Estudi i Implementació d’un Control Digital basat en
Microcontrolador per a un Convertidor DC-DC Buck
AUTOR: Ramon Aragonès Casals.
DIRECTORS: Abdelali El Aroudi, Enrique Cantó Navarro.
DATA: Setembre 2004.
Índex General
MEMÒRIA DESCRIPTIVA 1
1. Introducció 2
1.1. Antecedents 2
1.2. Objectius 2
2. Convertidors Commutats DC-DC 3
2.1. Principi de Funcionament 3
2.2. Topologies 4
2.3. Anàlisi del Buck 6
2.3.1. Plantejament 6
2.3.2. Anàlisi d’Estat 7
2.3.3. Altres Consideracions 10
2.4. Anàlisi del Buck amb Filtre d’Entrada 11
2.4.1. Plantejament 11
2.4.2. Anàlisi d’Estat 12
2.4.3. Altres Consideracions 14
3. Controlador 15
3.1. Control per Linealització Entrada-Sortida 15
3.2. Control Proporcional-Integral (P.I.) 23
4. Microcontrolador Cygnal 8051F005 26
5. Conclusions 28
MEMÒRIA DE CÀLCUL 29
1. Disseny de l’Etapa de Potència 30
1.1. Dimensionat del Convertidor 30
1.2. Disseny del Filtre d’Entrada 31
1.3. Disseny dels Altres Elements 34
1.3.1. Càlcul de la Inductància 34
1.3.2. Càlcul del Condensador 36
1.3.3. Transistor MOSFET i Díode 38
1.3.4. Driver del Transistor 40
1.4. Construcció de les Bobines 41
1.4.1. Bobina del Filtre L1 41
1.4.2. Bobina L2 43
2. Disseny de l’Etapa Adaptadora 44
2.1. Sensors de Tensió 44
2.2. Sensors de Corrent 45
2.3. Filtre Anti-aliasing 47
2.4. Adaptació del Senyal PWM 50
2.5. Alimentació de l’Etapa 50
3. Disseny del Controlador Digital 52
3.1. Planificació del Programa 52
3.1.1. Programa Principal 53
3.1.2. Interrupcions 54
3.2. Conversió A/D 56
3.3. Base de Temps 57
3.4. Generació del Senyal PWM 57
3.5. Algorisme de Control 59
3.6. Segona Versió del Programa 60
3.6.1. Conversió A/D 63
3.6.2. Algorisme de Control 63
4. Simulacions 72
4.1. Model de la Planta en Llaç Obert 72
4.2. Model en Llaç Tancat. Control per Linealització Entrada-Sortida 75
4.3. Model en Llaç Tancat. Control P.I. 81
4.3.1. Sintonització del Control P.I. 83
5. Resultats Experimentals 86
5.1. Mesures de la Planta 86
5.2. Comprovació del Controlador 87
5.2.1. Assaig a la Variació de la Consigna 88
5.2.2. Assaig a la Variació de la Tensió d’Entrada 89
5.2.3. Assaig a la Variació de la Càrrega 90
5.3. Mesures i Càlculs de Temps 91
6. Llistat de Material 94
PLÀNOLS 95
1. Etapa de Potència 96
1.1. Esquema 96
2. Etapa Adaptadora 97
2.1. Esquema General 97
2.2. Esquema Parcial I 98
2.3. Esquema Parcial II 99
2.4. Esquema Parcial III 100
3. Fotografies 101
3.2. Etapa Adaptadora 101
3.3. Equip Complet 102
PRESSUPOST 103
1. Preus Elementals 104
2. Amidaments 106
3. Aplicació de Preus 108
4. Resum del Pressupost 110
PLEC DE CONDICIONS 111
1. Disposició i Abast del Plec de Condicions 112
1.1. Objectiu del Plec 112
1.2. Descripció General del Muntatge 112
2. Condicions dels Materials 113
2.1. Especificacions Elèctriques 113
2.1.1. Plaques de Circuit Imprès 113
2.1.2. Conductors 113
2.1.3. Sòcols de Circuit Integrat 113
2.1.4. Reglament Electrotècnic de Baixa Tensió 114
2.1.5. Resistors 114
2.1.6. Condensadors 115
2.1.7. Circuits Integrats i Semiconductors 115
2.2. Especificacions Mecàniques 115
2.2.1. Interconnexionat de les Plaques 115
2.2.2. Assaigs, Verificacions i Mesures 116
3. Condicions de l’Execució 116
3.1. Descripció del Procés 116
3.1.1. Encàrrec i Compra del Material 116
3.1.2. Construcció dels Inductors 116
3.1.3. Fabricació del Circuit Imprès 117
3.2. Soldatge dels Components 117
4. Condicions Facultatives 118
Bibliografia 120
ANNEXES 121
A. Codi del Programa 122
A.1. Primera Versió 122
A.2. Segona Versió 135
B. Manuals Tècnics 147
B.1. Díode BYW29 B.2. Transistor BUK455 B.3. Optoacoblador HCPL3120 B.4. Convertidor DCP021212P B.5. Microcontrolador C8051F005
MEMÒRIA DESCRIPTIVA
1. Introducció
1.1. Antecedents
El títol del projecte és “Estudi i Implementació d’un Control Digital basat en Microcontrolador per a un Convertidor DC-DC Buck”. Està englobat dins una sèrie de projectes dirigits per Dr. Abdelali El Aroudi i Dr. Enrique Cantó Navarro, que pretenen estudiar el comportament dels convertidors DC-DC, el seu control i les possibilitats existents d’implementació de controls digitals.
1.2. Objectius
Els objectius es poden resumir en diversos punts:
• L’estudi teòric d’una topologia de convertidor DC-DC: el Buck amb filtre d’entrada.
• L’estudi teòric d’un mètode de control per al convertidor: El control per linealització entrada-sortida.
• La verificació per simulació del funcionament del convertidor i de la validesa d’aquest tipus de control.
• El disseny i muntatge del convertidor controlat, així com dels elements complementaris necessaris per al seu funcionament.
• Coneixement del microcontrolador C8051F005 i implementació del control basat amb aquest microcontrolador.
• Verificació experimental del convertidor en llaç obert i en llaç tancat. En cas de no ser viable el controlador dissenyat, experimentació amb un controlador alternatiu.
• Extreure conclusions sobre les possibilitats del control dissenyat i la idoneïtat del microcontrolador.
Memòria Descriptiva
2. Convertidors Commutats DC-DC
2.1. Principi de Funcionament
Els convertidors són tots aquells sistemes electrònics capaços de condicionar l’energia elèctrica que reben a la seva entrada, de forma que subministren a la càrrega energia elèctrica de valor i/o tipus diferent de l’entrada. D’aquesta forma se solen classificar segons els tipus de corrent a l’entrada i a la sortida, altern o continu. Així tenim:
• De DC a DC: Trossejadors o choppers (si tenen per càrrega un motor, que és inductiva), fonts commutades (tenen un condensador a la càrrega i solen estar regulades)...
• De AC a DC: Rectificadors. Es classifiquen pel nombre de fases d’entrada.
Poden ser controlats, semicontrolats o no controlats.
• De DC a AC: Onduladors o inversors.
• De AC a AC: Habitualment coneguts com reguladors AC.
Figura 1.1. Exemples de convertidors de potència
El present projecte se centra en els convertidors DC-DC, concretament en fonts commutades. Aquestes es poden dividir segons diferents criteris. Segons l’ordre del sistema (el nombre d’elements emmagatzemadors d’energia) els podem trobar des de 2n ordre fins a ordres elevats. Un altre criteri utilitzat és la relació entre la tensió d’entrada i la de sortida, de forma que poden ser reductors (V < V), elevadors (V > V) o
elevadors-reductors (Vo < Vi o Vo < Vi segons el cicle de treball). Alhora aquestes fonts poden ser aïllades o no aïllades, inversores o no inversores de polaritat...
El principi de funcionament és comú a totes les fonts commutades. Per les lleis de la Teoria de Circuits és sabut que els elements lineals no són capaços de dur a terme aquestes conversions d’energia descrites anteriorment. El principi de funcionament del transformador suggereix utilitzar la variació del corrent a través d’un inductor, de forma que aquest funcioni com si es tractés de corrent altern. Aquest principi és utilitzat en alguns convertidors. En tots els casos, però, cal introduir algun component actiu que actuï com interruptor, establint una commutació al sistema. Podran existir interruptors de commutació forçada (implementats mitjançant transistors bipolars, MOSFET, IGBT...) i de commutació natural (díodes convencionals, Schottky...). La commutació dels interruptors establirà els temps en que el sistema tindrà una configuració (amb un esquema equivalent amb elements lineals) o una altra. Aquesta commutació sol ser introduïda per un senyal de tipus PWM (modulació per amplada de pols) que permet imposar al sistema el temps que funcionarà segons una configuració o segons una altra.
Des del punt de vista del control o regulació aquest senyal serà la variable de control, habitualment u(t). Aquesta commutació és responsable d’emissions electromagnètiques.
2.2. Topologies
Dins els convertidors de segon ordre podem distingir les topologies bàsiques.
Aquestes tenen interès des del punt de vista acadèmic, ja que són les més senzilles, encara que en la majoria d’aplicacions s’utilitzen topologies més complexes. Aquestes topologies bàsiques són totes no aïllades, són tres: El Buck (o Step-down) que és reductor, el Boost (o Step-up) que és elevador i el Buck-boost (o Up-down) que és elevador-reductor i inversor de polaritat.
Figura 1.2. Topolgies bàsiques
Memòria Descriptiva
Existeixen topologies derivades de les anteriors, com per exemple versions aïllades, versions que incorporen filtres... d’aquesta manera s’eleva l’ordre del sistema.
Altres topologies ja són d’ordre superior a 2, com per exemple el SEPIC o el Cuk.
Figura 1.3. Topolgies derivades de les bàsiques
Figura 1.4. Topologies d’ordre superior
La topologia que s’analitzarà i es muntarà és el Buck amb filtre d’entrada, encara que s’analitzarà al Buck bàsic com a introducció.
2.3. Anàlisi del Buck
2.3.1. Plantejament
Per a l’estudi d’aquests convertidors DC-DC en general, s’han de tenir en compte diversos aspectes:
• Existeixen dos fases de commutació on i off, segons si l’interruptor de commutació forçada està en conducció o tallat. Així podem trobar dos circuits equivalents per a cada un dels modes, on s’han substituït els interruptors per circuits oberts o curt-circuits segons si estan tallats o en conducció. Així s’han obtingut circuits lineals, que poden ser analitzats per Teoria de Circuits.
Figura 1.5. Buck. Circuits equivalents per les fases ON i OFF
• Dels anteriors circuits equivalents s’obtenen equacions només vàlides per a cada fase. Per algun mètode caldrà crear equacions que descriguin el funcionament del sistema en commutació. Després d’aquest pas apareixerà la variable de control a l’equació.
• Aquesta variable de control és el cicle de treball (duty-cycle, d) del senyal PWM que actua sobre l’interruptor de commutació forçada. L’interruptor de commutació natural funciona de forma complementària. El cicle de treball d es defineix de la següent manera.
Fase ON
Fase OFF
Memòria Descriptiva
Figura 1.6. Senyal PWM i cicle de treball
• La commutació del sistema fa que les seves variables evolucionin periòdicament. Entre aquestes variables s’escullen tantes variables d’estat com l’ordre del sistema. Aquestes variables d’estat són els corrents pels inductors i les tensions als condensadors. En aquest cas vC(t) i iL(t).
• Per l’anàlisi s’utilitzen les següents propietats dels inductors i dels condensadors: La tensió mitjana en un inductor és nul·la. El corrent mitjà per un condensador és nul.
• Es considera que el convertidor no té pèrdues. Per tant la potència a l’entrada és igual que la potència a la sortida.
2.3.2. Anàlisi d’Estat
Aquest anàlisi consisteix en resumir el comportament del sistema en quatre matrius A, B, C i D, a diferència del mètode tradicional en que es descriu el sistema amb un sistema d’equacions diferencials. Les variables d’estat queden expressades dins d’un vector columna x(t), i les respectives derivades temporals formen un altre vector x&(t).
= ) (
) ) (
( v t
t t i
x
C L
= dt dv dt di t
x
C L
)
&( (1.1)
Aquesta (1.2) és una expressió completa de representació d’estat. La matriu A caracteritza el comportament del sistema sense excitació, per tant relaciona únicament X(t) amb X&(t). La matriu A té dimensió n × n, on n és el nombre de variables d’estat, i també l’ordre del sistema. La matriu B és responsable d’incorporar els efectes de l’excitació, és a dir, relaciona X(t) amb el vector d’excitació U(t). En el nostre cas, per
T ton toff
t v(t)
T d=ton
simplificar, no es fa servir la segona equació i per tant tampoc les matrius C i D. En aquesta segona equació es descriu la sortida del sistema, que en el nostre cas no és útil, ja que considerem sortida una de les variables d’estat. L’expressió simplificada queda de la següent forma (1.3).
+
=
+
=
) (
· ) (
· ) (
) (
· ) (
· ) (
t u D t x C t y
t u B t x A t x&
(1.2)
) (
· ) (
· )
(t Ax t Bu t
x& = + (1.3)
En el cas dels convertidors bàsics només existeix una variable d’entrada que és la tensió d’entrada, i B es redueix a un vector.
) ( ) ·
( )
( Bv t
t v
t A i
dt dv
dt di
S C
L C
L
+
=
(1.4)
) (
· ) (
· )
(t Ax t Bv t
x& = + S (1.5)
Prenent els elements de les matrius per separat es pot trobar el sistema d’equacions que descriu el sistema (1.6). A partir de les equacions del sistema, on les incògnites són els elements de les matrius, podem obtenir les matrius, per a cada fase:
+ +
=
+ +
=
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
2 22
21
1 12
11
t v b t v a t i dt a
dv
t v b t v a t i dt a di
S C
L C
S C
L L
(1.6)
=
22 21
12 11
a a
a
A a
=
2 1
b
B b (1.7)
Fase on:
( )
−
=
=
−
=
=
) 1 ( ) 1
1 (
) ( ) 1 ( ) 1 (
t Rv C i
t Ci dt dv
t v t L v t Lv dt di
C L C
C
C S
L L
(1.8)
Memòria Descriptiva
−
= −
RC C
AON L
1 1
0 1
=
0 1
BON L (1.9)
Fase off:
−
=
=
−
=
=
) 1 ( ) 1
1 (
) 1 ( ) 1 (
t Rv C i
t Ci dt dv
t Lv t Lv dt di
C L C
C
C L
L
(1.10)
−
= −
RC C
AOFF L
1 1
0 1
= 0 0
BOFF (1.11)
Un cop descrits els sistemes equivalents a cada fase es pot aplicar la tècnica coneguda com “de la mitjana temporal”. El convertidor funciona commutant el seu interruptor, és a dir, que durant una part d del període l’interruptor estarà tancat i durant la resta del període estarà obert. Això vol dir que durant un temps dT serà vàlid el circuit equivalent on i durant un temps (1-d)T ho serà el circuit equivalent off. Per aconseguir una expressió que caracteritzi el sistema commutant cal sumar l’aportació de cada circuit equivalent, ponderat segons els temps dT i (1-d)T. Així apareix d a l’equació matricial que descriu el sistema (1.13).
( )
( ) ( )( )
− +
=
−
+
→ = +
= x t d A x t B v t d
d t v B t x A d t t x
v B t x A t x
S OFF OFF
S ON ON
S ( )·1 · ( ) · ( ) 1
) (
· ) (
· )·
) ( (
· ) (
· )
( &
&
& (1.12)
(
A A)
x t d B v t(
B B)
v t dt x A t
x&( )= OFF· ( )+ ON − OFF · ( )· + OFF· S( )+ ON − OFF · S( )· (1.13)
En el cas del convertidor Buck les matrius AON i AOFF són iguals (a partir d’ara A), i la matriu BOFF és nul·la. Així l’expressió (1.13) es pot simplificar de la següent manera:
d t v B t x A t
x&( )= · ( )+ · S( )· (1.14)
És possible obtenir la relació entre les tensions d’entrada i sortida, que s’expressa en funció del cicle de treball d. Considerant la tensió de sortida la tensió al condensador vC(t). Com que això és vàlid per règim estacionari, igualem la derivada del vector d’estat a zero, ja que en règim estacionari les variables es mantenen constants.
0 )·
(
· ) (
·x t +Bv t d=
A S (1.15)
0 )·
(
· 0 1 ) (
)
· ( 1 1
0 1
=
+
−
−
d t L v t
v t i RC C
L
S C
L (1.16)
= +
= +
−
0 ) 1 ( ) 1 (
0 ) ( )
1 (
t RCv t Ci
t Lv t d Lv
C L
S C
(1.17)
t d v
t v t v
t v
S C S
=
= ( ) ) ( ) (
)
0(
(1.18)
2.3.3. Altres consideracions
Cal tenir en compte que el corrent a través de l’inductor, en valor mig, coincideix amb el corrent de sortida. El seu component altern, o arrissat, és degut a la commutació del sistema. Quan aquest corrent s’anul·la (és a dir, l’arrissat supera en amplitud el valor mig) el convertidor entra en mode discontinu. Això vol dir que el model anterior ja no és vàlid, i per tant tampoc ho és la relació de tensions entrada-sortida, sent vàlida llavors una expressió més complicada (1.19). De l’amplitud de l’arrissat d’aquest corrent és responsable el valor de la inductància L, depenent també de la freqüència de commutació (el període T), del cicle de treball d i de la resistència de càrrega R. Es fa servir l’expressió (1.20) [3].
RT d L d
d t
v t v
S 8
2 )
( ) (
2 0
+ +
= (1.19)
(
d)
RT L> 1−
2
1 (1.20)
Memòria Descriptiva
El valor de la capacitat del condensador determina l’arrissat de la tensió de sortida, segons l’expressió (1.21) que s’aplica típicament en el disseny de convertidor Buck [3].
( )
0 max 0
min 2
8 1
∆
> −
v L v
d
C T (1.21)
La descripció del sistema obtinguda (tant en forma matricial com d’equacions) permet construir un model per a Simulink de Matlab, que es presenta a la figura 1.7.
Figura 1.7. Model per a Simulink del Buck
2.4. Anàlisi del Buck amb Filtre d’Entrada
2.4.1. Plantejament
Per al convertidor Buck amb filtre d’entrada són vàlids igualment els aspectes descrits a l’apartat 2.3.1. Les diferències que es poden observar respecte del Buck són les següents:
• L’esquema és aquest, amb els corresponents circuits equivalents per a cada mode de commutació.
Figura 1.8. Buck. Circuits equivalents per les fases ON i OFF
• Les variables d’estat ara són quatre, tantes com l’ordre del sistema, i tantes com elements emmagatzemadors d’energia té el sistema. En aquest cas, com que el sistema és de 4t ordre, són vC1(t), vC2(t), iL1(t) i iL2(t).
2.4.2. Anàlisi d’Estat
En aquest cas es plantegen els vectors d’estat de dimensió 4, donat que el sistema és de 4t ordre. Queden doncs x(t) i x&(t) de la següent forma.
=
) (
) (
) (
) ( )
(
2 1 2 1
t v
t v
t i
t i t x
C C L L
=
dt dvdt dv
dt di
dt di
t x
C C L L
2 1 2 1
)
&( (1.22)
La resta del procediment és idèntic al del Buck, començant per definir la forma de l’equació d’estat, així com el sistema d’equacions.
) (
· ) (
· )
(t Ax t Bv t
x& = + S (1.23)
Fase ON
Fase OFF
Memòria Descriptiva
) (
· ) (
) (
) (
) (
2 1 2 1
2 1 2 1
t v B t v
t v
t i
t i A
dt dv
dt dv
dt di
dt di
S
C C L L
C C L L
+
=
(1.24)
+ +
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +
+ +
=
) ( )
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
(
4 2 44 1
43 2
42 1
41 2
3 2 34 1
33 2
32 1
31 1
2 2 24 1
23 2
22 1
21 2
1 2 14 1
13 2
12 1
11 1
t v b t v a t v a t i a t i dt a
dv
t v b t v a t v a t i a t i dt a
dv
t v b t v a t v a t i a t i dt a
di
t v b t v a t v a t i a t i dt a di
S C
C L
L C
S C
C L
L C
S C
C L
L L
S C
C L
L L
(1.25)
=
44 43 42 41
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a A
=
4 3 2 1
b b b b
B (1.26)
I es poden obtenir les matrius A i B per a cada fase de commutació.
Fase on:
−
=
−
=
−
=
−
=
) 1 (
) 1 (
) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 (
2 2 2
2 2
2 2 1
2 1
2 1 1
1 2
1 1 1
1
t RC v t C i dt dv
t L v t L v dt dv
t C i t C i dt di
t L v t L v dt di
C L
C
C C
C
L L
L
C S
L
(1.27)
−
−
−
−
=
2 2
1 1
2 2
1
0 1 0 1
0 1 0
1
1 0 1
0
1 0 0
0
RC C
C C
L L
L
AON
=
0 0 0 1 L1
BON (1.28)
Fase off:
−
=
−
=
=
−
=
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 ( ) 1 (
2 2 2
2 2
2 2 1
1 1 2
1 1 1
1
t RC v t C i dt dv
t L v dt
dv
t C i dt di
t L v t L v dt di
C L
C
C C
L L
C S
L
(1.29)
−
−
−
=
2 2
1
2 1
0 1 0 1
0 0
1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
RC C
C
L L
AOFF
=
0 0 0 1 L1
BOFF (1.30)
Pel mètode “de la mitjana temporal” s’arribaria a una expressió que descriu el sistema en commutació, podent obtenir com al cas del Buck, la relació de tensions entrada-sortida. Per a les simulacions que es duen a terme és suficient haver obtingut les matrius anteriors.
2.4.3. Altres Consideracions
Per a les simulacions amb Simulink es fan servir les matrius obtingudes. El dimensionat dels paràmetres del convertidor es fa separadament per les dues parts que es poden considerar: Buck bàsic i filtre. El convertidor Buck bàsic (L2 i C2) es dissenya a
Memòria Descriptiva
partir de les expressions (1.20) i (1.21) obtingudes pel Buck. El filtre d’entrada (L1 i C1) es dissenya segons criteris que s’expliquen la Memòria de Càlcul.
Figura 1.9. Model per a Simulink del Buck amb filtre d’entrada
3. Controlador
3.1. Control per Linealització Entrada-Sortida
En les teories de control clàssiques el principi de funcionament dels controladors és el següent. Es realitza una lectura del valor de la variable que es desitja controlar (en el cas de les fonts commutades, la tensió de sortida normalment). Es calcula la diferència entre aquest valor i el valor desitjat (conegut com consigna), sent el resultat d’aquesta diferència l’anomenat error. Finalment s’aplica una certa llei de control (funció de transferència del controlador) a aquest error, obtenint així el valor a aplicar a l’entrada de control de la planta. L’esquema general d’un sistema controlat i regulat és el següent. El controlador es pot dissenyar per múltiples mètodes, existint versions continues i discretes.
Figura 1.10. Diagrama de blocs d’un control clàssic
Existeixen, però, tècniques de control en que intervenen a més de la variable a controlar, totes les variables d’estat. Com en el nostre cas es pretén realitzar un control discret (mitjançant un controlador digital) s’intenta fer una descripció del sistema des d’un punt de vista discret. En apartats anteriors s’ha caracteritzat el sistema per a cada un dels modes de commutació, considerant-lo com un sistema continu. Si es considera cada cicle de commutació com un interval de mostreig del sistema discretitzat, es poden utilitzar les equacions (1.23) amb les respectives matrius (1.28) i (1.30) per descriure l’evolució del sistema durant un d’aquests intervals. Així s’obtenen equacions recurrents, que relacionen el vector d’estat en un instant amb el vector d’estat en l’instant anterior, talment com es caracteritza un sistema discret. El següent gràfic il·lustra una de les variables d’estat (el corrent iL2(t)) i hi queden reflectits període de mostreig T i els temps de cada fase ton i toff. El cicle de treball és d, comprès entre 0 i 1.
La n és el temps discret.
Figura 1.11. Temps i instants representats sobre una de les variables del sistema.
A partir de l’equació (1.23), s’aplica la transformada de Laplace de forma que apareix el terme valor inicial x(0), i es procedeix a aïllar el vector d’estat X(s). A continuació aplicant la transformada inversa es troba l’expressió que relaciona el vector
iL2(t)
t
T
dT (1- d)T
nT (n+ d)T (n+1)T
tON tOFF
Memòria Descriptiva
d’estat x(t) amb el valor inicial del vector d’estat x(0). La tensió d’entrada VS pot considerar-se constant per simplificar el càlcul.
S L
S BV
s s X A x
s sX v
B t x A t
x 1 ·
) (
· ) 0 ( ) (
· ) (
· )
( = + → − = +
& (1.31)
) 0 ( )
(
· )
( V x
s s B X A s
sX − = S + (1.32)
(
s A)
ks sk As x s V B A
s x sV B s
X S
S
+ −
− =
= +
−
= + (0) · · (0) 1 2 )
( (1.33)
( )
+
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
) 0 (
·
· )
(
·
·
· )
(
·
1 2
1 1 0
x V B A s
X A s k
V B A s
X s k
A S s
s S (1.34)
A s
x V B A s
V B s A
X S S
− + +
−
= − · · − · · (0) )
(
1 1
(1.35)
[
· · (0)]
·
· )
( ...
)
(s 1 x t A 1 BV e · A 1 BV x
X = →L− =− − S + At − S + (1.36)
(
At)
St
A x A e I BV
e t
x( )= ·· (0)+ −1· · − · · (1.37)
Si es considera l’instant inicial nT i la incògnita del vector d’estat a l’instant (n+d)T, estarem descrivint l’evolució del sistema durant el temps ton. Llavors les matrius seran AON i BON, que des d’ara s’anomenen A1 i B1. Igualment, si es considera l’instant inicial (n+d)T i el vector d’estat a l’instant (n+1)T, estarem descrivint l’evolució del sistema durant toff. En aquesta expressió hi figuraran les matrius AOFF i BOFF, és a dir, A2 i B2.
En fase on, per a nT <t<(n+d)T, on 0<d<1
(
A dT)
SdT
A x nT A e I B V
e T d n
x(( + ) )= 1· · ( )+ 1−1· 1· − · 1· (1.38)
En fase off, per a (n+d)T <t<(n+1)T
( )dT
( ) (
A ( )dT)
SA x n d T A e I B V
e T n
x(( +1) )= 2·1− · ( + )+ 2−1· 2·1− − · 2· (1.39)
Degut a que les variables d’estat són els corrents pels inductors o les tensions als condensadors presenten continuïtat en el temps, és a dir, que a la pràctica no es poden produir canvis bruscos del seu valor. Aquesta propietat servirà per “encadenar” les equacions obtingudes anteriorment (1.38) i (1.39), de forma que s’obté una única equació que descriu el sistema. Això es fa per substitució de (1.38) dins de (1.39).
Aquesta equació tindrà per instant inicial nT i la incògnita del vector d’estat en l’instant (n+1)T, és a dir, que descriu l’evolució del sistema entre una mostra i la següent, durant un interval T.
( )dT
[
A dT(
AdT)
S]
A e x nT A e I B V
e T n
x(( +1) )= 2·1− · 1· · ( )+ 1−1· 1· − · 1·
(
eA ( )dT I)
B VSA2 1· 2·1 − · 2·
+ − − (1.40)
( )
[
AdT AdT S]
dT A T
A e e xnT A e I B V
e T n
x(( +1) )= 2· · − 2· · 1· · ( )+ 1−1· 1· − · 1·
(
eA T e A dT I)
B VSA2 1· 2· · 2· − · 2·
+ − − (1.41)
( )
(
( ))
[
A A dT A A dT AdT S]
T
A e xnT A e e BV
e T n
x(( +1) )= 2· · 1−2· · ( )+ 1−1· 1−2· − −2· · 1·
(
eA T e A dT I)
B VSA2 1· 2· · 2· − · 2·
+ − − (1.42)
Es realitza l’aproximació lineal de les exponencials (1.43) per tal de simplificar l’expressió i s’opera.
...
! 3
! 1 2
3
2 x
x x ex≈ + + +
(1.43)
( )
( ) [ ( ( ) ) ( ) ]
{
S}
T
A I A A dT x nT A I A A dT I A dT BV
e T n
x(( +1) )= 2· · + 1− 2 · · ( )+ 1−1· + 1− 2· − − 2· · 1·
( )
{
eA T I A dT I}
B VSA2 1· 2· · − 2· − · 2·
+ − (1.44)
( )
( )
{
ST
A I A A dT x nT dT B V
e T n
x(( +1) )= 2· · + 1− 2 · · ( )+ · 1·
( )
[
I A dT e A T]
B VS}
A2−1· − 2· − − 2· · 2·
+ (1.45)
Memòria Descriptiva
( )
( )
{
S ST
A I A A dT x nT dTB V A B V
e T n
x(( +1) )= 2· · + 1− 2 · · ( )+ · 1· + 2−1· 2·
}
S T A
S A e B V
V B dT A
A2−1· 2· · 2· − 2−1· − 2· · 2·
− (1.46)
( )
( )
{
· · ( )· )
) 1
((n T e 2· I A1 A2 dT x nT
x + = A T + −
(
B B)
VS A(
I e A T)
B VS}
dT· 1− 2 · + 2−1· − − 2· · 2·
+ (1.47)
L’expressió obtinguda correspon a la forma (1.48), on es poden distingir quatre matrius H, G, F i K, agrupant els termes segons la relació amb d(nT) i amb x(nT). Així aquestes matrius es poden identificar amb A1, A2, B1 i B2. Resulten les matrius de la següent forma. Es pren d a l’instant inicial.
K nT d G nT d nT x F nT x H T n
x(( +1) )= · ( )+ · ( )· ( )+ · ( )·+ (1.48)
Per a la matriu H:
H =eA2T ≈I+A2T (1.49)
−
−
−
=
−
−
−
+
=
2 2
1
2 1
2 2
1
2 1
1 0 0
0 1
0 0 1 0
0 0
1
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
RC T C
T C
T
L T L
T
RC T C
T C
T
L T L
T
H
Per a la matriu G, com que B1 = B2.
G=
(
I+A2T)(
B1−B2)
T·VS =0 (1.50) Per a la matriu F:F =
(
I+A2T)(
A1−A2)
T (1.51)
= −
−
−
−
−
=
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
· 0 0 0 0
0 1 0
0
1 0 0 0
0 0 0 0
·
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0
0
2 2
2 1
2 1 1
2
1 2
2 2
1
2 1
C L
T C
T L T C L
T
T C
L
RC T C
T C
T
L T L
T
F
Per a la matriu K:
( )
S( ) ( ( ) )
ST A T
A A I e B V I AT A I I AT B V
e
K = 2 · 2−1 − − 2 2· = + 2 · 2−1 − + 2 2·
K =
(
I+A2T)
·T·B2·VS (1.52)
=
−
−
−
=
0
· 0
·
·
·
0 0 0 1
·
1 0 0
0 1
0 0 1 0
0 0
1
1 1 2 1 1
2 2
1
2 1
C L
V T
L V T
V T L
RC T C
T C
T
L T L
T
K
S S
S
Separant les variables d’estat del vector, es poden obtenir expressions per a cada una de les variables. Per exemple, es caracteritza el comportament de la tensió de sortida vC2(t) amb aquesta expressió, tenint en compte que aquesta variable és el 4t element del vector d’estat.
4 2
44 1
43 2
42 1
41
2((n 1)T) h i (nT) h i (nT) h v (nT) h v (nT) k
vC + = L + L + C + C +
[
f41iL1(nT)+ f42iL2(nT)+ f43vC1(nT)+ f44vC2(nT)+g4]
·δ(nT)+ (1.53)
Fins aquí s’ha realitzat una descripció del sistema. Ara aquesta descripció es fa servir per a dissenyar un controlador. Es parteix de la següent hipòtesi: A cada mostra, respecte de l’anterior, la variable a controlar reduirà el seu error respecte de la consigna.
