2
²
* t
g
y
=
t
x
v
o
=
*
t
g
v
v
v
v
v
v
y o x y x f*
²
²
=
=
+
=
²
2
²
*
ov
x
g
y
=
MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES
Es aquel movimiento en el que un cuerpo recorre simultáneamente distancias horizontales y verticales, se divide en “Semiparabólico y Parabólico”.
MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO
Se presenta cuando un objeto que se desplaza en línea horizontal en cualquier punto de su trayectoria cae al vacío, por ejemplo cuando desde un avión o un helicóptero es dejado caer o lanzado un determinado objeto, cuando alguien se encuentra jugando con una canica u otro objeto esférico encima de una mesa y el objeto se le cae al piso, cuando un vehículo que viaja por una autopista pierde el control en una curva y sigue de largo.
En este movimiento se utilizan las ecuaciones:
Ejemplo: Un niño se encuentra jugando con una canica, encima de una mesa, en un determinado momento la canica rueda y cae la piso, si la mesa tiene una altura de 1,1 m, cuánto tarda en tocar el piso, si toca el piso a 0,87 m de distancia con respecto a la mesa con qué velocidad abandonó la mesa, con qué velocidad llega al piso; cuál es la posición de la canica a los 0,13 seg de haber partido.
En todas estas ecuaciones tenemos que:
y = altura y = m
x = distancia horizontal x = m
vo= Velocidad inicial vo = m/seg
vx= velocidad final en x (horizontal)
vy= velocidad final en y (vertical)
t
seg
t
seg
t
seg
t
seg
m
m
t
seg
m
m
t
seg
m
m
t
g
y
t
m
y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
46
,
0
²
22
,
0
²
²
22
,
0
²
²
/
8
,
9
2
,
2
²
*
²
/
8
,
9
2
,
2
2
²
*
²
/
8
,
9
1
,
1
2
²
*
?
1
,
1
.
1
o o o o ov
seg
m
v
seg
m
seg
v
m
t
v
x
v
seg
t
m
x
=
=
=
=
=
=
=
/
89
,
1
46
,
0
87
,
0
46
,
0
*
87
,
0
*
?
46
,
0
87
,
0
.
2
seg
m
v
seg
m
v
seg
m
seg
m
v
seg
m
seg
m
v
v
v
v
seg
m
v
seg
seg
m
v
t
g
v
v
v
v
seg
m
v
v
f f f f y x f y y y x o x o f/
88
,
4
²
/
²
82
,
23
²
/
²
25
,
20
²
/
²
57
,
3
)²
/
50
,
4
(
)²
/
89
,
1
(
²
²
/
50
,
4
46
,
0
*
²
/
8
,
9
*
89
,
1
/
89
,
1
?
.
3
=
=
+
=
+
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
)
04
,
0
;
24
,
0
(
:
24
,
0
13
,
0
*
/
89
,
1
*
04
,
0
²
01
,
0
*
²
/
9
,
4
2
)²
13
,
0
²(
/
8
,
9
2
²
*
/
89
,
1
13
,
0
?
?
.
4
m
m
rta
m
x
seg
seg
m
x
t
v
x
m
y
seg
seg
m
y
seg
seg
m
y
t
g
y
seg
m
v
seg
t
x
y
o o=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Cos
v
v
v
vy
vx
v
g
Sen
v
t
g
Sen
v
x
g
Sen
v
h
Sen
v
v
Cos
v
v
o x o x f o v o máx o máx o oy o ox*
²
²
*
2
2
*
²
*
2
²
*
²
*
*
−
=
=
=
+
=
=
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Para practicar resuelve los siguientes problemas:
1. Un avión en vuelo horizontal a una altura de 320 m y con una velocidad de 180 km/h, deja caer una bomba, cuánto tarda la bomba en llegar al suelo, a qué distancia cae con respecto al punto de partida, con qué velocidad llega al suelo.
2. Un carpintero lanza un trozo de madera desde el techo de una casa, a 10 m de altura, con una velocidad horizontal de 2 m/seg, cuánto tarda el trozo de madera en llegar al piso.
3. Un cañón dispara una bala horizontalmente con una velocidad inicial de 150 m/seg, desde una altura de 3 m, qué distancia recorre la bala antes de chocar contra el suelo, con qué velocidad choca la bala contra el suelo.
4. Un automóvil avanza por una autopista a 95 km/h y en una curva, por descuido del chofer, pierde el control y cae a un abismo; si tarda 1,03 seg en llegar al fondo, cuál es la altura del abismo, a qué distancia cae con respecto a la pared del abismo, con qué velocidad llega al fondo.
MOVIMIENTO PARABÓLICO
Llamado también lanzamiento de proyectiles, hace referencia a todos aquellos movimientos en los que un objeto es disparado o lanzado desde una superficie horizontal y describe cierta curva, durante su trayectoria, hasta llegar a su destino, por ejemplo el lanzamiento de un tejo, el lanzamiento de un balón de básquet, el disparo de un proyectil, etc., en este movimiento podemos encontrar las siguientes ecuaciones:
En estas ecuaciones las variables que coinciden con las anteriores significan lo mismo, además:
θ
= ángulohmáx= altura máxima (m)
xmáx=alcance máximo horizontal, distancia a la cual cae (m)
tv = tiempo de vuelo, tiempo que dura en el aire (seg)
vox = velocidad inicial en x
voy = velocidad inicial en y
La vox y voy solo se utilizan cuando nos piden calcular
m
h
seg
m
seg
m
h
seg
m
Sen
seg
m
h
g
Sen
v
h
h
seg
m
v
máx máx máx o máx máx o34
,
47
²
/
6
,
19
58
,
0
*
²
/
²
1600
²
/
8
,
9
*
2
)²
50
(
*
)²
/
40
(
*
2
²
*
²
?
/
40
50
.
1
=
=
°
=
=
=
=
°
=
θ
θ
m
x
m
x
seg
m
Sen
seg
m
x
seg
m
Sen
seg
m
x
g
Sen
v
x
x
seg
m
v
máx máx máx máx o máx máx o99
,
159
98
,
0
*
26
,
163
²
/
8
,
9
100
*
²
/
²
1600
²
/
8
,
9
)
50
(
2
*
)²
/
40
(
2
*
²
?
/
40
50
.
2
=
=
°
=
°
=
=
=
=
°
=
θ
θ
seg
t
seg
t
seg
m
Sen
seg
m
t
g
Sen
v
t
t
seg
m
v
v v v o v v o20
,
6
76
,
0
*
16
,
8
²
/
,
9
50
*
)
/
40
(
2
*
2
?
/
40
50
.
3
=
=
°
=
=
=
=
°
=
θ
θ
seg m vf seg m vf seg m seg m vf seg m seg m vf vy vx vf seg m vy seg m seg m vy seg seg m Sen seg m vy t g Sen vo vy seg m v Cos seg m v Cos v v v seg m v x x o x f o / 60 , 39 ² / ² 21 , 1568 ² / ² 21 , 907 ² / ² 004 , 661 )² / 12 , 30 ( )² / 71 , 25 ( ² ² / 12 , 30 / 76 , 60 / 64 , 30 20 , 6 * ² / 8 , 9 50 * / 40 * * / 71 , 25 50 * / 40 * ? / 40 50 . 4 = = + = − + = + = − = − = − ° = − = = ° = = = = ° =θ
θ
θ
Ejemplo: Un jugador de béisbol golpea la pelota con un ángulo de 50° y le aplica una velocidad de 40 m/seg, cuál es la altura máxima que alcanza, a qué distancia cae, cuánto tarda la pelota en llegar al suelo, con qué velocidad llega la pelota al suelo.
Para que tu cerebro haga levantamiento de pesas resuelve los siguientes problemas.
1. Un proyectil es disparado con una velocidad de 430 km/h y desde una plataforma cuya inclinación es 37°, calcule la altura máxima que alcanza, la distancia a la cual cae y la velocidad con que llega al blanco.
2. Un balón es pateado con un ángulo de 60° respecto a la horizontal y recorre 25 m antes de tocar el suelo, con qué velocidad fue lanzado, qué altura máxima alcanzó y cuánto tardó en llevar al blanco.
3. Un motociclista desea atravesar un acantilado de 5 m de ancho, utilizando una inclinación de 10° que la orilla del mismo forma con la horizontal, qué velocidad le permitirá lograr pasar el acantilado.
4. Ordenan a dos obreros descargar y organizar una carga de ladrillos que acaba de llegar, si un obrero lanza cada ladrillo con un movimiento parabólico, con una velocidad de 3 m/seg y forma un ángulo con la horizontal de 30°, a qué distancia debe estar el otro obrero para que reciba los ladrillos en la mano.
5. Un proyectil es disparado con una velocidad de 80 m/seg y alcanza una altura máxima de 135 m, cuál es la inclinación de la plataforma de lanzamiento, con qué velocidad llega al blanco, cuáles son las velocidades componentes.
6. Un objeto es lanzado con una velocidad de 115 m/seg y cae a 970 m, cuál es el ángulo de lanzamiento, qué altura máxima alcanza, con qué velocidad llega al blanco.
7. Un objeto es lanzado con una velocidad de 147,7 m/seg y tarda 11,15 seg en dar en el blanco, cuál es el ángulo que forma con la horizontal al momento del lanzamiento, cuáles son la altura máxima y el alcance máximo horizontal que alcanza.
