Intro a La Topologia de Espacios Metricos - Diaz Moreno

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METRIIJ S

José Manuel Dí az Moreno

Díaz Moreno, José Manuel

Introducción a la topología de los espacios métricos / José

Manuel Díaz Moreno. -- Cádiz : Universidad, Servicio de

Publicaciones, 1998. -- 200 p.

ISBN 84-7786-514-0

l. Espacios métricos. 1. Universidad de Cádiz. Servicio de

Publicaciones, ed.

11.

Título.

515.124

Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz I.S.B.N.: 84-7786-514-0

Depósito Legal: CA-741/1998 Diseño Cubierta: CREASUR

Imprime: Jiménez-Mena, s.1.

Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz

PRÓLOGO

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en 1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generali-zación de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarro-llo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes. Actualmente, todas las obras de topología general dedican algún espacio al tratamiento de los espacios métricos, bien como caso particular de los espacios topológicos, bien como una manera natural de introducirlos. Sin embargo, la teoría de los espacios métricos es el fundamento indispensa-ble para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy asequible a la intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos patológicos, muy al contrario de lo que ocurre con los espacios topológicos, raras veces al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños fenómenos. Todo ello inclina a pensar que la teoría de espacios métricos merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprenden-te vacío de obras dedicadas al desarrollo independiensorprenden-te de la topología métrica.

Este libro, que tiene su origen en los cursos que sobre la materia el autor explica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz, recoge los principales conocimientos que es necesario poseer para estar en condicio-nes de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental. El autor espera además que el lector perciba y disfrute de la belleza ma-temática que los espacios métricos por sí mismos representan.

Los prerrequisitos para asimilar el contenido de este libro son pocos; des-de un punto des-de vista formal, los únicos conocimientos previos que se presuponen son: familiaridad y destreza con las nociones elementales de la teoría de conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y las nociones básicas sobre numerabilidadj y, muy especialmente, el cono-cimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se refiere al axioma del supremo y a los resultados básicos sobre valor abso-luto y desigualdades. El capítulo Oestá dedicado a recordar las nociones que deberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el último capítulo, requiere conocimientos elementales de álgebra lineal. Con tales requisitos, la experiencia demuestra que el material del presente libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología métrica destinado a estudiantes de Matemáticas o disciplinas afines. Aunque sería deseable que el lector poseyera cierta madurez matemáti-ca lograda después de haber perdido la inocencia matemátimatemáti-ca, predo-mina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teorema-demostración, característica de la matemática contemporánea, tan sua-vemente como sea posiblej además cada concepto nuevo se acompaña de motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones con el riesgo que ello conlleva) y se ha procurado siempre destacar la significaciónygrado de trascendencia de los resultados.

Al final de cada capítulo se ofrece una numerosa colección de proble-mas, pero se ha intentando no hacer uso de ellos como parte integral del desarrollo teórico; a 10más se cita alguno en calidad de contraejemplo. Sin embargo, no se debe interpretar que puede prescindirse de ellos; por el contrario, los problemas evidencian las posibilidades de la teoría, le confieren una mayor significación y apuntan hacia ramificaciones intere-santes.

Algunos capítulos finalizan con un apéndice dedicado a los espacios de su-cesiones y de funciones. Tales espacios métricos son complejos de analizar en un primer curso sobre topología métrica pero ofrecen contraejemplos no triviales sobre algunas cuestiones poco intuitivas. Es en este sentido, y sólo en este, por lo que se han añadido al texto.

El capítulo 1 introduce casi todos los conceptos básicos de la topología métrica en la recta real. Esto ayudará al lector a situar el contenido del libro y le familiarizará con las nociones más habituales en un contexto más asequible que la teoría general.

Todo el capítulo 2 sirve para que el lector comprenda que los axiomas que definen los espacios métricos (que desde el punto de vista estructuralista constituyen el inicio abstracto de la teoría) son el resultado de un largo proceso de abstracción y de trabajo científico sobre las nociones intuitivas de distancia.

Junto a la base axiomática de los espacios métricos, los capítulos 3 y 4 tienen la tarea de introducir los elementos topológicos primigenios. En los capítulos, 5,6,7 se tratan clases especiales de espacios métricos que son de importancia particular en las aplicaciones del Análisis Matemático; se habla respectivamente de las propiedades de conexión, compacidad y completitud, tres conceptos fundamentales y que constituyen junto al estudio de las aplicaciones continuas entre espacios métricos (capítulo 8), el núcleo central. Exigen, pues, un estudio cuidadoso porque deriva en una serie de teoremas fundamentales que constituyen los resultados más notables de la teoría.

Se finaliza, en el capítulo 9 con una introducción a los espacios normados en el que se ha tratado, fundamentalmente, de resaltar las especiales, y a veces sorprendentes, relaciones entre dos estructuras, la topológica y la algebraica, que, al menos en principio, aparecen como fuertemente independientes.

Estoy en deuda con el doctor don Francisco Benítez Trujillo, quien leyó y corrigió el manuscrito, haciendo muchas sugerencias siempre valiosas y útiles.

Índice General

o

Introducción 1

0.1 Valor absoluto . . .

. .

.

. .

~ . .

.

. 1

0.2 Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo 5

0.3 Intervalos 8

0.4 Sucesiones . 10

0.5 Conjuntos numerables 14

0.6 Problemas . . . 15

1 Topología usual de R 19

1.1 Conjuntos abiertosyconjuntos cerrados 19 1.2 Interior, exterioryfrontera de un conjunto 23 1.3 Adherenciay acumulación de un conjunto 25

1.4 Conjuntos densos . . . 29

1.5 Conjuntos compactos. 30

1.6 Problemas . . . 34

2 Espacios métricos 39

2.1 Distancias . . .

...

39

2.2 Espaciosysubespacios métricos . 42

2.3 Distancias entre conjuntos 45

2.4 Problemas . . . 48

2.5 Apéndice. Espacios de funciones yespacios de sucesiones 50

3 Topología de los espacios métricos 53

3.1 Conjuntos abiertos 53

3.2 Conjuntos cerrados 58

3.3 Abiertosy cerrados en los subespacios 61

3.4 Distancias equivalentes . 64

3.5 Problemas . . . 66

4 Subconjuntos notables 71 4.1 Interior, exterior y frontera de un conjunto 71

4.2 Adherencia y acumulación de un conjunto 74

4.3 Subconjuntos densos 79

4.4 Problemas . . . 80

4.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 84

5 Conjuntos conexos 81

5.1 Conjuntos separados 87

5.2 Conjuntos conexos 89

5.3 Componentes conexas 93

5.4 Conjuntos conexos en la recta real 95

5.5 Problemas . . .

...

96

6 Conjuntos compactos 99

6.1 Conjuntos acotados y totalmente acotados . 99

6.2 Conjuntos totalmente acotados 103

6.3 Conjuntos compactos . . . 106

6.4 Propiedad de Bolzano-Weierstrass 110

6.5 Problemas . . . 112 6.6 Apéndice. Espacios de funciones yespacios de sucesiones 114

1 Sucesionesy espacios completos 111

7.1 Sucesiones . . 117

7.2 Subsucesiones 122

7.3 Sucesiones de Cauchy 124

7.4 Espacios y subespacios completos 128

7.5 Algunos espacios completos importantes 131

7.6 Conjuntos compactos en Rn ₁₃₃

7.7 Problemas . . . 137

7.8 Apéndice. Espacios de funciones yespacios de sucesiones 140

8 Aplicaciones continuas 145

8.1 Continuidad local . 145

8.2 Continuidad global 152

8.3 Continuidad uniforme 158

8.4 Aplicaciones contractivas y teorema del punto fijo. 161

8.5 Homeomorfismos e isometrías 164

9 Espacios normados 172

9.1 Espacios normados

..

172

9.2 Topología de los espacios normados . 175

9.3 Normas equivalentes

..

179

9.4 Aplicaciones lineales continuas 182

9.5 Espacios normados de dimensión finita. 185

9.6 Problemas . . .

..

191

9.7 Apéndice. Espacios de funciones yespacios de sucesiones 193

BibliogratTa

índice de términos

197

o

Introducción

0.1

Valor absoluto

Este capítulo cero debe interpretarse como un breve recordatorio de al-gunas propiedades de los números reales estrechamente relacionadas con los axiomas de cuerpoy orden que los define. Hemos tenido la necesi-dad de reprimir tentaciones de desarrollar y ahondar en una variedad de cuestiones que conducen a resultados de gran trascendencia pero que están fuera de nuestras necesidades. Aunque se espera más bien que este capítulo sirva de soporte técnico al objeto principal de nuestro estudio, el lector debería poner un especial cuidado en comprenderydominar los conceptosypropiedades aquí expuestos porque serán usadas profusamen-te a lo largo de esprofusamen-te libro.

El hecho de que -a

>

O si a

<

O es la base de un concepto, el de valor absoluto, que va a desempeñar un papel sumamente importante en este curso.

Definición 0.1.1 Para todo número a EIR definimos el valor absoluto

lal

de a como sigue:

Tenemos, por ejemplo,

lal

= {

_-aa si_si

_a::;

a~O_O

I -

31

=

3,

171

=

7,

101

=

O,

11

+.J2 -

V3/

=

1

+.J2 -

V3,

y

11

+.J2 -

v'lOl

=

v'lO -

.J2 -

1.

En general, el método más directo de atacar un problema referente a va-lores absolutos requiere la consideración por separado de distintos casos. Por ejemplo, para demostrar que

la

+ bl ::; lal + Ibl

deberían considerarse los cuatro casos posibles

(i) a~O y b~ O;

(ii) a~O y

b::; O;

(iii)

a::;O

y

b

~ O; (iv)

a::;O

y b ::;

o.

y

Aunque esta manera de tratar valores absolutos es a veces el único método disponible, con frecuencia se pueden emplear métodos más sencillos. Nó-tese, por ejemplo, que

lal

es siempre positivo excepto cuando a

=

Oy,

por tanto, es el mayor de los númerosa y -a; este hecho puede utilizarse para dar una definición alternativa,

lal

=

máx{a, -a},

que permite probar de forma muy simple algunos resultados básicos.

Proposición 0.1.2 Para todo a E IR se tiene

-lal:5

a

:5lal

DEMOSTRACIÓN

Puesto que

lal

=

máx{a, -a}se tiene que

lal

~

a

y

lal

~

-a,

o bien,

-Ial :5 a;

así que

-Ial :5

a

:5 la\.

•

Proposición 0.1.3 Para todoa, b E IR se verifica -b

:5 a :5

b si y sólo si

lal

S

b

DEMOSTRACIÓN

Se tiene que -b

:5

a

S

bsi y sólo si -b

:5

a

y a

:5

bjes decir, si y sólo si

Por tanto, -b

:5

a

:5

b si y sólo si

y b~-a.

b~máx{a,-a}

=

lal.

•

Los resultados anteriores pueden usarse ahora para demostrar ciertos hechos muy importantes relativos a valores absolutos.

Teorema 0.1.4 Para todo a, b E IR se verifica

la

+

bl Sial

+ Ibl

DEMOSTRACIÓN

Puesto que

se tiene, sumando,

-(Ial

+ lb!)

:5

a+

b

:5 lal

+ Ibl

y, por la proposición anterior,

la

+

bl

:5

lal + Ibl

-Teorema 0.1.5 Para todo a, bE lR se verifica

lal-

Ibl $ Ilal- Ibll ::;

la - bl·

DEMOSTRACiÓN

La primera desigualdad es obvia. Veamos la segunda: se tiene

lal

=

la - b

+

bl ::;

la - bl

+

Ibl;

por tanto,

lal-Ibl ::;

la - bl y, de forma análoga,

Ibl-Ial ::;

lb - al

=

la -

bl· Así que

la -

bl ~máx{lal-lbl,

-(¡al-lb!)}

=

lIal-lbll

•

Cuando identificamos lR con la recta real de la manera habitual, el valor absoluto de un número

lal

puede interpretarse como la distancia desde el origen al puntoa. Por ejemplo

I

±51

=

5 significa que los puntos 5 y -5

están a una distancia5del origen.

Más generalmente; el valor absoluto noS permite definir la distancia entre dos números reales cualesquiera, pero demoraremos esta cuestión hasta su momento adecuado.

La idea fundamental en que se basan en última instancia la mayor parte de las desigualdades que involucran a valores absolutos es, por el elemental que pueda parecer, el hecho de que a2 _{~ O para todo numero real a.}

En particular se tiene para cualesquiera números realesx e y (¿cómo se deduce esto?)

(0.1) lo que permite probar la primera, sin duda, de las desigualdades impor-tantes: ladesigualdad de Schwarz.

Teorema 0.1.6 (desigualdad de Schwarz)

Si

ai

y

bi

son números reales

para

todoi

=

1, ... ,n, entonces

DEMOSTRACiÓN

Si

ai

= O o

bi

= O para todo i = 1, ... ,

n,

la desigualdad es evidente. Supongamos, pues, que existe algúna¡

#-

Oy algúnb¡

#-

O Ypongamos

Sustituyendo ahora lail x = -p y e y = -Ib¡1 q

•

en la desigualdad (0.1), se tiene (i::: 1, ...,n) de forma que y, finalmente, n ( n ) 1/2 ( n ) 1/2

t;

laill

b./

$pq:::

~ lail

2

t;

Ib.1

2

•

La desigualdad de Schwarz es la base para demostrar otro hecho que tendrá una muy importante consecuencia en el capitulo 2 (en su momento, el lector intuirá inmediatamente donde).

Teorema 0.1.1 (desigualdad de Minkowski)

Si

ai

Y b

i

son números reales para todoi :::1, ... ,n, entonces

DEMOSTRACIÓN Puesto que n n n n

E

lai

+

b;1

2 $

E

lail

2

+

2

E

la;b;1

+

L

Ib

il

2 ;=1 ;=1 ;=1 i=1

se tiene, por la desigualdad de Schwarz,

y. por tanto,

0.2

Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo

Definición 0.2.1 Se dice que un conjunto no vacío A

e

IR. está 1. acotado superiormente si existe un número xE lR tal que

a~x para todo aEA.

Tal número x se llama una cota superior de A.

2. acotado inferiormente si existe un número x ElR tal que x ~a para todo aEA.

Tal número x se llama una cota inferior de A. 9. acotado si está acotado superior e inferiormente.

Obsérvese que six es una cota superior deA,entoncesy

>

x es también una cota superior de A¡ por tanto, un conjunto acotado superiormente tiene, de hecho, una infinidad de cotas superiores. Del mismo modo, un conjunto acotado inferiormente tiene una infinidad de cotas inferiores.

EJEMPLO 0.2.1

1. El conjunto

A=::{x EIR.:O~x

<

1}

es un conjunto acotado. Para demostrar queA está acotado basta con exhibir alguna cota superior y alguna cota inferior de A, lo cual es bastante fácil: por ejemplo, 138 es una cota superior deA,e igualmente lo son 2, 3/2, 5/4 Y 1; por otra parte, cualquier número real negativo es una cota inferiorytambién lo esO. Evidentemente, 1 es la cota superior mínima deAy O es la cota inferior máxima. 2. Sean a y b dos números reales tales que a

<

b. Los intervalos

siguientes son todos acotados, siendo a una cota inferior y b una cota superior.

(a) {xEIR. :a

<

x

<

b}

(b) {xEIR :a

<

x ~b}

(c) {xEIR :a~x

<

b}

(d) {x ElR:a~x ~b}

3. Para cadaaEIR.losintervalos siguientes son conjuntos no acotados (a) {xEIR:x<a}

(b) {xEIR :x

>

a}

(c) {xElR:x~a} (d) {xEIR.:x ~ a}

4. El conjunto IR. de números reales y los números naturales N son ejemplos de conjuntos que no están acotados superiormente.

•

Sea A e IR un conjunto no vacío y acotado y supongamos que existe una cota superior mínimax;es decir, sizes otra cota superior, entonces

x es menor o igual que z. Es evidente que si x.e y son ambos cotas superiores mínimas de A, entonces x ~ y e y ~ x (¿por qué?) y, por tanto,x

=

y,de forma que no puede haber dos cotas superiores mínimas distintas. Análogamente, si existe una cota inferior máxima de A, esta debe ser única. Son estas consideraciones las que motivan las definiciones siguientes.

Definición 0.2.2 Dado un conjunto no vacío A

e

IR,

1. Se dice que un número x E lR es el supremo de A y se escribe x

=

supA si verifica

(a) x es una cota superior de A; y

(b) si y es una cota superior de A, entonces x ~y.

2. Se dice que un número x ElRes el ínfimo de A y se escribe x

=

infA si verifica

(a) x es una cota inferior de A;y

(b) siy es una cota inferior de A, entoncesy ~x.

Nótese que si existe unx EA tal quea ~x para~odoaE A,entonces xes el supremo de A y,análogamente, si x ~ apara todo aE A, x es el ínfimo deA. En general, cuando el sup AEA se le suele llamar máximo

y se escribe máxA y, de forma análoga, cuando infA E A se le suele llamar mínimoy se escribe mínA.

EJEMPLO 0.2.2

1. Seanay bdos números reales tales quea

<

by

A={xElR:a<x<b}; se tiene entonces

inf A

=

a y sup A

=

b.

En efecto,aes, evidentemente, una cota inferior deA. Veamos que si c

>

a entonces no es cota inferior: si c

>

b

>

a, la cuestión es evidenteysi a

<

c

<

b,se tiene que x

=

(a+ c)/2verifica a

<

x

<

c y x E A, así que c no es cota inferior de A. Por tantoa= infA.

De forma análoga se demuestra que b

=

sup A. 2. Si a,b,x EIR con a

<

by

A

=

{x: a

<

x ~b}, B

=

{x: a ~ x

<

b}, C

=

{x : a ~x ~b}

se tiene

infA

=

infB

=

inf C

=

a

y

supA

=

supB

=

supC

=

b.

•

Hemos omitido hasta aquí un detalle: la cuestión de cuáles son los conjun-tos que tienen ínfimo o supremo. Consideremos el problema del supremo (las cuestiones relativas al ínfimo se resuelven con facilidad por analogía). Es evidente que siAno está acotado superiormente, entoncesAno tiene

ninguna cota superior, de modo que no puede tener supremo. Recípro-camente, se tiene la tentación de afirmar que siempre queA tiene alguna cota superior, tiene supremo. Aunque no daremos una demostración for-mal aquí, nuestra intuición es correcta y el aserto es verdadero, y por cierto muy importante; tan importante que vale la pena enunciarlo con detalle.

Teorema 0.2.3

1. SiA

e

lRes un conjunto no vacío yacotado superiormente, enton-ces tiene supremo.

2. SiA

e

lRes un conjunto no vacíoyacotado injeriormente entonces tiene ínfimo.

Aunque los conjuntos no acotados superiormente no tienen supremo y, por tanto, la notación supAcarece de sentido, a veces, por conveniencia, escribiremos supA

=

oo. De forma análoga, para el ínfimo pondremos infA

=

-oo.

Es posible que esta propiedad, cuya demostración omitimos, llame la atención del lector por su falta de originalidad, pero esta es, precisamente, una de sus virtudes. La propiedad del supremo no es, en realidad, tan inocente como parece; después de todo no se cumple para los números racionales

Q

(véase el problema 12). De hecho, la propiedad del supremo caracteriza, en cierto modo, a los números reales.

EJEMPLO 0.2.3 Dado

A

=

{l/n : n E N}

se tiene infA

=

O.

En efecto, puesto que O

<

n para todo nEN, se tiene O

<

l/n, así que O es una cota inferior deA y, por tanto, A tiene ínfimo.

Pongamosa

=

infA, con a ~ O; entonces se verifica que a ~ l/n para todon EN. En particular, también será

1

a<-- 2n

y, por tanto, 2a ~ l/n así que 2a es también una cota inferior y debe verificar 2a~ a, de dondea~O. Luego,a

=

O.

Nótese que esto significa que para todoe

>

O existe un número natural n con l/n

<

e, un hecho que será utilizado frecuentemente en este curso.

•

Al comienzo de este capítulo se ofreció el conjunto N de los números na-turales como ejemplo de conjunto no acotado. Ahora vamos a demostrar que N es no acotado. El lector puede quedar sorprendido de encontrarse con un teorema tan evidente. Si esto es así, quizá la causa sea el que se haya dejado influir demasiado fuertemente por la imagen geométrica de lR. Sin embargo, un raciocinio basado sobre una imagen geométrica no constituye una demostración. La propiedad de que N no es acotado recibe el nombre depropiedad arquimediana de los números reales porque se deduce de un axioma de la geometría que se suele atribuir (no con absoluta justicia) a Arquímides.

0.3

Intervalos

Teorema 0.2.4 Nno está acotado superiormente.

DEMOSTRACIÓN

Supongamos que N estuviese acotado superiormente. Puesto que N

:f

0,

existiría una cota superior mínimacrparaN. Entonces

cr~n para todo nEN. En consecuencia,

cr~n

+

1 para todo nE N,

puesto quen

+

1está en Nsin está en N. Pero esto significa que cr - 1~n para todo nE N,

así que cr - 1es también una cota superior deN,en contradicción con el hecho de quecres la cota superior mínima.

•

El que lR sea arquimediano es la base de un resultado extraordinariamente poderoso que enunciamos aquí porque haremos uso de ella frecuentemen-te.

Teorema 0.2.5 Si X,lI son números reales tales que x

<

y, entonces existe un número racionalr tal que x

<

r

<

y 11 un número irracional p tal que x

<

p

<

Y.

Entre otras consecuencias, el resultado anterior significa que en cada in-tervalo abierto (a,b)hay, al menos, un número racional. Esta propiedad es tan importante, que recibe un nombre específico: decimos que

10

es denso enlR,un concepto que proviene de la topología y que será precisado en su momento.

Hay nueve tipos de subconjuntos de lR llamados interoalos que tienen un papel relevante en el análisis de las funciones reales y conviene, por tanto, familiarizarse con ellos.

Los cuatro primeros son conjuntos acotados y pueden visualizarse como segmentos de la recta real (figura 0.1 (a».

Sean ayb dos números reales tales que a

<

b. Se llama interoalo abierto de extremosaybYse designa por(a,b)al conjunto de los números reales estrictamente comprendidos entre ay b:

(a,b)

=

{xElR: a

<

x

<

b}

Los interoalos semiabiertos (o semicerrados) de extremos a y b se definen de la forma

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b Y se designa por [a, b] al conjunto de números reales

[a,b] = {x E IR.:a::; x::; b}.

Además, para cada a E IR. hay cuatro semirrectas (-oo,a) = {x E IR.: x

<

a}

(a,oo)={xEIR.:x>a}

(-00, a] = {x E IR.:x::; a} [a,(0)= {xE IR. :x ~a}

representadas gráficamente en la figura 0.1 (b).

Finalmente, (figura 0.1 (c)) IR. en sí mismo puede ser entendido como el intervalo (extendido indefinidamente en ambas direcciones)

(-00,00)= IR Fi ura 0.1: Intervalos (a) o

_•

(a,b]

•

El [a,b) o El (a, b)

•

•

[a,b] I I a b (b)

•

El (-00,a)

•

_•

(-oo,a] (a,(0) o [a,(0)

_•

..

I a (c) • I O

Todos los intervalos se caracterizan por una propiedad simple llamada propiedad de convexidad.

Teorema 0.3.1 Sea A

e

IR. un conjunto no vacío. Las siguientes afir-maciones son equivalentes:

1. A es un intervalo.

0.4

Sucesiones

DEMOSTRACIÓN

Que (1) implica (2) es evidente. Para ver el recíproco ponemos a

==

inf A y b

==

sup A

(Nótese que permitimos que a y b puedan ser, respectivamente, -00 o +00siAno está acotado inferior o superiormente).

Entonces, para cada zE(a,b),existen x,y EA tal que x

<

z

<

y (¿por qué?) y, como por hipótesis, [x,y]

e

Ase tiene (a,b)

e

A. Puesto que a

==

infA y b

==

supA, A es uno de los intervalos con extremos ayb.

•

El concepto de sucesión es tan natural que incluso aparentemente se puede prescindir de una definición formal. No es dificil, sin embargo, formular una definición rigurosa; lo importante acerca de una sucesión es que para todo número natural n existe un número real an y es precisamente esta idea lo que se formaliza en la definición siguiente.

Definición 0.4.1 Una sucesión de números reales es una aplicación

a:N-+lR

Desde el punto de vista de la definici6n, los valores particulares de la sucesión a deberían designarse mediante

a(I), a(2), a(3), pero la notación con subíndices

es la que se usa casi siempre; la sucesión misma se suele designar como (On)'

Cuando el rango de una sucesi6n o es un conjunto acotado superiormente (inferiormente), es decir, existe un número M tal que an ~ M (an ~ M) para todo n, decimos que a es una sucesión acotada superiormente (interiormente).

Una sucesi6n acotada inferiormente, pero no superiormente es la sucesión (on)definida por

mientras que las sucesiones(b_{n )}y (en)definidas por

1

en

==

-n son acotadas superior e inferiormente.

Una representaci6n muy conveniente de una sucesi6n se obtiene marcando los puntos a},02, 03, .. ' sobre una recta como en la figura 0.2.

Este tipo de gráfica indicahacia donde va la sucesi6n. La sucesi6n (an )

o

Fi ra 0.2: Sucesiones al

o

o

C4 ••

•

C2 CI

converge hacia O. De las tres frases resaltadas, la última constituye el concepto crucial asociado con las sucesiones, y será definido con precisión (la definición se ilustra en la figura 0.3).

Definici6n 0.4.2 Una sucesión (an ) convergehacia 1,

lím an

=

1,

n->oo

si para todo~

>

O existe un número natural no tal que

la

n

-11

<

~ siempre que n

>

no

Además de la terminología introducida en esta definición,' decimos a veces que la sucesión(an )tiende hacia 1o que tiene el límite l. Se dice que una

sucesión(an ) converge si converge hacia 1 para algún l.

Para demostrar que la sucesión (cn ) converge hacia O, basta observar lo

siguiente. Si~

>

O, existe un número naturalno tal que 1

-

<~. no Entonces, sin

>

no tenemos 1 1

<

-n no y, por tanto,

ICn -

01

<~.

Sin embargo, es generalmente muy difícil determinar el límite de una sucesión, (o probar que cierto número real lo es) partiendo únicamente

Figura 0.3: Límite de una sucesión

1;

l-é

ano+4 ano+1 • .. l ' "... ... • '1

de la definición; por eso es importante, disponer de algunos criterios que garanticen la convergencia de sucesiones. El primer criterio, muy fácil de demostrar, pero que constituye la base para todos los demás resultados, se expresa en términos de crecimiento.

Diremos que una sucesión(a n )es creciente cuandoan+!

>

anpara todo n; y no decreciente sian+I ~anpara todon; existen definiciones análogas para sucesiones decrecientes y no crecientes.

Teorema 0.4.3 Si (an ) es una sucesión no decreciente y acotada

supe-riormente, entonces (an ) converge.

DEMOSTRACIÓN

Puesto que(an )es acotada superiormente, pongamos

a = sup{an :nEN}; y veamos que límn--+_ooan

=

a.

En efecto, puesto que a es el supremo del conjunto{an :nEN}, sié

>

O, existe algúnano que satisface

Entonces, sin

>

no tenemos quean ~ano'de modo que a - an ~a - ano

<

é.

Esto demuestra que límn--+oo = a.

•

Un enunciado análogo se tiene si(an ) es no creciente y acotada

inferior-mente.

La hipótesis de que (an )está acotada superiormente es claramente

esen-cial en el teorema anterior; si (an ) no está acotada superiormente,

en-tonces (tanto si es no decreciente como si no lo es) diverge. Con esta consideración podría parecer que no debería existir dificultad alguna en decidir si una sucesión no decreciente está o no acotada superiormente, y en consecuencia si converge o no. De momento puede el lector inten-tar decidir si la siguiente (evidentemente creciente) sucesión está o no acotada superiormente:

1 1 1 1 1

1

1,1+ 2,1 + 2 + 3,1 + 2 + 3 +

4""

Aunque el teorema 0.4.3 trata solamente un caso muy particular de su-cesiones, resulta más útil de lo que a primera vista pueda parecer, puesto que es siempre posible extraer de cualquier sucesión (an ) otra sucesión

que es, o bien no creciente, o bien no decreciente. Hablando sin precisión, definamos una subsucesión de una sucesión(an )como una sucesión de la

forma

Entonces toda sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decre-ciente o bien no credecre-ciente (problema 22)

Proposición 0.4.4 Cualquier sucesión (an ) contiene una subsucesión

que es obien no decreciente o bien no creciente.

Este hecho, de por sí ya relevante, es además el núcleo de un resultado aparentemente sorprendente, pero de inmediata comprobación.

Teorema 0.4.5 (de Bolzano- Weierstrass).

Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

Hasta aquí es donde podemos llegar sin suposiciones adicionales: es fácil construir sucesiones que tengan muchas, incluso infinitas, subsucesiones que converjan hacia números distintos (véase el problema 21). Existe otra suposición razonable que, al añadirla, ofrece una condición necesaria y suficiente para la convergencia de cualquier sucesión; una condición que, además de simplificar muchas demostraciones (sólo por esta razón ya vale la pena que la establezcamos) desempeña un papel fundamental en el análisis.

Si una sucesión converge, de modo que sus términos eventualmente se aproximan todos a un mismo número, entonces la diferencia entre dos cualesquiera de tales términos debe ser muy pequeña. Para ser precisos, silímn ... oo= lpara algún valorl,entonces, por definición, para cualquier

f

>

O, existeno tal que

la

n

-11

<

f/2paran

>

no; ahora bien, si es a la

vezn

>

no y m

>

no, entonces

Esta desigualdad final,

la

n -

ami

<

f, que elimina la mención al límite

1, puede utilizarse para formular una condición (la condición de Cauchy) que es claramente necesaria para la convergencia de una sucesión.

Definición 0.4.6 Una sucesión(an ) es una sucesión de Cauchy si para

todof

>

Oexiste un número natural no tal que

lan - am

I

<

f, siempre que n,m

>

no

La elegancia de la condición de Cauchy está en que es también suficiente para asegurar la convergencia de una sucesión. Después de todo nuestro trabajo preliminar, queda poco por hacer para terminar la demostración. Hemos visto ya que(an ) es una sucesión de Cauchy si converge. La idea

fundamental para ver el recíproco consiste en probar que toda sucesión de Cauchy está acotada y que, por tanto, posee una subsucesión convergente para, finalmente, demostrar que si una sucesión de Cauchy(an )tiene una

subsucesión convergente entonces(an ) también converge (problema 23).

Teorema 0.4.7 Una sucesión(an ) converge si y sólo si es una sucesión

0.5

Conjuntos numerables

La noción de conjunto numerable es, es realidad, muy natural. Se trata deextender a infinito la posibilidad de contar. La definición matemática adecuada es la siguiente.

Definición 0.5.1 Un conjunto A es numerable si existe una aplicación sobreyectiva

Inmediatamente se aprecia que la definición anterior lleva implícita una interpretación ligeramente diferente pero extremadamente importante: el conjunto A es numerable si es posible disponer sus elementos en una sucesión

El primer ejemplo inmediato de conjunto numerable es lógicamente N; evidentemente también es numerable cualquier conjunto finito o el con-junto de los números pares. Algo más sorprendente es comprobar que Z es también numerable, pero ver es creer

O, -1, 1, -2,2, ...

Los resultados siguientes muestran que hay muchos más conjuntos nume-rables de lo que se pueda suponer.

Teorema 0.5.2

1. Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable. 2. La unión de dos conjuntos numerables es numerable.

La demostración de estas propiedades es sencilla y se deja al lector. (La primera es inmediata, para la segunda aplíquese el mismo artificio que dio resultado para Z).

El conjunto de los números racionales positivos es también numerable; para demostrarlo, basta utilizar la siguiente descripción

1 --t ₂1 ₃1 --t ¡1 1₅

¿

_/'

¿

2 2_'2 ~₃ ¡2 ₅2

.¡. /'

¿

3 3₂

ª-

₃ ¡3 ₅3

Naturalmente, de forma similar, el conjunto de los números racionales negativos también es numerable y, por tanto, deducir que

Q

es numerable (esto es sí que es verdaderamente sorprendente) es ahora una trivialidad. Puesto que existen tantos conjuntos numerables, es importante observar que, por ejemplo, el conjunto de los números reales comprendidos entre O y 1 no es numerable (problema 25). En otras palabras, no es posible disponer todos estos números reales según una sucesión

0.6

Problemas

1. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes utili-zando como mínimo una vez menos el signo de valor absoluto.

(a)

1-12

+

-13 - v'5

+

v'71·

(b)

1(la

+

bl-

lal -lbDI·

(c) 1(la

+ bl + lel -la +

b

+ eDI·

(d)

Ix

2

-

2xy

+

y

2

1.

(e)

1(1-12

+

-131 - 1v'5 - v'7DI·

2. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes pres-cindiendo de los signos de valor absoluto, tratando por separado distintos casos cuando sea necesario.

(a)

la +

bl -

Ibl·

(b)

1(Ixl -

1)\.

(c)

Ixl - Ix

2

1·

(d) a -

I(a - laDI·

3. Encontrar todos los números x para los que se cumple (a)

Ix - 31

=

8. (b)

Ix - 31

<

8. (c)

Ix

+41

<

2. (d)

Ix - 11 + Ix -

21

>

1. (e)

Ix -

11

+

Ix

+

11

<

2. (f)

Ix - 11 + Ix + 11

<

1. (g)

Ix - 111x

+ 11

=

O. (h)

Ix - 111x +

21

= 3.

4. (a) Dar una nueva demostración

la

+

bl :::; lal

+

Ibl

mediante un análisis exhaustivo de todos los casos posibles. ¿Cuándo se verifica

la

+ bl

=

lal

+ Ibl

y cuándo

la

+ bl

<

lal

+

Ibl?·

(b) Dése otra demostración más corta partiendo del hecho de que

..¡;;2

=

lal

(¡ojo! noa).

5. Demostrar lo siguiente:

(a) Ixyl

=

Ixllyl·

(b)

I

~

I

=

I~I'

six

#

o.

(c)

::1

=

I~I,

siy

#

O.

(d)

Ix - yl :::; Ixl + Iyl.

(Dése un demostración muy corta). (e)

Ix

+

y

+ zl :::; Ixl + Iyl + Izl·

(Indíquese cuándo se cumple la

6. Demostrar que áx { } x

+

y

+

Iy -

xl

m x,y

=

2 x +y -Iy - xl mín{x,y}= 2 7. Demostrar que si E IX -

xol

<

2"

y Iy -

Yol

< -

E 2 entonces

I(x

+

y) - (xo

+

Yo)1

<

E,

I(x - y) - (xo - Yo)1

<

E.

El enunciado de este problema encierra algunos números extraños, pero su mensaje básico es muy sencillo: si x está suficientemente cerca de Xo e y está suficientemente cerca de Yo, entonces x+y está cerca de Xo

+

Yo,Yx - y está cerca de Xo - Yo.

8. Hallar la cota superior mínima y la cota inferior máxima (si existen) de los siguientes conjuntos. Decidir también qué conjuntos tienen elemento máximo o elemento mínimo.

(a)

{~:

nEN} (b)

{~:

nE Z,n ¡éO} (c) {x: x

=

O o x

=

l/n,nEN} (d) {x EQ :O~x ~ vÍ2} (e) {x: x2

+

x

+

1~O} (f) {x: x2

+

x - 1

<

O} (g) {x: x

<

O y x2

₊

_{x - 1}

_<

_O} (h)

{~+(-l)n:nEN}

9. Sea A e IR un conjunto no vacío. Probar que A es acotado siy s6lo si existe un número real positivoK tal que

Ixl

~K para todo xE A.

10. Supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos de números reales tales que x ~y para todosx E A, Y E B.

(a) Demostrar que supA~ y para todo y E B. (b) Demostrar que supA ~infB.

11. SeanA

e

Bconjuntos no vacíos y acotados superior e inferiormente de números reales. Probar que

inf(B) ~inf(A) ~ sup(A)~sup(B)

12. Probar que en el conjunto

Q

de los números racionales, el conjunto A={aEQ:a>O,a2 <2}

13. Use la propiedad arquimediana para demostrar de otra forma que para todoe

>

O existe un número natural n con l/n

<

e.

14. SeaA

e

IR no vacío y acotado superiormente, y sea e un número real. Demostrar que e

:S

sup(A),si y sólo si para cadae

>

O real, existexEA tal que e - e

<

x.

15. Probar que si Aes acotado y para todox,yEA, el intervalo[x,y]

está contenido en A,entonces

(a,b)

e

A

e

[a,b] con a

=

infA y b

=

supA.

Este problema puede ayudar a comprender la demostración del teo-rema 0.3.1.

16. Probar que un conjuntoAes acotado si y sólo si existe un intervalo (a,b)que lo contiene.

17. (a) Demostrar que si

1

yJson intervalos en IR tales queJnJ:f.

0,

entoncesJUJ es un intervalo.

(b) Si1YJ son intervalos tales queJUJes un intervalo, entonces

J

n

J:f.

0.

¿Verdadero o falso? (explíquese).

¿y si son intervalos abiertos? ¿Y si son intervalos cerrados? 18. Hallar 00 (a)

n

[n,+oo)

n=l 00 (b) n<-I/n,l/n) n=l

19. ¿Verdadero o falso? (explíquese en cada caso)

00 (a)

U

[O, 1 - l/n]= [0,1] n=l 00 (b)

n

(a - l/n, b

+

l/n)

=

[a, b] n=l

20. SeaS una familia de intervalos tales que para cada par de intervalos

J,J deS, existe K ES tal queJUJ

e

K. Probar que la unión de todos los intervalos deS, es un intervalo.

21. (a) Hallar todas las sucesiones convergentes de la sucesión 1, -1, 1, -1, 1, -1, .. ,

(Existen infinidad de ellas, pero s610 hay dos limites que estas subsucesiones pueden tener).

(b) Hallar todas las subsucesiones convergentes de la sucesión 1, 2, 1, 2,-3, 1, 2, 3, 4, 1,2,3,4,5, ... (c) Considérese la sucesión

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1

2' 3' 3' 4' 4' 4' 5' 5' 5' 5' 6' ...

¿Para qué números a existe una subsucesi6n que converge

ha-. ? Claa ..

22. Probar que cualquier sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decreciente o bien no creciente.

(Es muy posible confundirse al tratar de demostrar esta afirmación, si bien la demostración es muy corta cuando se acierta con la idea adecuada).

23. (a) Demostrar que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces también converge la sucesión original. (b) Demostrar que cualquier subsucesión de una sucesión

conver-gente es converconver-gente.

24. Probar que siAl, A

_z,

A3 , •••son todos numerables, entonces

es también numerable.

(Utilizar elmismo artificio que paraQ)

25. Probar que el conjunto de los números reales comprendidos entre O

y 1 no es numerable.

1

Topología usual de R

En este capítulo construiremos sobre IR una estructura topológica que, fundamentalmente, se basa en la idea de proximidad; una idea que sub-yace en los conceptos habituales del análisis. Las propiedades topológicas nacen, al menos en principio, para dar una forma precisa a tales concep-tos.

1.1

Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

Desde el punto de vista del análisis, los subconjuntos más importantes de IR son, sin duda, los intervalos. Sin embargo, entre ellos hay ciertas diferencias, algunas importantes y otras no (dependiendo, en parte, del contexto).

Por ejemplo, la diferencia entre (O, 1) Y (0,5) es únicamente de escala; las . desigualdades que los definen son las mismas.

Por otra parte, los intervalos (0,1) Y (O,+00) son de tipos diferentes: uno está acotado y el otro no; incluso así, aún presentan ciertas semejanzas -de hecho, es posibletrons/ormar el primero en el segundo-o

En contraste, los intervalos l

=

(0,1) YJ

=

[0,1] tienen propiedades muy diferentes; el punto crucial es el hecho de que los puntos extremos

°

y 1 pueden ser aproximados tanto como se quiero mediante puntos de

l, pero ellos mismos no son puntos del. Más precisamente, a pesar de que

°

y 1 no son puntos del,son límite de sucesiones convergentes cuyos términos sí están enl. Por el contrario, si una sucesión convergente tiene sus términos en J entonces su límite también debe estar en J.

Esta importante propiedad caracteriza no solamente a los intervalos sino también a otra clase mucho más amplia de subconjuntos de R Pero precisar esta idea necesita de ciertas definiciones previas.

Definición 1.1.1 Dado un número real x, se llama entorno de x de rodio

r

>

°

al conjunto

E(x; r)

=

{y :Ix -

yl

<

r}

=

(x - r, x

+

r)

En lo que sigue, cuando no sea necesario especificar el radio del entorno, designaremos cualquier entorno dex mediante E(x) y llamaremos entorno reducido del punto x al conjunto

E*(x) = E(x) \ {x}.

Así pues, un entorno reducido de x es un entorno de x del que se ha suprimido el punto x.

Es evidente que la intersección de un número finito de entornos de x es también un entorno dex: la intersección

es el entornoE(x;r) donde r :::: mín {r¡, r2,"" rn };es importante

obser-var, sin embargo, que esto no ocurre, en general, para un número infinito de entornos (¿puede el lector encontrar un contraejemplo?).

También está claro que si x eyson dos números reales distintos, existen un entorno de x y otro de y disjuntos: basta considerar los entornos E(x;r) y E(y;r)con r::::Ix - yl/2.

Sea ahorax un punto cualquiera del intervalo (a,b);si tomamos r :::: mín{Ix -

al,

Ix - bl},

entonces se tiene

E(x,r):::: (x - r,x

+

r)

e

(a,b);

en otras palabras, no sólamentex está en (a,b),sino que -informalmente-todos los puntos cercanos a x están en (a, b); nótese que esto no pasa, por ejemplo, para algunos puntos de [a, b]. Precisemos esta idea.

Definición 1.1.2 Un conjunto A

e

lR es un conjunto abierto si para cada x EA existeun entornoE(x) contenido en A.

EJEMPLO 1.1.1

1. Los intervalos(a, b), (-00, a)y(a,00) son evidentemente conjuntos abiertos. En particular, todo entorno es un conjunto abierto. 2. Un intervalo cerrado [a, b] no es un conjunto abierto pues, por

ejemplo, todo entorno deacontiene puntos que no están en [a,b].

(¿cuáles?).

3. Ningún conjunto no vacío finito o numerable es abierto, pues todo abierto contiene intervalos abiertos que son infinitos no numerables. En particular, Z,

Q

y cualquier sucesión(an )de números reales no

son conjuntos abiertos.

•

En el resultado siguiente se expresan las primeras propiedades de los conjuntos abiertos.

Teorema 1.1.3 Se verifican las siguientes propiedades: 1.

0

YlR son abiertos.

2. Launión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

3. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

DEMOSTRACiÓN

Si x E IR, cualquier entornoE(x) está contenido en lR; por tanto IR es abierto. Por otra parte,

0

es, trivialmente, abierto (¿para qué punto no existe un entorno contenido en él?). Veamos 2y 3.

SeaAla unión de una colección arbitraria{A;}¡EI de conjuntos abiertos

y seax EA. Existirá. un i tal quex E A¡ YcomoA¡ es abierto, existirá. un entornoE(x} contenido enA¡. EntoncesE(x}

e

A yAes abierto. SeaB la intersección de una colección finita BI ,B2 , • ••Bn de conjuntos

abiertos y sea x E B. Entonces x E B¡ parai

=

1,2, ... ,n y como cadaBi es abierto existirán n entornosE¡(x}

e

B i . La intersección de los Ei(X} es un entorno de x contenido enB y B es, pues, un conjunto abierto.

•

Sin embargo, la intersección de una colección no finita de conjuntos abier-tos puede no ser un conjunto abierto como prueba el siguiente ejemplo. EJEMPLO 1.1.2

1. Para cadanENseaAn

=

(-I/n,l/n). La intersección de todos los abiertosAn es el conjunto {O} que no es abierto pues todo entorno

deO contiene puntos distintos de O.

2. Más generalmente, sea An = (a-l/n, b+l/n). Six E [a, b] entonces

x E An para todo n, y x pertenece a la intersección de todos los An ;por otra parte, six

It

[a,b],existen suficientemente grande tal

que x EAn y, por tanto,x no pertenece a la intersección de todos

losAn .

Resumiendo

00

n

An

=

[a,b]

n=!

que no es un conjunto abierto.

•

A la familia

T

formada por todos los conjuntos abiertos de IR le llama-remostopología usual de Jll Por simplicidad, en lo que resta de capítulo, cuando hablemos de IR lo supondremos siempre dotado de la topología

T.

Como cabría esperar, la relación entre los conjuntos abiertos y los inter-valos abiertos es muy estrecha. El resultado siguiente, de importantes consecuencias, pone de manifiesto la estructura interna de los conjuntos abiertos. su estructura intrínseca.

Teorema 1.1.4 Un conjunto no vacío A e IR es abierto si y sólo si es unión de una colección numerable de intervalos abiertos disjuntos.

DEMOSTRACIÓN

ComoAes abierto, para cadaxEAexiste un intervalo(y,z)que contiene ax y está contenido enA. Sean

a= inf{yEIR:(y,x)

e

A} y b

=

sup{zEIR:(x,z)

e

A}

(obsérvese que permitimos que muy bien pudiera sera

=

-00 o b

=

00). Entoncesa

<

x

<

b y, por tanto, 1., = (a,b) es un intervalo abierto que contiene a x.

Veamos que además, Iz

e

A. En efecto, sitEIz ,o bien es a

<

t

<

x,en cuyo caso existe un y

<

ttal que (y, x)

e

A,o es x

<

t

<

b,en cuyo caso existe unz

>

t tal que(x, z)

e

A,luego en todo casotEA.

Por otra parte,a

rt

A pues, en caso contrario, por ser A abierto, existiría r

>

Otal que el intervalo(a-r, a)estaría contenido enA y esto contradice la definición dea. Análogamente se prueba queb

rt

A.

Consideramos la colección de intervalos abiertos {Ix : x E A}. Como cadax EAestá contenido enIx Y todo Ix está contenido enA,se tiene

y,por tantoAes uni6n de intervalos abiertos.

Por otra parte, si dos de los intervalos (a,b) Y(e,d) de esta colección tienen un punto común, deben ser e

<

b y a

<

d. Como e no está enA, tampoco está en(a,b) Y ese:$ ay comoa no está enAtampoco está en(e, d) y es a :$ e. Por tanto a

=

c. De manera análoga se prueba que b

=

d. Por consiguiente, dos intervalos distintos de la colecci6n {Iz }son disjuntos y Aes uni6n de intervalos disjuntos.

Finalmente, como cada uno de los intervalos abiertos Ix contiene un número raciona, puede definirse una aplicación biyectiva entre la colec-ción{Iz}y un subconjunto de números racionales que, naturalmente, es numerable, luego la colección{/z} es numerable.

El recíproco es evidente, puesto que los intervalos abiertos son conjuntos abiertos y la unión de abiertos es un conjunto abierto.

•

Consideremos ahora otros subconjuntos de IR que, en cierto sentido, po-seen propiedades complementarias de los abiertos.

Definición 1.1.5 Un conjunto

e

e

IR es un conjunto cerrado si su com-plementarioIR \

e

es abierto.

Los conjuntos cerrados tienen, en realidad, una caracterización muy suge-rente, que aún no estamos en condiciones de demostrar, pero que conviene tenerla en mente -ya hemos aludido a ella previamente-. En IR, un con-junto

e

es cerrado si y sólo si cualquier sucesión convergente de elementos de

e

tiene su límite enC.

EJEMPLO1.1.3

1. Todo intervalo cerrado[a, b]es un conjunto cerrado pues su comple-mentario es abierto por ser la unión de los dos conjuntos abiertos

(-00,a) y (b,+oo).

2. Todo intervalo de la forma[a,(0) es cerrado pues su complementario es el conjunto abierto(-00, a); análogamente, (-00,

al

es cerrado pues su complementario es el conjunto abierto(a,(0).

3. {a} es cerrado, pues su complementario es(-00,a)U(a,(0) que es un conjunto abierto por ser uni6n de abiertos.

Antes de alargar la lista de ejemplos, veamos las propiedades básicas que resultan inmediatamente -la demostración se deja al lector- de las leyes de De Margan y las propiedades de los abiertos.

Teorema 1.1.6 Se verifican las propiedades siguientes: 1.

0

11 lR son cerrados.

2. La uni6n de cualquier colecci6n finita de conjuntos cerrados es un cerrado.

9. La intersecci6n de cualquier colecci6n de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

En este punto parecen convenientes algunas palabras de precaución: en nuestro quehacer diario, "cerrado" significa generalmente ''no abierto"; sin embargo esto no es así en III Por una parte hay subconjuntos que no son abiertosni cerrados, por ejemplo el intervalo (0,1), Ypor otra hay conjuntos, como

0

y IR, que son abiertosy cerrados a la vez.

EJEMPLO 1.1.4

1. Si

A

=

{Xl,X2" .. 'Xn }

es un conjunto no vacío finito, entonces podemos poner

n A

=

U{x;}

i=1

y, puesto que cada{Xi} es cerrado, se tiene que A es un conjunto cerrado.

2. Sin embargo, la unión arbitraria de conjuntos cerrados no es, nece-sariamente, un conjunto cerrado; por ejemplo, el conjunto

00

U

[O, 1 - l/n)

=

[0,1) n=1

no es un conjunto cerrado.

•

1.2

Interior, exterior

y

frontera de un conjunto

Desde un punto de vista conjuntista, cualquier conjuntoA

e

lR clasifica los puntos de lR en dos clases: aquellos que pertenecen a Ay los que no. Sin embargo, desde una perspectiva topológica es importante hacer una distinción más fina.

Así, dado un puntoX ElR podemos afirmar que ocurre una y sólo una de las siguientes situaciones:

1. Existe algún entornoE(x)contenido enA.

2. Existe algún entornoE(x) contenido enlR \ A.

3. Todo entornoE(x) tiene puntos de Ay de su complementario. Precisemos esta idea.

Definición1.2.1 Un punto x E lR es un punto interior a un conjunto

A

e

IR si existe un entorno E(x) contenido en A. El conjunto de los puntos interiores aA se llama interior deA y se designa por int(A). Un punto x E IR es un punto exterior a un conjuntoA

e

IR si existe un entorno E(x) contenido en el complementario de A. El conjunto delos puntos exteriores aA se llama exterior deA "se designa porext(A).

Un punto x E IR es un punto frontera de un conjunto A

e

IR si todo entorno de x contiene puntos deA " desu complementario. El conjunto de los puntos frontero deAse llama frontero deA "se designa por fr(A).

Informalmente: six es un punto interior a A, no solamentexestá en A sino que ademáshayuna pequeña zona alrededor de x que permanece en Aj estoes: todos los puntos suficientemente cercanos a x están en Ayalgo análogo ocurre six es un punto exterior. Sin embargo, un punto frontera no puedemoverse porque puede perder inmediatamente su condición. Consecuencia inmediata de la definiciónesque, para cualquierA

e

Ji,

int(A)

e

A

y

ext(A)

e

IR \A.

Además, es evidente que los conjuntos int(A),ext(A)yír(A) son disjuntos dos a dosy que

int(A)Uext(A)Ufr(A) =:IR. EJEMPLO 1.2.1

1. SiA es un intervalo acotado de extremos ayb, entonces

int(A)

=

(a,b), ext(A)

=

(-oo,a)U(b+oo) y fr(A)

=

{a,b}.

2. SeaM

=

(0,1) U {2}; entonces: int(M) =:(0,1), y fr(M)

=

{O, 1, 2} 24 ext(M) =:(-00, O) U (1,2) U (2, +00).

3. Sea el subconjunto deIR, A

=

{l/n : n EN}; entonces se tiene que int(A)

=

0,

ext(A)= IR \ (AU {O}) Y fr(A) = AU {O}.

•

El resultado siguiente precisa el carácter topológico de estos conjuntos.

Teorema 1.2.2 Paro todo A

e

IR, se tiene que int(A) "ext(A) son conjuntos abiertos"fr(A) es cerredo.

DEMOSTRACIÓN

Desde luego, int(A) es abierto si es vacío. En otro caso, por definición de interior, para cadax E int(A) existe un entorno E(x) contenido en A. Como E(x) esabierto, para cada y E E(x) existe un entorno E(y) contenido en E(x)

y,

por tanto, E(y)

e

A. Esto prueba que todos los

puntos de E(x) son interiores a A, es decir que E(x)

e

int(A). Así, int(A) es abierto.

Comoext(A)

=

int(IR - A),tambiénext(A) es un conjunto abierto. Finalmente, como

fr(A)

=

IR - (int(A) Uext(A»

y el conjuntoint(A)Uext(A) es abierto por ser unión de abiertos,fr(A) es un conjunto cerrado.

•

Tenemos, pues, que int(A) es un conjunto abierto; pero, aún más, como pone de manifiesto el resultado siguiente cualquier conjunto Aes abierto si y sólo si coincide con su interior.

Teorema 1.2.3 Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores.

DEMOSTRACIÓN

Si Aes abierto y x E A, existe un entornoE(x) contenido en A, luego x E int(A). Recíprocamente si todos los puntos de A son interiores, se tiene que int(A)

=

Ay, por tanto, Aes abierto.

•

1.3

Adherencia

y

acumulación de un conjunto

Cuando un punto x es exterior a A, existe un entorno E(x) que -en términos informales-separa a x del conjunto A. Esto no ocurre con los puntos frontera ni, desde luego, con los puntos interiores. Precisemos esta idea.

Definición 1.3.1 Un punto xEIR esun punto adherente a un conjunto A

e

IR cuando todo entornoE(x) contiene puntos de A.

El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de A y se designa por

A.

Puesto que todo entornoE(x) contiene a x, todo puntox E A es ad-herente a A, así que, en general, A

e

A,

aunque, como se verá, no necesariamente esA

=

A.

EJEMPLO 1.3.1

Sea A el intervalo abierto (a, b). La adherencia de A es el intervalo cerrado [a,b). En efecto: los puntos a y bson adherentes al intervalo (a, b) puesto que todo entornoE(a) y E(b) contiene puntos de Aj por tanto, la adherencia deAincluye como mínimo al intervalo cerrado[a,b).

Por otra parte, six

f/.

[a, b),uno de los entornosE(x,

Ix -

al), E(x,

Ix -

bl) no contiene puntos deA,así que x no es punto de adherencia de A.

Obsérvese que six E

A

todo entorno E(x) contiene puntos de A, así que

xno pertenece aext(A); es decir: xEint(A)Ufr(A). Recíprocamente, todo punto interior aAo frontera deAes adherente, así que, en realidad,

A

=

int(A)Ufr(A).

Este hecho nos permite mostrar cómo los puntos adherentes pueden de-terminar si un conjunto es cerrado o no.

Teorema 1.3.2 Un conjunto Ae IR es cerrado siysólo si A

=

A.

DEMOSTRACIÓN

En primer lugar, observamos que,

A

es un conjunto cerrado puesto que

A

=

int(A)Ufr(A)

=

IR - ext(A);

así que si A

=

A,

Aes cerrado.

Recíprocamente, sea A es cerrado. Si

x

r¡.

A, se tiene quex E IR \ A,

que es un conjunto abierto; por tanto, existe un entornoE(x)

e

IR \ A

YE(x)

n

A

=

0

yx no es un punto adherente. Así, pues,

A

e

A y, por tantoA

=

A.

•

Sea ahora A

=

{l/n : n E N}. Es fácil ver que OE

A,

puesto que todo entorno de O contendrá puntos de A. Como se verá, no es difícil probar que, en general, el límite de una sucesión convergente es un punto adherente del conjunto formado por los términos de la sucesión. Desde luego, este hecho no es casual; existe una estrecha relación entre puntos adherentes y sucesiones.

Teorema 1.3.3 Un punto x es adherente a un conjunto A siysólo si x es límite de una sucesión (xn ) de puntos de A.

DEMOSTRACIÓN

Six es un punto adherente a A,se tiene que para todon

Podemos escoger entonces, para cadan un punto x_n E A tal que

xnE

(x-~,x+~)

Esto define una sucesión (xn ) tal que

IX

n - xl

<

l/no Luego lfmxn

=

x. Recíprocamente, sea (x_{n )} una sucesión de puntos de A cuyo límite es

X. Entonces dado f

>

O,se tiene que X_n E (x - f,X

+

f) para todo n

suficientemente grande y, por tanto, (x - f,X

+

f)

n

A:f.

0;

así, pues

xEA.

Conviene hacer notar que en el teorema anterior no se exige que los términos de la sucesión (xn ) sean todos distintos. Es más: muy bien

pudiera ocurrir que, para cualquiern, el único punto

sea el propiox.

Por otra parte, este resultado nos permite mostrar de otra forma que, por ejemplo,

°

es un punto adherente deA = (O,+00), puesto que

°

=

lím l/n, y l/n E A para todo n. Pero su importancia no se reduce a un simple mecanismo de decisión sino que tiene una consecuencia muy importante: es posible caracterizar a los conjuntos cerrados mediante sus sucesiones convergentes, una cuestión que ya fue apuntada en la sección anterior.

Teorema1.3.4 Un conjunto A es cerrado si!Jsólo si toda sucesión con-vergente (xn ) con xn EA tiene su límite en A.

DEMOSTRACIÓN

En primer lugar, si A es cerrado y límxn

=

x con Xn E A para todo

nEN, entonces todo entorno E(x) contiene puntos de {xn }y, por tanto,

deA;luegox E

A

=

A (Aes cerrado).

Recíprocamente, supongamos que toda sucesión en Aconvergente tiene su límite enA. Si x E

A,

existe una sucesión (xn )enAtal que límXn

=

x

y, por tanto, x EA;luego

A

=

AyAes cerrado.

•

Consideremos ahora el conjuntoM

=

(O, 1)U{2}. No es difícil comprobar que M

=

[0,1) U {2}. Ahora bien, puesto que 2 es un punto adherente deM debe existir alguna sucesión convergente, llamémosle(xn ),con sus

términos enM tal que límXn

=

2. Como 2EM la sucesión constante 2

verifica esta condición. Pero no hay ninguna más. Así que 2 es un punto adherente pero con ciertas características especiales. Obsérvese por otra parte que, efectivamente, todo entorno E(2,r) contiene puntos de M, pero si r

::s

1, el único punto de intersección es precisamente 2. Estas reflexiones nos llevan a afinar un poco más el concepto de adherencia.

Definición 1.3.5 Un punto x E lR es un punto de acumulación de un conjunto A

e

lR cuando todo entorno reducido E·(x) contiene puntos de A.

Un punto x ElR es un punto aislado de un conjunto A si es un punto de A que no es de acumulación.

El conjunto de puntos de acumulación de A se llama el conjunto derivado deA !Jse designa porAl.

EJEMPLO 1.3.2

1. Se tiene (a, b)'

=

(a, b]'

=

[a, b)'

=

fa,

b]'

=

[a, b).

3. En general, si A = {x" : n E N} Y límxn = acon a

#-

xn para

todo n EN, entonces A'

=

{a}. Si, por el contrario,aE A puede ocurrir que A'

=

{a}, como en la sucesión definida porXo

=

a y

Xn

=

a

+

lln,o queA'

=

0 como en la sucesiónXn

=

a.

4. Todo punto x E Z es un punto adherente de Z, pero no es de acumulación puesto queEO(x,1/2)nZ

=

0.

Es interesante observar, no obstante, que siaE

A\A,

entonces a es un punto de acumulación de A(Probarlo).

•

A la vista de la definición, es evidente que todos los puntos de acumulación son puntos de adherencia, así que, en general, A'

e

Aj

pero, como se ha visto en el ejemplo anterior, el reciproco no es, en general, cierto. La estrecha relación entre los puntos de acumulación y los puntos adherentes se pone de manifiesto en el resultando siguiente.

Teorema 1.3.6 Para cadaA

e

lR se verifica

A

=

AUA'.

DEMOSTRACIÓN

Está claro queAUA'

e

A,

puesto que tanto AcomoA'están contenidos en

A.

Veamos que también se verifica el reciproco.

Seax E

A;

entonces para todo entorno E(x) se cumpleE(x) nA#- 0.

Puede suceder que exista un entorno E(x) tal que E(x)

n

A

=

{x} en cuyo casox EA,o bien que para todo entornoE(x) seaEO(x)nA

:¡.

0, en cuyo caso xEA'. En todo caso x EAUA'.

•

Como consecuencia inmediata es posible caracterizar a los conjuntos ce-rrados mediante sus puntos de acumulación. Basta tener en cuenta que

A es cerrado siy sólo siA

=

A

=

AUA'. Por tanto

Corolario 1.3.7 Un conjunto A e lR es cerrado siy solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

El resultado más notable con respecto a los puntos de acumulación es, sin duda, el teorema de Bolzano-Weierstrass. Afirma que todo subconjunto A delR,infinitoyacotado, tiene al menos un punto de acumulación (que puede o no pertencer aA).

Teorema1.3.8 (de Bolzano- Weierstrass).

Todo conjunto infinito y acotado A

e

IR tiene al menos un punto de acumulación.

DEMOSTRACIÓN

Puesto que A está acotado, está contenido en un intervalo(ao,

boj.

Di-vidamos

[ao, boj

en dos partes iguales; al menos uno de ellos contiene un subconjunto infinito deA. Llamemos a este subintervalo[al,b_1). Divida-mos de nuevo(al,b1Jen dos partes igualesyobtendremos un subintervalo