UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

ECUACIONES DIFERENCIALES. AÑO 2007

TÍTULO: TALLERES

DURACIÓN: 12 HORAS DE DURACION TOTAL

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

A. KISELIOV, M. KRASNOV, G.

MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS, Boyce DiPrima

CONTEXTUALIZACION GENERAL DE LA GUIA DE TRABAJO DE CLASE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES.

OBJETIVOS

Ilustrar los estudiantes en los diferentes principios y métodos de resolución de las ecuaciones.

Adquirir los conocimientos teóricos necesarios y las fórmulas requeridas para identificar detalladamente cada uno de los principios y métodos de las ecuaciones.

Renovar las series de ejercicios, agregando nuevas clases de problemas, algunos requieren resolverlos usando sistemas algebraicos de cómputo.

CONCEPTUALIZACION ECUACIONES DIFERENCIALES

Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable

independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas _{y′ , y′′ ,... y}n _,

es decir una ecuación de la forma: F

(

_x, _y, _y′, _y′′,..., _yn

)

= 0

En otras palabras se llama ecuación diferencial, una ecuación en la que figura la derivada o diferencial de la función incógnita.

ORDEN DE UNA ECUACION

Se llama orden de una ecuación derivada al “orden” de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

Ejemplos: y′′ + 4y′ − y = 0 Segundo orden y7 − ₄y5 − ₂y2 = y + x _{Séptimo orden} GRADO DE UNA ECUACION

Se llama grado de una ecuación diferencial al mayor exponente al que esta elevado el mayor orden de la ecuación siendo este exponente un número natural (N). Si este número no es natural se dice que la ecuación diferencial no tiene grado.

Ejemplos: 4_xy2 ₊ 3_{xyy′ +} 5_{xy′′ =} 0 _{Primer grado} 5_{y ′′′}2₊ 4_{y′′ −} 4_{y′ =} 0 _{Segundo grado} ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

Una ecuación diferencial ordinaria de orden “n” es lineal si es de la forma:

( )

( )

1 ...

( )

0

2

1 x y + a x y − + a x y =

a n n _n

NOTA: en una ecuación lineal NO pueden aparecer productos de Y con

n Y Y Y′, ′′,... , ni funciones trascendentes de Y. Ejemplos: 3xy + y′′ + 5y′ = 0 Es lineal c x y y x Sen x 3 − 5 ′′ + ′′′= + 4 Es lineal 0 5 4

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

La solución de una ecuación diferencial es una función de la forma y = y

( )

x y que al reemplazarla en la ecuación diferencial nos resulta una Identidad. Ejemplo: y = Senx es solución de y′′ + y = 0

x Sen y x Cos y′ = ′′ = − Reemplazando tenemos: 0 = + − Sen x Sen x 0 0= SOLUCION GENERAL

Es el conjunto de todas las soluciones que verifican la identidad y = y

(

x,c

)

. Ejemplo: Comprobar que la solución general de

0 = − ′ y y Es _{y = ce}x x ce y′ = Reemplazando tenemos: 0 = − x x _ce ce 0 0 =

C es la clave en la solución general y C sale de las integrales y es una constante.

SOLUCION PARTICULAR

Una solución particular de la ecuación diferencial es una de las generales y se halla aplicando las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo: Hallar la curva donde la pendiente de la tangente es igual a la ordenada aumentada en 4 y que pasa por el punto (1,2).

Solución: = y + 4; y

( )

1 = 2 d dy η c x y Ln dx y dy _{= + = +} + 4 4 4 4 = = − + _cex _{y ce}x y Solución general

Reemplazando la condición inicial (1,2) ósea que cuando X=1 ; Y=2 entonces tenemos: 1 , 2 6 6 4 2 _{= − = e}−1 _≈ e c cex

Ahora reemplazo este valor en la solución general: 4

1 ,

2 −

= _ex

y Esta es la curva de la ordenada. ECUACION DE RICCATI

Es una ecuación diferencial desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. Esta ecuación corresponde a la forma: p

( )

x y q

( )

x y f

( )

x

dx

dy_{+ +} 2 _{= esta}

ecuación se resuelve si previamente se conoce la solución particular, digamos

( )

.

1 x

y

Ejemplo: resolver la ecuación de Riccati con la solución particular anterior. Conocida dicha solución hacemos el cambio y tenemos:

( )

x z

( )

x y

( )

x y = + ₁ Reemplazando obtenemos:

( )

( )

( )

( )

dx dy dx x dz x f y x q y x p dx dy _{= − −} 2_{+ = + 1} Es decir

( )

( )

( )

p

( ) ( )

x y x q

( ) ( )

x y x f

( )

x dx dz x f y x q y x p − + = − − + − 2 1 1 2

( )(

)

( )

(

2 2

)

1 1 y q x y y y x p dx dz − + − = Lo que equivale a:

( ) ( ) ( ) )

(

( )

2 1 x z q x z y x q x p dx dz _{= − + −}

Que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli. Obsérvese que si se hace el cambio

( )

( )

_{( )}

x z x y x

y = ₁ + 1 esto nos lleva directamente a una ecuación.

LEY DE CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO. El problema de valor inicial kx, x

( )

t0 x0

dt

dx _{= =}

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento o decaimiento o desintegración. En biología se ha observado que en cortos periodos la rapidez de crecimiento de algunas

poblaciones (como la de las bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en el tiempo t. Si conocemos una población en cierto tiempo inicial arbitrario t0, la solución de 1 nos sirve para predecir la población

en el futuro; esto es, para t≥ t0.

Ejemplo: Si inicialmente tengo una población de 1000 bacterias y después de 5 segundos tengo 10.000. Cuanto tiempo necesito para que la población sea de 1.000.000 de bacterias.

( )

( )

(

1

)

2 _2zy z x q z x p dx dz _{= − − +}

( )

. 01 . 15 46 . 0 1000 ln 46 . 0 10 ln 10 10 . 1 10 . 1 1000 tan 46 . 0 5 10 ln 5 . 10 ln 10 1000 000 . 10 000 . 10 5 1000 3 46 . 0 3 46 . 0 3 6 46 . 0 5 5 0 seg t t A to lo por k k Entonces A Como A A A

e

e

e

e

e

e

e

t t t k k kt kt = = = = = = = = = = = = = =

CIRCUITOS ELECTRICOS SIMPLES

Un circuito eléctrico simple es aquel que está compuesto por un resistor, un inductor o un condensador en serie con una fuente de fuerza electromotriz.

CIRCUITOS R-C CIRCUITOS R-L

Representados por la ecuación Por la ley de Kirchoff un

Diferencial lineal: circuito R-L es:

E c q dt dq R + = RI E dt dI L + =

Ejemplo: Una inductancia de 4 Hercios y una resistencia de 5 Ohmios se conectan en serie con una fem (fuerza electromotriz). Cuando el tiempo es cero. ¿Cuál es la corriente después de 1 segundo?

Circuito R-L

( )

( )

100 5 4 ? 1 0 0 100 4 5 = + = + = + = = = = Ω = I dt dI E RI dt dI L E Er El I I vol E H L R

( )

( )

( )

( )

( )

1 14.26 . 1 1 20 1 1 20 20 20 20 1 . 20 0 . int tan 20 20 20 25 25 . 4 5 ln 4 5 0 4 5 25 4 5 25 4 5 . 25 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 Amperios I e I e t I e t I K k iniciales s condicione las utilizando k egración de te cons la Hallamos ke t I e k e I uv I k e u dt e du e dt du e v t v dt v du v dt dv v v u v u uv v u v u v u I I dt dI t t t t t t t =     − − =     − − = − − = − = + = + = −     + = = + = = = − − = − = − = = + =       +′ + ′ = + ′ + ′ = = +

MEZCLAS

Al mezclar dos fluidos a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras supusimos que la razón con que cambia la cantidad de sal, A′

( )

t , en el tanque de mezcla tiene una rapidez neta:

0 R R sal la sale que con rapidez sal la entra que con rapidez dt dA i− =     −     =

Ejemplo: Un tanque grande inicialmente tiene 300gl de solución de salmuera y se le bombea salmuera a razón de 3gl por minuto, y se mezcla con la solución original. Y sale del tanque a 3gl por minuto. La concentración es de 2lb/galón.

uv A A dt dA A dt dA A gl R lb R lb gl lb gl R C V R gl lb C V gl salmuera solución gl = = + − = = + = = = = = = = 6 100 100 6 0 300 . min 3 2 min 6 1 min . min 1 1 . 1 1 2 1 , 1 min 3 300 100 0 100 6 100 6 100 dt v dv v dt dv v v u v u uv v u v u − = = + =       _′+ + ′ = + ′ + ′

c e u dt e du e dt du u e v t v t t t t + = = = = = − = − − 100 100 100 100 600 6 6 . ? 100 ln

Se sabe que inicialmente hay 50 lb de NaCl (sal). Entonces aplicando estas condiciones iniciales hallamos C.

50= 600+C C=-550

TRAYECTORIAS ORTOGONALES

Sea y = δ _x′

( )

x,a una familia monoparamétrica de curvas, para poder hallar sus trayectorias ortogonales.

1. Componemos la ecuación diferencial de esta familia derivando.

= ′

y δ _x′

( )

x,a

A continuación eliminamos el parámetro entre las dos anteriores ecuaciones: (quitamos a).

Luego escribimos esta familia en forma implicita

(

x,y,y′

)

= 0 f

Para hallar la ortogonal sustituimos y y ′ = ′ 1 0 1 , , =     ′ − y y x f

Y obtuvimos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales. Y por último integramos la ecuación. Esto en coordenadas rectangulares.

En coordenadas polares la familia de curvas φ

(

ρ ,y,a

)

= 0obtenemos las trayectorias ortogonales sustituyendo

ρ ρ

ρ ′ por − 2_′ y obtenemos la familia 0 , , 2 =     ′ − p p y ρ ϕ .

Ejemplo: Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas.

ax y ax y kx y o 2 2 2 = ′ = = Eliminamos el parámetro a. Parábolas c x y c x y xdx ydy y x y x y y y y s Sustituimo curvas las de familia la de D E x y y ax y x ax y 1 4 2 4 2 2 2 2 1 1 . . 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + − = − = − = ′ = ′ − − = ′ = ′ = ′ = ECUACION DE LAGRANG

( )

+

( )

′ = 0 + x y y y ϕ ψ

Se reduce a una ecuación lineal con x como función y p como variable. Además, para los λ tales que λ +ϕ

( )

λ = 0 se obtienen como soluciones las rectas y= λ −x ψ

( )

λ .

( ) ( )

ρ ϕ ρ = ′ ′ + ′ = y y y x y

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . 1 1 . 1 ln 2 ln 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ln 2 ln 2 : . ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ c x c x c u d u du d dv v v d dv du v d dv v v u v u uv v u v u v u v u x uv x d dx Líneal x dp dx x dp dx x d dx d x dx dx d x dx d dx xd dy x y y y x y Ejemplo a paramétric Solución d d y x dx dy x y dx dy + − = + − = + − = − = − = − = − = − = − = − =     +′ + ′ − = + ′ + ′ ′ + ′ = ′ = − = + − − = + = −     ₊ = − +     ₊ = + + = + = ′ + ′ = ′ + ′ + = + = =

ρ ρ ρ ρ ln 1 2_ − + _{2 } + = c y ECUACION DE CLAIRAUT

( )

′ = 0 + ′ − xy y y ψ

Es un caso particular de ecuación de Lagrange en el que solo aparecen rectas (y su envolvente).

Observemos: y= xy′+ f

( )

y′ (A)

Donde f

( )

x es una función derivable, tiene como solución general y = cx+ f

( )

c y como solución singular

( )

( )

( )

   + ′ − = ′ − = t f t f t y t f x Demostración

Para resolver la ecuación (A) hacemos la sustitución u= y′para obtener

( )

u f xu

y = +

Derivando ambos lados respecto a

( )

u u f u u x y′ = ′ + + ′ ′ (B) De donde obtenemos que

Surgen dos casos: Caso 1:

Si u′= 0, entonces u= c y sustituyendo en la ecuación (B) obtenemos la solución general y = cx + f

( )

c

Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación (A) y′por .

Caso 2:

Si x+ f′

( )

u = 0, entonces x= − f′

( )

u y sustituyendo en la ecuación (A)

( ) ( )

u f u f u y= − ′ + , es decir

( )

( ) ( )

   + ′ − = ′ − = u f u f t y u f x

( )

(

+ ′

)

= 0 ′ x f u u

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde es el parámetro. Observe que esta solución no es un caso particular de la solución general, por lo que se trata de una solución singular.

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial

2 1 2 t y x y = ′+ +

Solución: La solución general es la familia de rectas _{y= cx ± 2 1+ t}2 _{y como}

( )

_{t 2 1 t}2

f = + la solución singular está dada por

       + = + − = 2 2 1 2 1 2 t y t t x

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de un círculo de radio 2, Se muestra la familia de rectas tangentes _{y= cx+ 2 1+ c}2 _{y la envolvente}

4

2

2 _{+ y =}

x .

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f una función definida para t≥ 0. Entonces la integral L

[ ]

f

( )

t _{= ∫}∞ e−st f

( )

t dt

0

Se llama transformada de laplace de f , siempre y cuando la integral converja. Ejemplo: Evaluar L

[ ]

t

Solución: De acuerdo con la definición L

{ }

t _{= ∫}∞ e−sttdt

0 . Al integrar por partes

con  − = 0, ≥ 0 ∞ → s te lím st

t como resultado llegamos a:

[ ]

∫

{ }

 =      = = + − = − ∞ ∞ − 2 0 0 1 1 1 1 1 1 s s s L s dt e s s te t L st st

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NOMBRE DE LA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 1. Definiciones Básicas

DURACIÓN: 2 HORAS

BIBLIOGRAFÍA

SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No. 1

1). Indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales: a). _{y′′′ −} 4_{xy′ + x}3_ey ₋ 4₌ 0

b). Ln x − 3xy′′ − 4xy = Senx c).

(

x− y′

)

1/3 − 4xy = 8Senx d). 3xy′′ − 3y′ + 4y − 4= 0

2). Indicar cuales de las ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior son lineales.

3). Demostrar que cada una de las funciones dadas es solución de la

correspondiente ecuación diferencial para un cierto intervalo (a,b) del eje OX. a). V

( )

t = Sent + Cost para la ecuación V′Cost + VSent = 0

b). f

( )

x = ex

(

2x+ 1

)

_{para la ecuación y}′′ _{= 2y}′ _{− y}

4). Verificar si las familias de funciones indicadas satisfacen las ecuaciones diferenciales correspondientes: a). y ₌ Ln

(

₁₊ ex

)

₊ c 2 2 para la ecuación

(

_{1+ e}x

)

_{yy′ = e}x b). _y

( )

_{t = e}−t _{para la ecuación}

(

_{1+ xy}

)

_{y′ + y}2 _{= 0}

c). 1 2 c3 x c x c Y = + + para la ecuación ′′′ + 3 ′ = 0 x y y

5). Determinar el valor de m para que _{y = x}m _{sea la solución de las}

ecuaciones: a). _x2_{y′′ − y =} 0

b). _x2_{y′′ +} 6_{xy′ +} 4_{y =} 0

6). Verificar que la siguiente función definida a trozos es solución de la ecuación diferencial

( )

y_′ 2 ₌ 9xy

( )

      ≥ ≤ = 0 0 3 _x x x O x y

7). Hallar la solución de la ecuación _x2_{y′Cosy +} 1₌ 0 _{que cumple que}

( )

16π ₃

→

y cuando x→ ∞ .

8). Calcular la ecuación diferencial asociada a las siguientes familias: a). Las hipérbolas x2 − y2 = Ax

b). Las curvas y ₌ ex

(

Ax₊ B

)

c). Las rectas 2y + 3x − c = 0

9). Encontrar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyo centro está situado en el eje OX y son tangentes al eje OY en el origen de

coordenadas.

10). La rapidez de propagación de un virus es proporcional al número de personas que se han contagiado x

( )

t y al número de ellas que no se han expuesto a él. Siendo n el número de personas de la población, establecer el modelo de propagación del virus en función del número de personas

contagiadas.

11). Se colocan x0 bacterias en una solución en un instante t0. Llamamos x

( )

t

al número de bacterias en cada instante. Si el alimento y el espacio son limitados, lo cual implica que la población crece a un ritmo proporcional a la población existente en cada momento, modelizar el crecimiento de la población de bacterias en función del número de bacterias en cada instante.

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NOMBRE DE LA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 2.

DURACIÓN: 1 HORAS

BIBLIOGRAFÍA

SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No 2

Realizar los siguientes ejercicios de ecuaciones diferenciales: a).

(

_{Sen xy+xyCos xy}

)

_{dx +}

(

_x2_{Cos xy}

)

_{dy =} 0

b). _x

(

2_x2 _{+ y}2

)

₊ 4

(

_x2₊ 2_y2

)

_{y′ =} 0 c).

(

3_x2 ₊ 6_xy2

)

_{dx +}

(

6_x2_{y +} 4_y3

)

_{dy =} 0 d). _   =   − + + +   +     + + 0 1 1 1 2 2 2 2 2 _y dx x y y x y dx y x y x x

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NOMBRE DE LA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 3.

DURACIÓN: 3 HORAS

BIBLIOGRAFÍA

SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No 3

1). Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a). Cos x dx dy 8 = b). ex dx dy ₌ c). x dx dy 1 = d). e Sen x x dx dy 1 x ₃ 2 + − = e). Lnx dx dy ₌ f). Cosx x dx dy ₊ + = 9 1 2 g). e x dx dy ₌ 2x ₋

2). Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a). 2ydx + 3xdy = 0

b).

(

x

)

_ex dx dy y e = + 5 c). y2 dx dy = d). − 2x = 0 dx dy y e). x

(

x− 1

)

dy − y

(

y−1

)

dx = 0 f). 

)

 ₁₊ 2 _{+ = 0} dx dy xy y

3). Dada la ecuación diferencial 3− 2+ ₂ = 0 dx dy x

y

ex y _{se pide:}

a). La solución general

b). La solución particular que pasa por P (1,1).

4). La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la del aire T 0C

0= 20 . Si el cuerpo

tarda en enfriarse 20 minutos desde ₁₀₀0C _a600_{C. ¿Cuánto tardará en}

enfriarse hasta ₃₀0C_?

5). Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a). 3_extan_{ydx +}

(

2_{− e}x

)

_Sec2_{ydy =} 0

b).

(

_x− 2

)

_y2_{dx − x}

(

_y2 ₋ 1

)

_{dy =} 0 c). _{x Senydx +}

(

_x2 ₊ 1

)

_{Cosydy =} 0

6). Encontrar la solución general o particular según cada caso, de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a).

₍

₎

1 2 2 4 3 2 − + + = y x x dx dy b).

( )

0 1 2 1₊ 2 = = y y x Cos y dx dy c). 0 1 1₋ 2 + _{− y}2 = dy x dx

d). 1₊ 2 ₊ 1_{+ x}2 ₌ 0 dx dy y y x 7). Sea x dx dy

= y sea y= g

( )

x la solución particular que verifica que g

( )

−1 = 7₂

se pide: a).

∫

( )

−

2

2g x dx

8). Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: a). xy x xy dx dy 2 2 ₋ = b).

(

_x2 ₋ 3_y2

)

_{dx +} 2_{xy dy =} 0 c).

(

2x− y+ 3

)

dx +

(

x+ y− 1

)

dy = 0 d).

(

x+ y−1

)

dx+

(

2x+ 2y−1

)

dy = 0 e).

(

x+ y− 2

)

dx +

(

x− y+ 4

)

dy = 0 f). y x x y dx dy _{= −}

9). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a).

(

3_x2 ₊ 4_xy

)

_{dx +}

(

2_x2 ₊ 2_y

)

_{dy =} 0

b).

(

x+ y+ 1

)

exdx +

(

ex + ey

)

dy = 0 c). 2x

(

yex2 − 1

)

dx + ex2 dy = 0

10). Resolver las siguientes las siguientes ecuaciones diferenciales: a).

(

_x2 _{+ y}2

)

_{dx −} 2_{xydy =} 0

b). 2xyLnydx ₊

(

x2 ₊ y2 y2 ₊1

)

dy

11). Resolver la ecuación _x4 _{Lnx −} 2_xy3₊ 3_x2_y2_{y′ =} 0 12). Integrar:

b). x x x x y y′ = + 3 + 13). Resolver: a). y Cosx dx dy _{+ =} b). y y

(

Cosx Senx

)

dx dy_{+ =} 2 ₋

14). Resolver las siguientes ecuaciones de Bernouilli: a). _{y xy}5 dx dy_{+ =} b). _{y xy}5 dx dy_{− =} c). yLnx x y dx dy_{+ =} 2

15). Hallar las trayectorias ortogonales a: a). La familia de hipérbolas xy = c

b). La familia de curvas y = xc ∴ x≥ 0 c≥ 0 c). La familia r2 = aCos2α ∴ r

( )

α

16). a).Determinar el valor de a para que las familias de curvas

2 2 2 1 3 _{c x y x ay c} y = + = sean ortogonales.

b). Determinar n para que las siguientes familias de curvas sean ortogonales: cx x y k y xn n + = = + 1 ;

17). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de ₂o _orden:

a). _xex dx y d ₌ 2 2 b). Senx dx y d = 2 2

c). _{2 3} 2 ₁ y dx y d = d). 2 2 2 1       − = dx dy dx y d e).

(

)

x dx dy x dx y d x + = + 2 2₂ 1 f). 2₂ + y = 0 dx y d

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NOMBRE DE LA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 4.

DURACIÓN: 1 HORA.

BIBLIOGRAFÍA

SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

TALLER No 4

1). Desarrollar los siguientes problemas usando la ecuación de Riccati; considere la ecuación diferencial _{y′ +} 2

(

1_{− x}

)

_{y − y}2 _{= x}

(

_x− 2

)

_.

a). Encontrar la solución particular de la forma y = Ax + B b). Encontrar la solución general.

c). Encontrar la solución particular que pasa por el punto (2,2) y el intervalo máximo donde está definida.

2). Un objeto de un kilo de masa es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie de la luna con velocidad inicial v₀ = 5kilomillas/hora. Se supone que la única fuerza que domina es la fuerza gravitacional y que ésta es

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la luna. Considerando a = 1,08 kilomillas como radio de luna y g₀=13kilomillas/_hora2

como la gravedad sobre la superficie de la luna, encuentre:

a). Velocidad del objeto en función de su distancia al centro de la luna b). Altura máxima que alcanza el objeto.

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

NOMBRE DE LA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 5.

DURACIÓN: 3 HORAS

BIBLIOGRAFÍA

SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

Taller No. 5

1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento

( )

t . Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y

cuadruplicará?

2. Si inicialmente tengo una población de 1000 bacterias y después de 5 segundos tengo10.000 . ¿Cuánto tiempo necesito para que la población sea de

000 . 000 .

1 bacterias?

3. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes en el momento

( )

t es proporcional a la cantidad en dicho instante. Calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.

4. Un cultivo tiene una cantidad inicial Po de bacterias. Cuando t = 1h la cantidad medida de bacterias es _ Po

     2 3 . Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P

( )

t en el momento

( )

t , calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos. 5. Un reactor de producción convierte el uranio 238 en plutonio 239. Al cabo de 15 años se tiene que se ha desintegrado al 0.043% de la cantidad inicial

plutonial, es decir que de Ao. En donde Ao son condiciones iniciales de plutonio.

6. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.

7. Cuando el interés se capitaliza continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero aumenta a razón proporcional a la cantidad presente

rs st ds

S: = , donde r es la tasa de interés anual.

a). Calcule la cantidad reunida al término de cinco años, cuando se depositan $ 5000 en una cuenta de ahorro que rinde

4 3

5 de interés anual compuesto continuamente.

b). ¿En cuantos años se habrá duplicado el capital inicial?

c). Con una calculadora compare la cantidad obtenida en el punto a con el

valor de

(

)

( )4 5 0575 , 0 4 1 1       + =

S , este valor representa la cantidad reunida cuando el interés se capitaliza cada trimestre.

8. En cualquier tiempo

( )

t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se

observa que hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especimenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

9. En un trozo de madera o de carbón se encontró que el 85,5% de C-14 se había desintegrado. ¿Qué edad tenía aproximadamente la madera?

10. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es F

0

70 y se lleva al exterior, donde la temperatura es ₁₀0F_{. Después de} 2 1 minuto el termómetro indica ₅₀0 F_{. ¿Cuál es la temperatura cuando t = 1} minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a ₁₅0 F _? 11. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es ₅0F _{. Después de un minuto, el termómetro indica}

F

0

55 ; cinco minutos después marca ₃₀0 F_{. ¿Cuál era la temperatura del} interior?

12. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es de ₂₀0C_{, se} deja caer en un recipiente con agua hirviente. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar ₉₀0C _{si se sabe que su temperatura aumentó 2}0_{Cen un segundo?}

¿Cuánto tiempo tardará en llegar a ₉₈0C_?

13. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es ₃₀₀0 F_{. Después de tres} minutos, de ₂₀₀0F_{. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura} ambiente de ₇₀0 F_?

14. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramos de sal y le entran

min

4 L de solución con 1 gramo de sal por litro; bien mezclado, de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A

( )

t de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante

( )

t .

15. Resolver el problema anterior suponiendo que entra agua pura.

16. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal disuelta. Le entra salmuera con lb

2 1

de sal por galón a razón de min 6 gal . El contenido del tanque está bien mezclado y de él sale a razón de

min 4 gal de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.

17. A un circuito en serie, en la cual la inductancia es de 0.1 henerios y la resistencia es de 50 ohmios, se le aplica una fuerza electromotriz de 30 voltios. Encuentre la corriente para valores grandes del tiempo.

18. Una inductancia de 4 henerios y una resistencia de 5 Ohmios. Se conecta en serie con una f.e.m. de 100 voltios. Si la corriente es cero cuando el tiempo es cero.

a). ¿Cuál es la corriente después de 1 segundo? b). Después de 10 segundos.

19. Una ecuación diferencial describe la velocidad (v) de una masa (m) en caída sujeta a la resistencia del aire; es proporcional a la velocidad instantánea esto es: mg kv

dt dv

m= = − . En que k ≥ 0es una constante de proporcionalidad positiva. La dirección positiva es hacia abajo.

a). Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial v

( )

0 = vo.

b). Use la solución del punto a para determinar la velocidad limitante, o terminal de la masa v

dt ds

= .

20. La rapidez con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial r kx

dt

dx _{= −}

, donde r y kson constantes positivas. La función x

( )

t describe la concentración del fármaco en la sangre en el momento

( )

t . ¿En qué momento la concentración es la mitad de su valor limite?

21. Un tanque esta parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con

2 1

libra de sal por galón a razón de min

6 gal . El contenido del tanque esta bien mezclado y de el sale a razón de min

4 gal de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.

22. Aplicar la ecuación logística con los siguientes datos: 1000 0 = N

( )

0 = 1 N

(

N

)

k N dt dN − = 1000 De donde:

N = número de alumnos infectados y

1000-N = número de alumnos no infectados.

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NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES TÍTULO: TALLER 6. DURACIÓN: 1 HORA BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

Taller No 6

Resuelva el ejercicio suponiendo que la fuerza electromotriz sea: t

sen

E= 100 60

a). Resuelva los siguientes circuitos R-L sabiendo que: R= 50Ω L=2Henrios E=100voltios I(0)=0 Amperios b). R= 8Ω L=1Henrios E=6voltios I(0)=0 Amperios c). R=10Ω L=10Henrios E=_et_vol. I(0)=0 Amperios Después de 10 seg.

Resuelva los siguientes circuitos R-C sabiendo que: a). R=1Ω

C=1f E=12vol.

q(0)=0 b). R=200Ω C=5x10−5_f E=1000vol. q(0)=0 c). R=100Ω C=10µf E=100vol. q(0)=0

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NOMBRE DE LA

ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

TÍTULO: TALLER 7.

DURACIÓN: 1 HORA

BIBLIOGRAFÍA

SUGERIDA: A. KISELIOV, M. KRASNOV, G. MAKARENKO, D. ZILL, SIMMONS.

Taller No. 7

1. Hallar la transformada de: a). 2 t e b). 1 2 4 8 2 3 + + + t t t c). 2 1 − −t e d). e2t

(

t_{+ cos}ht

)

2. Hallar la transformada inversa de: a). 9 4 3 2 _{+ s+} s b). 35 10 12 2 _{+ +} + s s s c). 25 9 8 7 2 _{+ +} − s s s 3. Resolver:

a). _y′′− 5_y′+ 4_{y= e}2t _{⇒ y}

( )

0 ₌ 1 _y

( )

0 ₌ 0

4. Suponga que el circuito eléctrico se conecta en t = 0 a una f.e.m. E = cost de manera que q

( )

0 = 0 y i

( )

0 = 0. Suponer que: L= 1h, R= 6Ω y

faradios C

9 1

= .