y + P (x) y + Q(x) y = r(x) (1)

Texto completo

(1)

ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matem´aticas

MA-841: Ecuaciones Diferenciales Profesor: Eduardo Uresti Lectura #14

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2.6 M´etodo de Variaci´on de Par´ametros 2.6.1 Introducci´on

En esta secci´on veremos un m´etodo general para obtener una soluci´on particular a una ecuaci´on diferencial(ED) lineal no homog´enea de orden 2. Este m´etodo, conocido como el m´etodo de variaci´on de par´ametros, se basa en la suposici´on de que una soluci´on particular debe ser parecida a la soluci´on a la homog´enea auxiliar; la diferencia radica en suponer que los par´ametros constantes que aparecen en ella, C1 y C2, ahora son variables. Las funciones

que los reemplazan se convierten ahora en funciones de x que debemos despejar.

El presente m´etodo se aplica sin importar la naturaleza de r(x), a diferencia del m´etodo de coeficientes indeterminados(CI) el cual s´olo aplica cuando r(x) tiene una forma espec´ıfica que se incluye en la tabla. Es decir el m´etodo de variaci´on de par´ametros es general con-trario al m´etodo de CI el cual tiene restricciones. Otra ventaja importante es que el m´etodo de variaci´on de par´ametros puede aplicar a´un y cuando la ED sea de coeficientes variables, contrario al m´etodo de CI que solo aplica en EDLCC.

Las desventajas que presenta este m´etodo son que uno debe conocer primeramente la soluci´on a la homog´enea auxiliar, y otra es que las integrales que aparecen en las f´ormulas pueden ser dif´ıciles de calcular.

En la siguiente secci´on veremos la deducci´on de las sendas f´ormulas del m´etodo. Poste-riormente veremos algunos ejemplos que ilustran su uso.

2.6.2 Deducci´on

La forma est´andar de la ED lineal no-homog´enea con la que vamos a trabajar es:

y

00

+ P (x) y

0

+ Q(x) y = r(x)

(1)

Observe que asumimos que el coeficiente de y00 es precisamente 1, y por consiguiente las f´ormulas que deduciremos deben usarse con este supuesto.

Asumimos que tenemos la soluci´on general a la ecuaci´on homog´enea auxiliar a (1):

y00+ P (x) y0+ Q(x) y = 0 (2)

Y que su soluci´on es:

y

h

= C

1

y

1

+ C

2

y

2

(3)

El m´etodo de variaci´on de par´ametros se basa en una idea simple: si la ED(2) se parece a la ED(1), la soluci´on a (2) deber´ıa parecerse a la soluci´on a ED(1). La similitud propuesta

(2)

es que la soluci´on buscada tiene la forma:

y

p

= U (x) y

1

+ V (x) y

2

(4)

Es decir, hemos supuesto que los par´ametros C1 y C2 dependen de x. Es decir que los

par´ametros constantes ahora var´ıan. ´Esta es la raz´on del nombre del m´etodo.

El problema consiste ahora en determinar estas dos funciones. El requisito es que (4) sea soluci´on a (1). Para poder sustituir determinemos las derivadas.

y0p = d dx(U y1+ V y2) = d dx(U y1) + d dx(V y2) = U d dxy1+ d dxU y1+ V d dxy2+ d dxV y2 = U y10 + U0y1+ V y20 + V0y2 y0p = U y10 + V y20 + y1U0+ y2V0  (5) Puesto que tendremos dos variables libres ,U y V , y una sola restricci´on, la que venga de la sustituci´on del yp en la ED, tenemos la posibilidad de adicionar una restricci´on adicional

para la determinaci´on de U y V . La que este m´etodo tiene es:

y1U0+ y2V0 = 0 (6)

De esta forma la primera derivada de yp en (5) queda

yp0 = U y01+ V y02 (7) Calculando ahora yp00: y00p = d dx U y 0 1+ V y20  = d dx U y 0 1  + d dx V y 0 2  y00p = U y100+ U0y01+ V y002+ V0y02 (8) Si sustituimos (7) y (8) en (1) obtenemos: U y001 + U0y01+ V y002 + V0y20 + P U y10 + V y20 + Q (U y1+ V y2) = r(x) (9)

Agrupando los t´erminos con U y V obtenemos: U y001 + P y01+ Q y1+ V y001 + P y 0

1+ Q y1+ y10 U 0

+ y20 V0 = r(x) (10) Puesto que y1 y y2 son soluciones a (2) entonces

y001+ P y10 + Q y1 = 0 (11)

(3)

Si sutituimos (11) y (12) en (10) obtenemos la condici´on para que yp sea soluci´on a la ED(1)

propuesta:

y10 U0+ y20 V0 = r(x) (13)

Resumiendo, para que yp = U y1+ V y2 sea soluci´on a la ED(1), U y V deben satisfacer:

y1U0+ y2V0 = 0

y10 U0+ y20 V0 = r(x) (14)

El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las inc´ognitas U0 y V0. Si aplicamos la regla de cramer para resolverlo tenemos que:

U0 = W1 W (15) y V0 = W2 W (16) Donde W = y1 y2 y10 y02 , W1 = 0 y2 r(x) y02 , W2= y1 0 y10 r(x) (17) De donde, si desarrollamos los deteminantes, obtenemos:

U0= − y2r(x) y1y20 − y10 y2

integrando respecto a x obtenemos:

U = −

Z

y

2

r(x)

y

1

y

02

− y

10

y

2

dx

(18)

y V0 = y1r(x) y1y02− y10 y2 integrando respecto a x:

V =

Z

y

1

r(x)

y

1

y

02

− y

10

y

2

dx

(19)

2.6.3 Ejemplos

1. Encuentre una soluci´on particular a:

y00− 2 y0+ y = x sabiendo que la soluci´on general a la homog´enea auxiliar es:

(4)

Sol

En este problema

y1 = ex

y2 = x ex

r(x) = x

(Una duda frecuente es sobre el orden en el cual deben elegirse las funciones y1 y y2. La

yp resultante ser´a la misma independientemente de cual se elija como y1 o y2, siempre y

cuando esta elecci´on se mentenga a lo largo de los c´alculos.) As´ı y10 = ex y20 = (x + 1) ex y y1y20 − y 0 1y2 = ex(x + 1) ex− exx ex= e2 x

Sustituyendo lo anterior en las f´ormulas (18) y (19):

U = − Z x exx e2 x dx = − Z x2e−xdx U = (x2+ 2 x + 2) e−x y V = Z exx e2 x dx = Z x e−xdx V = −(x + 1) e−x

( En ninguna de estas integrales se necesita poner las constantes de integraci´on. Esto se debe a que estas constantes se multiplicar´ıan por las funciones y1 y/o y2 las cuales podr´ıan

despu´es combinarse con las respectivas partes de la soluc´on a la homog´enea auxiliar haciendo redundante ponerlas o no, preferiremos no colocarlas. Un argumento extra ser´ıa que estas partes, las multiplicaciones de las constantes de integraci´on por las yis son innecesarias

debido a que se anulan en la ED por ser soluciones a la homog´enea auxiliar. Debido a esto las omitiremos.)

Continuando con los c´alculos:

yp = U y1+ V y2 = (x2+ 2 x + 2) e−xex+ −(x + 1) e−x x ex = (x2+ 2 x + 2) + (−(x + 1)) x = x2+ 2 x + 2 − x2− x yp = x + 2

(5)

2. Encuentre la soluci´on general a:

x2y00− 3 x y0+ 3 y = x2 Sol

Primero resolvamos la homog´enea auxiliar:

x2y00− 3 x y0+ 3 y = 0

Esta ecuaci´on es una ED de Cauchy-Euler, para resolverla planteamos la ecuaci´on carac-ter´ıstica:

r2+ (−3 − 1) r + 3 = r2− 4 r + 3 = (r − 3) (r − 1) = 0 Las ra´ıces son

r1= 3 y r2= 1

Por consiguiente aplica el caso I el cual dice que la soluci´on a la homog´egena de Cauchy-Euler tiene la forma:

yh = C1x3+ C2x

De donde deducimos que

y1 = x3

y2 = x

Pasemos ahora a determinar una soluci´on particular. Para poder utilizar las f´ormulas del m´etodo de variaci´on de par´ametros el coeficiente de y00 debe hacerse 1. Por consiguiente debemos dividir toda la ED entre x2 quedando la ED:

y00− 3 xy 0 + 3 x2, y = 1 Por consiguiente r(x) = 1

Uno de los principales errores que se comente en el uso de las f´ormulas anteriores es no tener esto en consideraci´on para determinar adecuadamente r(x).

Continuando con los c´alculos:

y01 = 3 x2 y02 = 1 y por tanto

y1y20 − y01y2 = x3− x 3 x2 = −2 x3

Sustituyendo lo anterior en las f´ormulas (18) y (19):

U = − Z x × 1 −2 x3 dx = 1 2 Z x−2dx U = −1 2 1 x

(6)

y V = Z x3× 1 −2 x3 dx = −1 2 Z dx V = −1 2x De donde: yp = U y1+ V y2 =  −1 2 1 x  x3+  −1 2x  x = −1 2x 21 2x 2 yp = −x2 De esa forma y = yh+ yp = C1x3+ C2x − x2

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :