Unidad 7: Trigonometría.

Unidad 7: Trigonometría.

7.1 Medida de un ángulo.

7.1.1 Ángulo.

Es la abertura comprendida entre dos semirrectas que tienen un punto en común, llamado vértice.

Los ángulos se representan por: ∠𝐴, ∠𝐵𝐴𝐶, â o con las letras del alfabeto griego.

7.1.2 Sistemas de medición de ángulos.

7.1.2.1 Sistema sexagesimal.

En este sistema se divide a la circunferencia en 360 partes llamadas grados, el grado en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos.

1° = 60′ ; 1′= 60"

7.1.2.2 Sistema cíclico o circular.

Este sistema tiene como unidad fundamental el radián es el ángulo central subtendido por un arco, igual a la longitud del radio del circulo y se llama valor natural o valor circular del ángulo.

Lado inicial Lado final A B C â A B O r r r a

7.1.3 Conversión de grados a radianes y radianes a grados.

▪ Para convertir grados en radianes se multiplica el número en grados por el factor 𝜋

180°,

el resultado se simplifica, de ser posible.

▪ Para convertir radianes en grados se multiplica el número en radianes por el factor 180°

𝜋 ,

el resultado se simplifica, de ser posible.

Ejemplos:

1.- 60° en radianes se expresa como: a) 𝜋 4 rad b) 𝜋 3 rad c) 𝜋 6 rad d) 𝜋 2 rad Solución:

▪ Se multiplica 60° por el factor 𝜋

180°: 60 ( 𝜋 180°) = 60°𝜋 180 = 1𝜋 3 = 𝜋 3 rad 2.- 5𝜋

6 en grados, se expresa como:

a) 120° b) 60° c) 150° d) 225° Solución: ▪ Se multiplica 5𝜋 6 por el factor 180° 𝜋 : (5𝜋 6) ( 180° 𝜋 ) = 900°𝜋 6𝜋 = 150°

7.2 Razones trigonométricas.

7.2.1 Triángulo rectángulo.

Es el triángulo que tiene un ángulo recto (90°); a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y el lado que se opone a dicho ángulo se llama hipotenusa.

7.2.1.1 Teorema de Pitágoras.

Establece la relación de los lados de un triángulo rectángulo.

(hipotenusa)2_{= (cateto 1)}2_{+ (cateto 2)}2

Ejemplos:

¿Cuál es el valor de lado 𝑥 en el siguiente triángulo?

a) 12 b) 17 c) 24 d) 28

Solución:

▪ Al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:

(hip)2= (cat 1)2+ (cat 2)2 → (25)2= (7)2+ (𝑥)2 → 625 = 49 + 𝑥2 625 − 49 = 𝑥2 576 = 𝑥2 𝑥 = √576 = 24 A B C _x 7 25

7.2.1.2 Razones trigonométricas.

Abreviatura Abreviatura

Seno =cateto opuesto

hipotenusa sen 𝜃 Cotangente =

cateto adyacente

cateto opuesto cot 𝜃 = ctg 𝜃

Coseno =cateto adyacente

hipotenusa cos 𝜃 Secante =

hipotenusa

cateto adyacente sec 𝜃

Tangente = cateto opuesto

cateto adyacente tan 𝜃 = tg 𝜃 Cosecante =

hipotenusa

cateto opuesto csc 𝜃

En el triángulo 𝐴𝐵𝐶 los catetos se designan de acuerdo al ángulo del que se desea obtener sus razones trigonométricas.

Ejemplos:

1.- ¿Cuál es el coseno del ángulo 𝐵 en el siguiente triángulo?

a) 6 10 b) 8 6 c) 10 6 d) 8 10 A B C _a b c Para el ángulo A: c = hipotenusa a = cateto opuesto b = cateto adyacente Para el ángulo B: c = hipotenusa b = cateto opuesto a = cateto adyacente A B C ₈ 6 10

Solución:

▪ Para el ángulo 𝐵:

cateto opuesto = 6 cateto adyacente = 8 hipotenusa = 10 ▪ Luego:

cos 𝐵 =cateto adyacente hipotenusa =

8 10 2.- De acuerdo con la figura, la razón 𝑞

𝑝 corresponde a la función:

a) tan 𝑄 b) sen 𝑃 c) cos 𝑄 d) sec 𝑃

Solución:

▪ Para el ángulo 𝑄

cateto opuesto = 𝑞 cateto adyacente = 𝑝 hipotenusa = 𝑟 ▪ La razón 𝑞

𝑝 es:

𝑞 𝑝=

cateto opuesto

cateto adyacente= tan 𝑄

3.- En el siguiente triángulo el seno del ángulo 𝑀 y la secante de 𝑁 son: Q P R _q p r M N R ₂ √3 7

a) √3 7 , 7 2 b) 2 7, 7 2 c) 7 √3, √3 2 d) √3 2 , 7 √3 Solución: ▪ Para el ángulo 𝑀:

cateto opuesto = 2 _{cateto adyacente = √3} hipotenusa = 7

▪ La razón trigonométrica seno se define por: sen 𝑀 =cateto opuesto

hipotenusa = 2 7 ▪ Para el ángulo 𝑁:

cateto opuesto = √3 cateto adyacente = 2 hipotenusa = 7 ▪ La razón trigonométrica secante se define por:

sen 𝑀 = hipotenusa cateto adyacente=

7 2

7.3 Solución de triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de los ángulos y lados faltantes en función de los datos proporcionados.

▪ Para resolver un triángulo se utiliza tanto el teorema de Pitágoras como las funciones trigonométricas.

7.3.1 Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables 0°, 90°, 180°, 270° y

360°.

Radianes 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 𝜋 3𝜋 2 2𝜋 Grados 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎° 𝟏𝟖𝟎° 𝟐𝟕𝟎° 𝟑𝟔𝟎° Seno 0 1 2 √2 2 √3 2 1 0 −1 0 Coseno 1 √3 2 √2 2 1 2 0 −1 0 1 Tangente 0 √3 3 1 √3 ∞ 0 −∞ 0

Ejemplos:

1.- El valor de los lados 𝑥, 𝑦 y el ángulo 𝐵 es:

Solución:

▪ La suma de ángulos agudos es 90°:

∠𝐴 + ∠𝐵 = 90° → 30° + ∠𝐵 = 90° ∠𝐵 = 90° − 30°

∠𝐵 = 60°

▪ Para el ángulo 𝐴 = 30°

cateto opuesto = 2 cateto adyacente = 𝑥 hipotenusa = 𝑦

▪ El valor de 𝑥 se obtiene utilizando la función trigonométrica que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente:

tan 30° =2 𝑥 → 𝑥 tan 30° = 2 → 𝑥 = 2 tan 30°= 2 √3 3 = 6 √3

▪ El valor de 𝑦 se obtiene utilizando una función trigonométrica que relacione el cateto opuesto y la hipotenusa: sen 30° =2 𝑦 → 𝑦 sen 30° = 2 → 𝑥 = 2 sen 30°= 2 1 2 = 4 2.- En el siguiente triángulo: A B C ₂ x 30° y

El valor de 𝑥 se obtiene con la expresión: a) tan 40° 3 b) 3 sen 40° c) 3 tan 40° d) sen 40° 3 Solución: ▪ Para el ángulo 𝐴 = 40°:

cateto opuesto = 𝑥 y cateto adyacente = 3

▪ Se elige la función que relacione el cateto opuesto y el cateto adyacente: tan 𝐴 = cateto opuesto

cateto adyacente → tan 40° = 𝑥 3 →

𝑥 = 3 tan 40°

3.- Si cos 𝐴 =2

5 , el valor de sen 𝐴 es:

a) 5 2 b) √21 5 c) √21 2 d) 2 √21 Solución:

▪ La razón coseno se define por: cos 𝐴 =2

5=

cateto adyacente hipotenusa

▪ Se construye un triángulo con ∠𝐴 uno de los ángulos agudos y se colocan los datos: A B C _x 3 40° y A 2 x 5

▪ Se aplica el teorema de Pitágoras para determinar el valor del lado restante: 52= 𝑥2+ 22 → 𝑥2= 25 − 4 → 𝑥2= 21 → 𝑥 = √21

▪ Por consiguiente, la función seno se define como:

sen 𝐴 =cateto opuesto hipotenusa =

𝑥 5=

√21 5

7.4 Ley de los senos y ley de los cosenos.

Se aplican para la resolución de triángulos oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un ángulo de 90°.

7.4.1 Ley de los senos.

La razón que existe entre un lado del triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado, es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.

Se aplican si se conocen:

▪ Dos lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados. ▪ Dos ángulos y un lado opuesto a uno de esos ángulos.

Ejemplos:

1.- El valor de 𝑎 en el triángulo, se resuelve con la operación: A B a C b c 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝐴= 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐵= 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐶

a) 15 sen 60° sen 50° b) sen 50° 15 sen 60° c) sen 60° 15 sen 50° d) 15 sen 50° sen 60° Solución:

▪ Por la ley de los senos 𝑎

sen 50°= 15 sen 50°=

𝑏

sen 𝐵, se toma la primera igualdad para despejar

𝑎, entonces: 𝑎 sen 50°= 15 sen 50° → 𝑎 =15 sen 50° sen 50°

2.- El ángulo 𝐶 se obtiene con la expresión:

a) sen 𝐶 =9 sen 75° 11 b) sen 𝐶 = 11 sen 75° 9 c) sen 𝐶 = 9 11 sen 75° d) sen 𝐶 = 11 9 sen 75° Solución:

▪ Por ley de senos 𝑎

sen 𝐴= 11 sen 75°=

9

sen 𝐶, se toma la igualdad 11 sen 75°= 9 sen 𝐶 y se despeja 𝐶: 11 sen 75°= 9 sen 𝐶 → 11 sen 𝐶 = 9 sen 75° → sen 𝐶 =9 sen 75° 11 A B a C b 15 30° 60° A B a C 11 9 75°

7.4.2 Ley de los cosenos.

El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.

Se aplica si se conocen:

▪ Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ▪ Tres lados.

Ejemplos:

1.- El valor del lado 𝑐 en el siguiente triángulo, se obtiene con la expresión:

a) 𝑐 = √(9)2_{− (12)}2_{− 2(9)(12) cos 55° b) 𝑐 = √(9)}2_{+ (12)}2_{− 2(9)(12) cos 79°}

c) 𝑐 = √(9)2_{+ (12)}2_{− 2(9)(12) cos 55° d) 𝑐 = √(9)}2_{+ (12)}2_{+ 2(9)(12) cos 55°}

Solución:

▪ El lado 𝑐 se obtiene con la fórmula: 𝑐2_{= 𝑎}2_{+ 𝑏}2_{− 2𝑎𝑏 cos 𝐶 →} 𝑐 = √𝑎2_{+ 𝑏}2_{− 2𝑎𝑏 cos 𝐶} A B a C b c a = √𝑏2+ 𝑐2− 2𝑏𝑐 cos 𝐴 → cos 𝐴 =𝑏 2_+𝑐2_−𝑎2 2𝑏𝑐 b = √𝑎2_{+ 𝑐}2_{− 2𝑎𝑐 cos 𝐵 → cos 𝐵 =}𝑎2+𝑐2−𝑏2 2𝑎𝑐 c = √𝑎2_{+ 𝑏}2_{− 2𝑎𝑏 cos 𝐶 → cos 𝐶 =}𝑎2+𝑏2−𝑐2 2𝑎𝑏 A B a = 9 C b = 12 c 79° 55°

▪ Por tanto, 𝑐 = √(9)2_{+ (12)}2_{− 2(9)(12) cos 55°}

2.- En el triángulo 𝐴𝐵𝐶, el valor del ángulo 𝐴 se obtiene con la expresión:

a) cos 𝐴 =(6)2+(7)2−(10)2 2(6)(7) b) cos 𝐴 = (10)2+(7)2−(6)2 2(10)(6) c) cos 𝐴 =(10)2+(6)2−(7)2 2(10)(6) d) cos 𝐴 = (10)2+(7)2−(6)2 2(10)(7) Solución:

▪ En el triángulo se conocen los tres lados, el ángulo 𝐴 se obtiene con la fórmula: cos 𝐴 =𝑏

2_{+ 𝑐}2_{− 𝑎}2

2𝑏𝑐

▪ Por consiguiente, cos 𝐴 =(10)2+(7)2−(6)2

2(10)(7)

7.5 Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante.

7.5.1 Signos de las funciones trigonométricas.

I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante

Seno + + - - Coseno + - - + Tangente + - + - Cotangente + - + - Secante + - - + Cosecante + + - - A B a = 6 C b = 10 c = 7

7.6 Funciones para ángulos mayores a 90°.

Cualquier función trigonométrica de un ángulo mayor a 90° se expresa en la forma (𝑛 ∗ 90° ± 𝜃), conservando el signo correspondiente a la función dada, donde 𝑛 es un entero positivo y 𝜃 es un ángulo cualquiera, el cual equivale a:

▪ La misma función de 𝜃 si 𝑛 es un número par.

▪ La cofunción correspondiente de 𝜃 si 𝑛 es un número impar.

Ejemplos:

1.- El valor de cos 150° es equivalente a:

a) −cos 30° b) cos 60° c) −cos 60° d) cos 30°

Solución:

▪ El ángulo de 150° se encuentra en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo, luego:

150° = (2 ∗ 90° − 30°)

▪ El número que multiplica a 90° es par, el resultado se expresa con la misma función, por tanto:

cos 150° = −cos 30°

2.- El valor de 300° es equivalente a:

a) sen 60° b) sen 30° c) −cos 30° d) −cos 60°

Solución:

▪ El ángulo de 300° se encuentra en el cuarto cuadrante, donde coseno es positivo, luego: 300° = (3 ∗ 90° + 30°) Función seno tangente secante Cofunción coseno cotangente cosecante

▪ El número que multiplica a 90° es impar, el resultado se expresa con la cofunción: cos 300° = sen 30°

3.- El valor de tan 135° es equivalente a:

a) √2 b) −1 c) −√2 d) 1

Solución:

▪ El ángulo de 135° se encuentra en el segundo cuadrante, donde la tangente es negativa, por tanto:

tan 135° = tan(2 ∗ 90° − 45°) = − tan 45° = −1

7.7 Identidades trigonométricas básicas.

Son las relaciones que existen entra las razones trigonométricas y se dividen en:

a) Identidades recíprocas

sen 𝜃 ∗ csc 𝜃 = 1 tan 𝜃 ∗ cot 𝜃 = 1 cos 𝜃 ∗ sec 𝜃 = 1

b) Identidades del cociente

tan 𝜃 =sen 𝜃

cos 𝜃 cot 𝜃 =

cos 𝜃 sen 𝜃

c) Identidades pitagóricas

sen2θ + cos2θ = 1 tan2θ + 1 = sec2θ cot2θ + 1 = csc2θ

Ejemplos:

1.- La expresión sen 𝜃 es equivalente a: a) 1 cos 𝜃 b) 1 sec 𝜃 c) 1 csc 𝜃 d) 1 sec 𝜃 Solución:

sen 𝜃 = 1 csc 𝜃

2.- La expresión cos 𝜃 es equivalente a: a) tan 𝜃 csc 𝜃 b) cot 𝜃 csc 𝜃 c) 1 sen 𝜃 d) sen 𝜃 cot 𝜃 Solución:

▪ Se comprueba cada uno de los incisos: tan 𝜃 csc 𝜃= sen 𝜃 cos 𝜃 1 sen 𝜃 =sen 𝜃 ∗ sen 𝜃 cos 𝜃 = sen2θ

cos 𝜃 , no es la respuesta correcta.

cot 𝜃 csc 𝜃= cos 𝜃 sen 𝜃 1 sen 𝜃 =sen 𝜃 ∗ cos 𝜃

sen 𝜃 = cos 𝜃 , la respuesta es correcta. 1 sen 𝜃= 1 1 cos 𝜃 =cos 𝜃 1 , la respuesta no es correcta. sen 𝜃 cot 𝜃 = 1 cos 𝜃 cos 𝜃 sen 𝜃 = sen 𝜃

cos2_θ, la respuesta no es correcta.

3.- Una expresión equivalente a cot 𝜃 es:

a) 1 √sen2_θ−1 b) √sen 2_{θ − 1 c)} 1 √1−sen2_θ d) √1 − sen 2_θ Solución:

▪ De la expresión tan 𝜃 ∗ cot 𝜃 = 1, se despeja cot 𝜃, entonces cot 𝜃 = 1

tan 𝜃

▪ De la expresión tan2_{θ + 1 = sec}2_{θ, se despeja tan 𝜃:}

tan2θ + 1 = sec2θ → tan2θ = sec2θ − 1 → _{tan 𝜃 = √sec}2_{θ − 1}

▪ Por tanto:

cot 𝜃 = 1 tan 𝜃=

1 √sec2_{θ − 1}

7.8 Funciones trigonométricas.

7.8.1 Función seno (y = sen x).

Gráfica: Propiedades Dominio = (−∞, ∞) Rango= [−1, 1] Periodo = 2𝜋 Amplitud = 1d Es creciente en el intervalo (0,𝜋 2) ∪ ( 3𝜋 2 , 2𝜋) Es decreciente en el intervalo (𝜋 2, 𝜋) ∪ (𝜋, 3𝜋 2)

7.8.2 Función coseno (y = cos x).

Gráfica: Propiedades Dominio = (−∞, ∞) Rango = [−1, 1] Periodo = 2𝜋 Amplitud = 1 Es creciente en el intervalo (𝜋, 2𝜋) Es decreciente en el intervalo (0, 𝜋)

7.8.3 Función tangente (y = tan x).

Gráfica: Propiedades Dominio = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠𝜋 2(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍} Rango = (−∞, ∞) Periodo = 𝜋 Asíntotas = {𝑥 =𝜋 2(2𝑘 + 1) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑍}