadero (1996), lo que denota la actualidad de estas investigaciones.

2. El método de exploración de Kulldorf.

Este método se utiliza tanto en interacción espacial como en la espacio-temporal. La estadística de exploración usa áreas circulares o cilíndricas para identificar los excesos de casos en el espacio y en el tiempo.

Cuando se está estudiando una interacción espacial se utilizan regiones circulares hasta llegar a un máximo establecido. En el caso en el que se realice una interacción espacio-temporal, se escoge una región cilíndrica.

Una de las ventajas principales de este método es que se evita que haya una preselección.

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• El modelo de Poisson, con poblaciones de riesgo.

• El modelo de Bernouilli cuando tengamos una muestra de caso o una de control. Como ya sabemos, si se tienen pocos datos ambos modelos se comportan de manera similar.

Se aplicó, este método, en estudios de leucemia infantil en Suecia (1996) y cáncer de pecho en el noreste de EE.UU (1997).

3. Test del vecino más próximo.

Data de 1996. Sus pasos son los siguientes:

• Establecemos como hipótesis nula H0 : Los pares de puntos vecinales en el espacio es independiente de los pares de puntos vecinales en el tiempo.

• Utilizamos el estadístico J_k, que es el número de pares que son los vecinos más cercanos de k en el espacio y el tiempo

= =

=

∑∑

1 1 N N k ijk ijk i j

J

s t

donde k es el número de vecinos más cercano a considerar en el análisis,

s

_ijk es la medida vecina más cercana que vale uno si el caso j es un vecino cercano de i en el espacio y cero en cualquier otro caso.

Cuando hay interacción, J_k será grande pues los vecinos más cercanos en espacio también tenderán para ser los vecinos más cercanos en tiempo.

4. Método Knox.

Este método fue diseñado por Knox para detectar agregaciones espacio-temporales, que ocurren cuando los casos observados de una enfermedad en determinada región guardan cercanía, tanto en espacio como en tiempo. El método de Knox tiene la gran ventaja de que no es necesario conocer el tamaño ni las características de la población en estudio.

Para aplicar el método de Knox es necesario disponer de los siguientes datos:

• Las coordenadas espaciales X e Y correspondientes a cada uno de los casos de enfermedad ocurridos durante el período de estudio. Estas coordenadas se determinan en un sistema cartesiano, tomando como origen un punto arbitrario dentro de la región estudiada, y están expresadas en una unidad de longitud.

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• Las fechas de ocurrencia de los casos (dd/mm/aaaa).

• Además, debe definirse de antemano qué se entenderá por proximidad espacial y temporal. Para ello, el usuario tiene que fijar dos valores críticos e y t, los cuales constituyen, respectivamente, la distancia máxima aceptada entre dos casos para que puedan ser considerados cercanos espacialmente (distancia espacial crítica) y el tiempo máximo entre la ocurrencia de dos casos para considerarse próximos en tiempo (distancia temporal crítica). Los criterios para definir la cercanía en el espacio y en el tiempo dependerán de las características epidemiológicas de la enfermedad.

El procedimiento del test consiste en calcular las distancias espaciales y temporales entre todos los pares de casos y, a partir de los valores críticos establecidos, definir dos variables dicotómicas que expresan si un par de casos están o no próximos en el espacio y en el tiempo.

Para calcular la distancia espacial entre dos casos

(

x , y y i i

)

(

x , y se utiliza la distancia j j

)

Euclídea:

(

) (

2

)

2

ij i j i j

e = + x −x + y −y

Por su parte, la distancia temporal es la diferencia, en valor absoluto, entre las fechas de ocurrencia de los dos casos:

ij i j

t = −f f

A partir de estos valores se clasifican los n N N 1

(

)

2

−

= pares de casos en una tabla de doble entrada (2x2), según las cuatro posibilidades que existen, de la siguiente manera:

Tabla 10. Disposición de los pares según su cercanía espacial y temporal.

El criterio de proximidad en cada dimensión se define teniendo en cuenta la distancia espacial crítica e y la distancia temporal crítica t:

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• Pares cercanos en tiempo y espacio: eij≤e y tij≤t

• Pares cercanos sólo en tiempo: tij≤t y eij>e

• Pares cercanos sólo en espacio: eij≤e y tij>t

• Pares sin cercanía de ningún tipo: eij>e y tij>t

En este método, establece la hipótesis nula que no existe agregación espacio-temporal entre los pares de casos, y para contrastarla se compara el número observado de pares cercanos en espacio y tiempo con el número esperado bajo la hipótesis nula.

El valor esperado de X, dado por Barton y David (1966), es

(

) (

)

t s t s A B A C n n E X n n n A B C D + ⋅ + ⋅ = = ⎡ ⎤ ⎣ I ⎦ _{+ + +}

donde n_t es el número de pares de sucesos próximos en el tiempo (comparados con una distancia temporal especificada) y n_s el número de sucesos próximos en el espacio (comparados con una distancia espacial especificada).

Knox (1964) concluyó que X sigue aproximadamente una distribución de Poisson.

Barton y David (1966) lo demostraron para n_t y n_s pequeños con respecto a n en el sentido en que la varianza de X es aproximadamente igual a su valor esperado.

Así A sigue una distribución de Poisson con media =(A+C)(A+B)/n, y con esta hipótesis se calcula el p-valor de la prueba:

p-Valor = Pr[Poisson(λ ) ≥ A]

Nota: No se deben escoger las distancias críticas más grandes que la distancia máxima de entre los datos pues en tal caso, el número de sucesos próximos tanto espacial como temporalmente será siempre cero.

Variando las distancias críticas para identificar los valores que maximizan el test estadístico se obtiene una visión espacial y temporal del proceso de la enfermedad.

Las limitaciones del método Knox:

• Este método es parcial cuando la población geográfica cambia.

• Como el método Knox basa su criterio de significación en la interacción espacio-tiempo, no es sensible para detectar clusters en una sola de estas dimensiones. Por ejemplo, agregaciones que ocurren en un corto período de tiempo pero separadas espacialmente en áreas distantes, con seguridad no serán detectadas con este método, por lo que es aconsejable el uso de otras técnicas para la detección de agregaciones temporales

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• Mantel (1967) constató que la prueba de Knox es efectiva siempre que la proporción decrecimiento de la población no sea constante para toda la zona geográfica a analizar.

Como solución parcial Klauber y Mustacchi (1970) sugirieron que el prejuicio de cambio de población podría simplificarse dividiendo el conjunto de datos en varias partes según correspondían con distintos periodos de tiempo, dentro de las cuales la población sería más estable. Se calcula entonces un test estadístico para cada sección y se suman todos ellos para conseguir un test global. De este modo se reduce el prejuicio pero no lo elimina. Además, también disminuye el poder del test.

• La aproximación de Poisson no siempre es válida. Barton y David (1966) dan una condición para que la distribución de Poisson aproxime bien la verdadera distribución del número de pares cercanos en el espacio y en el tiempo (A); deben cumplirse que los totales A+B y A+C sean pequeños en comparación con el total n. Dichos autores también proporcionan una aproximación Gaussiana basada en la media y varianzas aproximadas de A, que se recomienda utilizar cuando no se cumpla la condición anterior.

Nota: Más en concreto, aplicando la teoría de grafos, y condicionando sobre los términos de segundo orden, obtuvieron una fórmula exacta para la varianza:

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 4 , , , ( 1)( 2) 4 1 1 ( 1)( 2)( 3) t s t s t s t s t t t s s s _t _s n n n n V ar X n n n n n n n n n n n n n n _n _n n n n n n ⋅ ⋅ ⋅ = + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ₋ ₋ ⋅⎡_⎣ − − ⎤ ⎡_{⎦ ⎣}⋅ − − ⎤_{⎦ ⎛} _⋅ _⎞ + − ⎜ ⎟ − − − ⎝ ⎠

donde n_2s es el número de pares de sucesos próximos en el espacio que tienen un suceso en común y donde n_2t se define de modo equivalente para el tiempo.

• Debe tenerse en cuenta que los resultados obtenidos con este método dependen fuertemente de los valores críticos e y t, por lo que es recomendable prestar un poco de atención a la hora de elegirlos y, en ocasiones, se aconseja probar con varios conjuntos de estos valores. Una posible solución para seleccionar las distancias críticas se basa en los percentiles, y tiene la ventaja de que así las distancias son independientes de la escala de medida.

Ejercicio: Se han detectado 13 casos de una enfermedad en cierta región durante el año 1997. Los investigadores presumen la existencia de una agregación espacio-temporal, ya que han observado la distribución de los casos en un mapa cuadriculado y en una línea temporal asociada, cuestión que les hace pensar en tal posibilidad. Para verificar tal hipótesis han definido dos valores críticos, uno espacial e=8 y otro temporal t=8 ¿hay evidencia de agregación espacio-temporal entre los casos? Las fechas de ocurrencia de los casos y sus coordenadas espaciales pueden verse en la Tabla 11;

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Resultados con Epidat 3.1

Agregaciones espacio-temporales. Método Knox Campos que contiene:

Coordenada espacial X: COORDX Coordenada espacial Y: COORDY Fecha: FECHA

Distancia espacial crítica: 8 Distancia temporal crítica: 8 Número de casos: 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 26 47 73 No 2 3 5 --- --- --- --- Total 28 50 78

Nº esperado de pares cercanos en espacio y tiempo: 26,2051

Probabilidad de observar al menos 26 pares cercanos en espacio y tiempo: 0,5420

La probabilidad de observar 26 o más pares de casos cercanos en espacio y tiempo es elevada (0,5420); por tanto, no hay evidencia de clúster espacio-temporal en los casos del ejemplo.

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5. Test de Mantel.

Data de 1967. No se necesita dar un nivel crítico como sí ha de hacerse con el método de Knox. Para este tipo de test hay diversas variantes pero una de las principales es aquella en la que se considera que la variable espacial es la distancia geográfica entre puntos. Una de las ventajas importantes de este método es que pueden utilizarse variables lógicas. Esto es especialmente importante para los estudios ecológicos pues en muchos casos se necesitan este tipo de variables (un ejemplo es cuando se quiere diferenciar el tipo de suelo con el que se trabaja). Sus pasos son los siguientes:

• Establecemos como hipótesis nula H0: Las distancias del tiempo entre los pares de puntos es independiente de las distancias espaciales entre los pares de puntos.

• El estadístico de la prueba es:

1 1 N N ij ij i j x x y = = =

∑∑

y normalizado:

(

) (

)

1 1 1 1 N N ij ij i j x y x x y y r n = = s s − − = −

∑∑

donde x e y son las medidas de las localizaciones y n es el número de elementos.

Tenemos que tener en cuenta, que en muchos casos los elementos de la matriz de distancias no son independientes. En este caso, se realiza una permutación por el método de Monte Carlo de un número aleatorio de estadísticos de Mantel.

En 2002, se utilizó para analizar la semejanza del ADN mitocondrial y las distribuciones geográficas de clases en un mismo grupo. Se encontraron patrones inesperados no predichos por hipótesis biogeográficas actuales.

También en 2002, se examinó las relaciones espacio-temporales entre diversos paisajes agrícolas en Québec (1958-1997) y se encontraron diferencias significativas entre los paisajes que asociaron a los cambios en técnicas agrícolas en ese periodo.

Bibliografía

1.- Raubertas RF. Spatial and temporal analysis of disease occurrence for detection of clustering. Biometrics. 1988;44:1121-9.

2.- CLUSTER 3.1 Software System for Epidemiologic Analysis. Instruction Manual. February 1993. U.S. Department of Health & Human Services. Public Health Service. Agency for Toxic Substances and Disease Registry. Atlanta, Georgia.

3.- Knox G. The detection of space-time interactions. Appl Stat. 1964;13:25-9.

4.- Barton DE, David RN. The random intersection of two graphs. In: David FN, editor. Research papers in Statistics. New York: Wiley; 1966. p. 445-59.

5.- Aldrich TE. Detecting space-time aggregation of rare events. Am J Epidemiol. 1984;120:464.

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6.-Vigilancia en Salud Pública. Epidat 3.1.

Anexo: Cálculos Knox.

A continuación se detallan situciones distintas, variando los datos para observar la incidencia de test. Se señalan en negrita los casos donde hay mayor información.

KNOX1.xls

CASO FECHA COORDX COORDY

1 05/01/1997 1 1 2 05/01/1997 1 4 3 06/01/1997 3 2 4 07/01/1997 3 2 5 08/01/1997 2 1 6 09/01/1997 1 1 7 09/01/1997 4 4 8 09/01/1997 2 2 9 10/01/1997 5 3 10 13/01/1997 2 1 11 14/01/1997 3 4 12 15/01/1997 4 3 13 15/01/1997 2 3 [1]

Distancia espacial crítica: 0,2 Distancia temporal crítica: 0,3 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 0 3 3 No 5 70 75 --- --- --- --- Total 5 73 78

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Distancia espacial crítica: 1 Distancia temporal crítica: 1 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 3 12 15 No 15 48 63 --- --- --- --- Total 18 60 78

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KNOX2.xls

1 05/01/1997 1 1 2 05/01/1997 1 2 3 06/01/1997 3 2 4 07/01/1997 2 2 5 08/01/1997 2 1 6 09/01/1997 1 1 7 09/01/1997 2 1 8 09/01/1997 2 2 9 10/01/1997 2 3 10 10/01/1997 2 3 11 11/01/1997 3 4 12 12/01/1997 4 3 13 12/01/1997 4 4 [1]

Distancia espacial crítica: 0,2 Distancia temporal crítica: 0,5 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 1 3 4 No 5 69 74 --- --- --- --- Total 6 72 78 Nº esperado de pares cercanos en espacio y tiempo: 0,3077

Probabilidad de observar al menos 1 par cercanos en espacio y tiempo: 1

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Distancia espacial crítica: 1 Distancia temporal crítica: 2 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 16 8 24 No 22 32 54 --- --- --- --- Total 38 40 78 Nº esperado de pares cercanos en espacio y tiempo: 11,6923

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Probabilidad de observar al menos 20 pares cercanos en espacio y tiempo: 0,0830

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KNOX3.xls

1 05/01/1997 1 1 2 05/01/1997 10 4 3 06/01/1997 3 12 4 07/01/1997 3 2 5 08/01/1997 20 1 6 09/01/1997 1 10 7 09/01/1997 14 14 8 09/01/1997 2 2 9 10/01/1997 15 3 10 10/01/1997 2 25 11 11/01/1997 3 14 12 11/01/1997 40 3 13 12/01/1997 8 30 [1]

Distancia espacial crítica: 0,2 Distancia temporal crítica: 0,4 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 0 0 0 No 6 72 78 --- --- --- --- Total 6 72 78 Nº esperado de pares cercanos en espacio y tiempo: 0,0000 Probabilidad de observar al menos 0 pares cercanos en espacio y tiempo: 1

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KNOX4.xls

1 05/01/1997 1 1 2 05/01/1997 1 1 3 06/02/1997 1 1 4 07/03/1997 1 1 5 08/04/1997 2 1 6 09/06/1997 1 1 7 09/06/1997 1 1 8 09/08/1997 2 2 9 10/10/1997 2 3 10 10/11/1997 2 1 11 11/12/1997 1 1 12 11/01/1998 1 3 13 12/01/1998 1 3 [1]

Distancia espacial crítica: 1 Distancia temporal crítica: 2 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 3 39 42 No 0 36 36 --- --- --- --- Total 3 75 78 Nº esperado de pares cercanos en espacio y tiempo: 1.6154

Probabilidad de observar al menos 3 pares cercanos en espacio y tiempo: 0.2206

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Distancia espacial crítica: 0.5 Distancia temporal crítica: 2 Número de casos : 13 TIEMPO Total Si No ESPACIO --- --- --- Si 3 20 23 No 0 55 55 --- --- --- --- Total 3 75 78 Nº esperado de pares cercanos en espacio y tiempo: 0.8846

Probabilidad de observar al menos 3 pares cercanos en espacio y tiempo: 0.0603

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