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En la última semana, los 30 monos de un parque natural han comido 630 kg de fruta. Acaban de traer 6 monos más y disponemos de 1 080 kg de fruta. ¿Para cuántos días tenemos? (Averigua previamente cuánto come cada mono al día).
Nº DE MONOS TIEMPO CANTIDAD DE FRUTA
30 7 días 630 kg
30 1 día 630 : 7 = 90 kg
1 1 día 90 : 30 = 3 kg
36 monos consumen en un día 36 · 3 = 108 kg de fruta. Con 1 080 kg tenemos para:
1 080 : 108 = 10 días
Los 6 monos nuevos, ¿qué porcentaje de aumento significan sobre los que ha-bía?
30 + = 36 → 3 000 + 30x = 3 600 → 30x = 600 → x = 20 El aumento es de un 20%.
La semana pasada también trajeron monos nuevos al parque. Supuso un au-mento del 50% sobre los que había. ¿Cuántos trajeron?
x + = 30 → 100x + 50x = 3 000 → 150x = 3 000 → x = 20
Había 20 monos. Trajeron 30 – 20 = 10 monos.
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1
Construye una proporción con estos números: a) 21, 6, 8, 28 b) 10, 6, 15, 4.a) = b) =
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Calcula el término desconocido: a) = ; b) = ; c) =a) x = = 40 b) x = = 14 c) x = 35 · 24 = 20 42 21 · 10 15 16 · 15 6 42 35 24 x 21 15 x 10 15 x 6 16 10 15 4 6 8 28 6 21 50 · x 100 30 · x 100 +50% 30 monos 36 monos ?
3
Di si existe proporcionalidad directa o inversa entre estos pares de magnitudes: a) Número de botellas de zumo compradas – coste total.b) Número de conejos de un corral – tiempo en el que consumen 100 kg de al-falfa.
c) Volumen de un recipiente – tiempo que se tarda en llenarlo con un cierto grifo.
a) Directa b) Inversa c) Directa
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Completa la tabla sabiendo que A y B son inversamente proporcionales:Página 50
1
Un barreño de 150 litros se llena con un grifo que mana 5 litros por minuto. ¿Qué caudal de agua se necesita para llenar una balsa de 2 400 litros en el mis-mo tiempo?150 : 5 = 30 minutos tarda en llenarse el barreño a 5 l/min 2 400 : 30 = 80 l/min se necesitan para llenar 2 400 l en 30 min
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En una granja, 16 conejos consumen 100 kg de alfalfa en 12 días. ¿Cuántos días pueden comer 6 conejos con 100 kg de alfalfa?16 · 12 = 192 días podría comer un conejo con 100 kg de alfalfa 192 : 6 = 32 días pueden comer 6 conejos con 100 kg de alfalfa
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Si 15 l de agua se convierten en 16 l de hielo, ¿qué volumen ocuparán, al conge-larse, 2 m3de agua?2 m3= 2 000 l. Son magnitudes directamente proporcionales.
x = 2 133,33 l
Ocuparan 2 133,33 l; es decir, aproximadamente 2,13 m3.
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Un grifo que mana 5 litros por minuto llena un cierto barreño en 30 minutos. ¿Qué caudal debe tener otro grifo que lo llena en 40 minutos?Son magnitudes inversamente proporcionales.
x = 5 · 30 3,75 l/min. 40 5 l/min → 30 min x → 40 min 2 000 · 16 15 15 l agua → 16 l hielo 2 000 l agua → x 40 10 120 1 12 4 1 MAGNITUDA MAGNITUDB 40 120 10 120 1 480 12 4 48 4 480 1 MAGNITUDA MAGNITUDB
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Para calentar una pieza de hierro de 1 240 g de 10 °C a 150 °C se han necesi-tado 18 228 cal. ¿Cuántas calorías se necesitarán para subir una pieza de 3 480 g de hierro de 0 °C a 210 °C?Se necesitarán 76 734 calorías. Otra forma:
18 228 : 1 240 = 14,7 calorías se necesitan para aumentar a 1 g de hierro en 140 °C su temperatura.
14,7 : 140 = 0,105 calorías se necesitan para aumentar a 1 g de hierro en 1 °C su temperatura.
0,105 · 3 480 = 365,4 calorías se necesitan para aumentar a 3 480 g de hierro en 1 °C su temperatura.
365,4 · 210 = 76 734 calorías se necesitan para aumentar a 3 480 g de hierro en 210 °C su temperatura.
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Para calentar una pieza de hierro de 1 240 g de 10 °C a 150 °C se han necesi-tado 18 228 cal. ¿A qué temperatura se pondrá una pieza de hierro de 5 kg que está a 20 °C, si se le suministran 20 000 cal?38,1 + 20 = 58,1 °C alcanzará de temperatura. Otra forma:
1 240 · 140 = 173 600 °C sube 1 g con 18 228 calorías. 173 600 : 18 228 = 9,52 °C sube 1 g con 1 caloría.
→ → 1 240 140 18 228 1 1 = 0,105 3 480 210 0,105 · 3 480 · 210 = 76 734 18 228 1 240 · 140
PESO(g) SALTO TÉRMICO(°C) CALOR(calorías)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA PROP. DIRECTA → → 1 240 18 228 140 1 1 9,52 5 000 20 000 · 20 000 38,1 5 000 140 · 1 240 18 228 140 · 1 240 18 228
PESO(g) CALOR(calorías) SALTO TÉRMICO(°C)
PROPORCIONALIDAD INVERSA
9,52 · 20 000 = 190 476,19 °C sube 1 g con 20 000 calorías. 190 476,19 : 5 000 = 38,10 °C suben 5 kg con 20 000 calorías.
38,1 + 20 = 58,1 °C alcazarán 5 kg que estaban a 20 °C con 20 000 calorías.
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En los trabajos de una autopista, 20 camiones trabajando 8 horas diarias lo-gran llevar del tajo a la escombrera 4 dam3de tierra cada día. ¿Cuánta tierra moverán en un día 12 camiones trabajando en turnos de 10 horas diarias?Moverán 3 dam3en un día.
Otra forma:
4 : 20 = 0,2 dam3mueve un camión en 1 día a 8 horas diarias. 0,2 : 8 = 0,025 dam3mueve un camión en una hora.
0,025 · 12 = 0,3 dam3mueven 12 camiones en una hora.
0,3 · 10 = 3 dam3mueven 12 camiones en 1 día a 10 horas diarias.
8
Para que un gramo de agua suba un grado se necesita una caloría. ¿Cuánto ca-lor es necesario para subir a punto de ebullición un litro de agua que sale del grifo a 12 °C? Se necesitan 88 000 calorías. 1 1 1 1 000 100 – 12 = 88 88 000 → → 20 8 4 1 1 = 0,025 12 10 0,025 · 12 · 10 = 3 4 20 · 8Nº– DE CAMIONES Nº– DE HORAS DIARÍAS TIERRA EN1 DÍA(dam3)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
PROP. DIRECTA
→
→
PESO(g) SALTO TÉRMICO(°C) CALOR(calorías)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
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Una piara de 23 cerdos se come, en 50 días, 2 990 kg de pienso. ¿Cuántos días duran 6 240 kg de pienso a 75 cerdos?Los 6 240 kg de pienso los consumen 75 cerdos en 32 días.
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Tres socios pusieron 2, 3 y 6 millones de euros, respectivamente, para crear una empresa.a) ¿Qué parte de las ganancias corresponderá a cada uno?
b) Si las ganancias del primer año fueron de 75 900 €, ¿cuánto corresponderá a cada uno?
a) 1º– → Ha puesto 2 partes → le corresponden de las ganancias.
2º– → Ha puesto 3 partes → le corresponden de las ganancias.
3º– → Ha puesto 6 partes → le corresponden de las ganancias.
Total = 11 partes
b) 1º– → de 75 900 = 13 800 € le corresponden.
2º– → de 75 900 = 20 700 € le corresponden.
3º– → de 75 900 = 41 400 € le corresponden.
2
¿Es lo mismo repartir en partes proporcionales a 2, 3 y 4 que repartir en partes proporcionales a 6, 9 y 12? Justifica tu respuesta comparando las fracciones co-rrespondientes al reparto en cada clase.Sí es lo mismo. Veámoslo: 2º–caso Suma = 6 + 9 + 12 = 27 6 2 9 3 12 4 Fracciones → — = —, –– = ––, –– = –– 27 9 27 9 27 9 1er– caso Suma = 2 + 3 + 4 = 9 2 3 4 Fracciones → ––, ––, –– 9 9 9 6 11 3 11 2 11 6 11 3 11 2 11 → → 23 2 990 50 1 1 75 6 240 6 240 · 50 · 232 990 · 75 = 32 50 · 23 2 990
Nº– DE CERDOS PIENSO DÍAS
PROPORCIONALIDAD INVERSA
3
¿Cómo se podrían repartir 2 310 € entre tres hermanos de forma que al mayor le corresponda la mitad que al menor y a este el triple que al mediano?Si dividimos en 11 partes iguales, al mayor le corresponden 3 partes, al mediano 2 partes y al pequeño 6.
2 310 : 11 = 210 € por cada parte. Por tanto:
Mayor → 3 partes → 210 · 3 = 630 € le corresponden. Mediano → 2 partes → 210 · 2 = 420 € le corresponden. Menor → 6 partes → 210 · 6 = 1 260 € le corresponden.
Suma = 11 partes
4
Tres personas poseían 1/3, 2/9 y 1/6, respectivamente, de una urbanización, junto con un cuarto socio que se retira llevándose su parte. ¿Qué parte de lo que queda corresponde a cada uno?Al principio tenían: 1º– → =
2º– → Suma: =
3º– → =
El cuarto socio tenía .
Si dividiéramos el total en 18 partes, entre los tres primeros tenían 13 de esas partes; y las 5 partes que tenía el 4-º, se las tienen que repartir proporcionalmen-te entre los tres socios que quedan.
Así, ahora habrá que dividir el total en 13 partes y cada uno tendrá: 1º– → del total.
2º– → del total.
3º– → del total.
Suma = 1
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Reparte 17 camellos proporcionalmente a 1/2, 1/3 y 1/9.= = Suma: = 2 18 1 9 17 18 6 18 1 3 9 18 1 2 3 13 4 13 6 13 5 18 3 18 1 6 1 6 4 18 2 9 13 18 2 9 6 18 1 3 1 3
El reparto será: = = → 9 camellos
= = → 6 camellos
= = → 2 camellos
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1
Si mezclamos 12 kg de café de 12,40 €/kg con 8 kg de café de 7,40 €/kg, ¿cuál será el precio de la mezcla?Precio de la mezcla = = = 10,4 €/kg
2
Si mezclamos un lingote de 3 500 g con un 80% de oro con otro lingote de 1 500 g con un 95% de oro, ¿qué proporción de oro habrá en el lingote resul-tante?Proporción de oro en el lingote = = 0,845. Tiene el 84,5% de oro.
3
Un barril contiene 1 hl de vino de alta graduación, cotizado a 3,60 €/l. Para rebajar el grado alcohólico se le añaden 20 litros de agua. ¿Cuál es ahora el precio del vino?Precio mezcla = = = = 3 €/l
4
Un litro de agua pesa 999,2 g, y un litro de alcohol, 794,7 g.¿Cuál es el peso de un litro de la disolución obtenida al mezclar 3 l de agua con 7 l de alcohol? Peso de 1 l de disolución = = 8 560,5 g = 856,05 g 10 Peso total Cantidad total 360 € 120 l 100 · 3,6 € 100 + 20 l Precio total Cantidad total 4 225 5 000 208 20 Coste total Peso total 2 17 18 153 1/9 17/18 6 17 18 51 1/3 17/18 9 17 18 34 1/2 17/18 12 kg 12,4 €/kg 12 · 12,4 = 148,8 € 8 kg 7,4 €/kg 8 · 7,4 = 59,2 € 20 kg 208 €
CANTIDAD PRECIO COSTE
CAFÉ SUPERIOR CAFÉ INFERIOR MEZCLA 3 500 g 80% 3 500 · 0,8 = 2 800 g 1 500 g 95% 1 500 · 0,95 = 1 425 g 5 000 g 4 225 g
PESO PORCENTAJE ORO PESO DE ORO
1er– LINGOTE 2º– LINGOTE MEZCLA 3 l 999,2 g 3 · 999,2 = 2 997,6 g 7 l 794,7 g 7 · 794,7 = 5 562,9 g 10 l 8 560,5 g
CANTIDAD PESO POR LITRO PESO TOTAL
AGUA ALCOHOL MEZCLA
5
Un joyero quiere fundir un lingote de 2 kg de oro de ley 0,85 con otro lingote de 1,5 kg de oro y cuya ley es 0,9. ¿Cuál es la ley del lingote resultante? (La ley de una aleación es el cociente entre el peso del metal precioso y el peso total de la aleación).Ley del lingote resultante = = = 0,87
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1
Un coche va a 120 km/h y un camión a 90 km/h.a) Si el coche sigue al camión a 75 km de distancia, ¿cuánto tardará en alcan-zarlo?
b) Si están a 504 km y se dirigen uno hacia el otro, ¿cuánto tardarán en cru-zarse?
a) Se aproximan a razón de 120 – 90 = 30 km/h.
t = = = 2,5 horas = 2 horas 30 minutos b) Se aproximan a razón de 120 + 90 = 210 km/h.
t = = = 2,4 horas = 2 horas 24 minutos
2
Un tren que avanza a una velocidad de 70 km/h, lleva una ventaja de 90 km a otro tren que avanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el segundo en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo.Se aproximan a razón de 110 – 70 = 40 km/h.
t = = = 2,25 horas = 2 horas 15 minutos
Lo alcanza a las 2 horas y 15 minutos. Habrá recorrido una distancia de:
d = v · t = 110 · 2,25 = 247,5 km
3
Dos manantiales vierten sus aguas en un depósito de 345 litros de capacidad. Si el caudal del primero es de 50 l/min, y el del segundo, 40 l/min, ¿cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito?Entre los dos arrojan un caudal de 50 + 40 = 90 l/min. Por tanto, tardarán en llenar el depósito de 345 l:
t = = 23 de hora = 3 horas 50 minutos 6 345 90 90 40 d v 504 210 d v 75 30 d v 3,05 3,5 Cantidad de oro Cantidad total 2 kg 0,85 2 · 0,85 = 1,7 kg 1,5 kg 0,9 1,5 · 0,9 = 1,35 kg 3,5 kg 3,05 kg
CANTIDAD LEY CANTIDAD DE ORO
1er– LINGOTE
2º– LINGOTE
4
Una balsa contiene 28 600 l de agua para riego. Se abren simultáneamente el desagüe de la balsa, que emite 360 l /min, y un grifo que alimenta a la balsa con 140 l /min.¿Cuánto tarda la balsa en vaciarse?
360 – 140 = 220
La balsa se vacía a razón de 220 litros cada minuto. 28 600 : 220 = 130
La balsa se vacía en 130 minutos = 2 h 10 min.
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Cálculo mental
Expresa en forma decimal los siguientes porcentajes:
a) 20% b) 3%
c) 17% d) 150%
a) 20% = = 0,2 b) 3% = = 0,03
c) 17% = = 0,17 d) 150% = = 1,5
Cálculo mental
¿Qué tanto por ciento representa cada cantidad respecto a su total? a) 10 respecto a 20 b) 10 respecto a 40 c) 2 respecto a 10 d) 3 respecto a 4 a) · 100 = 50% b) · 100 = 25% c) · 100 = 20% d) · 100 = 75%
1
Calcula: a) El 12% de 500 b) El 110% de 2 980 c) El 8,5% de 250 d) El 10% de 2 980 a) 500 · 0,12 = 60 b) 2 980 · 1,1 = 3 278 c) 250 · 0,085 = 21,25 d) 2 980 · 0,1 = 2982
Calcula el tanto por ciento que representa:a) 96 respecto a 480 b) 16 respecto a 320 c) 850 respecto a 5 000 d) 72,25 respecto a 850 3 4 2 10 10 40 10 20 150 100 17 100 3 100 20 100
a) · 100 = 20% b) · 100 = 5%
c) · 100 = 17% d) · 100 = 8,5%
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Cálculo mental
¿Qué índice de variación corresponde a los siguientes aumentos porcentuales?
a) 25% b) 40% c) 5% d) 90% e) 110% f) 200%
a) 1,25 b) 1,4 c) 1,05 d) 1,9 e) 2,1 f ) 3
Cálculo mental
¿Qué índice de variación corresponde a las siguientes disminuciones porcentuales?
a) 35% b) 40% c) 12% d) 5% e) 90% f) 1%
a) 0,65 b) 0,6 c) 0,88 d) 0,95 e) 0,1 f ) 0,99
3
En un pantano había 340 hl de agua. Este verano ha disminuido un 43%. ¿Cuánta agua queda en el pantano?1 – 0,43 = 0,57
340 · 0,57 = 193,8 hl de agua quedan en el pantano.
4
Ciertas acciones valían a principios de este año 7,85€, pero han subido ¡un 120%! ¿Cuánto valen ahora?1 + 1,20 = 2,20 7,85 · 2,20 = 17,27 €
Ahora vale 17,27 € cada acción.
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En unas rebajas en las que se hace el 30% de descuento, Álvaro ha comprado un reloj por 49 €. ¿Cuál era su precio inicial?49 : 0,70 = 70 € costaba el reloj antes de la rebaja.
6
¿Cuánto mide una goma que, al estirarla, aumenta su longitud en un 30% y, en esta posición, mide 104 cm?104 : 1,30 = 80 cm mide la goma.
7
Después de distribuir el 27% de las cajas que había en un almacén, han que-dado 38 690. ¿Cuántas cajas había?1 – 0,27 = 0,73 38 690 : 0,73 = 53 000 cajas había. 72,25 850 850 5 000 16 320 96 480
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Un comerciante aumenta el precio de sus productos un 40% y, después, pre-tendiendo dejarlos al precio inicial, los rebaja un 40%.a) Una chaqueta que inicialmente costaba 100€, ¿cuánto costará en cada paso del proceso?
b) ¿Cuál es la variación porcentual que sufren los artículos respecto al precio inicial?
+40% –40%
a) 100 € → 100 · 1,4 = 140 € → 140 · 0,60 = 84 € → Se rebajan un 16%.
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Un capital de 28 000 € se deposita en un banco de modo que da unos intere-ses del 10% al año. ¿En cuánto se habrá covertido al cabo de 3 años?28 000 € ↓+10% 28 000 · 1,1 ← Primer año ↓+10% 28 000 · 1,1 · 1,1 ← Segundo año ↓+10% 28 000 · 1,1 · 1,1 · 1,1 = 37 268 € ← Tercer año Página 58
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¿En cuánto se transforma un capital de 100 000€ colocado al 3,6% anual du-rante 3 años?Cada año se multiplica por 1,036. Al cabo de 3 años serán: 100 000 · 1,0363= 111 193,47 €
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¿En cuánto se transforma un capital de 100 000€ colocado al 0,3% mensual durante 3 años?Cada mes se multiplica por 1,003.
Tres años son 36 meses. Al cabo de tres años serán: 100 000 · 1,00336= 111 386,76 € 1,4 · 0,60 = 0,84 0,84 – 1 = –0,16 b)
