1.4 INTERACCIÓN DE LOS FOTONES CON LA MATERIA
1.4.4 Dispersión incoherente (efecto Compton)
Una interacción de un fotón de energía ℎ𝜈 con un electrón orbital débilmente unido de un átomo se llama efecto Compton. El efecto también se conoce como dispersión incoherente. En los estudios teóricos del efecto Compton se hace que un fotón incidente interactúa con un electrón libre en el cual el fotón es dispersado la cual tiene una energía ℎ𝑣′ la cual tiene menor energía que el fotón incidente (PODGORSAK, 2010). Tras la interacción, el electrón se desvía de su trayectoria y es emitido a un ángulo 𝜙 y con una energía cinética 𝐸𝐾 como se observa en la figura 1. 10.
La conservación de la energía total está dado por
ℎ𝜈 + 𝑚𝑒𝑐2 = ℎ𝑣′+ 𝐸
𝑒 (1.51)
donde
𝑚𝑒𝑐2: Es la energía en reposo del electrón de retroceso
𝐸𝑒: Es la energía total del electrón de retroceso La energía total del electrón de retroceso es:
𝐸𝑒 = 𝑚𝑒𝑐2+ 𝐸𝐾 (1.52)
Mediante la figura 1.11 se obtienen las ecuaciones para la conservación del momentum.
Figura 1.11: Diagrama esquemático del fotón incidente (PODGORSAK, 2010).
La solución de la ecuación del corrimiento de Compton se encuentra en el ANEXO B
Δ𝜆 = ℎ
𝑚𝑒𝑐[1 − cos 𝜃]
Δ𝜆 = 𝜆𝑐[1 − cos 𝜃] (1.53) donde 𝜆𝑐 = ℎ
𝑚𝑒𝑐
a. Relación entre el ángulo de dispersión y el ángulo de retroceso
La dispersión del ángulo 𝜃 y el ángulo de retroceso 𝜙 , se muestran en la figura 1.12 y por conservación de momentum, obtenemos la relación del ángulo de retroceso 𝜙 del electrón entre la dispersión del ángulo 𝜃, esta solución se muestra en el ANEXO C.
cot 𝜙 = (1 + 𝜖) [tan (𝜃 2)] (1.54) cot (𝜃 2) = (1 + 𝜖) tan 𝜙 (1.55) donde 𝜖 = (ℎ𝜈) 𝑚𝑒𝑐2
La relación del ángulo de retroceso 𝜙 del electrón entre la dispersión del ángulo 𝜃 de las relaciones obtenidas de (1.54) y (1.55) son graficadas en la figura 1.12, para varios valores de 𝜖, demostrando que para un 𝜃 dado la energía ℎ𝜈 del fotón incidente es más alto y también 𝜖, mientras tanto el electrón del ángulo de retroceso 𝜙 es pequeño. En la figura 1.12 también se demuestra que el ángulo de dispersión del ángulo 𝜃 va de 0 a 𝜋 , mientras que el correspondiente rango del ángulo de retroceso 𝜙 es limitado de 𝜙 = 𝜋
2 cuando 𝜃 =
0 a 𝜙 = 0 𝜃 = 𝜋, respectivamente.
b. Energía del fotón dispersado en función de la energía del fotón incidente y del ángulo de dispersión del fotón
De la conocida relación de cambio de longitud de onda de Compton que obtuvimos en la ecuación (1.53), podemos expresarlo la energía del fotón dispersado en función de la energía del fotón incidente y del ángulo de dispersión.
1 (ℎ𝑣′)− 1 (ℎ𝜈)= 1 𝑚𝑒𝑐2[1 − cos 𝜃] ℎ𝑣′= ℎ𝜈 1 1+𝜖[1−cos 𝜃] (1.56) ℎ𝑣′ = ℎ𝜈 [(1+𝜖)2−𝜖(𝜖+2)cos2𝜙 (1+𝜖)2−𝜖2cos2𝜙 ] (1.57)
Figura 1.13: La energía del fotón 𝒉𝒗′ contra la energía del fotón 𝒉𝝂 (PODGORSAK, 2010).
De la ecuación (1.56), (1.57) y de la figura 1.13 se pueden concluir que para 𝜃 = 0
correspondientemente seria 𝜙 =𝜋
2, por lo tanto la energía del fotón dispersado ℎ𝑣 ′ sería
igual a la energía del fotón incidente ℎ𝜈. En este caso la energía no está siendo transferida al electrón de retroceso. Para 𝜃 > 0, la energía del fotón dispersado se mantiene constante para valores grandes de ℎ𝜈; el más grande es la dispersión del ángulo 𝜃, el valor más bajo es la saturación de ℎ𝑣′ es para ℎ𝜈 ⟶ ∞(PODGORSAK, 2010).
También se muestran que para el fotón dispersado con ángulos 𝜃 más grandes que 𝜃 =𝜋
2
más grande. Esto es de importancia práctica para designar las barreras de blindaje para las instalaciones de los aceleradores lineales. También notamos que la energía máxima del fotón retro dispersado (𝜃 = 𝜋) no pude exceder 0,255MeV=𝑚𝑒𝑐2
2 , como la energía ℎ𝜈 del fotón
incidente es más grande (PODGORSAK, 2010).
Para un ℎ𝜈 dado la energía ℎ𝑣′ del fotón dispersado puede estar entre el rango de ℎ𝑣′ = ℎ𝜈 1
1+2𝜖para 𝜃 = 𝜋 correspondientemente 𝜙 = 0 y ℎ𝜈 para 𝜃 = 0 correspondientemente
𝜙 =𝜋
2 , entonces se puede definir que:
ℎ𝜈
1+2𝜖|𝜃=𝜋 ≤ ℎ𝜈
ˊ ≤ ℎ𝜈|
𝜃=0 (1.58)
c. Energía transferida para el electrón de retroceso de Compton
La energía cinética del electrón de retroceso 𝐸𝐾𝐶(ℎ𝜈, 𝜃) depende de la energía ℎ𝜈 del foton y del ángulo 𝜃 del fotón dispersado. Las relaciones son determinadas usando la conservación de energía.
𝐸𝐾𝐶(ℎ𝜈, 𝜃) = ℎ𝜈 𝜖[1−cos 𝜃]
1+𝜖[1−cos 𝜃] (1.59)
La energía cinética del electrón de retroceso de (1.59) se expresa también en función del ángulo 𝜙 del electrón de retroceso.
𝐸𝐾𝐶(ℎ𝜈, 𝜃) = ℎ𝜈 [ 2𝜖 cos2𝜙
(1+𝜖)2−𝜖2cos2𝜙] (1.60)
Para un fotón dado con energía ℎ𝜈 la energía cinética del electrón de retroceso está en un rango para un valor mínimo es 𝐸𝐾𝐶(ℎ𝜈, 𝜃)𝑚𝑖𝑛= 0 para una dispersión del ángulo 𝜃 = 0
correspondientemente para el electrón de retroceso es 𝜙 =𝜋
2 y su máximo valor estaría dado
para 𝜃 = 𝜋 y 𝜙 = 0:
𝐸𝐾𝐶(ℎ𝜈, 𝜃)𝑚𝑎𝑥 = ℎ𝜈 [ 2𝜖
1+2𝜖] (1.61)
Las relaciones de la energía cinética del electrón de retroceso 𝐸𝐾𝐶(ℎ𝜈, 𝜃) y la energía ℎ𝜈 del fotón incidente representan la fracción de energía del fotón incidente que es transferido al electrón de retroceso (PODGORSAK, 2010).
d. Sección transversal diferencial electrónico para la dispersión Compton
La probabilidad o sección transversal para una interacción Compton entre un fotón y un electrón libre por unidad de ángulo solido está dado por una expresión derivada por Oskar Klein y Yoshio Nishina en 1928. La sección transversal diferencial electrónico de Klein Nishina por unidad de ángulo sólido para el efecto Compton está dado en 𝑐𝑚
2∕𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛
𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 o
en 𝑚
2∕𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛
𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 y dado por la ecuación
𝑑𝑒𝜎𝑐 𝐾𝑁 𝑑Ω = 𝑟𝑒2 2 ( 𝜈ˊ 𝜈) 2 {𝜈ˊ 𝜈 + 𝜈 𝜈ˊ− sen2𝜃} (1.62) 𝑑𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 𝑑Ω = 𝑟𝑒2 2 [1 + cos 2θ]𝐹 𝐾𝑁 𝑑𝑒𝜎𝑐 𝐾𝑁 𝑑Ω = 𝑑𝑒𝜎𝑇ℎ 𝑑Ω 𝐹𝐾𝑁 (1.63) donde
𝜈 : Es la frecuencia del fotón incidente.
𝜈ˊ: Es la frecuencia del fotón dispersado.
θ : Es el ángulo de dispersión del fotón.
𝑟𝑒: Es el radio clásico del electrón.
𝐹𝐾𝑁(ℎ𝜈, 𝜃) Es el factor de forma de Klein Nishina, dependiente de la energía ℎ𝜈 del foton incidente y del ángulo 𝜃 del fotón dispersado.
𝑑𝑒𝜎𝑇ℎ
𝑑Ω Es la sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo solido de la
dispersión de Thomson.
El factor de forma Klein Nishina 𝐹𝐾𝑁(ℎ𝜈, 𝜃) para un electrón libre está dado por la ecuación 𝐹𝐾𝑁(ℎ𝜈, 𝜃) = 1 [1+𝜖(1−cos θ)]2{1 + 𝜖2(1−cos θ)2 [1+𝜖(1−cos θ)](1+cos2θ)} (1.64) donde: 𝜖 = (ℎ𝜈) 𝑚𝑒𝑐2
e. Sección transversal electrónico total Klein Nishina para la dispersión Compton
La sección transversal electrónico total de Klein Nishina para la dispersión Compton en un electrón libre se calcula mediante la integración de la sección transversal diferencial electrónico por unidad de ángulo solido sobre todo el ángulo sólido, la demostración de este cálculo se encuentra en el ANEXO D.
𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁= 2𝜋𝑟𝑒2{(1+𝜖) 𝜖2 [ 2(1+𝜖) (1+2𝜖)− ln(1+2𝜖) 𝜖 ] + ln(1+2𝜖) 2𝜖 − 1+3𝜖 (1+2𝜖)2} (1.65)
El valor numérico de 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 se puede obtener también a través de una determinación del área
bajo la curva de 𝑑𝑒𝜎𝑐
𝐾𝑁
𝑑θ , para un 𝜖 dado, donde 𝜖 = (ℎ𝜈) 𝑚𝑒𝑐2.
Para pequeñas energías ℎ𝜈 de fotones incidentes obtenemos que cuando 𝜖 = 0 la sección transversal electrónico total de Klein Nishina 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 se reduce a la sección transversal
electrónico total de Thompson 𝑒𝜎𝑡ℎ.
Dos casos son de interés, ya que simplifican la ecuación (1.65) para energías ℎ𝜈 pequeñas de fotones incidentes, haciendo una expansión de series obtenemos la siguiente relación a partir de la ecuación (1.65)
Cuando 𝜖 → 0 se aproxima al resultado clásico de Thompson
𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁|𝜖→0 ≈ 𝑒𝜎𝑇ℎ =
8𝜋 3 𝑟𝑒
2
Para energías ℎ𝜈 grandes de fotones incidentes, obtenemos la siguiente relación a partir de la ecuación (1.65) para 𝜖 → ∞ 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 = 2𝜋𝑟𝑒2{ (1 + 𝜖) 𝜖2 [ 2(1 + 𝜖) (1 + 2𝜖)− ln(1 + 2𝜖) 𝜖 ] + ln(1 + 2𝜖) 2𝜖 − 1 + 3𝜖 (1 + 2𝜖)2} 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 ≈ 𝜋𝑟 𝑒2{ 2 ln(2𝜖) + 1 2𝜖 }
A bajas energías de fotones 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 es aproximadamente igual a la sección transversal
clásico de Thompson 𝑒𝜎𝑡ℎ.
Para energías de fotones intermedios 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 disminuye gradualmente con el
Para energías ℎ𝜈 muy altas de fotones, la sección transversal electrónico 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁
alcanza una dependencia de 1
ℎ𝜈 .
La sección transversal electrónica de Klein Nishina 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 es independiente del
número atómico Z del material absorbente, ya que la teoría de Compton se supone que es para un electrón libre y estacionario es decir la energía de enlace del electrón al átomo se supone que es insignificante en comparación con la energía fotónica ℎ𝜈
(PODGORSAK, 2010).
f. Sección transversal electrónico total para la energía transferida en el efecto Compton
La sección transversal electrónica para la energía transferida (𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁)𝑡𝑟 es obtenida mediante
la integración de la sección transversal diferencial electrónico de la energía transferida por unidad de ángulo solido (𝑑𝑒𝜎𝑐
𝐾𝑁)
𝑡𝑟
𝑑Ω dada en la ecuación (1.65) sobre todos los ángulos 𝜃 de
dispersión de fotones a partir de 0° a 180° y otra para el ángulo de retroceso 𝜙 de 0° a
90° para obtener (𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁)𝑡𝑟 2 𝜋𝑟𝑒2 = { 2(1+𝜖)2 𝜖2(1+2𝜖)− (1+3𝜖) (1+2𝜖)2− (1+𝜖)(2𝜖2−2 𝜖−1) 𝜖2(1+2𝜖)2 − 4𝜖2 3(1+2𝜖)3− ( 1+𝜖 𝜖3 + 1 2𝜖− 1 2𝜖3) ln(1 + 2𝜖)} (1.66) Para todas las energías ℎ𝜈 de los fotones incidentes, la sección transversal electrónico de Klein Nishina es superior a la sección transversal de la energía transferida; sin embargo la diferencia disminuye con el aumento de ℎ𝜈. Para grandes energías ℎ𝜈 del fotón la diferencia entré (𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁)𝑡𝑟 y 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 es pequeño. Y se obtiene diferenciando:
𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁− (𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁)𝑡𝑟 ≈1,32𝜋𝑟𝑒2
𝜖 (1.67)
La ecuación (186) muestra que a medida que 𝜖 → ∞ la diferencia entre 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 y (𝑒𝜎
𝑐𝐾𝑁)𝑡𝑟
va a cero indica que (𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁)𝑡𝑟 ≈ 𝑒𝜎𝑐𝐾𝑁 para ℎ𝜈 → ∞ .