y + P (x) y + Q(x) y = r(x) (1)

(1)

ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matem´aticas

MA-841: Ecuaciones Diferenciales Profesor: Eduardo Uresti Lectura #14

2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

2.6 Método de Variación de Parámetros 2.6.1 Introducción

En esta sección veremos un método general para obtener una solución particular a una ecuación diferencial(ED) lineal no homogénea de orden 2. Este método, conocido como el método de variación de parámetros, se basa en la suposición de que una solución particular debe ser parecida a la solución a la homogénea auxiliar; la diferencia radica en suponer que los parámetros constantes que aparecen en ella, C1 y C2, ahora son variables. Las funciones

que los reemplazan se convierten ahora en funciones de x que debemos despejar.

El presente método se aplica sin importar la naturaleza de r(x), a diferencia del método de coeficientes indeterminados(CI) el cual sólo aplica cuando r(x) tiene una forma espec´ıfica que se incluye en la tabla. Es decir el método de variación de parámetros es general con-trario al método de CI el cual tiene restricciones. Otra ventaja importante es que el método de variación de parámetros puede aplicar aún y cuando la ED sea de coeficientes variables, contrario al método de CI que solo aplica en EDLCC.

Las desventajas que presenta este método son que uno debe conocer primeramente la solución a la homogénea auxiliar, y otra es que las integrales que aparecen en las fórmulas pueden ser dif´ıciles de calcular.

En la siguiente sección veremos la deducción de las sendas fórmulas del método. Poste-riormente veremos algunos ejemplos que ilustran su uso.

2.6.2 Deducci´on

La forma est´andar de la ED lineal no-homog´enea con la que vamos a trabajar es:

y

00

+ P (x) y

0

+ Q(x) y = r(x)

(1)

Observe que asumimos que el coeficiente de y00 es precisamente 1, y por consiguiente las f´ormulas que deduciremos deben usarse con este supuesto.

Asumimos que tenemos la solución general a la ecuación homogénea auxiliar a (1):

y00+ P (x) y0+ Q(x) y = 0 (2)

Y que su soluci´on es:

y

h

= C

1

y

1

+ C

2

y

2

(3)

El método de variación de parámetros se basa en una idea simple: si la ED(2) se parece a la ED(1), la solución a (2) deber´ıa parecerse a la solución a ED(1). La similitud propuesta

(2)

es que la soluci´on buscada tiene la forma:

y

p

= U (x) y

1

+ V (x) y

2

(4)

Es decir, hemos supuesto que los par´ametros C1 y C2 dependen de x. Es decir que los

parámetros constantes ahora var´ıan. Ésta es la razón del nombre del método.

El problema consiste ahora en determinar estas dos funciones. El requisito es que (4) sea soluci´on a (1). Para poder sustituir determinemos las derivadas.

y0_p = d dx(U y1+ V y2) = d dx(U y1) + d dx(V y2) = U d dxy1+ d dxU y1+ V d dxy2+ d dxV y2 = U y₁0 + U0y1+ V y20 + V0y2 y0_p = U y₁0 + V y₂0 + y1U0+ y2V0 (5) Puesto que tendremos dos variables libres ,U y V , y una sola restricción, la que venga de la sustitución del yp en la ED, tenemos la posibilidad de adicionar una restricción adicional

para la determinaci´on de U y V . La que este m´etodo tiene es:

y1U0+ y2V0 = 0 (6)

De esta forma la primera derivada de yp en (5) queda

y_p0 = U y0₁+ V y0₂ (7) Calculando ahora y_p00: y00_p = d dx U y 0 1+ V y20 = d dx U y 0 1 + d dx V y 0 2 y00_p = U y₁00+ U0y0₁+ V y00₂+ V0y0₂ (8) Si sustituimos (7) y (8) en (1) obtenemos: U y00₁ + U0y0₁+ V y00₂ + V0y₂0 + P U y₁0 + V y₂0 + Q (U y1+ V y2) = r(x) (9)

Agrupando los t´erminos con U y V obtenemos: U y00₁ + P y0₁+ Q y1+ V y001 + P y 0

1+ Q y1+ y10 U 0

+ y₂0 V0 = r(x) (10) Puesto que y1 y y2 son soluciones a (2) entonces

y00₁+ P y₁0 + Q y1 = 0 (11)

(3)

Si sutituimos (11) y (12) en (10) obtenemos la condici´on para que yp sea soluci´on a la ED(1)

propuesta:

y₁0 U0+ y₂0 V0 = r(x) (13)

Resumiendo, para que yp = U y1+ V y2 sea soluci´on a la ED(1), U y V deben satisfacer:

y1U0+ y2V0 = 0

y₁0 U0+ y₂0 V0 = r(x) (14)

El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las inc´ognitas U0 y V0. Si aplicamos la regla de cramer para resolverlo tenemos que:

U0 = W1 W (15) y V0 = W2 W (16) Donde W = y1 y2 y₁0 y0₂ , W1 = 0 y2 r(x) y0₂ , W2= y1 0 y₁0 r(x) (17) De donde, si desarrollamos los deteminantes, obtenemos:

U0= − y2r(x) y1y20 − y10 y2

integrando respecto a x obtenemos:

U = −

Z

y

2

r(x)

y

1

y

02

− y

10

y

2

dx

(18)

y V0 = y1r(x) y1y02− y10 y2 integrando respecto a x:

V =

Z

y

₁

r(x)

y

1

y

02

− y

10

y

2

dx

(19)

2.6.3 Ejemplos

1. Encuentre una soluci´on particular a:

y00− 2 y0+ y = x sabiendo que la soluci´on general a la homog´enea auxiliar es:

(4)

Sol

En este problema

y1 = ex

y2 = x ex

r(x) = x

(Una duda frecuente es sobre el orden en el cual deben elegirse las funciones y1 y y2. La

yp resultante ser´a la misma independientemente de cual se elija como y1 o y2, siempre y

cuando esta elecci´on se mentenga a lo largo de los c´alculos.) As´ı y₁0 = ex y₂0 = (x + 1) ex y y1y20 − y 0 1y2 = ex(x + 1) ex− exx ex= e2 x

Sustituyendo lo anterior en las f´ormulas (18) y (19):

U = − Z _{x e}x_x e2 x dx = − Z x2e−xdx U = (x2+ 2 x + 2) e−x y V = Z _ex_x e2 x dx = Z x e−xdx V = −(x + 1) e−x

( En ninguna de estas integrales se necesita poner las constantes de integraci´on. Esto se debe a que estas constantes se multiplicar´ıan por las funciones y1 y/o y2 las cuales podr´ıan

después combinarse con las respectivas partes de la solucón a la homogénea auxiliar haciendo redundante ponerlas o no, preferiremos no colocarlas. Un argumento extra ser´ıa que estas partes, las multiplicaciones de las constantes de integración por las yis son innecesarias

debido a que se anulan en la ED por ser soluciones a la homog´enea auxiliar. Debido a esto las omitiremos.)

Continuando con los c´alculos:

yp = U y1+ V y2 = (x2+ 2 x + 2) e−xex+ −(x + 1) e−x x ex = (x2+ 2 x + 2) + (−(x + 1)) x = x2+ 2 x + 2 − x2− x yp = x + 2

(5)

2. Encuentre la soluci´on general a:

x2y00− 3 x y0+ 3 y = x2 Sol

Primero resolvamos la homog´enea auxiliar:

x2y00− 3 x y0+ 3 y = 0

Esta ecuaci´on es una ED de Cauchy-Euler, para resolverla planteamos la ecuaci´on carac-ter´ıstica:

r2+ (−3 − 1) r + 3 = r2− 4 r + 3 = (r − 3) (r − 1) = 0 Las ra´ıces son

r1= 3 y r2= 1

Por consiguiente aplica el caso I el cual dice que la soluci´on a la homog´egena de Cauchy-Euler tiene la forma:

yh = C1x3+ C2x

De donde deducimos que

y1 = x3

y2 = x

Pasemos ahora a determinar una solución particular. Para poder utilizar las fórmulas del método de variación de parámetros el coeficiente de y00 debe hacerse 1. Por consiguiente debemos dividir toda la ED entre x2 quedando la ED:

y00− 3 xy 0 + 3 x2, y = 1 Por consiguiente r(x) = 1

Uno de los principales errores que se comente en el uso de las f´ormulas anteriores es no tener esto en consideraci´on para determinar adecuadamente r(x).

Continuando con los c´alculos:

y0₁ = 3 x2 y0₂ = 1 y por tanto

y1y20 − y01y2 = x3− x 3 x2 = −2 x3

Sustituyendo lo anterior en las f´ormulas (18) y (19):

U = − Z _{x × 1} −2 x3 dx = 1 2 Z x−2dx U = −1 2 1 x

(6)

y V = Z _x3_{× 1} −2 x3 dx = −1 2 Z dx V = −1 2x De donde: yp = U y1+ V y2 = −1 2 1 x x3+ −1 2x x = −1 2x 2₋1 2x 2 yp = −x2 De esa forma y = yh+ yp = C1x3+ C2x − x2