Simulación PENELOPE para la caracterización dosimétrica de alta tasa de dosis de una fuente radioactiva de Co 60 utilizada en Braquiterapia

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA Facultad de Ciencias Naturales Y Formales Escuela Profesional de Física. SIMULACIÓN PENELOPE PARA LA CARACTERIZACIÓN DOSIMÉTRICA DE ALTA TASA DE DOSIS DE UNA FUENTE RADIOACTIVA DE Co-60 UTILIZADA EN BRAQUITERAPIA. Tesis presentada por el Bachiller: Julio Cesar Vallejos Huamani, para optar. el. título. profesional. de. Licenciado en Física. Tesis subvencionada por convenio: UNSA-INVESTIGA. ASESOR:. Dr. José Luis Javier Vega Ramírez.. Arequipa-Perú 2018.

(2) i. Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa Facultad de Ciencias Naturales Y Formales Escuela Profesional de Física. Simulación PENELOPE para la Caracterización Dosimétrica de Alta Tasa de Dosis de una Fuente Radioactiva de Co-60 Utilizada en Braquiterapia. Bach. Julio Cesar Vallejos Huamani. Tesis presentada a la Facultad de Ciencias Naturales y Formales, de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, para optar el título profesional de Licenciatura en Física.. ASESOR:. Dr. José Luis Javier Vega Ramírez.. Arequipa. 2018.

(3) ii. FICHA CATALOGRÁFICA.. Vallejos Huamani, Julio Cesar SIMULACIÓN PENELOPE PARA LA CARACTERIZACIÓN DOSIMÉTRICA DE ALTA TASA DE DOSIS DE UNA FUENTE RADIOACTIVA DE Co-60 UTILIZADA EN BRAQUITERAPIA Tesis presentada a la Facultad de Ciencias Naturales y Formales, de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, para optar el título profesional de Licenciado en Física.. ASESOR:. DR. José Luis Javier Vega Ramírez.. Palabras Claves: PENELOPE, Alta Tasa de Dosis, C0-60, Braquiterapia..

(4) iii. FICHA DE APROBACIÓN SIMULACIÓN PENELOPE PARA LA CARACTERIZACIÓN DOSIMÉTRICA DE ALTA TASA DE DOSIS DE UNA FUENTE RADIOACTIVA DE Co-60 UTILIZADA EN BRAQUITERAPIA. Julio Cesar Vallejos Huamani Tesis presentada a la Facultad de Ciencias Naturales y Formales, de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa, para optar el título profesional de licenciatura en Física. Ficha de Aprobación: Jurado Examinador. MSC. EDWIN LLAMOCA REQUENA (Presidente). ------------------------------------Facultad de Ciencias Naturales y Formales – Universidad Nacional de San Agustín. MSC. PEDRO FIGUEROA VILDOSO (Integrante). -------------------------------------Facultad de Ciencias Naturales y Formales – Universidad Nacional de San Agustín. DRA. JESSICA MOSQUEIRA YAURI (Secretaria). -------------------------------------Facultad de Ciencias Naturales y Formales – Universidad Nacional de San Agustín..

(5) iv. DEDICATORIA. A mis padres Víctor y Andrea: Por su incondicional apoyo, por su amor y cariño sin medida, por encaminarme en el difícil camino de la vida, dándome la mejor enseñanza que son los valores y principios en una persona e inculcándome un pensamiento positivo a no quedarme en lo mismo, porque todo se lo debo a ellos, Gracias A mis hermanas Amalia, Ruth, Victoria y Luz por su incondicional y desmesurado apoyo, por sus ánimos y sabios consejos..

(6) v. AGRADECIMIENTOS. Gracias a Jehová Dios: Por darme la esperanza y convicción necesaria para afrontar el día a día con tesón, firmeza y determinación y por estar siempre conmigo. Gracias a mi asesor Dr. José Vega Ramírez, por sus sabios consejos, paciencia, perseverancia al ayudarme a encaminarme en el camino de superación personal, por permitirme ser parte de su grupo de investigación y sobre todo por su paternal amistad. Gracias a UNSA-INVESTIGA del Vicerrectorado de Investigación por financiar este proyecto de investigación. Gracias a cada uno de los profesores de la escuela profesional de Física que aportaron con sus consejos y ayuda en la elaboración de esta tesis. Gracias a la Dr. Patricia Nicolucci por ayudarme a entender más sobre mi tema de investigación. Gracias a mis compañeros de la escuela profesional de física y del área de física médica por brindarme su amistad y compartir e intercambiar conocimiento con ellos. Gracias a cada una de las personas que influyeron en mi vida..

(7) vi. Gracias a la Universidad Nacional San Agustín de Arequipa por el convenio UNSAINVESTIGA del vicerrectorado de investigación bajo el contrato de subvención Nro. 2082016-UNSA “tesis para optar título profesional” convocatoria EO53-2016-02, por la subvención en la realización, ejecución y publicación del presente trabajo de proyecto de tesis..

(8) vii. ÍNDICE GENERAL FICHA CATALOGRÁFICA. --------------------------------------------------------------------- II FICHA DE APROBACIÓN ---------------------------------------------------------------------- III DEDICATORIA ------------------------------------------------------------------------------------ IV AGRADECIMIENTOS ----------------------------------------------------------------------------- V ÍNDICE DE FIGURAS ---------------------------------------------------------------------------- IX ÍNDICE DE TABLAS ----------------------------------------------------------------------------- XI ÍNDICE DE SIGLAS ------------------------------------------------------------------------------ XI RESUMEN ------------------------------------------------------------------------------------------ XII ABSTRACT---------------------------------------------------------------------------------------- XIII INTRODUCCIÓN ------------------------------------------------------------------------------------ 1 CAPITULO I ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. ---------------------------------------------------------------- 5 1.1 RADIACIÓN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 1.1.1 Clasificación de las radiaciones ------------------------------------------------------------------------------------ 5 1.2 RADIACIÓN IONIZANTE ---------------------------------------------------------------------------------------- 6 1.2.1 Radiaciones electromagnéticas ------------------------------------------------------------------------------------- 6 1.2.2 Radiaciones corpusculares ------------------------------------------------------------------------------------------ 8 1.3 RADIACTIVIDAD ------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 1.3.1 Ley de decaimiento radiactivo ----------------------------------------------------------------------------------- 12 1.3.2 Actividad “A” ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13 1.3.3 Crecimiento radiactivo de la hija -------------------------------------------------------------------------------- 13 1.4 INTERACCIÓN DE LOS FOTONES CON LA MATERIA ---------------------------------------------- 14 1.4.1 Coeficientes de atenuación másico, electrónico y atómico -------------------------------------------------- 16 1.4.2 Transferencia de energía y absorción de energía -------------------------------------------------------------- 18 1.4.3 Dispersión Thomson ----------------------------------------------------------------------------------------------- 20 1.4.4 Dispersión incoherente (efecto Compton) ---------------------------------------------------------------------- 24 1.4.5 Dispersión de Rayleigh -------------------------------------------------------------------------------------------- 31 1.4.6 Efecto fotoeléctrico ------------------------------------------------------------------------------------------------ 35.

(9) viii. 1.4.7 Producción de pares ------------------------------------------------------------------------------------------------ 38 1.5 MEDIDAS DE RADIACIÓN DOSIMÉTRICA -------------------------------------------------------------- 40 1.5.1 La tasa de Kerma en aire 𝑲𝒓, 𝜽 ---------------------------------------------------------------------------------- 40 1.5.2 Fuerza de kerma en aire ------------------------------------------------------------------------------------------- 41 1.5.3 Función geométrica 𝑮𝒓, 𝜽 ----------------------------------------------------------------------------------------- 41 1.5.4 Función radial de dosis -------------------------------------------------------------------------------------------- 43 1.5.5 Función de Anisotropía -------------------------------------------------------------------------------------------- 43 1.5.6 Braquiterapia -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 44 1.5.7 Fuentes radiactivas más usadas en braquiterapia -------------------------------------------------------------- 44 1.6 SIMULACIÓN PENELOPE ------------------------------------------------------------------------------------- 45 1.6.1 Código PENELOPE ------------------------------------------------------------------------------------------------ 46 1.6.2 Estructura y funcionamiento del código PENELOPE -------------------------------------------------------- 46 1.6.3 Estructura del programa main ------------------------------------------------------------------------------------ 48 1.6.4 El programa pengeom --------------------------------------------------------------------------------------------- 49 1.6.5 Instalación ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 51. CAPITULO II ---------------------------------------------------------------------------------------- 54 2. MATERIALES Y METODOS ------------------------------------------------------------------------------------ 54 2.1. CREACIÓN DEL MATERIAL --------------------------------------------------------------------------------- 54 2.2 CONSTRUCCIÓN DE LA GEOMETRIA -------------------------------------------------------------------- 56 2.3 GEOMETRÍA MODELADA EN EL FANTOMA DE AGUA -------------------------------------------- 58 2.4 ARCHIVO DE ENTRADA .IN ---------------------------------------------------------------------------------- 60. CAPITULO Ⅲ --------------------------------------------------------------------------------------- 62 3. ANALISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS ------------------------------------------- 62 3.1 COEFICIENTES DE ATENUACIÓN Y SUS DIFERENTES PROCESOS ---------------------------- 62 3.1.1 Coeficientes de atenuación másico total para el Agua ------------------------------------------------------- 62 3.1.2 Coeficientes de atenuación másico total para el aire --------------------------------------------------------- 63 3.1.3 Coeficientes de atenuación másico para acero inoxidable AISI 316L (8,03 g/cm3)--------------------- 64 3.2 ESPECTRO DE ENERGIA DE LA FUENTE DE Co-60 -------------------------------------------------- 65 3.3 DISTRIBUCIÓN DE DOSIS EN LAS SIMULACIONES -------------------------------------------------- 67 3.3.1 Distribución de dosis a lo largo de la dirección transversal ------------------------------------------------- 67 3.3.2 Distribución de dosis a lo largo de la dirección longitudinal ------------------------------------------------ 69 3.4 PARÁMETROS DOSIMÉTRICOS PARA LA FUENTE DE CO-60------------------------------------ 73 3.4.1 Función Geométrica 𝑮𝒓, 𝜽 ---------------------------------------------------------------------------------------- 73 3.4.2 Función Radial de Dosis ------------------------------------------------------------------------------------------ 80 3.4.3 Función de Anisotropía -------------------------------------------------------------------------------------------- 81 CONCLUSIONES ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 83.

(10) ix. RECOMENDACIONES --------------------------------------------------------------------------- 84 4. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA ------------------------------------------------------------------------------ 85 ANEXO A: Decaimiento Radiactivo de la hija -------------------------------------------------------------------- 89 ANEXO B: Longitud de onda de Compton ------------------------------------------------------------------------ 93 ANEXO C: Relación entre el ángulo de dispersión y el ángulo de retroceso en el efecto Compton----- 97 ANEXO D: Sección transversal electrónico total Klein Nishina para la dispersión Compton ----------- 99 ANEXO E: Coeficiente de atenuación másico total para el material agua --------------------------------- 103 ANEXO F: Coeficiente de atenuación másico total para el material aire ----------------------------------- 104 ANEXO G: Dosis relativa obtenida en la simulación PENELOPE------------------------------------------- 105 ANEXO H: Código de la geometría generado en el código PENELOPE ----------------------------------- 106 ANEXO I: La incertidumbre estadística de la simulación PENELOPE ------------------------------------ 109. ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1: Emisión de radiaciones ionizantes desde el núcleo atómico (GALLEGO, 2010) -------- 6 Figura 1.2: Radiación gamma (GONZALES et al., 2011) --------------------------------------------------- 7 Figura 1.3: Radiación alfa ∝ (GONZALES et al., 2011) ---------------------------------------------------- 8 Figura 1.4: Radiación beta β (GONZALES et al., 2011) ---------------------------------------------------- 8 Figura 1.5: Capacidad de penetración de la radiación en la materia (GALLEGO, 2010). ----------- 9 Figura 1.6: Esquema de decaimiento del Co-60 en Ni-60 (PODGORSAK, 2010)--------------------- 10 Figura 1.7: Diagrama que ilustra atenuación del fotón (CUNNINGHANM, 1983). ------------------ 18 Figura 1.8: Diagrama que ilustra el ángulo sólido (CUNNINGHAM, 1983) -------------------------- 21 Figura 1.9: Diagrama esquemático de la dispersión Thomson (PODGORSAK, 2010). -------------- 22 Figura 1.10: Esquematización del efecto Compton (ATTIX, 2004) --------------------------------------- 24 Figura 1.11: Diagrama esquemático del fotón incidente (PODGORSAK, 2010). --------------------- 25 Figura 1.12: Relación del ángulo del electrón y el ángulo del fotón (PODGORSAK, 2010). ------- 26 Figura 1.13: La energía del fotón hv' contra la energía del fotón hν (PODGORSAK, 2010). ----- 27 Figura 1.14: Sección transversal para la dispersión Rayleigh (PODGORSAK, 2010). -------------- 34 Figura 1.15: Diagrama esquemático del efecto fotoeléctrico (PODGORSAK, 2010). ---------------- 35 Figura 1.16: Sección transversal atómico del efecto fotoeléctrico (PODGORSAK, 2010). --------- 38 Figura 1.17: Representación esquemática de la producción de pares (PODGORSAK, 2010). ----- 38 Figura 1.18: Sección transversal atómico para la producción de pares (PODGORSAK, 2010). -- 39 Figura 1.19: Procesos de interacción en la producción de Kerma (POLETTI, 2011). --------------- 40 Figura 1.20: Geometría para el cálculo de dosis según el TG-43 (RIVARD et al., 2004) ----------- 42 Figura 1.21: estructura del archivo del código PENELOPE (SALVAT et al., 2008) ---------------- 47 Figura 1.22: superficies cuadráticas reducidas con sus índices (SALVAT et al., 2008) -------------- 50 Figura 2.1: Generación de materiales con el paquete material.exe -------------------------------------- 54 Figura 2.2: Creación del material en el programa de material .exe. ------------------------------------- 55.

(11) x. Figura 2.3: Diagrama de la fuente de Co-60 BEBIG (Co0.A86) (GUERRERO et al., 2014).------- 57 Figura 2.4: Geometría de la aguja de braquiterapia modelada en el código PENELOPE. --------- 57 Figura 2.5: Geometría de los materiales de la aguja de braquiterapia en el código PENELOPE - 57 Figura 2.6: Geometría de la aguja de braquiterapia dentro de un fantoma de agua, generada en el código PENELOPE v.2008. -------------------------------------------------------------------------------- 58 Figura 2.7: Geometría de la aguja de braquiterapia dentro del fantoma esférico de agua --------- 59 Figura 2.8: Geometría de la aguja de braquiterapia dentro del fantoma cúbico de agua ----------- 59 Figura 2.9: Archivo de entrada .IN definida en el código PENELOPE v.2008. ----------------------- 61 Figura 3.1: Coeficientes de atenuación másico para agua en función de la energía del fotón incidente obtenidos mediante el código PENELOPE y comparados con la base de datos de la NIST. -- 62 Figura 3.2: Coeficientes de atenuación másico para aire en función de la energía del fotón incidente obtenidos mediante el código PENELOPE y comparados con la base de datos de la NIST. -- 63 Figura 3.3: Coeficientes de atenuación másico obtenidos mediante el código PENÉLOPE para acero AISI 316L con densidad de (8.03 g/cm3) en función de la energía del fotón incidente.--------- 64 Figura 3.4: espectro simulado obtenido mediante el código PENELOPE para la fuente de Co-60. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 66 Figura 3.5: Zoom del espectro simulado para la fuente de Co-60. --------------------------------------- 66 Figura 3.6: Distribución de dosis a lo largo del eje transversal obtenido mediante la simulación PENELOPE y comparado con otros códigos de método Montecarlo. ----------------------------- 68 Figura 3.7: Distribución de dosis a lo largo de la dirección longitudinal obtenida mediante la simulación PENELOPE y comparada con el artículo de Quevedo. -------------------------------- 69 Figura 3.8: Distribución de dosis en el plano transverso obtenido mediante la simulación PENELOPE. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 70 Figura 3.9: Distribución de dosis en el plano Longitudinal obtenido mediante la simulación PENELOPE. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 71 Figura 3.10: Mapeo de dosis en el plano transversal obtenido mediante la simulación PENELOPE. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 72 Figura 3.11: factor geométrico en función del ángulo calculado en este trabajo y proporcionado por el Protocolo TG-43. ------------------------------------------------------------------------------------------ 74 Figura 3.12: Factor geométrico calculado en este trabajo para la distancia de referencia r=1 cm, para ángulos de 0 a180. ------------------------------------------------------------------------------------- 75 Figura 3.13: Factor geométrico en función de los ángulos, para valores de r en el intervalo de 0,30cm a 3,0 cm para una fuente de 3,5mm de longitud. --------------------------------------------- 77 Figura 3.14: factor geométrico calculado en este trabajo para distancias r ≤ 0,5 cm, para ángulos de 0 a180.------------------------------------------------------------------------------------------------------- 78 Figura 3.15: Curvas de Isodosis, para la fuente de BEBIG Co0.A86 ------------------------------------ 78 Figura 3.16: Función radial de dosis en función de la distancia en la dirección transversal obtenido mediante la simulación PENELOPE comparado con los artículos de referencia. -------------- 81 Figura 3.17: Función de Anisotropía en función del ángulo obtenido mediante la simulación PENELOPE. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 82.

(12) xi. ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Relación entre coeficientes de atenuación ---------------------------------------------------------- 17 Tabla 2: Fuentes radiactivas usadas en braquiterapia ------------------------------------------------------ 44 Tabla 3: Superficies cuadráticas reducidas (SALVAT et al., 2008) --------------------------------------- 51 Tabla 4: Composición (fracción de peso en porcentaje) de los materiales usados en la simulación (Guerrero et al, 2014). El acero inoxidable corresponde a AISI 316.L (www.stal.com). Este material es usado en la capsula, con una densidad de 8,03 g/cm3 (www.stal.com), y en el cable fuente, con un una densidad de 4,81 g/cm3 (Daskalov et al, 1998). -------------------------------- 56 Tabla 5. Factor geométrico proporcionado por el TG-43 y obtenido en este trabajo, para una fuente de 3mm de longitud. ------------------------------------------------------------------------------------------ 74 Tabla 6. Factor geométrico para diferentes distancias radiales para ángulos de 00 a 900 ---------- 76 Tabla 7: Coeficientes de atenuación másico total para agua -------------------------------------------- 103 Tabla 8: Coeficientes de atenuación másico total para aire --------------------------------------------- 104 Tabla 9: Dosis relativa de los artículos y obtenida en la simulación PENELOPE. ----------------- 105. ÍNDICE DE SIGLAS AAPM:. Association American Physical Medical. HDR:. High Dose Rate. INEN:. Institución Nacional de Enfermedades Neoplásicas. ICRU:. International Commission on Radiation Units and Measurements. LDR:. Low Dose Rate. OMS:. Organización Mundial de Salud. PENELOPE: PENetration and Energy LOss of Positrons and Electrons NIST:. National Institute of Standards and Technology.

(13) xii. RESUMEN En este trabajo se determinó los parámetros dosimétricos de alta tasa de dosis de una fuente radiactiva clínica de Co-60 en braquiterapia del hospital Goyeneche de la región Arequipa; que fue aplicado en un maniquí de agua para distancias próximas a la fuente. Esta fuente de Co-60 de alta tasa de dosis (BEBIG, modelo Co0.A86) fue modelada y posicionada en el centro de un objeto simulador cúbico de 20 cm x 20 cm x 20 cm de lado, conteniendo agua. Se introdujo todos los parámetros de simulación en el archivo .IN y se construyó su geometría en el archivo .GEO que modela la fuente de Co-60 dentro del objeto simulador para que realice la simulación, para lo cual se utilizó 2 procesadores Intel core i3, donde el número de fotones primarios en cada procesador permanece constante en 1,0x109, la energía de corte para fotones y electrones es de 100 KeV y los parámetros para la simulación condensada de historias (C1 y C2) fue de 0.3, optimizando el tiempo de simulación y no adicionando incertezas sistemáticas en los resultados. Se obtuvieron las distribuciones de dosis a lo largo de la dirección transversal, comparándolos con los artículos de Hamza Brady, Harire, Granero y Anruwal; mostrando una diferencia porcentual de 0,68 % a una distancia de 1,5 cm y una diferencia porcentual de 0,62 % para una distancia de -1,5 cm con respecto al artículo de Granero y colaboradores, mientras que para la distribución de dosis a lo largo de la dirección longitudinal fue comparado con el artículo de Quevedo y colaboradores, mostrando una diferencia porcentual 0.56 % para una distancia de 0.49 cm y 0,15 % para una distancia de 0,62 cm con respecto a la distancia analizada del artículo de Quevedo. Los coeficientes de atenuación másico total para los materiales de agua y aire fueron comparados con la base de datos de la NIST mostrando una diferencia porcentual de 0,06 % para energías de 1 𝐾𝑒𝑉 a 1.5 𝐾𝑒𝑉 , 0.06 % para energías de 4 𝐾𝑒𝑉 a 5 𝐾𝑒𝑉 y 0.1 % para energías de 1 𝑀𝑒𝑉 a 2 𝑀𝑒𝑉 para el material de agua y para el material de aire se logró una diferencia porcentual de 0,07 % para energías de 5 𝐾𝑒𝑉 a 6 𝐾𝑒𝑉 , 0.08 % para energías de 15 𝐾𝑒𝑉 a 20 𝐾𝑒𝑉 y 0.1 % para energías de 1.25 𝑀𝑒𝑉 a 2 𝑀𝑒𝑉. Indicando así que la simulación PENELOPE se presenta como una herramienta prometedora en cálculos dosimétricos de fuentes de braquiterapia de alta tasa de dosis..

(14) xiii. ABSTRACT In this work we determined the dosimetric parameters of high dose rate of a clinical radioactive source of Co-60 in brachytherapy of the Goyeneche hospital of the Arequipa region; which was applied in a water phantom for distances close to the source. This Co-60 source of high dose rate (BEBIG, model Co0.A86) was modeled and positioned in the center of a cubic simulator object of 20 cm x 20 cm x 20 cm side filled with water. All the simulation parameters were introduced in the .IN file and its geometry was built in the .GEO file that models the Co-60 source within the simulator object for the simulation, for which 2 Intel core i3 processors were used , where the number of primary photons in each processor remains constant at 1.0x109, the energy of cut for photons and electrons is 100 KeV and the parameters for the condensed simulation of stories (C1 and C2) was 0.3, optimizing the time of simulation and not adding systematic uncertainties in the results. Dose distributions were obtained along the transverse direction, comparing them with Hamza Brady, Harire, Granero and Anruwal articles; showing a percentage difference of 0.68% at a distance of 1.5 cm and a percentage difference of 0.62% for a distance of -1.5 cm with respect to the article by Granero y asociados, while for the distribution of The dose along the longitudinal direction was compared with the article by Quevedo et al., showing a percentage difference of 0.56% for a distance of 0.49 cm and 0.15% for a distance of 0.62 cm with respect to the distance analyzed from the article by Quevedo. The total mass attenuation coefficients for water and air materials were compared with the NIST database showing a percentage difference of 0.06% for energies from 1 KeV to 1.5 KeV, 0.06% for energies from 4 KeV to 5 KeV and 0.1% for energies from 1 MeV to 2 MeV for the water material and for the air material a percentage difference of 0.07% was achieved for energies from 5 KeV to 6 KeV, 0.08% for energies of 15 KeV to 20 KeV and 0.1% for energies from 1.25 MeV to 2 MeV. This indicates that the PENELOPE simulation is presented as a promising tool in dosimetric calculations of high rate dose brachytherapy sources..

(15) 1. INTRODUCCIÓN La radioterapia es una modalidad de tratamiento del cáncer con el uso de radiaciones ionizantes que tiene por objetivo controlar un volumen tumoral, preservando las células sanas adyacentes al tumor (OKUNO; YOSHIMURA, 2010). Para esa finalidad podemos usar varios tipos de radiaciones como fotones, protones, electrones y neutrones (MOHAN, 2013; PEREZ et al., 2013). Dependiendo del posicionamiento del haz de la fuente con relación a la región lesionada, son denominadas dos modalidades de tratamiento: teleterapia y braquiterapia. La teleterapia es cuando una fuente externa está posicionada a una distancia del volumen tumoral mientras que la braquiterapia es cuando la fuente interna esta próxima o en contacto con el tumor La braquiterapia permite administrar altas dosis de radiación en volúmenes restrictos del organismo, proporcionando un mayor control de la enfermedad y menor toxicidad a los tejidos normales adyacentes (YI et al., 2010). La braquiterapia es un tipo de tratamiento interno que utiliza las radiaciones ionizantes en aplicación a tumores malignos; para ello se usa pequeñas fuentes radioactivas selladas y posicionadas a una distancia corta en relación al tumor maligno a tratarse (NATH R. et al., 1997). Las fuentes son radioisótopos cuyas radiaciones penetran en el tejido de interés liberando energía en el tumor maligno y así eliminando las células cancerígenas (FLETCHER 1974). La principal ventaja de la braquiterapia en comparación con la radiación de haz externo, es la mejor entrega de dosis localizada al volumen objetivo de interés, por lo tanto, la irradiación al tejido normal se reduce. La naturaleza precisa y específica de la braquiterapia proporciona uno de los beneficios claves para el tratamiento eficaz del cáncer, el riesgo mínimo de efectos secundarios, tiempos cortos de tratamiento y rentabilidad. Los dispositivos de braquiterapia han producido resultados prometedores en estudios pre clínicos y clínicos (PILAR et al., 2014). A mediados de 1980 la braquiterapia por alta tasa de dosis (HDR) fue desenvolviéndose como una alternativa a la braquiterapia de baja tasa de dosis (LDR), por lo tanto la braquiterapia con HDR está recibiendo una considerable importancia en los diferentes países.

(16) 2. ( OIEA, 1999), en virtud de ser una opción segura y eficiente para la administración de dosis de radiación en las diferentes regiones del tumor maligno (NATH R, et al 1997); por ello la braquiterapia se usa para tratar diferentes cánceres como de próstata, útero, mama y muchos otros (RADIOLOGICAL SOCIETY OF NORTH AMÉRICA 2016). Existe una creciente utilización de radiaciones ionizantes para aplicaciones médicas. Para estas aplicaciones, los cálculos dosimétricos son importantes para evaluar la distribución de dosis a lo largo de la muestra que se está irradiando. El uso del método Monte Carlo y herramientas computacionales son de importante apoyo para la evaluación de las distribuciones de dosis alrededor de las fuentes de irradiación que pueden resultar económicamente efectivos, lo que esto representa ahorros en la utilización de dosímetros, entre otros beneficios (BELCHIOR et al., 2007). La utilización del método de Monte Carlo en cálculos de transporte de radiación y simulaciones de transporte de partículas, permiten un amplio conocimiento de las distribuciones de dosis espacial y la optimización del proceso de la irradiación (OLIVEIRA et al., 2001). En la actualidad se sigue trabajando en simulación para mejorar procedimientos de optimización como en el trabajo de desarrollar algoritmos, donde se optimizan parámetros para maximizar la cobertura tumoral bajo restricciones de dosis-volumen en los órganos en riesgo (DEIST et al., 2017). El protocolo de la Asociación Americana de Físicos en Medicina (American Association of Physicists in Medicine), denominado TG-43, establece la forma de caracterizar dosimétricamente las fuentes de braquiterapia. La actualización de este protocolo (TG-43 U1) para las fuentes de braquiterapia intersticial de baja energía incorpora recomendaciones para la realización de la dosimetría mediante simulaciones Monte Carlo que también son aplicables a fuentes de mayor energía (ALMANSA et al., 2011). En ese formalismo, el cálculo de la dosis necesita de parámetros relacionados con la actividad de la fuente y de funciones, llevando en consideración la atenuación y dispersión de la radiación producida por la fuente, su anisotropía y su geometría (SADEGHI, SAIDI, TENREIRO, 2011). La función de anisotropía, la función radial de dosis y el factor geométrico, utilizados para el cálculo de dosis; no se obtienen directamente a través de experimentos. En este sentido, el método Monte Carlo ha sido utilizado en la obtención de esas funciones dosimétricas de.

(17) 3. fuentes de radiaciones clínicas, así como en el estudio de dosis en braquiterapia (FONSECARODRIGUES, BEGALLI, QUEIROZ-FILHO, 2009; DESBIENS et al; ARYAL, MOLLOY, RIVARD, 2014; LESPERANCE, MARTINOV, THONSON, 2014). La realización de dosimetría en braquiterapia es de extrema importancia para la calidad en el tratamiento, ya que es necesario garantizar la igualdad entre la dosis planificada y la dosis entregada al paciente (WILKINSON, 2006). Entretanto, la determinación de la dosis en braquiterapia es compleja, debido al alto gradiente de dosis proporcionado por esas fuentes, exigiendo características especiales de los dosímetros utilizados para tal fin. Siendo así, es necesario el uso de dosímetros que posean alta resolución espacial, alta sensibilidad y poca dependencia energética (FAZLI, et al 2013). El objetivo de este trabajo fue realizar un estudio dosimétrico de una fuente radiactiva de Co-60 en braquiterapia, utilizando simulación PENELOPE. A través de esta herramienta fueron obtenidos parámetros dosimétricos utilizados en cálculos de dosis en braquiterapia y las distribuciones de dosis producidas por la fuente de Co-60. En el primer capítulo de este trabajo se realiza los aspectos teóricos presentados en este estudio, tales como: Radiación, radiactividad, interacción de los fotones con la materia, medidas de radiación dosimétrica y simulación PENELOPE. En el segundo capítulo, indicamos los materiales y métodos a usar, como la simulación PENELOPE, la construcción de la geometría de la aguja de braquiterapia, la construcción de materiales usados en la simulación y los espectros de energía de la fuente radiactiva de Co-60. En el tercer capítulo, se analiza los resultados obtenidos mediante la simulación PENELOPE de los coeficientes de atenuación para los materiales usados en la aguja de braquiterapia la cual son comparados con la base de datos de la NIST. También analizamos el espectro de energía de la fuente de Co-60, la distribución de dosis tanto en el eje transversal como en el eje longitudinal, el factor geométrico y la función radial de dosis. Todos estos procedimientos computacionales referentes a la determinación de estos parámetros dosimétricos de la fuente radiactiva de Co-60, son comparados con los artículos científicos..

(18) 4. Las conclusiones de este estudio realizado, son mostradas en el cuarto capítulo. Se determinó las características dosimétricas de la fuente de Co-60 siguiendo las recomendaciones del grupo de trabajo TG-43 de la Asociación Americana de Físicos en Medicina (American Association of Physicists in Medicine), este protocolo propone un formalismo para el cálculo de dosis de fuentes de braquiterapia a través de parámetros como, función geométrica, función radial de dosis..

(19) 5. CAPITULO I 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS.. 1.1 RADIACIÓN La radiación es la forma de transporte o propagación de energía por medio de partículas u ondas de modo que podemos decir que la radiación es la emisión y propagación de energía, a través del vacío o de un medio en forma de onda (rayos-X, rayos gamma) o bien en forma de partícula (alfa, beta, neutrones, protones y núcleos pesados). Las radiaciones tienen doble naturaleza, ondulatoria y corpuscular simultáneamente (dualidad onda-partícula) de tal forma que las radiaciones son electromagnéticas y radiaciones corpusculares (GONZALES et al., 2011). 1.1.1 Clasificación de las radiaciones Las radiaciones se pueden clasificar en a. Según su naturaleza . Radiaciones electromagnéticas: en las radiaciones electromagnéticas encontramos radiaciones ionizantes (rayos X y rayos gamma) y radiaciones ópticas (radiaciones ultravioletas, radiación visible, radiaciones infrarrojas y radio frecuencias). . Radiaciones corpusculares: son debido a la propagación de partículas sub atómicas (núcleos de helio, electrones, protones, neutrones, etc.) habitualmente dotados de gran velocidad aunque siempre inferior a la de las radiaciones electromagnéticas por lo tanto entre las radiaciones corpusculares tenemos radiación alfa, radiación beta, radiaciones neutrónicas y radiaciones cósmicas.. b. Por su efecto biológico . Radiaciones ionizantes: en este tipo encontramos a radiaciones ionizantes (rayos X y rayos gamma) y Radiaciones corpusculares (núcleos de helio, electrones, protones, neutrones, partículas alfa, partículas beta y radiaciones cósmicas) como se observa en la figura 1.1..

(20) 6. Figura 1.1: Emisión de radiaciones ionizantes desde el núcleo atómico (GALLEGO, 2010). . Radiaciones no ionizantes: en este tipo de radiaciones encontramos a radiaciones ultravioletas, radiación visible, radiaciones infrarrojas y radio frecuencias (Federación de Enseñanza cc. oo. de Andalucía, 2011).. 1.2 RADIACIÓN IONIZANTE 1.2.1 Radiaciones electromagnéticas Rayos X: son fotones de alta energía que se producen cuando los electrones atómicos cambian de órbita o cuando inciden electrones sobre un material y son frenados (GONZALES et al., 2011). En cualquier aparato de rayos X existe un cátodo emisor de electrones y un ánodo conectado a un potencial fuertemente positivo respecto al cátodo, que atrae a los electrones y que les sirve de blanco con el que estos interaccionan. Los rayos X son radiaciones electromagnéticas que se propagan en línea recta y a la rapidez de la luz. Tienen gran capacidad de penetración, por lo que se utilizan para obtener imágenes para el diagnóstico (Federación de Enseñanza CC. OO. De Andalucía, 2011). Rayos gamma 𝜸: son fotones de muy alta energía, emitidos por núcleos inestables u otros procesos. El núcleo no cambia su identidad sino que únicamente pierde energía. Las radiaciones gamma suelen tener su origen en el núcleo excitado, como se observa en la figura 1.2. A menudo, tras emitir una partícula alfa o beta, el núcleo todavía tiene un exceso de energía, que elimina en forma de ondas electromagnéticas de elevada frecuencia. Cuando un núcleo excitado emite esta radiación no varía ni su masa ni su número atómico, solo pierde una cantidad de energía proporcional a la frecuencia de la radiación emitida. Es una radiación de naturaleza electromagnética, capaz de ser producida por materiales radiactivos como el Cobalto 60 utilizados en Medicina Nuclear tanto en el diagnóstico como en el tratamiento de radioterapia y braquiterapia (GONZALES et al., 2011)..

(21) 7. Como todas las demás formas de radiación electromagnética, estas ondas interaccionan con la materia colisionando con las capas electrónicas de los átomos, perdiendo lentamente su energía. Debido a su pequeña longitud de onda, tiene un gran poder de penetración, siendo capaz de atravesar cientos de metros en el aire, el cuerpo humano y las materiales de poca densidad, así como láminas de acero de hasta 10 cm de espesor y son detenidas solamente por capas grandes de hormigón, plomo (espesores de 12mm), o agua. Frente a su alto poder de penetración, posee menor capacidad de ionización que las partículas alfa y beta (Federación de enseñanza CC. OO. De Andalucía, 2011).. Figura 1.2: Radiación gamma (GONZALES et al., 2011). Decaimiento gamma 𝜸 𝐴 ∗ 𝑍𝑋. → 𝐴𝑍𝑋 + 𝛾 + 𝑄𝛾. (1.1). donde 𝐴 ∗ 𝑍𝑋 :. Núcleo del padre. 𝑄𝛾 : Energía de decaimiento 𝐴 𝑍𝑋 :. Núcleo hija. Energía de decaimiento la energía de decaimiento 𝑄𝛾 en la emisión gamma es la suma de la energía 𝐸𝛾 del fotón 𝛾 y la energía cinética de retroceso de la hija (𝐸𝐾 )𝐷 𝑄𝛾 = 𝐸𝛾 + (𝐸𝐾 )𝐷 1. (1.2). 𝐸𝛾. 𝑄𝛾 = 𝐸𝛾 [1 + 2 𝑀. 𝐷𝐶. 2. ]. (1.3). La ecuación (1.3) demuestra la energía cinética de retroceso de la hija (𝐸𝐾 )𝐷 representa solo el 0.1% de la energía 𝐸𝛾 del fotón 𝛾 . La energía de retroceso del núcleo de la hija es prácticamente pequeña. En decaimiento 𝛾 del padre, la hija representa el mismo núcleo,.

(22) 8. excepto el núcleo del padre que está en un estado excitado y núcleo de la hija está en un estado bajo de excitación (PODGORSAK, 2010). 1.2.2 Radiaciones corpusculares a. Radiación alfa 𝜶 Un núcleo inestable emite un núcleo de helio (formado por dos protones y dos neutrones); el núcleo original se transforma en otro, como se observa en la figura 1.3.. Figura 1.3: Radiación alfa ∝ (GONZALES et al., 2011). Decaimiento alfa En el decaimiento alfa el proceso que sucede es: 𝐴 𝑍𝑃. ⟶. 𝐴−4 𝑍−2𝐷. + 42𝐻𝑒. (1.4). b. Radiación beta 𝜷 Existen dos tipos de esta radiación: si un núcleo inestable emite un electrón, se llama 𝜷− , y si emite un positrón se llama 𝜷+ , como se observa en la figura 1.4; el núcleo original se transforma en otro. Las partículas beta tienen una capacidad de ionización media, mayor capacidad de penetración que las partículas alfa, siendo absorbidas (frenadas) por una placa de aluminio de 5 mm de espesor o una lámina de plomo de 1 mm, como se observa en la figura 1.5. Esta radiación constituye un riesgo de irradiación externa e interna (GONZALES et al., 2011).. Figura 1.4: Radiación beta 𝛃 (GONZALES et al., 2011).

(23) 9. Decaimiento beta 𝜷 Existen 3 tipos de decaimiento: Decaimiento 𝜷− Este decaimiento tiene la característica de aumentar 𝑍 → 𝑍 + 1; 𝐴 = constante ⟶ 11𝑃 + −10𝑒 − + 𝜐̅𝑒. 1 0𝑛. 𝐴 𝑍𝑃. 𝐴 𝑍+1𝐷. ⟶. + −10𝑒 − + 𝜐̅𝑒. (1.5). Decaimiento 𝜷+ Este decaimiento tiene la característica de 𝑍 → 𝑍 − 1; 𝐴 = constante 1 1𝑃. ⟶ 10𝑛 + 01𝑒 + + 𝜐𝑒. 𝐴 𝑍𝑃. ⟶. 𝐴 𝑍−1𝐷. + 01𝑒 + + 𝜐𝑒. (1.6). Figura 1.5: Capacidad de penetración de la radiación en la materia (GALLEGO, 2010).. Captura electrónica Tiene la característica 𝑍 → 𝑍 − 1; 𝐴 = constante 1 1𝑃. + −10𝑒 − ⟶ 10𝑛 + 𝜐𝑒. 𝐴 𝑍𝑃. + −10𝑒 − ⟶. 𝐴 𝑍−1𝐷. + 𝜐𝑒. (1.7). Decaimiento del núcleo hijo de retroceso en el 𝜷− La energía de decaimiento en el proceso 𝛽 − es 𝑄𝛽− = [1 +. (𝐸𝛽 ). 𝑚𝑎𝑥 2𝑀𝐷 𝐶 2. +. (𝑚𝑒 𝐶 2 ) 𝑀𝐷 𝐶 2. ] (𝐸𝛽 ). (1.8) 𝑚𝑎𝑥. Las fuentes con proceso de decaimiento 𝛽 − , se utilizan en aplicaciones médicas como en radioterapia externa y braquiterapia. Esto está relacionado con las masas atómicas 𝑀. 𝑀 → 𝑀(𝑍, 𝐴).

(24) 10. 𝑀 → 𝑀(𝑍 + 1, 𝐴) 𝑄𝛽− = {𝑀(𝑍, 𝐴) − [𝑀(𝑍 + 1, 𝐴) + 𝑚𝑒 ]}𝑐 2 ℳ(𝑍 + 1, 𝐴) = 𝑀(𝑍 + 1, 𝐴) + (𝑍 + 1)𝑚𝑒. (1.9) (1.10). En el decaimiento 𝛽 − ocurre que la masa atómica del padre ℳ(𝑍, 𝐴) excede mucho más a la masa atómica del hijo ℳ(𝑍 + 1, 𝐴) ℳ(𝑍, 𝐴) > ℳ(𝑍 + 1, 𝐴). (1.11). Decaimiento del 𝜷− del Co-60 dentro de Ni-60 En la figura 1.6 se observa el decaimiento del Co-60 dentro del Ni-60.. 60 27Co. →. 60 28Ni. + e− + υ̅e + Q β−. Figura 1.6: Esquema de decaimiento del Co-60 en Ni-60 (PODGORSAK, 2010). (1.12).

(25) 11. Conversión interna La desexcitación nuclear en el cual la energía de desexcitación es transferida del núcleo padre casi todo a un electrón orbital del mismo átomo esto es llamado conversión interna. El proceso es representado como sigue: 𝐴 ∗ 𝑍𝑋. → 𝐴𝑍𝑋 + + 𝑒 − + 𝑄𝐶.𝐼. → 𝐴𝑍𝑋. (1.13). donde 𝐴 ∗ 𝑍𝑋 :. estado excitado del núcleo. 𝐴 + 𝑍𝑋. 𝐴 + 𝑍𝑋 :. estado ionizado simple del átomo. , Como resultado del decaimiento 𝛼 𝑦 𝛽 𝐴 𝑍𝑋. 𝑄𝐶.𝐼. : energía de decaimiento 𝑄𝐶.𝐼. = 𝑄𝛾 − 𝐸𝛽 = (𝐸𝐾 )𝐶.𝐼. + (𝐸𝐾 )𝐷. (1.14). donde 𝑄𝛾 : Diferencia de energía entre 2 estados nucleares excitados (𝐸𝐾 )𝐶.𝐼. : Energía cinética del electrón de conversión interna expulsado del átomo. (𝐸𝐾 )𝐷 : Energía de retroceso en masa de la hija. Tenemos la energía de (𝐸𝐾 )𝐷 en función de la conversión 2. (𝐸 ). (𝐸𝐾 )𝐷 = ( 𝐾 𝐶.𝐼.2 + 2𝑀 𝑐 𝐷. (𝐸𝐾 )𝐶.𝐼. (𝑚𝑒 𝑐 2 ) 𝑀𝐷 𝑐 2. ). (1.15). Reemplazando (1.15) en (1.14) (𝐸 )𝐶.𝐼.. 𝑄𝐶.𝐼. = [1 + 2𝑀𝐾. 𝐷. 𝑐2. +. (𝑚𝑒 𝑐 2 ) 𝑀𝐷 𝑐 2. ] (𝐸𝐾 )𝐶.𝐼. (1.16).

(26) 12. 1.3 RADIACTIVIDAD 1.3.1 Ley de decaimiento radiactivo Consideremos un conjunto de radionúclidos idénticos. Decimos que en un tiempo t tenemos N átomos Δ𝑡 = Δ𝑁 N ∝ Δ𝑁 Δ𝑁 ∝ Δ𝑡 Δ𝑁 = 𝜆𝑁Δ𝑡 Δ𝑁 = −𝜆𝑁Δ𝑡. (1.17). 𝜆Δ𝑡 ≪ 1 Δ𝑁 = λt 𝑁 donde λ: constante de decaimiento λ tiene unidades de tiempo λ = 𝑠𝑒𝑔−1 : 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)/𝑠 Si hacemos que Δ𝑁 y Δ𝑡 sean pequeños, entonces de (1.17) tenemos. d𝑁 = −𝜆𝑁d𝑡 𝑁. 𝑡 𝑑𝑁 ∫ = − ∫ 𝜆𝑑𝑡 𝑁0 𝑁 0. 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 Sabemos que λ =. 0.693 𝑡ℎ. (1.18). , donde 𝑡ℎ : vida media. 𝑁 = 𝑁0 𝑒. −0.693𝑡 𝑡ℎ. (1.19). Definimos el tiempo de vida promedio 𝑡𝑎 𝑡𝑎 =. 1 𝑡ℎ = 𝜆 0.693 𝑡𝑎 = 1.44𝑡ℎ. (1.20).

(27) 13. 1.3.2 Actividad “A” Es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, que se mide con un detector Geiger Müller Δ𝑁 = 𝜆𝑁Δ𝑡 Δ𝑁 Δ𝑡. = 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑. 𝐴=. 𝑁 𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜. Δ𝑁 = 𝜆𝑁 Δ𝑡 𝐴=. Δ𝑁 = 𝜆𝑁 Δ𝑡 𝐴 = 𝜆𝑁. Unidades de actividad [𝐴] = [𝜆][𝑁] [𝐴] =. 𝑁 𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜. [𝐴] =. 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜. [𝐴] = 1 𝑏𝑒𝑐𝑘𝑒𝑟𝑒𝑙 = 𝐵𝑞 [𝐴] = 1 𝑐𝑢𝑟𝑖𝑒 = 1𝐶𝑖 = 3.7 × 1010 𝐵𝑞 1.3.3 Crecimiento radiactivo de la hija Número de átomos en transformación. 𝑑𝑁 = −𝜆N 𝑑𝑡 𝑑𝑁 = −𝜆d𝑡 𝑁 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡. (1.21).

(28) 14. Para el padre. 𝑁1 , 𝜆1 𝑑𝑁1 𝑑𝑡. = −𝜆1 𝑁1. 𝑁1 = 𝑁0 𝑒 −𝜆1 𝑡. (1.22). La hija radiactiva es formada en la razón en el cual el padre decae (𝑁1 , 𝜆1 ) el mismo que a su vez se transforma la hija en (𝑁2 , 𝜆2 ), si tenemos 𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒 → ℎ𝑖𝑗𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, la demostración para el caso más general se encuentra en el ANEXO A. 𝜆 𝑁. 𝑁2 = (𝜆 1−𝜆1 ) [1 − 𝑒 (𝜆1 −𝜆2 )𝑡 ] 2. 1. (1.23). 1.4 INTERACCIÓN DE LOS FOTONES CON LA MATERIA Los fotones carecen de masa y carga eléctrica. Por tanto su interacción con el material atravesado no es tan intensa como el caso de partículas cargadas. Al penetrar en un medio absorbente, los fotones pueden experimentar diversas interacciones con los átomos del medio. Estas interacciones incluyen ya sea la interacción con el núcleo del medio absorbente o con los electrones orbitales del medio absorbente. Por lo tanto tenemos dos tipos de interacciones (BROSED, 2011).  Las interacciones con núcleos pueden ser interacciones directas fotón núcleo (fotodesintegración) o interacciones entre el fotón y el campo electrostático del núcleo (la producción de pares)  Las interacciones electrón-orbital de fotones se caracterizan por interacciones entre el fotón o bien un electrón débilmente unido (dispersión Thomson, efecto Compton, la producción triplete) o un electrón fuertemente unido (Efecto fotoeléctrico, la dispersión de Rayleigh). Un electrón débilmente unido es un electrón cuya energía de enlace 𝐸𝐵 es pequeño en comparación con la energía del fotón ℎ𝜈, es decir 𝐸𝐵 ≪ ℎ𝜈. Una interacción entre un fotón y un electrón débilmente unido se considera que es una interacción entre un fotón y un electrón "libre". Un electrón fuertemente unido, es un electrón cuya energía de enlace 𝐸𝐵 es comparable a la energía del fotón ℎ𝜈. Para que se produzca la interacción del fotón con un electrón fuertemente unido, la energía de enlace 𝐸𝐵 del electrón debe ser del orden.

(29) 15. ligeramente menor, que la energía del fotón, es decir 𝐸𝐵 < ℎ𝜈 . Una interacción entre un fotón y un electrón fuertemente ligado se considera una interacción entre un fotón y el átomo como un todo. Por lo tanto el destino de los fotones después de la interacción con un átomo da como resultado:  Fotones completamente absorbidos (es decir, se absorbe por completo) y una parte de su energía se transfiere a las partículas ligeras cargadas (electrones y positrones).  El fotón se dispersa y da dos resultados posibles: a. El fotón resultante tiene la misma energía que el fotón incidente y no hay partículas cargadas liberadas en la interacción. b. El fotón dispersado resultante tiene una energía más baja que el fotón incidente y el exceso de energía se transfiere a una partícula cargada (electrón). Las partículas ligeras cargadas (electrones y positrones) liberados o producidos en el medio que absorbe a través de interacciones con el fotón. Cualquiera que deposite su energía al medio a través de interacciones de Coulomb con los electrones orbitales del medio absorbente (pérdida de la colisión también se hace referencia como la pérdida de ionización) o irradiar su energía cinética en forma de fotones a través interacciones de Coulomb con los núcleos del medio absorbente (radiación pérdida). El parámetro más importante que se utiliza para la caracterización de rayos X y rayos gamma es la penetración de rayos en los medios absorbentes; es el coeficiente de atenuación lineal μ. Este coeficiente depende de ℎ𝜈 energía del fotón y número atómico Z del material absorbente, y puede ser descrito como la probabilidad por unidad de longitud de la trayectoria que un fotón tendrá una interacción con el material absorbente. La relación funcional entre el grosor de un material absorbente y la intensidad de un haz de fotones atenuada por el material absorbente, se deriva generalmente usando la ecuación (PODGORSAK, 2010). 𝐼(𝑥) = 𝐼0 𝑒 −𝜇𝑥 donde 𝐼0 : Es la intensidad del haz sin el atenuador 𝜇: Es el coeficiente de atenuación lineal 𝑥: Espesor del atenuador. (1.24).

(30) 16. 1.4.1 Coeficientes de atenuación másico, electrónico y atómico Además del coeficiente de atenuación lineal 𝜇 , existen otros tres coeficientes relacionados a menudo con las secciones transversales las cuales son coeficiente de atenuación másico, coeficiente de atenuación electrónico y coeficiente de atenuación atómico (PODGORSAK, 2010). a. Coeficiente de atenuación másico Uno de los coeficientes de atenuación más fundamentales es el coeficiente de atenuación másico, la cual se obtendrá dividiendo el coeficiente de atenuación lineal por la densidad del material (PODGORSAK, 2010). Vimos que la ecuación (1.24) es 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝜇𝑥 Ahora multiplicando y dividiendo por 𝜌 al exponencial de la ecuación (1.24) tenemos la siguiente. 𝑁 = 𝑁0 𝑒. 𝜇 𝜌. −( )𝑥𝜌. (1.25). donde: 𝜌: Densidad 𝜇. 𝜇𝑚 = (𝜌) : 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜. (1.26). [𝜇] 𝜇 𝑚−1 𝑚2 [ ]= = = [𝜌] 𝐾𝑔. 𝑚−3 𝐾𝑔 𝜌 Por lo tanto 𝑥𝜌: 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑥𝜌 = 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 = [𝑥][𝜌] =. 𝑚. 𝐾𝑔 𝐾𝑔 = 2 𝑚3 𝑚. b. Coeficiente de atenuación electrónico Se define como el coeficiente de atenuación lineal 𝜇 dividido por el número de electrones 𝑁𝑒 por volumen 𝑉 del absorbedor. 𝜇. 𝑒𝝁 = ( ). 1. 𝜌 1000𝑁𝑒. Sus unidades en el S.I. son:. (1.27).

(31) 17. 𝑒𝝁 =. 𝑚2 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠. Cuando el coeficiente electrónico de la ecuación (1.27) el espesor del material absorbente se da en: 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 =. 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑚2. c. Coeficiente de atenuación atómico Se define como el coeficiente de atenuación lineal 𝜇 dividido por el número de átomos 𝑁𝑎 por volumen 𝑉del material absorbente. 𝜇. 𝑍. 𝑎𝝁 = (𝜌) 1000𝑁. (1.28). 𝑒. Sus unidades en el S.I. son: 𝑎𝝁 =. 𝑚2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠. El coeficiente atómico de la ecuación (1.28) también se puede expresar en función del espesor del material absorbente que se da en 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 =. á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚2. Tabla 1: Relación entre coeficientes de atenuación Coeficiente. Símbolo. Lineal Másico. 𝜇 𝜇𝑚. Electrónico. 𝑒𝝁. Atómico. 𝑎𝝁. donde 𝜌: Densidad. Relación entre coeficientes 𝜇 𝜇 ( ) 𝜌 𝜇 1 ( ) 𝜌 1000𝑁𝑒 𝜇 𝑍 ( ) 𝜌 1000𝑁𝑒. Unidades de coeficientes 𝑚−1 𝑚2 𝐾𝑔 𝑚2 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛𝑒𝑠 𝑚2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠. Unidades de espesor m 𝐾𝑔 𝑚2 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛𝑒𝑠 𝑚2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑚2.

(32) 18. 𝑁𝑒 : Número de electrones por gramo Z: Número atómico del material 𝑁𝐴 𝐴. : Número de átomos por gramo. 1000𝑁𝑒 : Número de electrones por gramo 𝑁𝐴 : Número de Avogadro 𝑁𝐴 = 6,025 × 1023 /𝑚𝑜𝑙 1.4.2 Transferencia de energía y absorción de energía Cuando un fotón interactúa con un material absorbente ocurren diversos procesos de interacción. En general parte de las energías del fotón incidente es absorbido y la otra parte es convertida en energía cinética de alta velocidad de electrones o positrones, una vez que estas partículas se han puesto en movimiento, pueden perder energía por colisión emitiendo radiación bremsstrahlung. En cualquier interacción, es imposible afirmar exactamente lo que va a pasar, pero después de muchas interacciones, se puede calcular la probabilidad de la energía transmitida 𝐸𝑡𝑟 y la probabilidad de energía absorbida 𝐸𝑎𝑏 (PODGORSAK, 2010). a. Coeficiente de transferencia de energía Para calcular la energía transferida en un material absorbente, es conveniente usar el coeficiente de transferencia 𝜇𝑡𝑟 . Imaginemos un haz de fotones incidentes sobre un material dispersor, en el cual N fotones alcanzan a incidir en la lámina de espesor Δ𝑥 como se observa en la figura 1.7.. Figura 1.7: Diagrama que ilustra atenuación del fotón (CUNNINGHANM, 1983)..

(33) 19. De la figura sabemos que Δ𝑁 = 𝜇𝑁Δ𝑥. (1.29). Ahora trabajando con la energia de los fotones incidentes, existe una energia transmitida por los fotones al material, pero como son varias energias transmitidas por los fotones decimos que es un promedio de 𝐸̅𝑡𝑟 entonces podemos decir de la figura 1.7 que a medida que aumenta Δ𝑁 tambien aumenta la energía transmitida 𝐸̅𝑡𝑟 por lo tanto tenemos una relación de Δ𝐸̅𝑡𝑟 = Δ𝑁𝐸̅𝑡𝑟. (1.30). Reemplazando (1.29) en (1.30) se tiene Δ𝐸̅𝑡𝑟 = 𝜇𝑡𝑟 𝐸̅𝛾 Δ𝑥. (1.31). donde: 𝐸̅𝛾 = 𝑁ℎ𝜈 𝜇𝑡𝑟 = 𝜇. 𝐸̅𝑡𝑟 ℎ𝜈. La ecuación (1.31) es La energía transferida en el material b. Coeficiente de absorción de energía De la misma manera que el coeficiente de transferencia de energía se puede definir el coeficiente de absorción de energía. Δ𝐸̅𝑎𝑏 = Δ𝑁𝐸̅𝑎𝑏 Δ𝐸̅𝑎𝑏 = 𝜇𝑎𝑏 𝐸̅𝛾 𝑥 donde:. 𝜇𝑎𝑏 = 𝜇. (1.32). 𝐸̅𝑎𝑏 ℎ𝜈. 𝐸̅𝛾 = 𝑁ℎ𝜈 c. Coeficiente de atenuación total La probabilidad de una interacción es proporcional a las secciones transversales. Además es la suma de todos los procesos que ocurren en la interacción con la materia como efecto.

(34) 20. fotoeléctrico, dispersión coherente, dispersión incoherente o dispersión Compton y producción de pares. El coeficiente de atenuación total será entonces. 𝜇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜏𝑓𝑜𝑡𝑜 + 𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑜𝑛 + 𝜎𝑐𝑜ℎ𝑒 + 𝐾𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠. (1.33). Coeficiente de atenuación másico total 𝜇. (𝜌). 𝜏. 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. = (𝜌). 𝑓𝑜𝑡𝑜. 𝜎. + (𝜌). 𝜎. 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑜𝑛. 𝐾. + (𝜌). 𝑐𝑜ℎ𝑒. + (𝜌 ). (1.34) 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠. Coeficiente total para compuestos 𝜇. (𝜌). 𝜇. 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠. 𝜇. 𝜇. = 𝑓1 (𝜌) + 𝑓2 (𝜌) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝜌) 1. 2. (1.35) 𝑛. donde 𝑓𝑖 =. 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 𝑓𝑖 = factor de peso o porcentaje en peso del elemento d. Energía total transferida La energía total transferida es obtenida por la suma de los tres componentes debido al proceso de interacción fotoeléctrica, dispersión incoherente y producción de pares 𝜇𝑡𝑟 = 𝜏𝑡𝑟 + 𝜎𝑡𝑟 + 𝐾𝑡𝑟. (1.36). 𝜇𝑎𝑏 = 𝜏𝑎𝑏 + 𝜎𝑎𝑏 + 𝐾𝑎𝑏. (1.37). 1.4.3 Dispersión Thomson La dispersión de fotones de baja energía (ℎ𝜈 ≪ 𝑚𝑒 𝑐 2 ) por electrones libres débilmente unidos a un material absorbente, se describe de manera adecuada por la teoría clásica no relativista de Joseph J. Thomson. Thomson supone que el haz incidente de fotones establece que cada electrón cuasi libre del átomo de un material absorbente es forzada a una oscilación resonante y luego se usa la teoría clásica para calcular la sección transversal, para la reemisión de la radiación electromagnética como resultado de la oscilación dipolar inducido al electrón libre. Este tipo de dispersión de fotones se llama dispersión Thomson. El campo eléctrico 𝐸𝑖𝑛 es la radiación incidente por lo que es una onda incidente armónica y para 𝐸𝑜𝑢𝑡.

(35) 21. es la dispersión de las ondas electromagnéticas emitidas y estas están dadas por las ecuaciones 𝐸𝑖𝑛 = 𝐸0 sen 𝜔𝑡 𝐸𝑜𝑢𝑡 = 𝑟𝑒. (1.38). 𝐸0 sen 𝜔𝑡 sen Θ. (1.39). 𝑟. Donde 𝑟𝑒 es el radio de Bohr 𝑟𝑒 = 2.82 𝑓𝑚 𝑟𝑒 =. 𝑒2. (1.40). 4𝜋𝜖0 𝑚𝑒 𝐶 2. a. Sección transversal diferencial electrónico Thomson por unidad de ángulo sólido Para la reemisión de fotones dentro de un ángulo sólido (Ω) definimos que A: área y 𝜎𝑇ℎ : sección transversal de Thomson 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ =. ̅ 𝑆𝑜𝑢𝑡 𝑑𝐴 𝑆̅𝑖𝑛𝑡. (1.41). Figura 1.8: Diagrama que ilustra el ángulo sólido (CUNNINGHAM, 1983). De la figura 1.8 obtenemos que 𝑑Ω =. 𝑑𝐴. por tanto se tiene que. 𝑟2. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ =. ̅ 𝑆𝑜𝑢𝑡 𝑟 2 𝑑Ω ̅ 𝑆𝑖𝑛𝑡. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. 𝑑𝐴 = 𝑟 2 𝑑Ω. =. ̅ 𝑆𝑜𝑢𝑡 𝑟2 𝑆̅𝑖𝑛𝑡. (1.42). Las intensidades de onda incidente y onda emitida se expresan por los promedios de tiempo de los correspondientes vectores de poynting. ̅ 𝑆𝑜𝑢𝑡. ̅ = 𝑆𝑖𝑛𝑡. ̅ , respectivamente y 𝑆𝑖𝑛. 𝜖0 𝐶𝐸 2 0 2. (1.43).

(36) 22. ̅ = 𝜖0 𝐶(𝑟𝑒 )2 𝑆𝑜𝑢𝑡. (𝐸0 )2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛2 Θ. (1.44). 2𝑟 2. Reemplazando (1.43) y (1.44) en (1.42) se tiene lo siguiente: 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. = (𝑟𝑒 )2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛2 Θ. (1.45). Relacionando los ángulos involucrados como se observan en la figura 1.9. Figura 1.9: Diagrama esquemático de la dispersión Thomson (PODGORSAK, 2010).. De la figura 1.9. Se puede deducir que cos Θ =. 𝑎. sen θ =. 𝑟. rsen θ = 𝑏 bcos ψ = 𝑎 rsen θ cos ψ = 𝑎 cos Θ =. rsen θ cos ψ 𝑟. 𝑏 𝑟. y. 𝑎. cos ψ = 𝑏.

(37) 23. Combinando las expresiones se obtiene cos Θ = sen θ cos ψ Donde el ángulo θ se define como la dispersión del ángulo entre la dirección del fotón incidente y la dirección del fotón dispersado y ψ es el ángulo de polarización. Por definición del valor promedio de ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛2 Θ se tiene: 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠𝑒𝑛2 Θ = 2 [1 + cos 2 θ]. (1.46). Reemplazando el valor promedio en la ecuación (1.45): 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. =. 𝑟𝑒 2 2. [1 + cos2 θ]. (1.47). Su unidad esta dado en 𝑐𝑚2 ∕ 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 Ahora podemos expresar la sección diferencial transversal Thomson en función del ángulo de dispersión en 𝜃 y 𝜃 + 𝑑𝜃. Sabemos que: 𝑑Ω = 2𝜋 sen 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑θ 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑θ. =. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω 𝑑Ω. 𝑑θ. = 𝜋𝑟𝑒 2 sen 𝜃 [1 + cos 2 θ]. (1.48). b. Sección transversal electrónico total Thomson La sección transversal total electrónica 𝑒𝜎𝑇ℎ para la dispersión de Thomson se obtiene mediante la integración de la ecuación (1.48) sobre todos los ángulos 𝜃 de 0 a 𝜋. 𝑒𝜎𝑇ℎ =. 8𝜋𝑟𝑒 2 3. Reemplazando los datos correspondientes se tiene: 𝑒𝜎𝑇ℎ = 66,525 × 10−30 𝑚2. (1.49).

(38) 24. Este es un resultado notable por que no contiene términos dependientes de la energía y también predice que no hay cambios en la energía sobre la reemisión de la radiación electromagnética. La sección transversal 𝑒𝜎𝑇ℎ se denomina la sección transversal clásica de Thomson para un electrón libre y tiene el mismo valor de 66,525 × 10−30 𝑚2 para todos los fotones incidentes (PODGORSAK, 2010). c. Sección transversal atómico total Thomson La sección transversal atómica de la dispersión de Thomson 𝑎𝜎𝑇ℎ esta dado en términos de la sección transversal electrónico 𝑒𝜎𝑇ℎ 𝑎𝜎𝑇ℎ = 𝑍(𝑒𝜎𝑇ℎ ). (1.50). Que muestra una dependencia lineal sobre el número atómico Z.. 1.4.4 Dispersión incoherente (efecto Compton) Una interacción de un fotón de energía ℎ𝜈 con un electrón orbital débilmente unido de un átomo se llama efecto Compton. El efecto también se conoce como dispersión incoherente. En los estudios teóricos del efecto Compton se hace que un fotón incidente interactúa con un electrón libre en el cual el fotón es dispersado la cual tiene una energía ℎ𝑣 ′ la cual tiene menor energía que el fotón incidente (PODGORSAK, 2010). Tras la interacción, el electrón se desvía de su trayectoria y es emitido a un ángulo 𝜙 y con una energía cinética 𝐸𝐾 como se observa en la figura 1. 10.. Figura 1.10: Esquematización del efecto Compton (ATTIX, 2004).

(39) 25. La conservación de la energía total está dado por ℎ𝜈 + 𝑚𝑒 𝑐 2 = ℎ𝑣 ′ + 𝐸𝑒. (1.51). donde 𝑚𝑒 𝑐 2 : Es la energía en reposo del electrón de retroceso 𝐸𝑒 : Es la energía total del electrón de retroceso La energía total del electrón de retroceso es: 𝐸𝑒 = 𝑚𝑒 𝑐 2 + 𝐸𝐾. (1.52). Mediante la figura 1.11 se obtienen las ecuaciones para la conservación del momentum.. Figura 1.11: Diagrama esquemático del fotón incidente (PODGORSAK, 2010).. La solución de la ecuación del corrimiento de Compton se encuentra en el ANEXO B Δ𝜆 =. ℎ [1 − cos 𝜃] 𝑚𝑒 𝑐 Δ𝜆 = 𝜆𝑐 [1 − cos 𝜃] donde 𝜆𝑐 =. (1.53). ℎ 𝑚𝑒 𝑐. La ecuación (1.53) es la conocida relación de cambio de longitud de onda de Compton..

(40) 26. a. Relación entre el ángulo de dispersión y el ángulo de retroceso La dispersión del ángulo 𝜃 y el ángulo de retroceso 𝜙 , se muestran en la figura 1.12 y por conservación de momentum, obtenemos la relación del ángulo de retroceso 𝜙 del electrón entre la dispersión del ángulo 𝜃, esta solución se muestra en el ANEXO C.. 𝜃. cot 𝜙 = (1 + 𝜖) [tan ( 2)]. (1.54). 𝜃. cot ( 2) = (1 + 𝜖) tan 𝜙. (1.55). (ℎ𝜈). donde 𝜖 = 𝑚. 𝑒𝑐. 2. La relación del ángulo de retroceso 𝜙 del electrón entre la dispersión del ángulo 𝜃 de las relaciones obtenidas de (1.54) y (1.55) son graficadas en la figura 1.12, para varios valores de 𝜖, demostrando que para un 𝜃 dado la energía ℎ𝜈 del fotón incidente es más alto y también 𝜖, mientras tanto el electrón del ángulo de retroceso 𝜙 es pequeño. En la figura 1.12 también se demuestra que el ángulo de dispersión del ángulo 𝜃 va de 0 a 𝜋 , mientras que el correspondiente rango del ángulo de retroceso 𝜙 es limitado de 𝜙 =. 𝜋 2. cuando 𝜃 =. 0 a 𝜙 = 0 𝜃 = 𝜋, respectivamente.. Figura 1.12: Relación del ángulo del electrón y el ángulo del fotón (PODGORSAK, 2010)..

(41) 27. b. Energía del fotón dispersado en función de la energía del fotón incidente y del ángulo de dispersión del fotón De la conocida relación de cambio de longitud de onda de Compton que obtuvimos en la ecuación (1.53), podemos expresarlo la energía del fotón dispersado en función de la energía del fotón incidente y del ángulo de dispersión. 1 1 1 [1 − cos 𝜃] − = ′ (ℎ𝑣 ) (ℎ𝜈) 𝑚𝑒 𝑐 2 1. ℎ𝑣 ′ = ℎ𝜈 1+𝜖[1−cos 𝜃] ℎ𝑣 ′ = ℎ𝜈 [. (1+𝜖)2 −𝜖(𝜖+2)cos2 𝜙 (1+𝜖)2 −𝜖2 cos2 𝜙. (1.56) ]. (1.57). Figura 1.13: La energía del fotón 𝒉𝒗′ contra la energía del fotón 𝒉𝝂 (PODGORSAK, 2010).. De la ecuación (1.56), (1.57) y de la figura 1.13 se pueden concluir que para 𝜃 = 0 𝜋. correspondientemente seria 𝜙 = 2 , por lo tanto la energía del fotón dispersado ℎ𝑣 ′ sería igual a la energía del fotón incidente ℎ𝜈. En este caso la energía no está siendo transferida al electrón de retroceso. Para 𝜃 > 0, la energía del fotón dispersado se mantiene constante para valores grandes de ℎ𝜈; el más grande es la dispersión del ángulo 𝜃, el valor más bajo es la saturación de ℎ𝑣 ′ es para ℎ𝜈 ⟶ ∞ (PODGORSAK, 2010). También se muestran que para el fotón dispersado con ángulos 𝜃 más grandes que 𝜃 =. 𝜋 2. no pueden exceder 511 KeV en energía cinética, como la energía ℎ𝜈 del fotón incidente es.

(42) 28. más grande. Esto es de importancia práctica para designar las barreras de blindaje para las instalaciones de los aceleradores lineales. También notamos que la energía máxima del fotón retro dispersado (𝜃 = 𝜋) no pude exceder 0,255MeV=. 𝑚𝑒 𝑐 2 2. , como la energía ℎ𝜈 del fotón. incidente es más grande (PODGORSAK, 2010). Para un ℎ𝜈 dado la energía ℎ𝑣 ′ del fotón dispersado puede estar entre el rango de. ℎ𝑣 ′ =. 1. ℎ𝜈 1+2𝜖 para 𝜃 = 𝜋 correspondientemente 𝜙 = 0 y ℎ𝜈 para 𝜃 = 0 correspondientemente 𝜙=. 𝜋 2. , entonces se puede definir que: ℎ𝜈. |. 1+2𝜖 𝜃=𝜋. ≤ ℎ𝜈 ˊ ≤ ℎ𝜈|𝜃=0. (1.58). c. Energía transferida para el electrón de retroceso de Compton La energía cinética del electrón de retroceso 𝐸𝐾𝐶 (ℎ𝜈, 𝜃) depende de la energía ℎ𝜈 del foton y del ángulo 𝜃 del fotón dispersado. Las relaciones son determinadas usando la conservación de energía. 𝜖[1−cos 𝜃]. 𝐸𝐾𝐶 (ℎ𝜈, 𝜃) = ℎ𝜈 1+𝜖[1−cos 𝜃]. (1.59). La energía cinética del electrón de retroceso de (1.59) se expresa también en función del ángulo 𝜙 del electrón de retroceso. 2𝜖 cos2 𝜙. 𝐸𝐾𝐶 (ℎ𝜈, 𝜃) = ℎ𝜈 [(1+𝜖)2 −𝜖2 cos2 𝜙]. (1.60). Para un fotón dado con energía ℎ𝜈 la energía cinética del electrón de retroceso está en un rango para un valor mínimo es 𝐸𝐾𝐶 (ℎ𝜈, 𝜃)𝑚𝑖𝑛 = 0 para una dispersión del ángulo 𝜃 = 0 correspondientemente para el electrón de retroceso es 𝜙 =. 𝜋 2. y su máximo valor estaría dado. para 𝜃 = 𝜋 y 𝜙 = 0: 2𝜖. 𝐸𝐾𝐶 (ℎ𝜈, 𝜃)𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝜈 [1+2𝜖]. (1.61). Las relaciones de la energía cinética del electrón de retroceso 𝐸𝐾𝐶 (ℎ𝜈, 𝜃) y la energía ℎ𝜈 del fotón incidente representan la fracción de energía del fotón incidente que es transferido al electrón de retroceso (PODGORSAK, 2010)..

(43) 29. d. Sección transversal diferencial electrónico para la dispersión Compton La probabilidad o sección transversal para una interacción Compton entre un fotón y un electrón libre por unidad de ángulo solido está dado por una expresión derivada por Oskar Klein y Yoshio Nishina en 1928. La sección transversal diferencial electrónico de Klein Nishina por unidad de ángulo sólido para el efecto Compton está dado en en. 𝑚2 ∕𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛. 𝑐𝑚2 ∕𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛. o. y dado por la ecuación. 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛. 𝑑𝑒 𝜎𝑐𝐾𝑁 𝑑Ω. =. 𝑟𝑒 2 𝜈 ˊ 2. 2. 𝜈ˊ. 𝜈. ( 𝜈 ) { 𝜈 + 𝜈ˊ − sen2 𝜃}. (1.62). 𝑑𝑒 𝜎𝑐𝐾𝑁 𝑟𝑒 2 [1 + cos 2 θ]𝐹𝐾𝑁 = 𝑑Ω 2 𝑑𝑒 𝜎𝑐𝐾𝑁 𝑑Ω. =. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. 𝐹𝐾𝑁. (1.63). donde 𝜈 : Es la frecuencia del fotón incidente. 𝜈 ˊ : Es la frecuencia del fotón dispersado. θ : Es el ángulo de dispersión del fotón. 𝑟𝑒 : Es el radio clásico del electrón. 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝜈, 𝜃) Es el factor de forma de Klein Nishina, dependiente de la energía ℎ𝜈 del foton incidente y del ángulo 𝜃 del fotón dispersado. 𝑑𝑒 𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω. Es la sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo solido de la. dispersión de Thomson. El factor de forma Klein Nishina 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝜈, 𝜃) para un electrón libre está dado por la ecuación 1. 𝜖 2 (1−cos θ)2. 𝐹𝐾𝑁 (ℎ𝜈, 𝜃) = [1+𝜖(1−cos θ)]2 {1 + [1+𝜖(1−cos θ)](1+cos2 θ)} (ℎ𝜈). donde: 𝜖 = 𝑚. 𝑒𝑐. 2. (1.64).