Solución de la Tarea Número1delCursodeAnálisis Numérico.

Soluci´on de la Tarea N´umero 1 del Curso de An´alisis Num´erico.

Jos´

e Mar´ıa Rico Mart´ınez

Departamento de Ingenier´ıa Mec´

anica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.

1

Definici´

on del Problema.

Considere la banda transportadora recta de longitudL= 20m, la banda est´a inclinada un ´anguloαcon respecto al nivel del suelo y transporta arena s´ılica fina. La velocidad de la banda transportadora es v = 10m/s, al finalizar la banda transportadora, la arena tiene la trayectoria parab´olica t´ıpica de cuerpos en caida libre, suponga que la gravedad produce una aceleraci´on de 9.8m/s2, vea la Figura 1. Determine el ´angulo α, que maximiza la distancia horizontal,R, desde el inicio de la banda transportadora hasta el punto en el que la arena cae al suelo. Emplee el m´etodo de bisecci´on.

Figure 1: Banda Transportadora y Caida Parab´olica de la Arena.

2

Soluci´

on del Problema.

Inicie seleccionando un sistema coordenado, como se muestra en la Figura 1, en el punto en el que la banda transportadora recoge las part´ıculas de arena. Por otro lado, el origen de tiempo, t= 0s, est´a localizado en el instante que una part´ıcula de arena abandona la banda transportadora e inicia su trayectoria parab´olica. Por lo tanto, la ecuaci´on de movimiento de la part´ıcula de arena est´a dada por

a= d v

d t = d2r

d t2 =−gˆj. (1)

Por otro lado, las condiciones iniciales est´an dadas por

2.1

Integraci´

on de las Ecuaciones de Movimiento.

Integrando la ecuaci´on (1), respecto al tiempo, se tiene que

v(t) = a(t)d t= −gˆj d t.=−g tˆj +C1, (3) sustituyendo la primera condici´on inicial, se tiene que

v₀Cos αˆi+v₀Sin αjˆ=−g0 ˆj +C₁,

por lo tanto, se tiene que la constante de integraci´on vectorial,C₁, est´a dado por

C₁=v₀Cos αˆi+v₀Sin αˆj (4) y el vector velocidad est´a dado por

v(t) =d r

d t =v0Cos αˆi+ (v0Sin α−g t) ˆj. (5)

Integrando la ecuaci´on (5), respecto al tiempo, se tiene que

r(t) = v(t)d t= v₀Cos αˆi+ (v₀Sin α−g t) ˆj d t=v₀t Cos αˆi+ (v₀t Sin α−1 2g t 2_{) ˆj +C2, (6)}

sustituyendo la segunda condici´on inicial, se tiene que

L Cos αˆi+L Sin αˆj=v00Cos αˆi+ (v00Sin α−1

2g0

2_{) ˆj +C2,}

por lo tanto, se tiene que la constante de integraci´on vectorial,C2, est´a dado por

C2=L Cos αˆi+L Sin αˆj (7)

y el vector de posici´on de la part´ıcula de arena est´a dado por

r(t) = (L Cos α+v₀t Cos α)ˆi+ (L Sin α+v₀t Sin α−1

2g t

2_{) ˆj. (8)}

Las componentes escalares del vector de posici´on est´an dadas por

r_x(t) =L Cos α+v₀t Cos α r_y(t) =L Sin α+v₀t Sin α−1

2g t

2_{. (9)}

2.2

Determinaci´

on del Rango M´

aximo Para un Valor Dado del ´

Angulo

α

.

El siguiente paso consiste en determinar el rango m´aximo del desplazamiento horizontal de la part´ıcula de arena, tambi´en conocido como rango. Para tal fin, determine el tiempo para el cual la componente vertical del vector desplazamiento es igual a 0. Es decir, determine el tiempo,t, tal que

L Sin α+v₀t Sin α−1

2g t

2_{= 0.}

Las dos soluciones est´an dadas por

t= v0Sin α±

v2₀Sin2α+ 2g L Sin α

g . (10)

Es evidente que el signo negativo conduce a una soluci´on sin significado f´ısico. Por lo tanto, considerando el signo positivo, se tiene que el rango,R, est´a dado por

R(α) =rx t= v0Sin α+ v2₀Sin2α+ 2g L Sin α g = Cos α

v₀2Sin α+v₀Sin α(v₀₂Sinα+ 2g L) +g L g

2.3

Maximizaci´

on Directa o Busqueda de Raices de una Ecuaci´

on.

El paso final para la soluci´on de este problema, consiste en maximizar el valor de la funci´onR(α), vea la ecuaci´on (11). Sin embargo, es importante considerar las diferentes opciones para llevar a cabo este proceso:

1. Maximizaci´on directa de la funci´onR(α), este es un tema que forma parte de la teor´ıa de optimizaci´on, en su parte mas sencilla, la optimizaci´on de una funci´on,R(α), de una variable real,α, que no est´a sujeta a restricci´on alguna.

2. Seguir los m´etodos tradicionales del c´alculo diferencial; es decir, derivar la funci´on R(α), respecto a la variable independiente,α, para despu´es igualar esta derivada a cero y obtener las raices de esta ecuaci´on que constituyen los puntos cr´ıticos de la funci´on. La derivada de la funci´on est´a dada por

d R d α =

−v₀2(1−2Cos2α)−g L Sin α(v2₀Sin α+ 2g L) +v3₀Sin α2Cos2α−1+v₀g L−2 + 3Cos2α gSin α(v2₀Sin α+ 2g L)

(12)

2.4

Soluci´

on del Problema Como un Problema de Maximizaci´

on.

La sustituci´on de los par´ametros de la funci´on conduce a la ecuaci´on 13, dada por

R(α) = 2.0×10−9Cos α

9.999999995×109+ 5.102040815×109Sin α+ 1.020408163 109Sin α(25.0Sin α+ 98.0) (13) La figura 2 grafica el rango de movimiento horizontal de la part´ıcula de arena como funci´on del ´angulo de inclinaci´on de la banda. Una revisi´on muy aproximada de la figura muestra que el m´aximo ocurre alrededor de

α= 0.55rad.y el valor m´aximo es de aproximadamente 35m.

25 15 1.5 5 35 30 20 alpha 10 0 1.25 1.0 0.75 0.5 0.25 0.0

Figure 2: Rango del Movimiento de la Arena como Funci´on del ´Anguloα.

La Tabla I muestra los resultados del proceso de maximizaci´on de la funci´onR(α) por el m´etodo de bisecci´on. De esos resultados, puede observarse que el m´aximo se encuentra en el intervalo (0.5258308603,0.5260308603) y tiene un valor aproximado de 34.876352m.

Tabla I. Maximizaci´on del rango Como Funci´on del ´Angulo de Inclinaci´on de la Banda. a_k m_k−1 f(m_k−1) m_k+1 f(m_k+1) b_k 0.5000000000 0.5499000000 34.85402342 0.5501000000 34.85364938 0.6000000000 0.5000000000 0.5249500000 34.87631500 0.5251500000 34.87632870 0.5501000000 0.5249500000 0.5374250000 34.87121500 0.5376250000 34.87103470 0.5501000000 0.5249500000 0.5311875000 34.87527752 0.5313875000 34.87519418 0.5376250000 0.5249500000 0.5280687500 34.87617452 0.5282687500 34.87613970 0.5313875000 0.5249500000 0.5265093750 34.87633936 0.5267093750 34.87632878 0.5282687500 0.5249500000 0.5257296875 34.87635084 0.5259296875 34.87635238 0.5267093750 0.5257296875 0.5261195313 34.87635100 0.5263195313 34.87634650 0.5267093750 0.5257296875 0.5259246094 34.87635240 0.5261246094 34.87635092 0.5263195313 0.5257296875 0.5258271485 34.87635198 0.5260271485 34.87635202 0.5261246094 0.5258271485 0.5258758789 34.87635228 0.5260758789 34.87635158 0.5261246094 0.5258271485 0.5258515136 34.87635214 0.5260515136 34.87635182 0.5260758789 0.5258271485 0.5258393310 34.87635208 0.5260393310 34.87635194 0.5260515136 0.5258271485 0.5258332397 34.87635204 0.5260332397 34.87635200 0.5260393310 0.5258271485 0.5258301940 34.87635200 0.5260301940 34.87635202 0.5260332397 0.5258301940 0.5258317168 34.87635204 0.5260317168 34.87635202 0.5260332397 0.5258301940 0.5258309554 34.87635202 0.5260309554 34.87635200 0.5260317168 0.5258301940 0.5258305747 34.87635200 0.5260305747 34.87635200 0.5260309554 0.5258305747 0.5258307651 34.87635202 0.5260307651 34.87635202 0.5260309554 0.5258307651 0.5258308603 34.87635200 0.5260308603 34.87635198 0.5260309554

2.5

Soluci´

on Parcial del Problema Como un Problema de B´

usqueda de Raices de

una Ecuaci´

on No Lineal.

La figura 3 grafica la derivada del rango de movimiento horizontal de la part´ıcula de arena como funci´on del ´

angulo de inclinaci´on de la banda. Una revisi´on somera de la figura muestra que la derivada tiene una raiz en las proximidades deα= 0.52rad.

320 240 0.5 160 0.0 0 alpha 1.5 1.25 1.0 280 0.75 200 120 0.25 80 40 −40

La Tabla II muestra los resultados del proceso de b´usqueda de la raiz de la derivada del rango d R_{d t}(α) por el m´etodo de bisecci´on. De la tabla II puede observarse que la raiz se encuentra en el intervalo (0.5259302140,

0.5259303094). Este resultado coincide con el obtenido previamente.

Tabla II. Busqueda de la Raiz de La Derivada del Rango Como Funci´on del ´Angulo de Inclinaci´on de la Banda.

ak bk d R_{d t}(mk) 0.5250000000 0.5500000000 -0.07237704 0.5250000000 0.5375000000 0.89950799 0.5250000000 0.5312500000 0.41373414 0.5250000000 0.5281250000 0.17072028 0.5250000000 0.5265625000 0.04918198 0.5257812500 0.5265625000 -0.01159494 0.5257812500 0.5261718750 0.01879418 0.5257812500 0.5259765625 0.00359980 0.5258789062 0.5259765625 -0.00399754 0.5259277343 0.5259765625 -0.00019888 0.5259277343 0.5259521484 0.00170044 0.5259277343 0.5259399414 0.00075080 0.5259277343 0.5259338379 0.00027598 0.5259277343 0.5259307862 0.00003856 0.5259292603 0.5259307862 -0.00008016 0.5259300233 0.5259307862 -0.00002080 0.5259300233 0.5259304047 0.00000888 0.5259302140 0.5259304047 -0.00000596 0.5259302140 0.5259303094 0.00000146