Control Por Realimentación De Salida De Un Convertidor DC-DC Tipo Buck-Boost

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Control Por Realimentaci´

on De Salida De

Un Convertidor DC-DC Tipo Buck-Boost ?

Yolly Soto Manzanares∗ _{Miguel R´ıos Bol´ıvar}∗∗

∗_{IUT-Cuman´a, Cuman´a, Venezuela (e-mail: yolly [email protected])} ∗∗_{Departamento de Sistemas de Control, Facultad de Ingenier´ıa,}

Universidad de Los Andes, M´erida, Venezuela (e-mail: [email protected])

Resumen: En el presente trabajo se considera el problema de regular el voltaje de un convertidor de corriente continua tipo Buck-Boost, representado por su modelo promedio, cuando únicamente puede medirse la corriente a través del inductor. El enfoque utilizado se basa en la aplicación de un método de diseño en dos etapas para la s´ıntesis de la ley de control estabilizante. En una primera fase se sintetiza una ley de control dinámica y robusta, por aplicación del método directo de Lyapunov, al suponer que tanto la corriente en el inductor como el voltaje en el capacitor pueden ser medidas. Posteriormente se aplica un enfoque sistemático para diseñar una ley de control por realimentación dinámica de la salida, el cual supone medición exclusiva de la corriente en el inductor. El enfoque de diseño se basa en un principio de separación y es aplicable a una clase importante de sistemas no lineales con incertidumbre. El desempeño del sistema controlado es evaluado mediante simulaciones digitales.

1. INTRODUCCI ´ON

Los convertidores de potencia DC-DC son regulados me-diante estrategias de control conmutadas por modulación de ancho de pulso (PWM, de las siglas en inglés) o, al-ternativamente por la inducción de un régimen deslizante estabilizante, sobre una superficie definida en el espacio de estados del sistema (Sira-Ramirez [1987]). Con el propósito de evitar la complejidad de tratar ecuaciones diferenciales con entradas discontinuas, correspondiente a los modelos de convertidores de potencia DC-DC conmutados, se re-curre a la adopción de un modelo promedio de éstos, al suponer que la frecuencia de conmutación es idealmente infinita. Estos modelos idealizados permite considerar que las entradas de control son continuas entre los l´ımites de conmutación. Los modelos promedio de los convertidores de potencia tipo Boost and Buck-Boost, corresponden a modelos bilineales, caracterizados por ser lineales en el estado y en la entrada de control, independientemente, pero su no linealidad (bilinealidad) es debido al producto entre el estado y el control (Mohler [1973]).

Un enfoque para regular los modelos promedio de conver-tidores DC-DC consiste en obtener la linealización Jaco-biana de los mismos y, luego, diseñar un compensador PID clásico para el sistema linealizado (Aström y Hagglund [1995]). Como alternativa, pueden ser utilizados enfoques para el diseño de compensadores PID no lineales que per-miten regular en un rango de operación más amplio, como los PID bilineales (Dunoyer [1996], Soto-Manzanares y Rios-Bolivar [2003]), los PID no lineales sintetizados por el enfoque de linealización extendida (Soto-Manzanares y Rios-Bolivar [2006]) y los reguladores PI Generalizados (Sira-Ramirez et al. [2001]), basados en reconstructores integrales (Sira-Ramirez et al. [2002]). Una alternativa ? Trabajo financiado parcialmente por el CDCHT de la Universidad de Los Andes

consiste en diseñar leyes de control no lineales, al suponer que todas las variables de estado pueden ser medidas y realimentadas (Escobar et al. [1999]). Uno de los proble-mas más importantes en la regulación de convertidores de potencia está relacionado con la robustez ante perturba-ciones y variaperturba-ciones de la carga. Camargo [2006] analizó y comparó diferentes esquemas de control robustos para un convertidor Buck-Boost e implementó, satisfactoriamente, el regulador propuesto por Kawasaki et al. [1995], basado en la aplicación directa de Lyapunov.

El problema de estabilización por realimentación de salida de sistemas no lineales ha sido ampliamente estudiado. En particular, la clase de sistemas que son lineales en los estados no medidos ha recibido especial atención (Freeman y Kokotović [1996]). Una nueva técnica de diseño ha sido desarrollada por Karagiannis et al. [2003], basada en ideas tomadas de la teor´ıa de regulación de sistemas no lineales y de las nociones de inmersión e invarianza (Astolfi y Ortega [2003]). Una aplicación de esta técnica para regulación de la posición angular de un motor DC de escobillas acoplado a una carga, bajo la hipótesis de que sólo mediciones de la posición de carga son disponibles, ha sido considerada por Rios-Bolivar et al. [2006]. Este enfoque de dise˜no ha sido aplicado en Rios-Bolivar y Navas [2007] para regular un manipulador de unión flexible, suponiendo que solamente se mide la posición angular del enlace terminal. En el presente trabajo se resuelve el problema de regular el voltaje en el capacitor de un convertidor tipo Buck-Boost cuando únicamente puede medirse la corriente a través del inductor. El enfoque utilizado se basa en la aplicación del método de dise˜no propuesto en Karagiannis et al. [2003] y el objetivo de controlar el voltaje en el capacitor es logrado en forma indirecta, es decir, regulando la corriente en el inductor a su valor deseado y, por el carácter de fase m´ınima del sistema con respecto a la corriente como salida, la convergencia asintótica del voltaje del capacitor a su valor deseado es garantizada.

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2. CONTROL POR REALIMENTACI ÓN DE SALIDA DE UNA CLASE DE SISTEMAS NO LINEALES A los fines de garantizar una mayor claridad sobre el esquema aplicado en este trabajo, incluimos en esta sección la metodolog´ıa propuesta por Karagiannis et al. [2003]. El enfoque empleado consiste en la aplicación de un principio de separación, el cual establece que es posible resolver el problema de regulación propuesto, mediante la solución de dos sub-problemas. El primer sub-problema consiste en encontrar una ley de control robusta, por realimentación completa del estado, para la regulación del sistema no lineal. El segundo sub-problema conduce al diseño de una ley de control dinámica estabilizante, por inyección de salida. Esto permite obtener un controlador dinámico y estabilizante por realimentación de salida (con estimación de los estados no medidos). Una caracter´ıstica importante, asociada con esta técnica, es que la estabilización no depende de la construcción de una función de Lyapunov para el sistema en lazo cerrado.

Considere una clase de sistemas descrito por ecuaciones de la forma

˙η = A(y, u)η + B(y, u)

˙y = ψ0(y, u) + ψ1(y, u)η (1)

con el estado (η, y) ∈ <n _{× <}p_{, la salida y y la entrada}

de control u ∈ <m_{. Se asume que s´olo la salida y}

est´a disponible para realimentaci´on. Conjuntamente con el sistema (1), consideramos una salida de desempe˜no ρ definida como

ρ = h(y, η) (2)

para alguna aplicación h(·) y, adicionalmente, se formula el problema de regulación siguiente: Considere el sistema (1) y la variable de desempeño definida en (2). Encontrar una ley de control por realimentación dinámica de la salida, descrita por ecuaciones de la forma

˙ˆη = π(y, ˆη)

u = α(y, ˆη) (3)

tal que todas las trayectorias del sistema en lazo cerrado (1)-(3) sean acotadas y, adem´as,

lim

t→∞ρ(t) = 0. (4)

Este problema puede ser resuelto por aplicaci´on de la siguiente proposici´on, formulada en Karagiannis et al. [2003].

Proposici´on 1. Considere un sistema descrito por

ecua-ciones de la forma (1) y una variable de desempe˜no ρ

definida como en (2). Suponga que las siguientes hip´otesis se satisfacen

(A1) Existe una ley de control de informaci´on completa

u∗= α(y, η) (5)

tal que todas las trayectorias del sistema en lazo cerrado (1)-(3) sean acotadas y tal que la condici´on (4) se sat-isfaga. Adem´as, el sistema (1) con u = α(y, η + d(t)) es globalmente estable de entrada acotada y estado acotado,

con respecto a la entrada d(t).

(A2) Existe una aplicaci´on β(y) tal que el sistema ˙z = Ã A(y, u) −∂β ∂yψ1(y, u) ! z (6)

es uniforme y globalmente estable para cualquier par y, u; y adicionalmente, z(t) es tal que, para cualquier par y y η dado,

lim

t→∞[α(y, η + z(t))] = α(y, η) (7)

Entonces, existe una ley de control dinámica de reali-mentación de salida descrita por ecuaciones de la forma (3), que resuelve el problema de regulación por reali-mentación de salida.

En raz´on de que la prueba de esta proposici´on es construc-tiva, la reproducimos en el presente trabajo.

Prueba 1. Considere un sistema como en (1) y el contro-lador din´amico por regulaci´on de salida

˙ˆη = w

u = α(y, M ˆη + β(y)), (8)

donde α(·) está definida como en la ecuación (5), M es una matriz invertible, β(y) : <p _{→ <}n _{es la aplicación}

considerada en la hip´otesis (A2) y w es una nueva se˜nal de control. Sea la variable auxiliar

z = M ˆη − η + β(y), (9)

y observe que el sistema en lazo cerrado (1)-(8) puede ser escrito en coordenadas η, y y z como

˙η = A(y, α(y, η + z))η + B(y, α(y, η + z))

˙y = ψ0(y, α(y, η + z)) + ψ1(y, α(y, η + z))η (10) ˙z = M w − A(y, α(y, η + z))(−z + M ˆη + β(y))

−B(y, α(y, η + z)) +∂β ∂y "

ψ0(y, α(y, η + z)) +ψ1(y, α(y, η + z))(−z + M ˆη + β(y))

#

Nótese que todos los términos de la ecuación ˙z pueden ser medidos, con excepción de los términos A(y, α(y, η + z)z y ∂β_∂y[ψ1(y, α(y, η + z))z. En razón de la invertibilidad de la matriz M es posible seleccionar una ley w como

w = M−1 "

A(y, α(y, η + z))(M ˆη + β(y))

+B(y, α(y, η + z)) − ∂β

∂yψ0(y, α(y, η + z)) −∂β

∂yψ1(y, α(y, η + z))(M ˆη + β(y)) #

(11) produciendo la din´amica en lazo cerrado

˙η = A(y, α(y, η + z))η + B(y, α(y, η + z))

˙y = ψ0(y, α(y, η + z)) + ψ1(y, α(y, η + z))η (12) ˙z =

·

A(y, α(y, η + z)) −∂β

∂yψ1(y, α(y, η + z)) ¸

(3)

Por la suposición (A2), la variable z permanece acotada para todo t, de tal manera que la ecuación (7) se satisface; además, por la suposición (A1), y y η están acotadas para todo t y la condición (4) se cumple, con lo cual se concluye la prueba.

La suposición (A2) de la Proposición 1 puede ser reem-plazada por una condición más estricta que garantice

lim

t→∞z(t) = 0, (13)

para todo y y u. Bajo estas condiciones, ˆη puede usarse para construir una estimación asintótica de los estados no medidos η, obteniéndose el controlador dinámico de realimentación de salida

˙ˆη = M−1

"

A(y, α(y, M ˆη + β(y)))(M ˆη + β(y)) +B(y, α(y, M ˆη + β(y))) −∂β

∂yψ0(y, α(y, M ˆη + β(y))) −∂β

∂yψ1(y, α(y, M ˆη + β(y)))(M ˆη + β(y)) #

u = α(y, M ˆη + β(y)). (14)

La suposición (A2) de la Proposición 1 significa que es posible reconstruir asintóticamente la ley de control de información completa (5), a partir de la ley de control dinámica (14).

3. COMPENSACI ´ON MEDIANTE EL M´ETODO

DIRECTO DE LYAPUNOV

Los convertidores de potencia DC-DC son fuentes de poder reguladas, tradicionalmente, por leyes de conmutación de alta frecuencia, tales como modulación de ancho de pulso (PWM) o control de estructura variable que genera un régimen deslizante sobre una superficie de conmutación. En el enfoque por PWM se emplea, generalmente, un modelo promedio del convertidor que supone una variación continua de la entrada de control (relación de trabajo), utilizada en el modulador de los pulsos de entrada al convertidor. En el presente trabajo se diseña un contro-lador dinámico no lineal para la estabilización del modelo promedio del convertidor Buck-Boost

˙x1= 1 Lx2+ µ E L − 1 Lx2 ¶ u ˙x2= −1 Cx1− 1 RCx2+ 1 Cx1u (15)

donde x1y x2son las variables de corriente por el inductor y voltaje en el capacitor del circuito de la Fig. 1. La cantidad E representa el valor del voltaje proporcionado por la fuente externa, mientras que los valores R, L y C son los par´ametros conocidos de los elementos circuitales. La variable u es la relaci´on de trabajo, equivalente al promedio de las conmutaciones de alta frecuencia en el conmutador, y toma valores en el intervalo continuo [0, 1]. Primeramente, se asume que ambas variables de estado pueden ser medidas.

1

0 V

R

C

+

-E

I

L

Fig. 1. Circuito del convertidor tipo Buck-Boost

Para el sistema no lineal (15) se puede determinar un punto de equilibrio gen´erico

X1(U ) = EU

R(1 − U )2 ; X2(U ) = − EU

1 − U (16)

representando a una familia de puntos de equilibrio para-metrizada por un valor constante de la relaci´on de trabajo u = U .

En el presente trabajo se desarrolla una ley de control por realimentación de salida, al suponer que solamente puede medirse la corriente por el inductor. A los fines de lograr este objetivo, se debe sintetizar una ley de control de información completa (5) que será modificada para obtener la ley de control dinámica de realimentación de salida. Simultáneamente se desea lograr una ley de control robusta ante variaciones de la carga acoplada al convertidor. Estos objetivos son alcanzados mediante el

empleo del enfoque de dise˜no propuesto en Kawasaki et

al. [1995], desarrollado bajo la suposici´on de que ambas variables de estado pueden ser medidas.

El enfoque de dise˜no propuesto por Kawasaki et al. [1995] usa un modelo bilineal con resistencia interna en el induc-tor y carga inductiva, representado por

˙x1=RL L x1+ 1 Lx2+ µ E L − 1 Lx2 ¶ u ˙x2= −1 Cx1− 1 Cx3+ 1 Cx1u (17) ˙x3= −R LLx3+ 1 LLx2− 1 Cx1u

con RL la resistencia interna del inductor y a la carga R

se le adiciona otra carga inductiva, LL, mientras x3= iL,

representa la corriente a trav´es de la carga inductiva. Se dise˜na una ley de control para regular el voltaje x2 hacia un valor deseado V d. Para lograr esta regulaci´on, se define la variable de error

e(t) = x1(t) − Id

y, luego, se formula un sistema extendido definido para el vector de estado extendido ˆxT _{= [ ˙x}T _{e] y la nueva entrada}

de control v = ˙u, permitiendo escribir ˙ˆx = bA(u)ˆx + bB(x)v

Kawasaki et al. [1995] proponen utilizar una funci´on de Lyapunov cuadr´atica de la forma V (ˆx, u) = ˆxT_{P (u)ˆ}_{x, con}

P (u) una matriz simétrica y definida positiva. A partir de ésta se deriva una ley de control dinámica para u con dos parámetros de dise˜no positivos Γ y K, es decir,

(4)

˙u = −Γ [ ˙x1(x3+ E) − ˙x3x1] −K · Id+ E − RL (1 + u)2_RId ¸ (18) × · L ˙x1+ (1 − u)e + RL 1 − u µ −LL R ˙x2+ C ˙x3+ E R ¶¸ Luego, al despreciar los valores de la resistencia interna RLy de la inductancia en la carga LL, se obtiene

˙u = −Γ [ ˙x1(x3+ E) − ˙x3x1]

−K(Id+ E) [L ˙x1+ (1 − u)e] (19)

Finalmente, una simplificaci´on adicional puede lograrse al hacer Γ = 0, permitiendo obtener

˙u = −K(Id+ E) [L ˙x1+ (1 − u)e] (20)

En otras palabras, la ley de control din´amica resulta ˙u = −K(Id+ E) h x2+ (E − x2)u +(1 − u)(x1− Id) i . (21)

Esta ley de control se basa en la medición de ambas variables de estado: la corriente x1y el voltaje x2, mientras provee robustez ante variaciones importantes en la carga acoplada al convertidor. Camargo [2006] mostró, mediante simulaciones digitales y resultados prácticos obtenidos en la implantación, la efectiva robustez de esta ley de control (21), en la presencia de variaciones abruptas de la carga. En la siguiente sección se emplea la ley de control (21) para sintetizar el controlador dinámico por realimentación de salida, suponiendo que solamente podemos medir la corriente por el inductor.

4. CONTROL DEL BUCK-BOOST POR

REALIMENTACI ´ON DIN ´AMICA DE SALIDA

En esta sección se considera el problema de controlar el voltaje de un convertidor Buck-Boost, cuando únicamente la corriente x1 es medida y está disponible para reali-mentación, mediante el enfoque propuesto por Karagiannis et al. [2003]. Al considerar y = x1 y η = x2, con respecto al modelo (1), podemos identificar

A(y, u) = − 1 RC, B(y, u) = 1 Cy(u − 1) (22) ψ0(y, u) =E Lu, ψ1(y, u) = 1 L(1 − u)

Siguiendo la prueba de la Proposición 1, se debe diseñar un controlador por realimentación dinámica de la salida de la forma

˙ˆη = w

u = α(y, ˆη + β(y)) (23)

donde α se define como en (5), β(y) : < → < se define de acuerdo a la Hipótesis (A2), y w es una nueva se˜nal de control. Observe que la ley de realimentación completa (5) corresponde a la ley de control dinámica (21). Definiendo el vector auxiliar

z = ˆη + β(y) − η, (24)

el sistema en lazo cerrado puede ser escrito en coordenadas η, y y z como ˙η = − 1 RC(ˆη + β − z) + 1 Cy(u − 1) ˙y =E Lu + 1 L(1 − u)(ˆη + β − z) (25) ˙z = w − 1 Cy(u − 1) + ∂β ∂y E Lu − · − 1 RC − ∂β ∂y 1 L(1 − u) ¸ (ˆη + β − z)

Observe que, a excepción del término que aparece multi-plicado por z, todos los demás términos en la ecuación ˙z son medidos. Luego, es posible seleccionar w para obtener la ley de estimación ˙ˆη = 1 Cy(u − 1) − ∂β ∂y E Lu + · − 1 RC − ∂β ∂y 1 L(1 − u) ¸ (ˆη + β) (26) y, as´ı, la dinámica en lazo cerrado para z resulta

˙z = · − 1 RC − ∂β ∂y 1 L(1 − u) ¸ z (27)

Bajo las condiciones de la hipótesis (A2), el estado z permanece acotado para todo t y la condición de conver-gencia (7) se satisface. No obstante, para este propósito es necesario seleccionar una aplicación β(y) apropiada. En este caso se propone la aplicación

β(y) = KyLy, (28)

con Ky > 0 un par´ametro de dise˜no, la cual permite

obtener la siguiente din´amica asint´oticamente estable para la variable auxiliar z ˙z = − · 1 RC + Ky(1 − u) ¸ z. (29)

De esta manera, se satisfacen las condiciones de conver-gencia (7) y por aplicación de la Proposición 1, se sintetiza el estimador (26) que integra la ley de realimentación de salida (23). La ley u = α(y, ˆη + β(y)) en (23) se obtiene al reemplazar en la ley de control de información completa (21) el vector η por el correspondiente vector ˆη + β(y), es decir,

x27→ ˆx2+ KyLy

De esta forma, la ley de realimentaci´on din´amica de salida resulta ˙ˆx2= 1 Cy(u − 1) − KyEu + · − 1 RC − Ky(1 − u) ¸ (ˆx2+ KyLy) (30) ˙u = −K(Id+ E) h ˆ x2+ KyLy + (E − ˆx2− KyLy)u +(1 − u)(x1− Id) i

la cual logra regulaci´on asint´otica del convertidor Buck-Boost.

(5)

5. SIMULACIONES DIGITALES

A los fines de evaluar el desempe˜no del controlador

din´amico sintetizado, se realizaron simulaciones digitales del modelo promedio de un convertidor de potencia DC-DC tipo Buck-Boost con los siguientes valores nominales de los par´ametros

C = 20 µF, R = 30 Ω L = 20 mH, E = 15 V olt.

El punto de operación del convertidor se fijó para un valor de la relación de trabajo en U = 0.6, correspondiente a valores deseados de la corriente en X1= 1.875 Amp. y del voltaje en X2= −22.5 V oltios. Los parámetros de diseño fueron seleccionados, para este punto de operación, con los valores K = 0.5 y Ky= 0.1. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 2 Corriente, x1(t) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 −25 −20 −15 −10 −5 Voltaje, x2(t) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 Señal de Control 0 0.005 0.01 0.015 0.02 −2 0 2 4 6 Error de estimación

Fig. 2. Respuesta controlada del Buck-Boost

La Fig. 2 muestra la respuesta controlada del convertidor Buck-Boost. Como puede apreciarse, ambas variables de estado convergen a sus valores de equilibrio, mientras el voltaje estimado converge asint´oticamente al voltaje no medido en el capacitor.

6. CONCLUSI ´ON

El problema de regular el voltaje en el capacitor de un convertidor Buck-Boost, cuando sólo puede medirse la corriente por el inductor, ha sido resuelto. Inicialmente se sintetizó una ley de control dinámica por aplicación directa de Lyapunov, al suponer que ambas variables de estado eran medidas. Luego, se obtuvo una ley de control por realimentación dinámica de salida, la cual recupera asintóticamente las propiedades estabilizantes de la ley de control de información completa. Las simulaciones

digi-tales mostraron un excelente desempe˜no del Buck-Boost

regulado mediante la ley de control por realimentaci´on de salida.

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