BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL.
APLICACIONES LINEALES Y
DIAGONALIZACIÓN
(*)•
Aplicaciones lineales.
•
Expresión matricial de una aplicación lineal.
•
Diagonalización.
En contextos como Sistemas Dinámicos o procesos de cadenas de Markov es preciso conocer la forma general de una potencia o la exponencial de una matriz cuadrada A, lo que no resulta fácil de obtener a no ser que la matriz sea diagonal o diagonal por bloques. Pero si A se puede expresar como producto de tres matrices en la forma
A=PDP-1 con D diagonal 1 0 0 0 0 0 0 − = P c b a P A L M M M L L entonces: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − − = = = P c b a P P c b a P A k k k k k L M M M L L L M M M L L
En este tema se abordará la diagonalización de una matriz cuadrada A, es decir será posible encontrar bajo determinadas circunstancias, si A=PDP-1 con D diagonal.
Para ello es necesario manejar los conceptos de aplicación lineal, matriz asociada a una aplicación lineal y vector y valor propio.
1.
Aplicaciones lineales
Sea f :IRn →IRm una aplicación de IRn en IRm que a todo vector x∈IRnasocia un vector y∈IRm. Se escribe entonces y= f(x).
Se dice que f es una aplicación lineal si se cumplen las dos condiciones siguientes:
IR IR x x f x f IR x x x f x f x x f n n ∈ ∀ ∈ ∀ = ∈ ∀ + = +
λ
λ
λ
) ( ) , ( ' , ) ' ( ) ( ) ' (relaciones llamadas axiomas de linealidad.
De esta definición se deduce inmediatamente la siguiente caracterización de las aplicaciones lineales:
Es condición necesaria y suficiente para que una aplicación f :IRn →IRm sea una aplicación lineal que se cumpla:
(
')
( )
( )
' , , , ' , x IR IR f x x f x f x x nβ
α
β
α
β
α
∈ + = + ∀ ∈ ∀ .La propiedad anterior se puede extender a una combinación lineal de cualquier número de sumandos, y se puede enunciar diciendo que una aplicación entre espacios vectoriales es una aplicación lineal si y sólo si transforma combinaciones lineales de vectores de IRn en las combinaciones lineales de las imágenes en IRm de esos vectores, con los mismos coeficientes.
Imagen de una aplicación lineal
Sea f :IRn →IRm una aplicación de IRn en IRm y sean 0IRn y 0IRm los elementos nulos deIRn y IRm respectivamente. Se cumplen las siguientes propiedades:
i) f
( )
0IRn =0IRm. ii) f( )
−x =−f( )
x .iii) La imagen por f de un subespacio vectorial de IRn es un subespacio vectorial de IRm. Esto es, si U ⊂ IRn es un subespacio vectorial de IRn , entonces f(U) es un subespacio vectorial de IRm.
En particular, la imagen de f,Im(f) = f(IRn ) es un subespacio vectorial de IRm.
{
y f x IRm x IRn}
f
Im( )= = ( )∈ / ∈ .
iv) Si S =
{
e1,K,er}
es un sistema de generadores de un subespacio vectorial U de IRn , f(S) ={
f( )
e1,K,f( )
er}
es un sistema de generadores del subespacio vectorial f(U) de IRm.Núcleo de una aplicación lineal
Sea f :IRn →IRm una aplicación de IRn en IRm. Se llama núcleo de f al conjunto, Ker(f), de los vectores de IRn cuya imagen por f es el vector 0IRm:
{
x IR f x IRm}
f Ker n 0 ) ( / ) ( = ∈ = .El núcleo Ker(f) de una aplicación lineal nunca es vacío, ya que al menos contiene al vector 0 de IRn. (Denotaremos con 0 tanto el vector nulo de IRncomo el de IRm, distin-guiéndose uno del otro por el contexto).
Se cumplen las siguientes propiedades:
i) El núcleo Ker(f) de toda aplicación lineal f :IRn →IRm es un subespacio vectorial de IRn.
ii) Si f :IRn →IRm es una aplicación lineal del espacio vectorial IRn en el espacio vectorial IRm,
dim Ker(f) = dim IRn − dimIm(f)=n- dimIm(f) o bien,
dim Ker(f) + dimIm(f)= n
A la dimensión de Im(f) se le suele llamar el rango de la aplicación lineal f.
2.
Expresión matricial de una aplicación lineal
Sea f :IRn →IRm una aplicación lineal de IRn en IRm. Sean B1=
{
u1,K,un}
una base de IRn y B2 ={
w1,K,wm}
una base de IRm. Por último consideremos las imágenes por f de los vectores de la base B1:n n a u f a u f( 1)= 1,K, ( )=
Estas imágenes son vectores de IRm y, por tanto, son combinaciones lineales de los elementos de la base B2. m nm n n n m m m m w a w a w a u f w a w a w a u f w a w a w a u f + + + = + + + = + + + = L M L L 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 ) ( ) ( ) (
Cualquier vector x∈IRnes combinación lineal de los vectores de la base B1: n nu x u x u x x= 1 1 + 2 2 +L+ Por tanto: m nm n m m n n m nm n n n m m m m n n w a x a x a x w a x a x a x w a w a w a x w a w a w a x w a w a w a x u f x u f x u f x x f y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 1 1 21 2 11 1 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 2 2 1 1 + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + + = = + + + = = L L L L L L L L L L r
En consecuencia, las coordenadas de yr= f(x)∈IRm respecto de B2 son: ) , , , (y1 y2 ym yr= L con nm n m m m n n a x a x a x y a x a x a x y + + + = + + + = L L L 2 2 1 1 1 21 2 11 1 1 Matricialmente: = n nm m m n m x x a a a a a a y y M L L L L L L M 1 2 1 1 21 11 1 o abreviadamente: Y=AX.
A la matriz A se le llama matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de las bases B1 y B2 de IRn y IRm. Esta matriz queda determinada por f de forma sencilla, ya que sus columnasson precisamente las coordenadas respecto de B2 de las imágenes por f de los vectores dela base B1.
Cambio de bases en una aplicación lineal
Sea f :IRn →IRm una aplicación lineal de IRn en IRm quetiene como matriz asociada respecto a las bases B1 y B2 de IRn y IRm,respectivamente, la matriz A, expresándose la aplicaciónlineal f en la forma matricial Y = AX.
Sea B’1 otra base de IRn y P la matriz cambio de base B’1 a B1, es decir, que entre la matriz columna de coordenadas X de un vector x∈IRnen B1 y la de las coordenadas X’ del mismo vector en B’1 se tiene la relación X = P X’.
Sea B’2 otra base de IRm y Q la matriz cambio de base B’2 a B2, de modo que la relación entre las coordenadas de un vector en B2 y sus correspondientes en B’2 es Y = QY’. Respecto de las bases B’1 y B’2 de IRn y IRm, la aplicación lineal f tendrá asociada otra matriz A’, es decir, respecto de estas bases, la aplicación lineal f se expresará así: Y’ =
A’ X’.
Buscamos la relación que pueda existir entre A y A’. Para ello, sustituyendo en la rela-ción Y = AX las matrices de coordenadas X = P X’ e Y = QY’, se tiene:
QY’=APX’
y puesto que Q es regular, multiplicando a la izquierda por Q-1, se tiene:
Y’=Q-1APX’
por lo que la nueva matriz asociada a f en las bases B’1 y B’2 es:
A’= Q-1AP
En el caso de que f sea una aplicación lineal de IRn en sí mismo, si se efectúa un cambio de la base B1 a la base B’1 en este espacio, entonces será Q=Py la matriz asociada a la aplicación lineal f en la nueva base será:
A’= P-1AP
3.
Diagonalización
Puesto que una matriz A está asociada a una aplicación lineal f, se plantea la pregunta de si es posible representar f mediante una matriz más sencilla, diagonal. Habrá que de- terminar, por tanto, si existen bases adecuadas en los espacios de partida y de llegada respecto de las cuales la matriz asociada sea diagonal.
En este apartado se abordará el problema de la diagonalización de una matriz partiendo de los conceptos de valor propio y subespacio de vectores propios correspondiente y teniendo en cuenta la interpretación de las columnas de una matriz asociada a una aplicación lineal.
Valores y vectores propios
Sea f :IRn →IRn una aplicación lineal. Se dice que un vector x≠0∈IRnes un vector propio o autovector de f si existe λ∈IRtal que:
x x f( )=λ
Al escalar λ, que si existe es único, se le conoce como valor propio o autovalor asociado al vector propio x .
Cada vector propio está asociado a un único valor propio, sin embargo, en general existirán distintos vectores propios asociados a un mismo valor propio.
Sea A la matriz que determina f en una cierta base B de IRn, sea I la matriz identidad de orden n, y sea X la matriz columna de las coordenadas del vector x en la base B. Entonces la condición de vector propio se escribe:
AX=λIX
o equivalentemente:
(A-λI)X=0
Esta ecuación matricial equivale a un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones en las n incógnitas que corresponden a las n coordenadas de x. Los vectores propios asociados a λ serán las soluciones no triviales de este sistema, que admite alguna de estas soluciones si y sólo si:
| A-λIn |=0 o en forma desarrollada: 0 2 1 1 12 11 = − − λ λ nn n n n a a a a a a L L L L L L
denomina polinomio característico de la matriz A, y la ecuación obtenida al igualarlo a 0, se llama la ecuación característica de la aplicación lineal f o de la matriz A.
Los vectores propios cumplen las siguientes propiedades:
i) Si x es un vector propio de la aplicación lineal f, asociado al valor propio λ, también lo es el vector µx, asociado al mismo valor propio, donde µ es un escalar cualquiera no nulo.
ii) Si x y 'x son dos vectores propios asociados al mismo valor propio λ, toda combinación lineal de dichos vectores también es un vector propio asociado al mismo autovalor puesto que:
(
x 'x')
f( )
x 'f( )
x' x ' x'(
x 'x')
f µ +µ =µ +µ =µλ +µ λ =λ µ +µ
Como consecuencia de i) y ii), el conjunto de los vectores propios asociados a un valor propio, constituye un subespacio vectorial de IRn, llamado subespacio propio asociado a dicho valor propio.
iii) El polinomio característico de una matriz A asociada a una aplicación lineal f de IRn en IRn, resulta invariante ante un cambio de base en IRn.
iv) Si x1, x2,K,xh son h vectores propios asociados a h valores propios distintos h
λ λ
λ1, 2,K, , entonces
{
x1, x2,K,xh}
es un sistema libre.Diagonalización de una matriz cuadrada
• Sea A la matriz asociada a f :IRn →IRn respecto a una base B de IRn. Supongamos que se obtienen n autovalores, todos reales y distintos y sean
n x x
x1, 2,K, autovectores asociados a dichos valores propios. Estos vectores forman una base B’ de IRn, respecto de la cual f tiene una matriz asociada A’ cuyas columnas son las coordenadas de f
( )
x1 =λ1x1,K, f( )
xn =λnxn referidas a la base B’, por lo que A’ será una matriz diagonalA’= n λ λ λ L L L L L L L 0 0 0 0 0 0 2 1 .
Se dice entonces que la matriz A es diagonalizable, ya que existe una matriz diagonal A’ que representa la misma aplicación lineal f en cierta base. Si denotamos con P la matriz de cambio de base de B’ a B, se tiene A’ = P−1AP. Si B es la base canónica de IRn, las columnas de P son los n vectores propios
n x x
• Una matriz A cuadrada de orden n es diagonalizable si y sólo si todos los valores propios λi (i = 1…, h) de A son reales, y para todo λi con orden de multiplicidad αi, el rango de la matriz A − λiI es igual a n − αi.
Bibliografía
• Barbolla, R. y Sanz, P. (1998). Álgebra lineal y teoría de matrices. Ed. Prentice Hall.
• Caballero, R. E., Calderón, S. y Galache, T. P. (2000). Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa. 434 ejercicios resueltos y comentados. Ed. Pirámide. • Grossman, S. I. (1997). Álgebra lineal. Ed. McGraw-Hill.
• Hernández, E. (1999). Álgebra y geometría. Ed. Addison-Wesley/U.A.M. • Kolman, B. (1999). Álgebra lineal con aplicaciones y Matlab. Ed. Prentice Hill. • Martínez Salas. (1992). Elementos de matemáticas. Ed. Lex Nova.
• Sanz, P., Vázquez, F. J. y Ortega, P. (1998). Álgebra lineal. Cuestiones, ejercicios y tratamiento enDerive. Ed. Prentice Hall.
(*) En este tema se ha utilizado como fuente, tanto para la estructuración de los contenidos como en la inclusión de algunos párrafos, el siguiente libro: Álgebra lineal y teoría de matrices. R. Barbolla y P. Sanz. Ed. Prentice Hall. (1998).
