Una desigualdad entre normas BMO en espacios casi métricos

Una desigualdad entre normas BMO en espacios

casi m´

etricos

Mar´ıa Emilia Castillo

Facultad de Ciencias Econ´omicas Universidad Nacional de Tucum´an

21 de Septiembre de 2016

Objetivo

kf∗kBMO ≤ CkfkBMO

f∗ es la reordenada decreciente de f

f :X →_Rcon X un espacio de tipo homog´eneo.

BMO es el espacio de las funciones de oscilaci´on media

Casi-distancia

Sea X un conjunto

Unacasi-distancia enX es una funci´on sim´etrica

d :X ×X →[0,∞] tal qued(x,y) = 0 siix =y, y tal que

∃K ≥1 tal que

d(x,y)≤K(d(x,z) +d(z,y)) para x,y,z ∈X.

B(x,r) ={y ∈X :d(x,y)<r},r >0.

La familia de todas las d-bolas constituye una base para una

Una medida de Borelµse dice regularenX si

µ(E) = ´ınf{µ(U) :E ⊆U,U abierto}

= sup{µ(K) :K ⊆E,K compacto},

Espacio de tipo homog´

eneo

(X,d, µ) es un espacio de tipo homog´eneo si:

(X,d) es un espacio casi-m´etrico tal que lasd-bolas son conjuntos abiertos

µ es una medida regular de Borel no negativa que satisface la

condici´on doblante si existeA≥1 tal que 0< µ(B(x,2r))≤Aµ(B(x,r))<∞

BMO

Una funci´onf ∈L1_loc es de oscilaci´on media acotadasi

existe M ≥0 tal que

1

µ(B)

Z

B

|f −fB|dµ≤M

para toda bola B⊆X. (f ∈BMO(X))

kfkBMO:= sup B⊆X 1 µ(B) Z B |f −fB|dµ,

donde el supremo se toma sobre todas las bolasB ⊆X.

Si s´olo consideramos bolas contenidas en un conjunto medible

Cubos di´

adicos de Christ

Dado un espacio de tipo homog´eneo (X,d, µ) y j ∈Z, existe un

conjunto de puntos{x_kj :k ∈Ij} y una familia de conjuntos

{Q_kj :k ∈Ij} enX que satisfacen las siguientes propiedades:

(d.1) para cadaj ∈_Z,Q_kj ∩Q_ij 6=∅implica que k =i;

(d.2) sij ≥`, luegoQ<sub>k</sub>j ⊆Q` i oQ j k ∩Qi`=∅, para cadak ∈Ij, i ∈I`; (d.3) para todoj ∈_Z,X =S k∈IjQ j k;

(d.4) µ(∂Q_kj) = 0, para todo Q_kj, donde∂E denota la frontera de

E; (d.5) µ(Q_kj) =P i:Q` i⊂Q j k µ(Q<sub>i</sub>`), para cadaj ∈_Z,`≥j + 1 y k ∈Ij.

Cubos di´

adicos de Christ

(d.6) X es acotado sii existe j ∈Z yk ∈Ij tal que X =Q_kj.

(d.7) B(x_kj,aδj)⊆Q_kj ⊆B(x_kj,cδj) para todo Q_kj;

(d.8) para todoQ_kj y` <j existe un ´unico i ∈Ij tal que Q<sub>k</sub>j ⊆Q<sub>i</sub>`;

(d.9) para todoQ_kj,card{i ∈Ij+1:Q_ij+1 ⊆Q_kj} ≤N;

Aqu´ıa>0,c >0, 0< δ <1 y N∈_Ndependen solo de la

constante doblanteA, y no j. Dj _{:= {Q}j k : k ∈ Ij} D := S j∈ZD j

BMO

Una funci´onf ∈L1_loc(X) es deoscilaci´on media di´adica acotada

(f ∈BMOd) si kfkBMOd := sup Q 1 µ(Q) Z Q |f −fQ|dµ <∞, conQ ∈ D.

Como antes, si el supremo se toma s´olo sobre los cubos

di´adicos en un subconjunto medibleE deX, escribimos

f ∈BMOd(E).

BMO(X)⊂BMOd(X), la rec´ıproca no vale en general (ver,

La reordenada decreciente

Seaf :X →_Runa funci´on medible.

Lafunci´on de distribuci´on def es la funci´on

µf : [0,∞)→[0,∞] definida por

µf(s) :=µ({x∈X :|f(x)|>s}).

Lareordenada decreciente def es la funci´on

f∗: (0,∞)→[0,∞] definida por

f∗(t) := ´ınf{s :µf(s)≤t},

El espacio Weak-

L

Definimos la funci´on maximalf∗∗ def por

f∗∗(t) := 1 t Z t 0 f∗(s)ds, para t >0.

El espacio Weak-L∞sobre espacios m´etricos de medida,

definido en [Aal12] (e introducido en [BDS81] en el enfoque eucl´ıdeo) es la familia de todas lasf ∈L1

loc(X) tal que f∗ es

finita en casi todas partes y

||f||W := sup t>0

(f∗∗(t)−f∗(t))<∞.

Resultados previos: caso eucl´ıdeo

kf∗_k

BMO ≤ C kfkBMO, f : Rn → R

n = 1 Garsia and Rodemich en [GR74]

n ≥1 Bennett, DeVore and Sharpley en [BDS81]f est´a en

Caso espacios m´

etricos

BMO ⊂Weak-L∞ ([Aal12])

La prueba no involucra reordenada y no permite obtener la

acotaci´on del operador reordenada.

Teorema

Si(X,d, µ) tiene una partici´on di´adica que es no acotada en mediday f ∈BMO(X), luego

f∗∗(t)−f∗(t)≤Ckfk_BMO, 0<t <∞, donde C es una constante que depende s´olo de las constantes geom´etricas A y K .

kfk_W ≤Ckfk_BMO,

Corolario

Si(X,d, µ) tiene una partici´on di´adica que es no acotada en mediday f ∈BMO(X), luego f∗∈BMO([0,∞))y

kf∗k_BMO≤2Ckfk_BMO, donde C es la constante del teorema anterior.

Definici´on

Decimos que una partici´on di´adica D=S

j∈_ZDj de (X,d, µ) es no

acotada en medidasi,∀M >0,∃j0 ∈Z tal queµ(Q)≥M para

todoQ ∈ Dj0_.

Ejemplo: Si (X,d, µ) es un espacio de Ahlfors (es decir,

µ(B(x,r))≈rα) conµ(X) =∞, luego la partici´on di´adica construida por M. Christ es no acotada en medida, debido a la

Herramienta fundamental: lema de cubrimiento

Lema

(X,d, µ) tiene una partici´on di´adica que es no acotada en medida, y sea G un subconjunto abierto de X conµ(G)<∞. Existe una familia, a lo m´as numerable, de cubos di´adicos Qj que cubren a G , que son disjuntos y satisfacen

µ(G∩Qj)≤ 1 2µ(Qj)≤µ(Qj\G); X j µ(Qj)≤2Am0_µ(G), donde m0∈N2m0−1_≥Kcδ−1_a−1_{, K es la constante de la}

Aplicaci´

on: desigualdades de tipo Gagliardo-Nirenberg

Una versi´on local de nuestro resultado implica que la desigualdad

anterior vale en espacios de tipo homog´eneo acotados (por ejemplo

Daniel Aalto,Weak L∞and BMO in metric spaces, Boll. Unione Mat. Ital. (9)5 (2012), no. 2, 369–385. MR 2977254 Colin Bennett, Ronald A. DeVore, and Robert Sharpley,

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John B. Garnett and Peter W. Jones,BMO from dyadic BMO, Pacific J. Math.99 (1982), no. 2, 351–371. MR 658065 (85d:42021)

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