La masa de un planeta puede hallarse, conocida G, aplicando la 3ª ley de Kepler: r GM

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(1)D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . (MHUFLFLRVVQQXPpULFRV. '$726 * Ã 1PNJ0VRO Ã NJ07LHUUD Ã NJ0/XQD Ã NJ57LHUUD NPG7LHUUD6RO Ã PG7LHUUD/XQD Ã P //( 6 $6 &$ 6,,& É6 %É 6% (6 <( (< /D WDEOD VLJXLHQWH PXHVWUD GDWRV GH ORV FXDWUR VDWpOLWHV GH -~SLWHU HVWXGLDGRV SRU *DOLOHR 6L VH FRQRFH HO YDORU GH OD FRQVWDQWH * GHWHUPLQD D WUDYpV GH OD JUiILFD FRUUHVSRQGLHQWHODPDVDGH-~SLWHU 6 6DDWWppOOLLWWHH. UU NNP P

(2)

(3) . 7 7 KK

(4)

(5) . ,R. . . (XURSD. . . *DQtPHGHV. . . &DOLVWR. . . La masa de un planeta puede hallarse, conocida G, aplicando la 3ª ley de Kepler: 2. 4π 3 T = r GM 2. representando r3 frente a T2 obtendremos una línea recta cuya pendiente (m) nos proporciona : 2. 2. 4π 4π ⇒M= GM Gm Tabulemos los valores de r3 y T2, los representamos apara comprobarlo y después calculamos la pendiente : m=. 6 6DDWWppOOLLWWHH. 5 P

(6)

(7) 5 P. 7 7 VV

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(9) . ,R. Ã. Ã. (XURSD. Ã. Ã. *DQtPHGHV. Ã. Ã. &DOLVWR. Ã. Ã. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(10) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. (T ) − (T ) Pendiente = m = (R ) − (R ) 2. 2. 4. 1. 3. 3. 4. 1. =. 2,08·10. 12. 6,55·10. 27. . − 2,34·10. 10. − 7,36·10. 22. = 3,14·10 −. 16. La masa de Júpiter es : 2. 2. 4π 4π M= = = 1,89·10 27 kg 11 16 − − Gm 6,67·10 ·3,14·10. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. /D7LHUUDWDUGDGtDVHQFRPSOHWDUVXyUELWDDOUHGHGRUGHO6ROVLODGLVWDQFLDPHGLD HQWUHHOORVHVÃPFDOFXODODPDVDGHO6RO T = 365 días = 3,15·107 R = 1,49·1011 m Aplicamos de nuevo la 3º ley de Kepler : 2. 2. 3. 2. (. ). 11 3. 4π 4π R 4π 1,49·10 3 T = R ⇔M= = 2 11 7 GM GT 6,67·10 − · 3,15·10 2. (. ). 2. = 1,97·10. 30. kg. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. (QWUHHOPRYLPLHQWRGHXQDEDODGHFDxyQODQ]DGDKRUL]RQWDOPHQWH\HOPRYLPLHQWR GH OD /XQD DOUHGHGRU GH OD 7LHUUD QR H[LVWHQ GLIHUHQFLDV HVHQFLDOHV VL HO UR]DPLHQWR IXHUD GHVSUHFLDEOH

(11) VH SXHGHQ HVWXGLDU XWLOL]DQGR ODV PLVPDV OH\HV ItVLFDV VREUH DPERV DFW~D ~QLFDPHQWH OD IXHU]D GH DWUDFFLyQJUDYLWDWRULDGHOD7LHUUD,QFOXVRVLODEDODVHODQ]DUDFRQ PXFKDYHORFLGDG \QRFKRFDUDFRQREVWiFXORDOJXQR

(12) OOHJDUtDDGHVFULELUyUELWDVDOUHGHGRUGH OD7LHUUDGHOPLVPRPRGRTXHOD/XQD &RPHQWDU HVWDV IUDVHV UD]RQDQGR SRUPHQRUL]DGDPHQWH VL VH HVWi R QR GH DFXHUGR FRQ HOODV 3UXHEDGHDFFHVR

(13) . ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(14) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . Una vez que los gases producidos por la ignición de la pólvora han impulsado la bala hacia arriba la única fuerza que actúa es la de atracción gravitatoria de todo el Universo ( podemos despreciar las del resto por su lejanía relativa a la Tierra). Como el impulso recibido por la bala es un impulso inicial que luego cesa, no llegaría a orbitar entorno a la Tierra ya que la atracción gravitatoria de esta iría disminuyendo su energía cinética hasta detenerla y caería de nuevo hacia la Tierra. Para colocarla en órbita necesitamos un impulso continuado hasta llegar a la órbita prevista y después otra cierta energía para comunicarle una fuerza centrífuga igual a la atracción gravitatoria de la Tierra.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. &DOFXOD ODV PDVDV GH GRV ERODV GH SORPR LJXDOHV SDUD TXH HVWDQGR HQ FRQWDFWR VH HMHU]DQIXHU]DVPXWXDVGH1 /DGHQVLGDGGHOSORPRHVNJP Si consideramos la bolas como esferas perfectas, su volumen es = V = 4πr3/3 Sus masas = m = d · V = 11000 · 4πr3/3 = 46 076,69 r3 Aplicando la ley de Gravitación Universal a la dos masas : F=G. m d. 2. 2. ⇒ 0,001 =. 11 ( 46076 ,69r 6,672·10 − 2. 4r. 3 2. ). 4. ⇔ 0,001 = 0,0355 r ⇔ r = 4. 0,001 ≈ 0,41 m 0,0355. Luego la masa de cada bola de plomo será : m = 46 076,69 r3 = 46 076,69· 0,413 = 3 176 kg.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. D

(15) &RQRFLHQGRODGLVWDQFLD7LHUUD/XQD\HOSHUtRGRGHUHYROXFLyQGHOD/XQDHQWRUQRD OD 7LHUUD ¢FyPR VH SRGUi FRQRFHU HO UDGLR GH OD yUELWD GH XQ VDWpOLWH DUWLILFLDO GH SHUtRGR FRQRFLGR" E

(16) /D/XQDGHVFULEHXQDyUELWDFLUFXODUHQWRUQRDOD7LHUUDFRQXQSHUtRGRGHGtDV\ XQUDGLRGHNP$SDUWLUGHHVWRVGDWRVGHWHUPLQDUHOUDGLRGHODyUELWDGHXQVDWpOLWH DUWLILFLDOTXHVHHQFXHQWUDVLHPSUHVREUHXQPLVPRSXQWRGHOD7LHUUD 3UXHEDGHDFFHVR

(17) D

(18) Datos. . 'LVWDQFLD7LHUUD/XQD G 3HULRGRGHUHYROXFLyQGHOD/XQD 7/. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(19) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ* . . 3HULRGRGHUHYROXFLyQGHOVDWpOLWH 76 . Incógnita 5DGLRRUELWDOGHOVDWpOLWH U Si aplicamos la 3ª ley de Kepler a ambos satélites de la Tierra y dividimos una por otra :. 2 TS. 4π 2 3 r GMT. 2 2 2 3 T  TS 4π 3 2 4π r 3 = r ; TL = d ⇒ 2 = = 3 ⇒ r = d · 3  S  2 GMT GMT TL 4π d  TL  3 d GMT. 2. b) Datos 'LVWDQFLD7LHUUD/XQD G ¼ P 3HULRGRGHUHYROXFLyQGHOD/XQD 7/ GtDV 3HULRGRGHUHYROXFLyQGHOVDWpOLWH 76 GtD HVJHRHVWDFLRQDULRRVLQFUyQLFR FRQOD7LHUUD\SRUWDQWRWLHQHHOPLVPRSHULRGRTXHHOOD

(20) . Incógnita 5DGLRRUELWDOGHOVDWpOLWH U 2. r=. d ·3.  TS    = 3,84·10 8  TL . 2. 3.  1  4   ≈ 4,235·10 m  27,3 . ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. (O FRPHWD +DOOH\ SRVHH XQ SHULRGR GH UHYROXFLyQ GH DxRV HQ VX yUELWD HOtSWLFD DOUHGHGRUGHO6ROVLHQGRVXGLVWDQFLDHQHOSHULKHOLRGH P&DOFXODODPi[LPDGLVWDQFLD TXHVHVHSDUDGHO6ROXWLOL]DQGRFRPRGDWRVHOSHULRGRGHOD7LHUUD\VXGLVWDQFLDPHGLDDO6RO G76 ÃP

(21) \WRPDQGRFRPRGLVWDQFLDPHGLDGHO+DOOH\ODVHPLVXPDGHODGLVWDQFLDPiV FRUWD\ODGLVWDQFLDPiVODUJDHQVXyUELWDHOtSWLFD Periodo de revolución del Halley = TH = 75 años. Distancia en el perihelio = dp = 8,9 · 1010 m. Periodo de revolución de la Tierra = T = 1 año Distancia Tierra-Sol = d = 1,49· 1011 m. Distancia del Halley en el afelio = da. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(22) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . De nuevo aplicamos la 3ª ley de Kepler al Sol, la Tierra y el cometa Halley 2. 2. 4π d3 GMS. 2. 2 T  TH  75 4π 2 3 2 4π 2 3 d3   2 11 3  = 1,49·10 ·   = 2,65·1012 m = 3 ⇒ r = d ·3  T = d ; TH = r ⇒ 2 = 2   GMS GMS r  1  TH 4π 3 T  r GMS. Como se nos dice que tomemos esa distancia como la media entre el perihelio y el afelio : r=. dp + da 2. ⇔ da = 2r − dp = 2·2,65·10. 12. − 8,9·10. 10. = 5,2108·10. 12. m. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. ([SOLFDUSRUTXpDSHVDUGHODDWUDFFLyQJUDYLWDWRULDHQWUHHO6RO\OD7LHUUDpVWDQRFDH VREUHHO6RO 3UXHEDGHDFFHVR

(23) ))***) del Sol (6 6 Porque esa fuerza atractiva () 6)es 7 ) contrarrestado por la fuerza centrífuga () 7 )&&&) de la Tierra (7 ) que actúa en la misma dirección y sentido contrario.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉ ,,1 2 5,,2 25 72 $7 7$ 9,,7 $9 5$ *5 2* 32 03 $0 &$ (//& '( '' $' '$ 6,,' 16 (1 7( 17 'HWHUPLQDDTXpGLVWDQFLDGHEHUiHVWDUXQREMHWRGHOD7LHUUDHQODOtQHDTXHODXQHFRQ HO6ROSDUDTXHODDWUDFFLyQJUDYLWDWRULDVRODUVHHTXLOLEUHFRQODWHUUHVWUH Distancia Tierra-Sol = d = 1,495· 1011 m. 30 Masa del Sol = MS = 1,99· 10 kg. Masa de la Tierra = 5,98 · 1024 kg. Masa del objeto = m kg Distancia del objeto al Sol = x m.. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV. .

(24) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . Las fuerzas de atracción de la Tierra y del Sol sobre el objeto han de ser iguales : 2. MT MT MT d d d− x  FS = FT ⇒ G =G ⇔ ⇔ −1= ⇔ = +1⇔ x =  = 2 2 MS x MS x MS  x  x (d − x ) MS m. =. 1,495·10 5,98·10. MT m. 11. 24. 1,99·10 30. = 1,492·10. 11. ⇒ DT = d − x = 1,495·10. 11. − 1,492·10. 11. d MT +1 MS. =. 8. = 2,587·10 m. +1. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 'HWHUPLQDODLQWHQVLGDGGHOFDPSRJUDYLWDWRULRHQXQSXQWRGHODVXSHUILFLHWHUUHVWUH VLWXDGRDGHODWLWXG\DXQDDOWXUDVREUHHOQLYHOGHOPDUGHP Aplicamos la fórmula de la variación de la intensidad del campo gravitatorio con la latitud: g = 9,78039(1+0,00529sen2 40º ) = 9,801767 N/kg. Y, ahora la variación por la altura : gh = g. R. 2. (R + h). 2. = 9,801767·. 6 2. (6,378·10 ) 6. ( 6,378·10 + 600 ). 2. = 9,799923 N / kg. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. &DOFXOD OD PDVD GH OD /XQD VDELHQGR TXH XQ FXHUSR DEDQGRQDGR FHUFD GH VX VXSHUILFLH FDH FRQ XQD DFHOHUDFLyQ J PV 'DWRV 5DGLR GH OD /XQD Ã P * Ã 6,

(25) Aplicamos al fórmula de la intensidad del campo gravitatorio : g=G. ML R. 2. ⇔ ML =. g·R 2 1,62·(1,74·10 6 )2 = = 7,35·10 22 kg 11 − G 6,672·10. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. /D PDVD GH OD /XQD HV NJ\VXUDGLRÃP¢&XiOVHUiHOSHULRGRGH RVFLODFLyQHQODVXSHUILFLHOXQDUGHXQSpQGXORFX\RSHULRGRHQOD7LHUUDHVGHXQVHJXQGR" . ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(26) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . Masa de la Luna = M = 7,35· 1022 kg Radio lunar = r = 1,74· 106 m Con estos datos hallamos el valor de g en la Luna: g=G. ML r. 2. = 6,67·10 −. 11. 7,35·10. 22. 6 2. (1,74·10 ). = 1,62. N kg. l , en donde l es la longitud y g g la gravedad del lugar en que se haya. Para calcular el periodo en la luna dividimos su fórmula entre la del periodo de un péndulo en la Tierra : La fórmula del periodo de un péndulo simple es : T = 2π. TL = TT. 2π 2π. l gL l gT. gT gT 9,81 ⇒ TL = TT = 1· = 2,46 s gL 1,62 gL. =. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. /DV HVWUHOODV GH QHXWURQHV VRQ PX\ GHQVDV \ VH FUHH TXH JLUDQ FRQ JUDQ UDSLGH] DQJXODU,PDJLQDXQDHVWUHOODQHXWUyQLFDGHUDGLRNP\FX\RSHULRGRGHURWDFLyQIXHVHV¢ FXiO GHEHUtD VHU VX PDVD SDUD TXH HQ XQ SXQWR GH VX VXSHUILFLH OD JUDYHGDG QHWD IXHVH MXVWDPHQWHPD\RUTXHFHUR" Radio = R =1 000 m Periodo = 1 s. Aplicando la 3ª ley de Kepler : T2 =. 2. 2. 3. 2. 9. 4π 4π R 4π ·10 R3 ⇔ M = = = 5,918·10 20 kg 2 11 − GM GT 6,67·10. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 6L XQ UHORM GH SpQGXOR IXQFLRQD ELHQ HQ 3DUtV 7. OV J PV

(27) ¢TXp OH. RFXUULUiHQHOSROR\HQHOHFXDGRU" g = 9,806 m/s2; gpolo = 9,8321 m/s2 ; gecuador = 9,7804 m/s2 ; T = 1 s. Procedemos por comparación :. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(28) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ* Tp T. 2π =. 2π. l. gp. l. =. . g g 9,806 ⇒ Tp = T = 1· = 0,9986 s gp gp 9,8321. g Es decir en el polo el periodo del péndulo es menor, tarda menos tiempo en dar una vuelta completa, luego irá adelantado respecto de Paris. 2π l ge Te g g 9,806 = ⇒ Tp = T = 1· = 1,003 s = T ge ge 9,7804 2π l g Es decir en el ecuador el periodo del péndulo es mayor, tarda más tiempo en dar una vuelta completa, luego retrasará respecto de la hora de París.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. &RQRFLGRVHOYDORUGHOUDGLRGHOD7LHUUDTXHHVNP\HOGHODDFHOHUDFLyQGHOD JUDYHGDGHQODVXSHUILFLHGHOD7LHUUDJ PVFDOFXODODDOWXUDVREUHODVXSHUILFLHGHOD 7LHUUDDODFXDOHOYDORUGHJVHUHGXFHDODPLWDG Radio de la Tierra = RT = 6,378· 106 m. Aceleración de la gravedad en superficie = g = 9,8 m/s2. Aceleración de g a una altura desconocida h = gh = g/2..   1 gh = g  h  1+ RT . 2.    ⇒ g = g = 2 = (1 + h )2 ⇔ h = ( 2 − 1)·R = T  gh g RT  2 . (. ). 6. 2 − 1·6,378·10 = 2641854 m. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. /D/XQDHQVXPRYLPLHQWRDOUHGHGRUGHOD7LHUUDGHVFULEHXQDWUD\HFWRULDFLUFXODU GHUDGLRÃP\GHSHULRGRÃV&DOFXODVXYHORFLGDG\ODDFHOHUDFLyQTXHDFW~DVREUH OD/XQDGLEXMDQGRHQXQHVTXHPDDPERVYHFWRUHV . 5DGLROXQDU 5 ÂP 3HULRGROXQDU 7 ÂV v = ω·R =. 8. 2π 2π·3,84·10 m m ·R = 1022 , 35 1022 = ≈ 6 T s s 2,36·10. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(29) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . 2.  2π  2 −3 m ac = ωv = ω ·R =   R = 2,722·10 2  T  s. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 6LHOYDORUGHJHQODVXSHUILFLHOXQDUHVPV\HOUDGLROXQDUHVODFXDUWDSDUWH GHO UDGLR WHUUHVWUH ¢TXp UHODFLyQ KD\ HQWUH ODV PDVDV GH OD7LHUUD\OD/XQD"'DWRJ7 PV . gT = gL. G. MT. R2T MT  RL = · ML ML  RT G 2 RL. 2.  M g R  ⇒ T = T · T ML gL  RL . 2. 2.  9,806  4RL   =   ≈ 5·4 2 = 80 1,96  RL  . La masa de la Tierra es 80 veces superior a la de la Luna.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 8QDVWURQDXWDGHSHVRHQOD7LHUUD1DWHUUL]DHQHOSODQHWD9HQXV\DOSHVDUVH REWLHQH XQ YDORU GH 1 &RQVLGHUDQGR TXH HO GLiPHWUR GH 9HQXV HV DSUR[LPDGDPHQWH HO PLVPRTXHHOGHOD7LHUUDKDOODODPDVDGH9HQXVFRQRFLHQGRODGHOD7LHUUD La masa del astronauta no varía ( la dieta espacial no adelgaza), luego el cociente entre los pesos en realidad es el cociente entre las intensidades del campo gravitatorio en los planetas :. PT 700 7 m·gT gT = = = = = PV 600 6 m·g V g V. G. MT. R 2T M T  R V · = M V M V  R T G 2 RV. 2.  M g R  ⇒ T = T · T MV g V  R V . 2.  7 6  = ⇒ M V = MT 6 7 . ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. /DPDVDGHOD/XQDHVÃNJ\VXUDGLRÃP&DOFXOD D

(30) (OYDORUGHODGLVWDQFLDTXHUHFRUUHUtDXQDSDUWtFXODHQXQVHJXQGRGHFDtGDOLEUHKDFLD OD/XQDVLVHDEDQGRQDHQXQSXQWRSUy[LPRDVXVXSHUILFLH E

(31) (Q OD VXSHUILFLH WHUUHVWUH DO FRORFDU XQ FXHUSR HQ XQ SODWLOORGHXQDEDODQ]D\HQHO RWUR SHVDV SRU YDORU GH J VH FRQVLJXH HO HTXLOLEULR ¢4Xp SHVDV WHQGUtDPRV TXH XWLOL]DU SDUDHTXLOLEUDUODEDODQ]DFRQHOPLVPRFXHUSRHQODVXSHUILFLHGHOD/XQD" 3UXHEDGHDFFHVR

(32) . ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(33) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . D

(34) Para calcular la distancia recorrida en caída libre durante un tiempo t = 1 s tenemos que saber cuánto es gL : gL = G. ML. 11. = 6,672·10 ·. 2 RL. 7,36·10. 22. (1,74·10 ). 6 2. = 1,62. m s. 2. Ahora podemos utilizar las fórmulas de la cinemática para calcular el espacio recorrido : s = s0 + v 0 t +. 1 1 1 2 2 2 gL t = gL t = 1,62·1 = 0,81 m 2 2 2. E

(35) Como la balanza mide masa y no pesos, en la superficie lunar utilizaríamos pesos por valor de 23,25g como en la Tierra.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 8QDVWURQDXWDOOHJDD0DUWH\REVHUYDTXHVXSHVR FRQWRGRHOHTXLSR

(36) HVGH1 PLHQWUDVTXHHQOD7LHUUDHVGH16DELHQGRTXHODPDVDDSUR[LPDGDGHOD7LHUUDHV NJTXHHOUDGLRGHOD7LHUUDHVNP\TXHHOUDGLRGH0DUWHHVGHNPVHSLGH D

(37) &DOFXODUODPDVDGH0DUWH E

(38) 6L XQ SpQGXOR WLHQH HQ OD 7LHUUD XQ SHUtRGR GH V ¢TXp SHUtRGR REVHUYDUi HO DVWURQDXWDHQ0DUWH" 3UXHEDGHDFFHVR

(39) . PT 1200 8 m·g T g T = = = = = PM 450 3 m·g M g M. G. MT. 2. 2. 2. M g R  R2T M R  8 3  3400  = T · M  ⇒ T = T · T  = ⇒ MM = ·  MT MM MM  RT  3 8  6370  MM gM  RM  G 2 RM. M M = 0,107 · M T = 0,107 · 6· 1024 = 6,41· 1023 kg. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. /DGLVWDQFLDHQWUHORVFHQWURV2\2GHGRVPDVDVHVIpULFDVKRPRJpQHDVGHUDGLRV 5\5HV5'HWHUPLQDUODUHODFLyQHQWUHODVGHQVLGDGHVGHDPEDVHVIHUDVVLVHVDEHTXHHO SXQWRVREUHHOTXHHMHUFHQODPLVPDIXHU]DJUDYLWDWRULDVREUHODUHFWD22VHHQFXHQWUDD5 GH2'DWR5 5 3UXHEDGHDFFHVR

(40) Radio de la esfera O2 (pequeña) = R2. Radio de la esfera O1 (grande) = R1 = 10R2. Distancia entre esferas = d = 30 R2. Distancia de la esfera O1 al punto de equilibrio = d1= 20R2. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(41) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . Distancia de la esfera O2 al punto de equilibrio = d2= d – d1 = 30R2 - 20R2 = 10R2. Masa de la esfera grande = M = ρ1· V1 . Masa de la esfera pequeña = m = ρ2· V2. 4 4 4000 π 3 3 3 Volumen de la esfera grande = V1 = πR1 = π(10R 2 ) = R2 . 3 3 3 Volumen de la esfera pequeña = V2 =. 4 3 πR 2 . 3. Las fuerzas de atracción de las dos esferas sobre una masa m0 se iguala a una distancia de 20R2 de la esfera con centro en O1 : 4 400R 22 · πR 32 Mm 0 mm ρ1V1 ρ V ρ 3 F1 = F2 ⇔ G = G 20 ⇔ = 2 22 ⇔ 1 = = = 2 2 2 4000 ρ 2 100R ·V1 d1 d2 ( 20R 2 ) 100R 2 100 R 22 · πR 32 2 3 400R 22 ·V2. =. 400R 22 ·R 32 R 22 ·100000 R 32. =. 400 1 = 100000 250. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 'HWHUPLQDU OD UHODFLyQHQWUHORVSHULRGRVGHXQPLVPRSpQGXORVLPSOHRVFLODQGR HQODVXSHUILFLHGHOD7LHUUD\HQODVXSHUILFLHGHRWURSODQHWDFX\DPDVDFRLQFLGHFRQODGHOD 7LHUUD\FX\RUDGLRHVGHOGHOD7LHUUD 3UXHEDGHDFFHVR

(42) Sea : Masa del planeta = Mp = Masa de la Tierra = MT. Radio del planeta = Rp = 2/3 RT. Escribiendo la fórmula del periodo del péndulo para ambos planetas y después sustituyendo las g por su fórmula tenemos :. TT = Tp. 2π. l gT. l 2π gp. G. =. gp gT. Mp 2. Rp MT R 2T MP R2T 9 3 · = = = = · 2 = MT MT 4 2 4 2 MT R p R G 2 T 9 RT. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(43) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . 8QSODQHWDVHPXHYHDOUHGHGRUGHO6ROHQXQDyUELWDFLUFXODUFRQYHORFLGDGGH NPV UHVSHFWR GH XQ VLVWHPD GH UHIHUHQFLD KHOLRFpQWULFR +DOODU HO SHULRGR GH HVWH SODQHWD DOUHGHGRUGHO6RO 3UXHEDGHDFFHVR

(44) v = 50 km/s = 50 000 m/s. Como FG = Fc ⇒ G. Mm R. 2. v GM 6,67·10 − ·1,97·10 =m ⇔R = 2 = 2 R v 50000 2. 11. 2π 2πR 2π5,26·10 Y a hora : v = ω·R = ·R ⇔ T = = T v 50000. 10. 30. 10. = 5,26·10 m. 6. = 6,60·10 s. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. (O SHULRGR GH URWDFLyQ GH 9HQXV DOUHGHGRU GHO 6RO HV YHFHV HO SHULRGR FRUUHVSRQGLHQWHDOD7LHUUD&RQVLGHUDQGRFLUFXODUHVODVyUELWDVGHDPERVSODQHWDVGHWHUPLQDU D

(45) 'LVWDQFLDGHVGH9HQXVKDVWDHO6RO E

(46) 9HORFLGDG \ DFHOHUDFLyQ GH 9HQXV UHVSHFWR GHO VLVWHPD GH UHIHUHQFLD KHOLRFpQWULFR 3UXHEDGHDFFHVR

(47) D

(48) Periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol = T. Periodo de rotación de Venus alrededor del Sol =TV = 0,6 T. 9 Distancia Tierra- Sol = dTS = 149,5 · 10 m. Distancia Sol-Venus = dVS Si aplicamos la 3ª ley de Kepler a los dos planetas : 4 π2 GMS 4 π2 3 4 π2 3 T T2 = d TS ; TV2 = d VS ⇒ = 2 4 π2 GMS GMS TV GMS 2. d 3TS d 3VS. d =  TS  d VS. 3.  d T2 T2 1 3  ⇒ TS = 3 = =3 = 1,41 2 2 2 d VS 0,36 TV 0,6 T . 9 11 Luego la distancia de Venus al Sol = dVS = dTS/1,41 = 149,5· 10 m/1,41 = 1,06· 10 m.. E

(49) La fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre Venus es contrarrestada con la fuerza centrífuga producida por la rotación de Venus en torno al Sol : FG = Fc ⇔ G. MS ·M v 2 dSV. = M V ·a c ⇔ ac = G. MS 2 dSV. = 6,67·10. −11. 1,97·10. 30. (1,06·10 ). 11 2. ≈ 0,017. m s. 2. La velocidad lineal se obtiene a partir de la fórmula de la aceleración centrífuga :. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(50) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . 2. v m 11 ac = ⇔ v = ac ·dVS = 0,0117·1,06·10 = 35216 dVS s. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉ & 2 5,,2 25 72 $7 7$ 9,,7 $9 5$ *5 2* 32 03 $0 &$ (//& 1( (1 6( 26 &2 7,,& e7 *e 5* (5 1( (1 6( 26 8//2 &8 É//& &É 'HWHUPLQD OD HQHUJtD SRWHQFLDOGHOVLVWHPDIRUPDGRSRUOD7LHUUD\HO6RO\SRUOD 7LHUUD\OD/XQD&RPSDUDORVUHVXOWDGRV\FRPpQWDORV ❂ Sistema Tierra-Sol Ep TS. 24 30 M T MS −11 5,98·10 ·1,99·10 = −G = −6,672·10 = − 5,31·10 33 J 11 dTS 1,495·10. ❂ Sistema Tierra Luna Ep TL. 24 22 MT ML −11 5,98·10 ·7,35·10 = −G = −6,672·10 = −7,63·10 28 J 8 d TL 3,844·10. ❂ La relación entre ambos : Ep TS − 5,31·10 33 J 4 ≈ 7,0·10 = 28 Ep TL − 7,63·10 J El sistema Sol - Tierra tiene una Ep unas 70 000 veces superior en valor absoluto que el sistema Tierra – Luna.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. ¢&RQTXpUDSLGH]OOHJDUiDODVXSHUILFLHWHUUHVWUHXQREMHWRGHPDVDPTXHVHGHMD FDHU GHVGH NP VREUH OD VXSHUILFLH WHUUHVWUH SDUWLHQGR GHO UHSRVR \ GHVSUHFLDQGR ORV UR]DPLHQWRV" 'DWRVJ 1NJ57 NP Si aplicamos el teorema de conservación de la energía mecánica ( despreciamos el rozamiento a un punto a la altura h (punto2) y a un punto de la superficie terrestre (punto1) : ∆Ec = ∆Ep ⇔. 6 5 R h R Th 6,37·10 ·5·10 1 2 ⇔ v = 2g0 · T = 2·9,8 = 3014,42 m mv = mg 0 6 5 s RT + h RT + h 2 6,37·10 + 5·10. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉ ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(51) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . 'RVHVIHUDVGHPDVDVNJ\NJVHFRORFDQUHVSHFWLYDPHQWHHQORVSXQWRV$

(52) \ %

(53) GHXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVHQPHWURV&DOFXODD

(54) (OFDPSRJUDYLWDWRULRHQORVSXQWRV 3

(55) \3

(56) E

(57) (OWUDEDMRQHFHVDULRSDUDWUDQVSRUWDURWUDHVIHUDGHNJGHVGHHOSXQWR3DO3 D

(58) Campo gravitatorio en el punto P ( 3, 4) Calculamos primero los módulos de la intensidad del campo producido por cada masa, teniendo en cuenta que las distancias d1 y d2 del punto a cada carga se hallan aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo formado por las cargas, el punto y el eje horizontal :. g1 = −G. m1 d12. g2 = −G. = −6,67·10 − 11. m1 2 d1. = −6,67·10 −. 2  32 + 42     . 11. 2. 4  3 2 + 4 2   . 2. = −5,34·10 −12. = −1,07·10 −. 11. kg. N kg. Para pasar a magnitudes vectoriales necesitamos hallar el ángulo que forman cada vector : −4 0 α 1 = arctg = 233 7'48" está en el tercer cuadrante −3 α 1 = arctg. −4 0 = 306 52' está en el cuarto cuadrante 3. El vector g1 = g1cosα1 i + g1senα1 j = 5,34· 10-12(cos(233º7’48”) i+sen(233º7’48”) j) = 3,2· 10-12 i - 4,27· 10-12 j El vector g2 = g2cosα2 i + -12 -12 6,42· 10 i - 8,56· 10 j. g2senα2 j = 1,07· 10-11(cos (306º52’) i+sen(306º52’) j)=. El vector campo resultante en el punto P será la suma vectorial de los vectores campo debido a las dos cargas : gP = g1+g2 = - 3,2· 10-12 i - 4,27· 10-12 j + 6,42· 10-12 i - 8,56· 10-12 j = ( 3,22 i -12,83 j ) · 10-12 N/kg Campo gravitatorio en el punto P ( 3, 0) Calculamos primero los módulos de la intensidad del campo producido por cada masa, teniendo en cuenta que las distancias r1 = r2 = 3 m :. ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(59) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ* g1 = −G. m1. g2 = −G. m1. d12. 2 d1. = −6,67·10 −. 11. = −6,67·10 −. 11. 2. (3)2 4. (3). 2. = −1,48·10 −. 11. = −2,96·10 −. 11. N kg N kg. Para pasar a magnitudes vectoriales necesitamos hallar el ángulo que forman cada vector : 0 0 α 1 = arctg = 180 −3 α 1 = arctg. 0 0 =0 3. El vector g1 = g1cosα1 i + g1senα1 j = 1,48· 10-11(cos(180º) i+sen(180º) j) = -1,48· 10-11i El vector g2 = g2cosα2 i + g2senα2 j = 2,96· 10-11(cos (0º) i+sen(0º) j)= 2,96· 10-11 i El vector campo resultante en el punto P’ será la suma vectorial de los vectores campo debido a las dos cargas : gP’ = g1+g2 == -1,48· 10-11i +2,96· 10-11 i = 1,48 i N/kg E

(60) El trabajo necesario es igual a la variación de energía potencial para trasladar la masa de m = 3 kg de un punto a otro : Trabajo debido a m1 : 1 1  1 1 11 11 WP →P ' = −Gm1m −  = −6,67·10 − ·2·3 −  = −5,34·10 − J 3 5  r1 d1  Trabajo debido a m2 : 1 1   1 1  = −6,67·10 − 11·4·3 −  = −1,07·10 −10 J WP →P ' = −Gm 2m − 3 5  r2 d2  El trabajo total será la suma : W = W1+ W2 = - 5,34· 10-11- 1,07· 10-10 = - 1,604· 10-10 J. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 7HQHPRVFXDWURSDUWtFXODVLJXDOHVGHNJGHPDVDHQORVYpUWLFHVGHXQFXDGUDGR GHPGHODGR'HWHUPLQD D

(61) (OFDPSRJUDYLWDWRULRHQHOFHQWURGHOFXDGUDGR E

(62) (O PyGXOR GH OD IXHU]D JUDYLWDWRULD TXH H[SHULPHQWD FDGD SDUWtFXOD GHELGR D OD SUHVHQFLDGHODVRWUDVWUHV F

(63) /DHQHUJtDSRWHQFLDOJUDYLWDWRULDGHELGDDODVRWUDVWUHV 3UXHEDGHDFFHVR

(64) . ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(65) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . a) Como la intensidad del campo gravitatorio depende de la masa y la distancia y en este caso ambas son iguales, el módulo del vector intensidad del campo gravitatorio en el centro del cuadrado tendrá el mismo valor, y por la simetría del cuadrado, la suma vectorial será nula pues se neutralizan dos a dos: gresultante = 0. b) Hallamos los módulos de las tres fuerzas atractivas, después la suma vectorial y por último el módulo de esta suma:. F1 = F2 = G. m. 2. = 6,67·10. −11. 2. = 2,67·10 −. 10. N r 1 para calcular el módulo de F3 necesitamos hallar la longitud de la diagonal del cuadrado, que es la distancia a que se haya la 3ª masa : 2. 2. ·. 2. 2. 2. r3 = l + l = 1+ 1 = 2 m El módulo de la tercera fuerza es, pues : F3 = G. m. 2. 2 r3. = 6,67·10 −. 11. 2. 2. ( 2). 2. = 1,334·10 −. 10. N. Para hallar la resultante total hemos de tener en cuenta que al ser iguales los módulos de las dos primeras y formar un ángulo de 90º, su suma irá en la dirección y sentido de la tercera y su módulo será la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados : 2. 2. 2. 2. F12 = F1 + F2 = 2F1 = 2F2 = F1 2 = F2 2 N F = F12 + F3 = 2·2,67·10 −. 10. + 1,334·10 −. 10. = 5,11·10 −. 10. N. c) Para hallar la energía potencial, calculamos el potencial en la posición en que se encuentra una de ellas, debido a las otras tres, y, después, lo multiplicamos por la masa de la cuarta : 1 1 1 1  11  1 1 10 V = −Gm + +  = −6,67·10 − ·2· + +  = −3,61·10 − J / kg 2 1 1  r1 r2 r3  Ep = V· m = -3,61· 10-10 · 2 = -7,22· 10-10 J. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉ ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(66) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . 6 ( 5( 75 67 (6 5( 55 (5 7( (7 &,,( 5)),,& (5 3( 83 68 $6 (//$ '( 6' (6 '( 6' 26 72 17 (1 0,,( $0 =$ 1= $1 <//$ 6< (6 7( e//,,7 7e $7 6$ 'HWHUPLQD OD DOWXUD D OD TXH KD\ TXH FRORFDU HQ HO SODQR HFXDWRULDO XQ VDWpOLWH DUWLILFLDOSDUDTXHVXSHULRGRGHURWDFLyQVHDODPLWDGTXHHOGHOD7LHUUD Como su período de rotación es la mitad del de la Tierra y este es de 1 día T = 0,5 días = 43 200 s. Si aplicamos la 3ª ley de Kepler al satélite : 2. T =. 2 GM T ·T 2 3 6,67·10 − 11·5,98·10 24 ·( 43200 ) 2 4π 3 7 r ⇔r =3 = = 2,66·10 m 2 2 GM T 4π 4π. 7 6 7 Como r = RT + h ; h = r – RT = 2,66· 10 – 7,378· 10 =2,02· 10 m = 20 238 km. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 6LWXDPRVXQVDWpOLWHHQyUELWDDOUHGHGRUGHOD7LHUUDDXQDDOWXUDWDOTXHVXUDSLGH] RUELWDOHVGHNPK D

(67) &DOFXODODDOWXUD E

(68) 6LSRUHUURUODUDSLGH]FRPXQLFDGDHVNPKH[SOLFDTXpVXFHGHUi D

(69) Como la rapidez orbital es v = 8 000 km/h = 2 222,22 m/s, si aplicamos la fórmula y despejamos r : 11 24 GM GM 6,67·10 − ·5,98·10 v= ⇔r = 2 = = 80770 km 2 r v 2222,22 Como r = R + h ; h = r – R = 80770 – 6378 = 74 392 km de altura E

(70) Al ir a mayor velocidad que la velocidad orbital, no describe un órbita estacionaria y ha de bajar a una de radio inferior en la cual pueda girar más rápido, ya que la rapidez y el radio orbital varían inversamente como puede apreciarse en la fórmula anterior.. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 8QVDWpOLWHDUWLILFLDOGHNJVHHOHYDXQDDOWXUDVREUHOD7LHUUD\DOOtVHOHGDXQ LPSXOVRPHGLDQWHFRKHWHVSURSXOVRUHVSDUDTXHGHVFULEDXQDyUELWDFLUFXODUFRQXQSHULRGRGH KRUDV D

(71) ¢$ TXp DOWXUD KD\ TXH HOHYDUOR \ TXp UDSLGH] KD\ TXH FRPXQLFDUOH SDUD TXH HVH PRYLPLHQWRWHQJDOXJDU" E

(72) ¢&XiOHVHOYDORUGHOWUDEDMRWRWDOUHDOL]DGRSDUDFRORFDUORHQyUELWD" . ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(73) D RUULLD DWWR DYYLLWWD *UUD 7HPD²²,,QQWWHHUUDDFFFFLLyyQQ*. . 'DWRV07 ÂNJ57 ÂP D

(74) Como su período de rotación es T = 1,5 horas = 5400 s, si aplicamos la 3ª ley de Kepler al satélite : 2 GMT ·T 2 3 6,67·10 − 11·5,98·10 24 ·(5400 )2 4π 3 6 3 T = r ⇔r = = = 6,65·10 m 2 2 GMT 4π 4π 2. 6 6 5 Como r = RT + h ; h = r – RT = 6,65· 10 – 6,37· 10 =2,84· 10 m = 284 km de la superficie terrestre.. La rapidez orbital será : v=. GM 6,67·10 − ·5,98·10 ⇔v= 6 r 6,65·10 11. 24. ≈ 7745. m s. E

(75) Será la suma de la energía necesaria para el lanzamiento más la necesaria para ponerlo en órbita :  1 1  1 1 1 W = GMm −  + mv 2 = 6,67·10 − 11·5,98·10 24 ·10 3  − 6  R r  2 6,65·10 6  6,37·10.  1 3  + 10 7745 2 = 3,26·10 10 J  2 . ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉. 8QVDWpOLWHDUWLILFLDOGHNJVHHOHYDKDVWDXQDDOWXUDGHNPVREUHODVXSHUILFLH WHUUHVWUH\DOOtVHODQ]DSHUSHQGLFXODUPHQWHDOGLiPHWURWHUUHVWUHTXHSDVDSRUVXSRVLFLyQFRQ XQDYHORFLGDGLQLFLDOGHNPK$SOLFDQGRODVOH\HVGHFRQVHUYDFLyQTXHSURFHGDKDOODOD Pi[LPDDOWXUDTXHDOFDQ]DUi Esta en una posición r1 = 500 km = 5 · 105 m y se le comunica una energía cinética v = 28 800 km/h = 8 000 m/s ) que hace que alcance una cierta posición r en la que la que al ser v2 = 0 sólo tendrá energía potencial, es decir la energía cinética comunicada se invierte en aumentar su energía potencial : Ep1 + Ec = Ep 2 ;−. GMm 1 GMm GM 1 2 GM 6,67·10 −11·5,98·10 24 8000 2 2 + mv = − ⇔− + v =− ⇔− + = r1 2 r2 r1 2 r2 2 ( 6,37·10 6 + 5·10 5 ). 6,67·10 −11·5,98·10 24 3,98866·1014 7 8 2 , 61 · 10 − ⇔− =− ⇔ r = 1,53·10 m r r 6 La altura sobre la superficie es : h = r – R = 8,9· 10 m. ❉❉❉❁❁❂❁❁❉❉❉ ) VLLFFDD - (&,5 )ttV.

(76)