Interpolaci´ on de Newton en diferencias regresivas

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Interpolaci´ on de Newton en diferencias regresivas

Objetivos. Estudiar la contrucci´on del polinomio interpolante a trav´es de las diferencias regresivas en el caso cuando las abscisas de los nodos de interpolaci´on son equidistantes.

Requisitos. Diferencias regresivas de una sucesi´on, diferencias divididas, f´ormula de New- ton para el polinomio interpolante, interpolaci´on de Newton en diferencias progresivas.

1. Diferencias divididas (repaso). Sea f una funci´on definida en algunos puntos di- ferentes a pares x0, x1, x2, . . .; denotemos por y0, y1, y2, . . . sus valores en estos puntos.

Entonces las diferencias divididas de f se definen mediante las siguientes f´ormulas, de manera recursiva:

f[xi] = f(xi) = yi, f[xi, . . . , xj] = f[xi+1, . . . , xj] − f[xi, . . . , xj−1]

xj− xi .

Notemos que las diferencias divididas son funciones sim´etricas, es decir, no dependen del orden de los argumentos, por ejemplo,

f[x0, x1, x2] = f[x2, x1, x0].

2. F´ormula de Newton para el polinomio interpolante (repaso). Recordemos la f´ormula de Newton para el polinomio interpolante que coincide con la funci´on f en los puntos xi:

P(x) = Xn

k=0

f[x0, . . . , xk] Yk−1

j=0

(x − xj).

En esta secci´on vamos a ordenar los puntos en el sentido contrario. Apliquemos la f´ormula de Newton a los puntos xn, . . . , x0:

P(x) = f[xn] + f[xn, xn−1](x − xn) + f[xn, xn−1, xn−2](x − xn)(x − xn−1) + . . . + f[xn, . . . , x0](x − xn)· . . . · (x − x1)

= Xn

k=0

f[xn, . . . , xn−k] Yk−1

j=0

(x − xn−j).

3. El caso de puntos equidistantes. En esta secci´on se considera el caso particular cuando los puntos x0, . . . , xn son equidistantes:

xk = x0+ kh, 0≤ k ≤ n.

Vamos a escribir todo en t´erminos del ´ultimo punto xn: xn−k= xn− kh, 0≤ k ≤ n, y hacer el cambio de variables x = xn+ hs.

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4. Ejercicio: Expresi´on del producto a trav´es de la variable nueva. Haga el cambio de variables x = xn+ hs y exprese el siguiente producto a trav´es de s y xn:

Yk−1 j=0

(x − xn−j) = (x − xn)(x − xn−1)· . . . · (x − xn−k+1).

Primero puede considerar el caso particular k = 3:

(x − xn)(x − xn−1)(x − xn−2) = . . .|{z}

?

= h3s(s + h)(s + 2h)

= h3(−1)3(−s)(−s − h)(−s − 2h) = 3! h3(−1)3−s 3

 . Para escribir la respuesta en forma corta use la notaci´on del coeficiente binominal:

a k



= a(a − 1)· . . . · (a − k + 1)

k! .

5. Diferencias regresivas de una sucesi´on. Las diferencias regresivas de una sucesi´on y0, y1, y2, . . . se definen de manera recursiva:

(∇0y)i := yi, (∇k+1y)i := (∇ky)i− (∇ky)i−1. En particular,

(∇1y)i := (∇0y)i− (∇0y)i−1 = yi− yi−1,

(∇2y)i := (∇1y)i− (∇1y)i−1 = yi− 2yi−1+ yi−2.

6. Ejercicio: Expresi´on de las diferencias divididas a trav´es de las diferencias progresivas. Los puntos xison equidistantes, por eso los denominadores de las diferencias divididas se escriben en t´erminos de h y los numeradores en t´erminos de las diferencias regresivas, por ejemplo

f[xi, xi−1] = yi− yi−1 xi− xi−1

= (∇y)i h .

Las diferencias divididas de orden 2 se expresan a trav´es de h y (∇2y)i: f[xi, xi−1, xi−2] = . . .

. . . = . . .

Las diferencias divididas de orden 3 se escriben en t´erminos de h y (∇3y)i: f[xi, xi−1, xi−2, xi−3] = . . .

. . . = . . .

Adivine la f´ormula general, esto es, exprese f[xi, xi−1, . . . , xi−k+1]a trav´es de h y (∇ky)i: [yi, yi−1, . . . , yi−k+1] =

Interpolaci´on de Newton en diferencias regresivas, p´agina 2 de 5

(3)

7. Proposici´on (interpolaci´on de Newton en diferencias regresivas). Sea P el polinomio de grado ≤ n que toma valores y0, y0+ h, . . . , y0+ nh en los puntos x0, x0+ h, . . . , x0+ nh. Entonces

P(xn+ hs) = Xn

k=0

(−1)k−s k



(∇ky)n. (1)

Demostraci´on. Partimos de la f´ormula de Newton para el polinomio interpolante aplicada a los puntos xn, . . . , x0 y los valores yn, . . . , y0:

P(x) = Xn

k=0

f[xn, . . . , xn−k] Yk−1

j=0

(x − xn−j). (2)

Hacemos el cambio de variable x = xn+ hs y escribimos el producto de los binomios x − xn−j en t´erminos de la variable s:

Yk−1 j=0

(x − xn−j) = hks(s + 1)· . . . · (s + k − 1)

= (−1)khk(−s)(−s − 1)· . . . · (−s − k + 1)

= (−1)kk! hk−s k



. (3)

Expresamos las diferencias divididas f[xn, . . . , xn−k] a trav´es de las diferencias regresivas (∇ky)n:

f[xn, . . . , xn−k] = 1

k! hk(∇ky)n. (4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2) obtenemos (1).

(4)

8. Ejemplo. Usando la interpolaci´on de Newton en diferencias regresivas construya el polinomio P de grado ≤ 3, que tome en los puntos −1, 1, 3, 5 los valores −7, 1, 1, 41.

Calcule el valor de este polinomio en el punto 2.

Soluci´on. Tabla de las diferencias regresivas:

(∇0y)0 = y0 = −7

(∇1y)1 = (∇0y)1− (∇0y)0 = 8

(∇0y)1 = y1 = 1 (∇2y)2= −8

(∇1y)2 = (∇0y)2− (∇0y)1 = 0 (∇3y)3= 48

(∇0y)2 = y2 = 1 (∇2y)3= 40

(∇1y)3 = (∇0y)3− (∇0y)2 = 40 (∇0y)3 = y3 = 41

Polinomio interpolante escrito con variable s:

Q(s) = P(x3+ 2s) = X3

k=0

(−1)k−s k



(∇ky)3

= (−1)041 + 40(−1)1−s

1 + 40(−1)2−s(−s − 1)

2 + 48(−1)3−s(−s − 1)(−s − 2) 3!

= 41 + 40s + 20s(s + 1) + 8s(s + 1)(s + 2)

=

8(s + 2) + 20(s + 1) + 40

s + 41.

Calculamos Q(s) por pasos:

8

×(s + 2) 8s + 16 +20 8s + 36

×(s + 1) 8s2+ 44s + 36 +40 8s2+ 44s + 76

×s 8s3+ 44s2+ 76s +41 8s3+ 44s2+ 76s + 41 As´ı que

Q(s) = P(5 + 2s) = 8s3+ 44s2+ 76s + 41.

Con esta f´ormula ya podemos evaluar P en el punto x = 2. De la igualdad 5 + 2s = 2 despejamos s = −32 y calculamos Q(−3/2):

8 44 76 41

−3/2 8 32 28 −1 P(2) = Q(−3/2) = −1.

Ahora expresamos el polinomio interpolante en t´erminos de la variable x. Para hacerlo exresamos s a trav´es de x:

x = 5 + 2s =⇒ s = x − 5 2 ,

Interpolaci´on de Newton en diferencias regresivas, p´agina 4 de 5

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y sustituimos esta expresi´on en Q:

P(x) = Q x − 5 2



= (x − 5)3+ 11(x − 5)2+ 38(x − 5) + 41

=

1· (x − 5) + 11(x − 5) + 38

(x − 5) + 41.

Por pasos:

1

×(x − 5) x − 5 +11 x + 6

×(x − 5) x2+ x − 30 +38 x2+ x + 8

×(x − 5) x3− 4x2+ 3x − 40 +41 x3− 4x2+ 3x + 1 Respuesta:

P(x) = x3− 4x2+ 3x + 1.

Para comprobaci´on calculemos P(2) usando los coeficientes de P:

1 −4 3 1

2 1 −2 −1 −1 P(2) = −1 X

Figure

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