XVII. CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E
IMPULSO
Así como en el estudio de la partícula los métodos del trabajo y la energía y del impulso y la cantidad de movimiento nos permitieron abordar ciertos problemas de un modo más eficiente, también esos conceptos nos ayudarán en la resolución de un gran número de problemas del cuerpo rígi-do. Comenzaremos ampliando para el cuerpo rígido los conceptos sobre trabajo y energía, conforme al tipo de movimiento de que esté dotado. La última parte la dedicaremos al impulso y el moméntum.
Trabajo y energía
En los capítulos correspondientes, quedaron definidos los conceptos de
trabajo, energía cinética, energía potencial gravitacional y energía poten-cial elástica, que ahora volveremos a utilizar, tal como los conocemos. Asi-mismo, emplearemos sin cambios las fórmulas del trabajo y la energía ci-nética y la general del trabajo y la energía:
Hemos escrito la fórmula general como la conocíamos. Aunque el último término no se aplica a los cuerpos rígidos, dada su imposibilidad de deformarse, sí se requiere en aquellos sistemas en los que interviene algún
cuerpo elástico. Estas fórmulas sirven para resolver problemas en los que hay que relacionar rapideces lineales con desplazamientos, o rapideces angulares con desviaciones angulares.
Traslación pura
Cuando un cuerpo rígido se mueve con traslación pura, es decir, que todas sus rectas conservan su dirección original durante el movimiento, su estudio se reduce al de una cualquiera de sus partículas. Por tanto, las expresiones ∆𝑇 =1 2𝑚(𝑣22− 𝑣12) ∆𝑉𝑔 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1) ∆𝑉𝑒 = 1 2𝑘(𝑥22 − 𝑥12)
se emplean como si se tratara del caso de una partícula. Para el incremento de la energía potencial gravitacional, la diferencia de alturas se refiere par-ticularmente a la correspondiente al centro de gravedad, lo cual hay que tener en cuenta también en los casos de la rotación pura no baricéntrica y del movimiento plano general.
Rotación pura
Ya hemos visto que para que se produzca la rotación baricéntrica de un cuerpo se requiere un sistema de fuerzas cuya resultante sea un par. Convie-ne, por tanto, que calculemos el trabajo de un par.
Trabajo de un par de fuerzas
Consideremos un cuerpo rígido sujeto a la acción de dos fuerzas paralelas
411 se muestra en la figura: se trata de un par de magnitud M = F d. Si tomamos el punto O como punto base, el trabajo del par de fuerzas que desvié el menhir un ángulo dϴ será igual a
𝑈 = ∫ 𝐹 𝑑𝑠
pero ds es igual a ddθ. Por tanto
𝑈 = ∫ 𝐹 𝑑𝑑𝜃
Hemos deducido que el trabajo de un par de fuerzas es igual al producto de la magnitud del par por la desviación angular del cuerpo.
Energía cinética
La energía cinética de un cuerpo es igual a la suma de las energías ciné-ticas de todas las partículas que lo conforman. Y la de cada partícula es fun-ción de su rapidez v, que puede expresarse como el producto de la rapidez angular del cuerpo, ω, por la distancia r de la partícula al centro de rotación. Podemos escribir, por tanto:
𝑇 = ∫1 2𝑣2𝑑𝑚 = 1 2∫(𝜔𝑟)2𝑑𝑚 = 1 2𝜔2∫ 𝑟2𝑑𝑚
Como es lógico, si la rotación es baricéntrica, el momento de inercia de la masa debe ser el centroidal, como en el siguiente ejemplo.
𝑈 = ∫ 𝑀 𝑑𝜃
𝑇 =1
Puesto que el trabajo de frenado lo efectúa exclusivamente el par que ejerce el eje sobre el volante, el trabajo del par es igual a la pérdida de energía cinética:
𝑈 = ∆𝑇
∫ 𝑀𝑑𝜃 = 1
2𝐼̅(𝜔22− 𝜔12)
Como el par es constante y realiza un trabajo en sentido contrario de la velocidad angular: −𝑀(∆𝜃) =1 2𝐼̅(0 − 𝜔12) En donde ∆𝜃 = 520rev = 520(2𝜋)rad 𝐼̅ = 𝑘̅2𝑚 = 0.62(240) 𝜔1 = 360 (2𝜋 60) rad s⁄ = 12𝜋 rad s⁄ Por tanto −520(2𝜋)𝑀 =1 2(0.62)240(−12𝜋) 𝑀 =0.18(240)(12𝜋)2 1040𝜋 = 0.18(240)144𝜋2 1040𝜋
Resolveremos ahora un problema de rotación pura no baricéntrica, en el que se produce un cambio tanto de la energía cinética como de la potencial gravitacional.
Ejemplo. Un volante de inercia se des-conecta de la máquina cuando gira a 360 rpm. Se observa que da 520 revoluciones completas hasta detenerse. Determine la magnitud del par que el rodamiento ejerce sobre el volante. La masa del volante es de 240 kg y su radio de giro cantroidal, de 0.6 m.
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Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra en cualquier instante del movimiento en estudio, sin el peso, que es una fuerza conservativa, y la reacción de la articulación, que no trabaja, pues no se desplaza. Podemos emplear, por tanto, la siguiente reducción de la fórmula general:
∆𝑇 + ∆𝑔 = 0
Tomando como posición 1 donde ϴ = 0 y como posición 2 donde ϴ = 90°, tenemos: 1 2𝐼0(𝜔22− 𝜔12) + 𝑚𝑔(ℎ2− ℎ1) = 0 1 2[ 1 3(0.5)32] (𝜔22− 82) + 16.1(−1.5) = 0 0.75(𝜔22− 64) = 24.15 𝜔22− 64 =24.15 0.75
Se puede ver fácilmente que el movimiento de la barra desde ϴ = 0 hasta ϴ = 180° no implica ningún cambio en la energía potencial gravi-tacional, por lo que la energía cinética tiene que conservar su valor y, por tanto,
Ejemplo. Una barra homogénea de 16.1 lb de peso y 3 ft de largo, que se mueve por la sola acción de su peso, tiene una rapidez angular de 8 rad/s en sentido antihorario cuando ϴ = 0°. Sabiendo que toda resistencia al movimiento es despre-ciable, calcule la rapidez angular que ten-drá: a) cuando ϴ = 90°; b) cuando ϴ = 180°.
𝜔2 = 9.81 rad s⁄
Movimiento plano general
Para estudiar el movimiento plano general, partiremos de la considera-ción de que se trata de la realizaconsidera-ción simultánea de una traslaconsidera-ción y una rotación baricéntrica.
La energía cinética correspondiente a la traslación es la del centro de masa, que hará las veces de centro de rotación, y la que corresponde a la rotación, deberá ser la baricéntrica. Para un instante cualquiera la enercía cinética del cuerpo rígido será
en donde 𝑣𝐺 es la rapidez del centro de masa.
Como ninguna fuerza externa no conservativa interviene en el movi-miento del conjunto, podemos emplear la fórmula general del trabajo y la energía igualada a cero:
∆𝑇 + ∆𝑉𝑔+ ∆𝑉𝑒= 0 … (1)
Dado que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto entre el carrete y la superficie horizontal, la relación entre las distancias a la cuerda y al centro del carrete es la misma que la del desplazamiento del cuerpo B y el del resorte:
0.3 0.5= 𝑆𝐵 𝑥2; 𝑠𝑖 𝑆𝐵= 1.5, 𝑥2 = 2.5 𝑇 = 1 2𝑚𝑣𝐺2+ 1 2𝐼̅𝜔2
Ejemplo. El carrete A de la figura pesa 40 kg y su masa tiene un radio de giro centroidal de 0.4 m. Está unido a un resorte indeformado cuya constante de rigidez es k = 8 kg/m. El cuerpo B pesa 20 kg. La cuerda para por una clavija lisa y es ideal. Si el conjunto se suelta del reposo, ¿qué velocidad angular tendrá el carrete cuando B haya descendido 1.5 m? El carrete rueda sin deslizar.
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esa es la misma proporción que guardan la velocidad del centro del cuerpo B y el centro de masa del carrete: vB = 0.6 v (testada). Además la velocidad del centro de masa del carrete será v (testada)= ω r = 0.5 ω. Podemos
escribir, por tanto:
∆𝑇 = ∆𝑇𝐴 + ∆𝑇𝐵= 1 2𝑚𝐴𝑣̅22+ 1 2𝐼̅𝜔22+ 1 2𝑚𝐵𝑣𝐵22 ∆𝑇 =1 2( 40 9.81) (0.5𝑣2)2+ 1 2[0.42( 40 9.81)] 𝜔22+ 1 2( 20 9.81) (0.3𝜔2)2 ∆𝑇 = 5 + 3.2 + 0.3 9.81 𝜔22 = 8.5 9.81𝜔22 = 0.9665𝜔22 ∆𝑉𝑔 = −20(1.5) = −30 ∆𝑉𝑒 = 1 2𝑘(𝑥22− 𝑥12) = 1 2(8)2.52 = 25 Estos valores en (1) 0.9665𝜔22− 30 + 25 = 0 𝜔22 = 5 0.8665
Impulso y moméntum
Así como los conceptos de impulso y moméntum resultaron útiles en la resolución de problemas de la partícula en que las fuerzas eran función del tiempo, o las acciones mutuas de dos de ellos ocurría en un breve lapso, también en el estudio del cuerpo rígido servirá en casos semejantes.
Cantidad de movimiento lineal y angular
La cantidad de movimiento lineal de una partícula es el producto de la masa por la velocidad. El de un cuerpo rígido será igual a la suma vectorial de las cantidades de movimiento de sus partículas.
Consideremos un cuerpo rígido que tenga una rapidez angular ω y tomemos un punto base arbitrario O. La rapidez de una partícula cualquiera se puede expre-sar como v = ω r, y su cantidad de movi-miento lineal como ω r dm. Si integra-mos, obtendremos el producto de la rapi-dez angular por el momento estático de la masa del cuerpo, respecto a un eje per-pendicular que pasa por el punto base; a su vez, ese momento estático puede ex-presarse como el producto de la masa por la distancia del eje al centro de masa:
∫ 𝜔𝑟 𝑑𝑚 = 𝜔 ∫ 𝑟 𝑑𝑚 = 𝜔𝐵0𝑚 = 𝜔𝑟̅𝑚 = 𝑚𝑣
𝐺
y, como se ve, la cantidad de movimiento lineal del cuerpo resulta ser igual al producto de su masa por la velocidad de su centro de masa. Se trata de una cantidad vectorial.
Sabiendo que el impulso es igual al incremento de la cantidad de movimiento, podemos escribir:
La cantidad de movimiento angular o moméntum angular de un cuerpo será la suma de las cantidades de movimiento angular de sus partículas.
De la figura anterior, observamos que la cantidad de movimiento angular de una partícula será igual a ω r2 dm y, al integrar, obtendremos
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que es igual al producto de la rapidez angular del cuerpo por el momento de inercia de su masa respecto al eje que pasa por O:
∫ 𝜔𝑟2𝑑𝑚 = 𝜔 ∫ 𝑟2𝑑𝑚 = 𝜔𝐼
0
Y, puesto que el impulso angular es igual al incremento de la cantidad de movimiento angular, podemos escribir:
Cuando dos cuerpos aislados se ejercen fuerzas entre sí, se pueden emplear las expresiones de la conservación tanto del moméntum lineal como del moméntum angular:
Cuando se trata de un solo cuerpo cuya configuración se ve alterada por fuerzas internas, la segunda expresión se reduce a
∫ ∑ 𝑀0𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼0(𝜔2− 𝜔1)
𝑚𝐴𝑣̅𝐺𝐴1+ 𝑚𝐵𝑣̅𝐺𝐵1 = 𝑚𝐴𝑣̅𝐺𝐴2+ 𝑚𝐵𝑣̅𝐺𝐵2
𝐼0𝐴𝜔𝐴1+ 𝐼0𝐵𝜔𝐵1= 𝐼0𝐴𝜔𝐴2+ 𝐼0𝐵𝜔𝐵2
𝐼01𝜔1 = 𝐼02𝜔2
Ejemplo. Una esfera maciza de 4 kg de peso y 0.12 m de radio, se lanza con una rapidez de 8 m/s, sin velocidad angular, sobre una superficie horizontal, cuyo coe-ficiente de fricción cinética es 0.2. De-termine el tiempo que se requiere para que la esfera comience a rodar sin desli-zar, y cuál será entonces su velocidad an-gular.
Dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera mientras se desliza sobre la superficie horizontal. Como se trata de un problema en el que se desea investigar un tiempo, las fórmulas del impulso y el aumento de la cantidad de movimiento resultan apropiadas. La esfera recibe un impulso lineal en sentido contrario de la velocidad, y un impulso angular en sentido horario. Igualaremos las ecuaciones, sabiendo que la esfera deja de resbalar cuando la velocidad de su centro de masa es igual al producto de la veloci-dad angular por el radio, ya que en ese instante, el centro de rotación es el punto de contacto entre la esfera y la superficie.
∫ ∑ 𝐹𝑡 𝑥𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣𝑡− 𝑣0) 0 −0.8𝑡 =4 𝑔(𝑣𝑡− 8) 𝑡 = −5 𝑔𝑣𝑡+ 40 𝑔 … (1) ∫ ∑ 𝑀𝐺𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼̅(𝜔𝑡− 0) 0.8(0.2)𝑡 =2 5( 4 𝑔) 0.122𝜔𝑡𝑡 … (2) Igualando (1) y (2) 0.24 𝑔 𝜔𝑡𝑡 = − 5 𝑔𝑣𝑡+ 40 𝑔
Multiplicando por 𝑔 y sustituyendo 𝑣𝑡 por 0.12 𝜔𝑡
0.24𝜔𝑡= −5(0.12)𝜔𝑡+ 40
(0.24 + 0.6)𝜔𝑡 = 40
𝜔𝑡= 47.6 rad/s ↻
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Se trata de un problema de conservación de la cantidad de movimiento angular. Calcularemos los momentos de inercia de las dos configuraciones del mecanismo, multiplicando la masa de las esferas por el cuadrado de su distancia al eje de rotación.
𝐼̅1𝜔1 = 𝐼̅2𝜔2
4(12)2(45) = 4(0.12)2𝜔
2
45 = 0.01𝜔2
Ejemplo. Un dispositivo experimen-tal consiste en una cruceta de masa des-preciable en cuyos extremos opuestos se pueden colocar sendas esferas de 4 lb. El conjunto gira alrededor de un eje hori-zontal que pasa por su centro de masa. Cuando las esferas están colocadas en los extremos del vástago largo, el mecanismo gira con rapidez angula constante de 45 rpm. Diga cuál será la rapidez angular del mecanismo si las esferas se colocan en el vástago menor, y si el procedimiento para que adquiera su velocidad es el mismo que se empleó en el caso anterior.
Serie de ejercicios de Dinámica
CUERPO RÍGIDO. TRABAJO E IMPULSO 1. Una columna de sección cuadrada de 40 por 40 cm, tiene una altura de 2.4 m y pesa 920 kg. Diga qué trabajo se requiere para levantarla, si originalmente reposa sobre uno de sus costa-dos. (Sol. 920 kg ∙ m )
2. Para probar la potencia de un motor, so-bre el volante A de la figura se coloca una ban-da. En uno de los extremos se coloca un dina-mómetro y en el otro, una carga de 1 kg de peso. El volante gira con velocidad constante de 120 rpm y tiene un diámetro de 0.6 m. Determine el trabajo que el motor realiza en un segundo, si el dinamómetro marca 4 kg.
(Sol.15 kg ∙ m ) 3. Una pequeña esfera de 3.22 lb de peso y una pulgada de diámetro se suelta desde el pun-to A de la superficie de la figura. Calcule la rapi-dez angular con que pasa por el punto B, el más alto del bucle, sabiendo que la esfera rueda sin deslizar. ¿Cuál es la reacción de la superficie sobre la esfera en ese punto?
(Sol.4.7 lb ↓ ) 4. Las dos poleas de la figura son iguales.
A gira en sentido horario, B en sentido contra-rio. Sus centros están separados 40 cm. Sobre ellas se coloca una barra homogénea de 10 kg, de modo que su centro de gravedad quede a 6 cm del eje de simetría de las poleas. Sabiendo que el coeficiente de fricción cinética entre las poleas y la barra es 0.2, diga con qué rapidez
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pasará el centro de gravedad de la barra por el eje de simetría de las poleas. La barra se coloca sin velocidad inicial.
(Sol.1.766 cm/s ) 5. La polea de la figura es un cilindro ma-cizo de 16.1 lb de peso y 2 ft de radio. El cuerpo
A pasa 64.4 lb, y el B, 32.2. En cierto instante, la rapidez de A es de 5 ft/s; ¿cuál será, cuando se haya desplazado un pie más?
(Sol.6.69 ft/s ) 6. Una barra delgada y homogénea de un slug de masa tiene una longitud de 5 ft y está articulada a un pie de uno de sus extremos. Si la barra está originalmente en reposo en la posi-ción mostrada, ¿cuál será la máxima rapidez an-gular que alcanzará?
(Sol.3.83 rad/s ↻) 7. El volante de la figura tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de 0.4 m respecto a su eje de rotación. A dicho eje se le aplica un par de magnitud M = 5 t, donde si t se da en s, M resulta en kg•m. Si el volante originalmente es-tá en reposo, ¿qué velocidad angular tendrá a los tres segundos de haber aplicado el par?
(Sol.1.369 rad/s ↺ ) 8. Sobre una superficie inclinada 15° se co-loca, sin velocidad inicial, un tubo de pared del-gada de 1.5 ft de radio. Sabiendo que el tubo rueda sin desliza, diga cuál será la velocidad de su centro de masa, cuando se haya desplazado 5 ft. (Sol.6.44 ft/s 15° )
9. Las barras AB y BC son homogéneas e iguales; están contenidas en el plano vertical y articuladas. Miden 0.8 m y pesan 12 kg. Calcule la rapidez máxima de la articulación B, si el conjunto se suelta del reposo en la posición mostrada. (Sol.1.617 m/s ) 10. El cuerpo A de la figura pesa 20 kg; la polea
B es un cilindro macizo de 10 kg de peso y 0.3 m de radio; y el cuerpo C es un carrete que pesa 50 kg, tiene un radio exterior de 0.4 m y su núcleo, de 0.2 m, y su radio de giro centroidal es de 0.25 m. Sabiendo que los cuerpos están originalmente en reposo y que el carrete rueda sin deslizar, determine la velocidad angular del carrete C cuando A haya descendido 1 m.
(Sol.7.88 rad/s ↺ ) 11. El péndulo cónico de la figura describe una circunferencia horizontal de radio r, y da 80 vueltas completas en un minuto. Paulatina-mente se comienza a reducir la longitud de la cuerda, hasta que el radio de la trayectoria del péndulo se reduce a la mitad. ¿Cuántas vueltas completas dará en un minuto?
(Sol. 160 vueltas) 12. La figura representa la puerta de una cochera de 300 lb de peso y que tiene 8 ft de altura. En cada lado de la puerta hay un resorte, que no está deformado cuando la puerta está abierta, y que es la posición mostrada. Se desea que, soltando del reposo la puerta abierta, llegue a su posición final sin velocidad: ¿cuál debe ser la constante de rigidez k de cada
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13. A un cilindro macizo de 800 kg de peso y 0.5 m de radio, originalmente en reposo, se le aplica una fuerza horizontal de 20 kg durante 10 s. a) ¿Cuál será la velocidad angular del cilindro? b) ¿Qué velocidad lineal tendrá su centro de masa? El cilindro rueda sin deslizar.
(Sol.3.62 rad/s ↻, 1.808 m/s →)
14. La polea de la figura pesa 32.2 lb, su radio exterior es de 6 in y tiene un radio de giro centroidal de 3 in. El cuerpo que pende de la cuerda pesa 8.05 lb. Inicialmente, la rapidez an-gular de la polea es de 3 rad/s; diga qué rapidez alcanzará dos segundo después.
(Sol.𝜔2 = 134.8 rad/s ↺ ) 15. El carrete de la figura está originalmen-te en reposo y se le aplica una fuerza constanoriginalmen-te de 20 kg mediante una cuerda enrollada en su núcleo. Sabiendo que el radio de giro centroidal de la masa del carrete es de 0.25 m y que rueda sin deslizar, ¿cuál será su velocidad angular a los tres segundos?
(Sol.26.7 rad/s ↺ ) 16. Una barra delgada y homogénea de 16.1 lb de peso y 4 ft de largo está articulada en uno de sus extremos y en reposo. Diga cuál será su rapidez angular inmediatamente después de que una bala de 2 oz, que lleva una velocidad horizontal de 900 ft/s, se incrusta en ella a 3 ft de la articulación.
(Sol.8.9 rad/s ↺ ) 17. El volante de la figura está rígidamente unido a la polea B. Las poleas A y B están
uni-das por una banda ideal, de masa despreciable. El sistema está originalmente en reposo cuando se le aplica un par constante de 2 kg•m a la po-lea A. ¿Cuánto tiempo se requiere para que el volante alcance una rapidez angular de 240 rpm? La masa del conjunto volante-polea B es de 360 kg y su radio de giro centroidal, de 0.8m; la polea A tiene una masa de 12 kg y un radio de giro centroidal de 0.1 m.
