EDOs :modelos y aplicaciones

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas Facultad Matemática Física y Computación Licenciatura en Matemática. Trabajo de Diploma EDOs : “Modelos y Aplicaciones” Autora: Norecsy Gómez Portela Tutor: Yoan Hernández Rodríguez   58.7 10. current  mA. voltaje  V. 5. 0. 5. 10 0. 10. tiempo msec 20. 30. 40. 50. 2008.

(2) Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Licenciatura en Matemáticas, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.. _____________________ Firma del autor. Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. ________________ Firma del tutor. _________________________ Firma del jefe del Seminario.

(3) Pensamiento. “Si el hacha no tiene filo y esta mellada, hay que redoblar los esfuerzos; el éxito esta en utilizarla con habilidad.” Eclesiastés 10. 10.

(4) Dedicatoria. A mis padres..

(5) Agradecimientos. Ante todo darles gracias a Dios. A mis padres por estar siempre a mi lado. A mi tutor Yoan Hernández Rodríguez..

(6) Índice Resumen………………………………………………………………………………………………………………………………………..…... 1 Summary……………………………………………………………………………………………………………………………………………..2 Introducción………………………………………………………………………………………………………………………….……………..3 1. Las Ecuaciones diferenciales como modelos de sistemas…………………………………………………………….……5 1.1. Introducción…………………………………………………………………………………………………………………………………..5 1.2. Sobre el arte de modelizar……………………………………………………………………………………………………………..5 1.2.1. Análisis matemático del modelo………………………………………………………………………………………….………9 1.2.2. Tratamiento numérico: Simulación y Validación…………………………………………………………………..……11 1.2.3. Predicción y Control……………………………………………………………………………………………………………….…13 1.2.4. Resumen del proceso de Modelización…………………………………………………………………………….………14 1.3. Objetivos y Resumen de Principios empleados…………………………………………………………………….….....15 2. Modelos y Aplicaciones de EDOs de primer orden…………………………………………………………………..……..20 2.1.1. Ecuaciones de la forma. ………………………………………………………………………………………………...20. 2.1.1.1. Caída libre………………………………………………………………………………………………………………….….……….21 2.1.1.2. Administración de medicamentos……………………………………………………………………………….…………26 2.1.2. Ecuaciones de la forma. …………………………………………………………………………….…….29. 2.1.2.1. Caída con resistencia………………………………………………………………………………………………………..…….32 2.1.2.2. Ley de enfriamiento de Newton………………………………………………………………………………………..……34 2.1.2.3. Desintegración Radiactiva. Datación de radiocarbono……………………………………………………..…….37 2.1.2.4. Interés Continuo……………………………………………………………………………………………………………….……44.

(7) 2.1.2.5. Farmacocinética…………………………………………………………………………………………………………….……….46 2.1.2.6. Balance de masa……………………………………………………………………………………………………….……………52 2.1.2.7. Balance de energía ………………………………………………………………………………………………………….…….57 2.1.2.8. Modelo de Malthus………………………………………………………………………………………………………….…….60 2.1.2.9. Ecuación de Von Bertalanffy………………………………………………………………………………………….……….63 2.1.2.10. Modelo de Harrod-Domar …………………………………………………………………………………………..………66 2.1.2.11. Circuitos eléctricos……………………………………………………………………………………………………….………68 2.2. EDOs no lineales de primer orden ………………………………………………………………………………………….…..72 2.2.1. Ecuaciones de la forma. …………………………………………………….…………………..72. 2.2.1.1. Propagación de rumores ………………………………………………………………………………………………….…..73 2.2.1.2. Eficacia de la Publicidad …………………………………………………………………………………………………….…..74 2.2.1.3. Propagación de enfermedades………………………………………………………………………………………….…..75 2.2.1.4. Ley de Verthulst……………………………………………………………………………………………………………….…….76 2.2.2. Ecuaciones de la forma. (Bernoulli)………………………..……………….………….…….….79. 2.2.2.1. Modelo de crecimiento económico de Solow………………………………………………………….……….…….79 2.2.2.2. Ecuación de crecimiento en peso de Von Bertalanffy……………………………………………………….……82 2.3. Misceláneos …………………………………………………………………………………………………………........................83 2.3.1. Lineales y no lineales …………………………………………………………………………………………..….……………....83 2.3.1.1. Flujo calorífico estacionario ……………………………………………………………………………..…….……………..83 2.3.1.2. Vaciado de tanques a través de un orificio……………………………………………………………….…………….85 2.3.1.3. Oferta y demanda …………………………………………………………………………………………………….……………87 2.3.1.4. Inventarios ……………………………………………………………………………………………………….......................89 2.3.1.5. Problemas Geométricos …………………………………………………………………………………….………………….91 2.3.1.6. Reacciones Químicas ……………………………………………………………………………………….…………………...97 2.4. Ejercicios Propuestos …………………………………………………………………………………………………………….….100 3. Modelos y Aplicaciones de EDOs de orden superior……………………………………………………………….…….111 3.1. EDOs lineales de orden superior………………………………………………………………………………………….…...111 3.1.1. Ecuaciones de la forma. ……………………………………………………………………..……..….111. 3.1.1.1. Movimiento armónico simple (sistema masa-resorte)………………………………………………….…...…111 3.1.1.2. Curvatura de una cuerda que gira ……………………………………………………………………………………….114.

(8) 3.1.2. Ecuaciones de la forma. ………………………………………….……………………..….115. 3.1.2.1. Ley de Enfriamiento. Recinto de tamaño finito…………………………………………………………….………116 3.1.2.2. Movimiento amortiguado libre (sistemas-masa resorte)………………………………………………………119 3.1.3. Ecuaciones de la forma. ………………………………………………………..…121. 3.1.3.1. Movimiento forzado con amortiguamiento (sistema masa-resorte)……………………....121 3.1.3.2. Movimiento forzado sin amortiguamiento (sistema masa-resorte)……………………….……………..123 3.1.3.3. Circuitos eléctricos LRC……………………………………………………………………………………………..……...…125 3.2. EDOs no lineales de primer orden…………………………………………………………………………………..………….127 3.2.1. Misceláneos………………………………………………………………………………………………………………..……..……127 3.2.1.1. El péndulo simple…………………………………………………………………………………………………………..……127 3.2.1.2. Movimiento de un cohete………………………………………………………………………………………………..….128 3.2.1.3. Viaje a Martes ………………………………………………………………………………………………………..………..…129 3.2.1.4. El cable colgante………………………………………………………………………………………………………..…………131 3.2.1.5. Deflexión de vigas ………………………………………………………………………………………………….…………….134 3.3. Ejercicios Propuestos …………………………………………………………………………………………………………...…..140 Conclusiones…………………………………………………………………………………………………………………………..……..…146 Recomendaciones……………………………………………………………………………………………………………………..……..147 Referencias Bibliográficas…………………………………………………………………………………………………………..…….149 Bibliografía Consultada……………………………………………………………………………………………………………….……150 Anexos Programación dinámica de las soluciones. ……………………………………………………………….…………152.

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(10) Resumen En el presente trabajo se exponen un conjunto de aplicaciones y modelos formulados por EDOs que responden a problemas reales. Inicialmente se realiza un estudio de los pasos a seguir en cualquier proceso de modelación matemática y se propone una metodología que permita modelar con EDOs. Estos modelos expuestos se encuentran estructurados según la linealidad, orden, etc, de la ecuación o ecuaciones diferenciales involucradas siguiendo el orden de un curso básico de EDOs y permitiendo así construir un material de apoyo. Se proponen además una serie de ejercicios que responden a cada uno de los modelos propuestos y se estructuran por niveles de complejidad para así completar el estudio de esta importante rama de la matemática.. 1.

(11) Summary In the present work exposes a set of applications and models formulated by EDOs that responds to real problems. Initially a study of them is made step to follow in any process of mathematical modeling and a methodology sets out that allows to model with EDOs. These exposed models are structured according to the linearity, order, etc, of the equation or equations involved differentials following the order of a basic course of EDOs and thus allowing the construction of support material. A series to exercises sets out in addition that respond to each one of the models proposed and structured by complexity levels thus to complete the study of this important branch of the mathematic.. 2.

(12) Introducción. . as ecuaciones diferenciales facilitan extraordinariamente el análisis de relaciones entre funciones, y es tan vasto el campo de sus aplicaciones, que el lado práctico llega a tener tanta importancia. como el estudio puramente teórico. En las carreras de ingeniería, ciencias y en particular en la nuestra (incluyendo maestrías) se imparten cursos de ecuaciones diferenciales en los cuales el objetivo fundamental es el de resolución y modelación. Existen muchos libros dedicados a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, y aunque existen varios que también tratan aspectos de modelación la mayoría se enfocan en determinados problemas. Por ésto y por la falta de bibliografía suficiente en nuestro centro se decidió elaborar un material que tiene como objetivo proporcionar un conjunto de modelos y aplicaciones que sirvan de apoyo a la docencia para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas y que además contemple el uso de software profesionales. Para alcanzar este propósito el material ha sido escrito con los siguientes objetivos: 1. Demostrar como las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en las soluciones de variados tipos de problemas, en particular mostrar al estudiante: a) Traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales. b) Resolver la ecuación diferencial resultante sujeta a condiciones dadas. Inicialmente se resuelve el problema general usando la teoría propia o haciendo uso del software profesional. “Mathematica”, luego se le dan solución a los ejemplos ilustrativos propuestos. particularizando en la solución general ya vista; usando así uno de los principios didácticos “de lo general a lo particular”. c) Simular las soluciones obtenidas como una herramienta potente en la interpretación y comprobación de los resultados. 2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un mayor entendimiento de dicha signatura y se desarrolle un interés por el estudio y profundización de ésta. Esto se hace mediante “Ejemplos Ilustrativos de Motivación” y problemas para discusión. 3. Proporcionar al estudiante que desee investigar ideas o problemas mas complicados una oportunidad para que lo haga. Esto se logra al exponer una serie de modelos no tratados de forma habitual en la bibliografía y al ofrecer una serie de ejercicios ordenados en dificultad.. 3.

(13) Los ejercicios del Nivel A son en su mayoría fáciles y están concebidos para propósitos de práctica. Los ejercicios del Nivel B son de mayor originalidad y los ejercicios del Nivel C exigen un alto grado de originalidad y conocimiento, diseñados para desafiar al estudiante. El presente trabajo está dividido en tres capítulos: El Capítulo 1 “Las ecuaciones diferenciales como modelos de sistemas”, comienza con los aspectos mas relevantes que se deben tener en cuenta para modelar un problema con EDOs. Al final de éste se resumen aquellos principios más empleados que serán tratados en capítulos posteriores, para así guiar a los estudiantes en el estudio de los modelos tratados. En el Capítulo 2 se exponen aquellos modelos y aplicaciones que corresponden a EDOs de primer orden, separando estas en lineales y no lineales. Además como es conocido un mismo tipo de ecuación puede modelar varios fenómenos distintos por tal razón los modelos presentados se agrupan por la forma especifica que tienen las ecuaciones diferenciales que representan. El Capítulo 3 se dedica a presentar los modelos y aplicaciones correspondientes a EDOs de orden superior y se estructuran de la misma forma anteriormente dicha.. 4.

(14) Capítulo 1. Las ecuaciones diferenciales como modelos de sistemas. 1.1. Introducción ado que las ecuaciones diferenciales aparecen de modo natural como modelos matemáticos. . para analizar problemas del mundo físico, químico, biológico, etc., empezaremos dedicando unos párrafos a esta cuestión general muy importante. Hoy en día todo el mundo habla de modelos matemáticos. Aparecen por doquier. Lo curioso del. caso es que siempre han estado presentes en todas las ciencias que emplean las matemáticas. Pero en los últimos veinticinco años se ha reconocido la necesidad de dedicarles una atención específica en la enseñanza, habiéndose impartido muchos cursos sobre “Modelación Matemática”. Nos proponemos en este primer capítulo iniciar, la introducción de los primeros conceptos y técnicas de la modelización o construcción de modelos.. 1.2. Sobre el arte de Modelizar La primera de las etapas a la hora de abordar un problema “real” la constituye la modelización matemática. Modelizar matemáticamente un problema del mundo real significa aplicar conceptos, objetos y herramientas matemáticas que permitan expresar el mismo en el lenguaje simbólico propio de esta ciencia. Un modelo no es más que un conjunto de relaciones utilizado para representar y estudiar de forma simple y comprensible un objeto o fenómeno de la realidad. La experiencia muestra que obtener un modelo “correcto”, en los términos de los que nos ocuparemos más tarde, no es siempre una tarea fácil y de hecho puede equivaler a haber resuelto ya más de la mitad del problema. Existen algunos recursos para afrontar esa difícil tarea pero su carácter constructivo involucra inevitablemente otras componentes ligadas a la experiencia, intuición y sentido estético. Éstas son quizás las razones por la que numerosos autores se refieren a ese proceso como “el arte de modelizar”. No es difícil encontrar antecedentes del proceso de modelización. Aristóteles [1] afirmaba ya: “El hombre es el más mimético de todos los animales y gracias a ese mimetismo adquiere todos sus conocimientos”. 5.

(15) Ésta capacidad le lleva a intentar repetir con su cuerpo y en su mente el mundo exterior. Su oído y su garganta le permiten reproducir los sonidos. La dualidad repetición-retroacción es uno de los fundamentos del aprendizaje individual que se extiende más tarde por la dimensión social del hombre. Perrier [2] sugiere ver la capacidad innata de simulación del mundo exterior en las admirables danzas de caza de los pueblos llamados primitivos. En ellas ya hay una racionalización del proceso de extrapolación- generalización. Apunta este autor que uno de los problemas abiertos de la antropología (de la sociología y de la psicología) radica en justificar la “visión anticipada” de los hechos que con frecuencia se presenta en la conducta humana una vez que ha tomado conciencia de una situación. La pintura y la escultura son artes en los que no es difícil ver actitudes con muchos puntos comunes con las que se desarrollan en la modelización. ¿Como no ver en los impresionantemente bellos y precisos dibujos de los remolinos de agua de Leonardo da Vinci la esencia del espíritu científico observando una compleja realidad e intentando reproducirla para así comprenderla mejor? ¿Como no ver en la sonrisa de su Gioconda, o en tantas obras del Greco y de Goya, la representación materializada de un mundo interior inmaterial? ¿Cómo no asombrarse ante la genialidad de Velázquez para captar el sentido de la luz? Semánticamente la palabra “modelo” tiene una rica acepción. El Diccionario de la Real Academia de la Lengua, en su vigésima primera edición, le asigna hasta diez significados1. Además del que otorga al ámbito propiamente matemático, nos parece especialmente indicativo otro de ellos, el cuarto, en el que se le da el significado de “representación en pequeño de una cosa”. Esta acepción está más cercana de los llamados modelos icónicos de los que los mapas, las fotografías y las maquetas son excelentes ejemplos. El modelo matemático también se puede entender unido a esa idea de cambio de escala, aunque la escala aludida no sea la espacial sino la de la abstracción2. Pero además la modelización debe completarse con el proceso de la experimentación, para lo que es de gran utilidad la maqueta a pequeña a escala. El proceso de modelización es de naturaleza pluridisciplinar pues requiere un conocimiento del objeto a modelizar y una cierta experiencia en las técnicas matemáticas que hacen coherente un modelo. Con frecuencia este proceso es el fruto de la colaboración de matemáticos con otros científicos. Para. 1. Debemos fijar la atención en como la palabra “modelo” puede tener acepciones bien diferentes a la que utilizamos en el ámbito matemático. Así, por ejemplo, en pintura, el modelo es la persona que posa y no el cuadro en sí mismo que reproduce la realidad. Algo parecido ocurre también en el ámbito de la confección. Ambos casos corresponden a la décima acepción del Diccionario. 2. Un detallado y muy documentado análisis de la relación entre el modelo matemático y otros usos de esa palabra puede encontrarse en la monografía de Aris [3]. 6.

(16) comenzar el proceso de modelizar, un fenómeno o proceso, se deben fijar hipótesis, las cuales pueden ser conjeturas que simplifiquen o acoten el problema, por ejemplo si se estudia la evolución de la población de una especie animal, se puede suponer que la población habita en un ambiente donde abunda el alimento y que por lo tanto no hay competencia entre individuos de la misma especie. Luego se establecen las variables dependientes a estudiar, las variables independientes y parámetros del sistema. En este material trabajaremos generalmente con sistemas evolucionando en el tiempo, de aquí que en la mayoría de los problemas a resolver la variable independiente sea el tiempo. Los parámetros pueden ser constantes o variables y representan una característica propia del sistema, por ejemplo el valor de la resistencia en un circuito eléctrico, la cual puede ser constante o variable. Los principios básicos de las distintas ciencias conducen a una serie de ecuaciones. En muchos problemas, al traducir al lenguaje matemático las relaciones previamente establecidas entre variables y parámetros, se obtiene una ecuación diferencial. En los modelos de fenómenos físicos, términos como velocidad y aceleración pueden expresarse matemáticamente como la derivada primera y segunda respectivamente, de la función que describe el desplazamiento en el tiempo. En otros casos aparecen términos como “razón de cambio de...” o “tasa de crecimiento de...”, los cuales equivalen, en lenguaje matemático a derivadas. Además se obtienen unas condiciones auxiliares (información de lo que sucede en un tiempo inicial donde se estudia el fenómeno, etc.). La modelización puede necesitar grandes dosis creativas y ha marcado grandes avances de la ciencia. Es el arte de hallar el lenguaje matemático subyacente en el universo que nos preconizaba Galileo. Más tarde nos referiremos a otros ejemplos en los que la modelización alcanza una gran finura matemática. El modelo matemático se introduce como “prototipo”, bajo unas simplificaciones necesarias. Según la naturaleza de las simplificaciones supuestas se puede obtener una familia de modelos susceptibles de ser ordenados jerárquicamente según su distinta complejidad. Esa jerarquía aparece, por ejemplo, si al estudiar una variable física, como la temperatura de un medio continuo, la suponemos homogénea espacialmente, es decir constante para todos los puntos, o por el contrario la suponemos distribuida espacialmente, es decir variando de un punto a otro del medio continuo. En el primer caso obtendremos un modelo dado por una ecuación diferencial ordinaria; en el segundo el modelo será notablemente más complicado por contener una ecuación en derivadas parciales. A su vez, esos modelos admiten varias subjerarquías según que nos interese la evolución en el tiempo o no. Los primeros son denominados modelos en régimen transitorio, o modelos de evolución, y los segundos modelos de equilibrio, o modelos estacionarios. Todos los modelos aludidos anteriormente son llamados modelos continuos dado que las incógnitas en estudio están definidas con continuidad. Su 7.

(17) aproximación numérica conduce inevitablemente a modelos discretos dados por ecuaciones en diferencias. Los modelos antes mencionados responden a un cierto tipo genérico. Son los llamados modelos directos pues su planteamiento presupone conocidos todos los datos del problema y su solución es la incógnita a determinar. Pero volvamos a la descripción genérica de la tarea de la modelización. El modelo nunca es “idéntico” al objeto en consideración, no podremos obtener de él todas las propiedades y particularidades del objeto de partida. Al modelizarlo se obtiene su reflejo aproximado, por lo que las consecuencias derivadas solo pueden tener un valor aproximativo. La exactitud de esas consecuencias depende, íntimamente, de las simplificaciones realizadas inicialmente y ha de ser necesariamente contrastada: es la etapa de validación a la que nos referiremos más tarde. Las simplificaciones introducidas son claramente función de los objetivos que se desea alcanzar. La jerarquía de los modelos que aproximan a un objeto, o a un fenómeno, suele partir de la “sana” filosofía que aconseja proceder de lo sencillo a lo complicado. La necesidad de revisar un modelo inicialmente aceptado puede venir motivada por diferentes razones: las respuestas obtenidas de modelos sencillos pueden ser extremadamente vagas y se desean respuestas más precisas, o bien porque se posea una nueva información sobre el objeto y ésta no se derive del modelo inicial, o bien porque se tenga interés en ciertos valores de los parámetros que queden fuera de la aplicabilidad del modelo de partida, etc. La construcción de un nuevo modelo suele apoyarse en la experiencia obtenida del modelo jerárquicamente anterior y a menudo, el proceso de desarrollo y mejora del modelo se repite varias veces. Jerarquías de modelos se presentan en numerosos campos de la ciencia3. La revisión de un modelo no tiene por que ir, necesariamente, en la dirección de aumentar su complejidad o aumentar el número de parámetros y variables. A veces el modelo de partida es muy complejo y lo que interesa es obtener alguna información orientadora, aunque sea al precio de considerar únicamente algún caso particular relevante que corresponda a una cierta simplificación. Una primera herramienta para “despreciar” alguno de los términos que aparecen en una complicada ecuación es el análisis de los órdenes de magnitud de cada uno de los términos en función de las unidades características que aparecen en el problema. Para ello se introducen cambios de variables que pasan el problema a su formulación adimensional haciendo aparecer una serie de parámetros. De esta manera ya no hablaremos de un medio concreto asociado a una geometría particular sino de un caso universal que, recuperadas las magnitudes con sus dimensiones, lleva a una aplicación concreta. El 3. Exposiciones detalladas ilustrando esa filosofía se pueden encontrar, por ejemplo, en Aris [3], Denn [4] y Liñan [5], quienes lo ilustran mediante problemas de ingeniería química y de combustión, y Henderson-Sellers y McGuffie [6], quienes abordan diversos modelos climáticos. 8.

(18) análisis dimensional, cuyos orígenes se remontan ya a J. B. Fourier, conduce a la búsqueda de soluciones auto semejantes, válidos frente a adecuados cambios de escala en todas las magnitudes. Otro género de problemas, en el que el reduccionismo es fundamental, de gran relevancia actual, tanto por sus aplicaciones como por la riqueza de las técnicas matemáticas desarrolladas, nace de la conexión entre fenómenos microscópicos y macroscópicos. Problemas de esta naturaleza aparecen en el estudio de “nuevos materiales” (los llamados materiales compuestos) de gran interés por sus propiedades elásticas, térmicas, magnéticas y acústicas; en filtración de fluídos en medios porosos, etc. De nuevo, el proceso de modelización dista de ser una operación rutinaria. Lo que ahora se pretende obtener son unas leyes homogeneizadas para un objeto “virtual”, que por un lado tengan en cuenta las características del enorme número de sus componentes elementales pero que sea “manejable” y no precise distinguir entre los distintos puntos del objeto global. Las técnicas empleadas en estos procesos, tales como las de homogeneización (o desarrollos “en dos escalas”), de promedios y otras, forman parte del llamado análisis asintótico: el número de componentes es tan elevado que la modelización se realiza suponiendo que tal número crece hasta infinito. El proceso de formulación matemática culmina cuando el modelo contiene “implícitamente” la información buscada: algo que se dilucida mediante otro tipo de técnicas matemáticas que detallaremos en la siguiente sección.. 1.2.1. Análisis matemático del modelo El tratamiento matemático de un modelo pretende deducir de éste una serie de propiedades cuantitativas y cualitativas. En primer lugar, esas propiedades deben justificar, de manera simple, las observaciones y medidas realizadas sobre el “sistema” modelado, ya sea un objeto o un fenómeno. Pero además, y más importante aún, deben conducir a informaciones complementarias prediciendo posibles comportamientos del sistema. Las importantes limitaciones a la hora de encontrar soluciones explícitas a las ecuaciones de los modelos han estado presentes en las mentes de los matemáticos desde antes de Newton. Una de las principales razones de esas limitaciones, aunque no la única, radica en el carácter no lineal de la inmensa mayoría de los modelos relevantes en las aplicaciones. Relaciones no lineales, aparecen ya en las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. No lineal es la ley de gravitación universal de Newton que conduce a la modelización del movimiento de esos planetas. Tampoco era muy extraño para ellos el hecho de que si las variaciones de las magnitudes modeladas eran pequeñas se podía reemplazar los términos no lineales por otros lineales, obteniéndose respuestas 9.

(19) satisfactorias. El proceso de linealización es bien antiguo en la historia de las matemáticas. Hoy día es bien conocido que la estructura lineal de las ecuaciones puede conducir a su resolución mediante formulas explícitas de las soluciones. El comienzo de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias estuvo unido a la búsqueda de la “solución general por cuadraturas”, de lo que se ocuparon Euler, Ricatti, Lagrange, D’Alembert y muchos otros. El desarrollo de la teoría de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes tuvo una gran influencia en el del algebra lineal. Un resultado que contenía un importante mensaje premonitorio sobre las limitaciones de ese modo de enfrentarse a las ecuaciones vino de Liouville, quien, en 1841, mostró que mediante un sencillo cambio de variable las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (las más relevantes en las aplicaciones) se transformaban en otras no lineales, denominadas de Ricatti, que, en general, no podían ser resueltas por “cuadraturas”. La entrada en escena, a mediados de este siglo, de los potentes ordenadores abre unas posibilidades impensables para aquellos matemáticos gloriosos. Las informaciones cuantitativas, tan soñadas por Fourier, ya están al alcance de nuestra mano. Pero todo esto no se obtiene gratis. Hacen falta algoritmos que guíen al ordenador, y esos algoritmos son solo ilusiones, “castillos en el aire”, si no se tiene la certeza de que nuestro modelo admite solución. El capítulo de la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales no posee una sana reputación entre los ingenieros o los científicos que cultivan otras disciplinas. En honor a la verdad, es algo bien ganado a pulso, pues numerosos especialistas de épocas pasadas, e incluso recientes, han visto en este tipo de resultados un mundo sin fin en el que ninguna otra respuesta matemática podía hacerle sombra. Esto obviamente no es así si lo que uno tiene en mente es una matemática del mundo en conexión con el exterior al mundo de las matemáticas. En todo caso, es justo “dar al César lo que es del César”. Si bien los teoremas de existencia de soluciones no son más que la primera de las muchas etapas que debe acarrear el tratamiento matemático de un modelo, es también obvio que un teorema demostrando la no existencia de soluciones para una ecuación representa su “lápida mortuoria”, al menos para el rango de valores de los parámetros y exponentes de los términos no lineales para el que no hay existencia de soluciones. Lo que quizás ignoren muchos de los ingenieros y científicos es que existen muchas ecuaciones, con apariencia inocente, para las que se conoce que no admiten solución. Una gran parte de esas ecuaciones corresponden a ciertas elecciones particulares de los parámetros, de los exponentes de los términos no lineales de las condiciones de contorno o de las condiciones iniciales, en las ecuaciones genéricas que aparecen en problemas relevantes en las aplicaciones. Pero, ¿hay un único sentido para asignar la palabra solución a una ecuación? Es muy indicativo que habiendo comenzado esta vieja polémica a mediados del siglo XVIII tenga aún una vibrante actualidad. 10.

(20) Una vez mostrado que existe al menos una función que verifica nuestro modelo, al menos en algún sentido adecuado, cabe preguntarse cuántos de esos objetos existen. En realidad, el estudio de la unicidad o multiplicidad de soluciones es un capítulo independiente del de la existencia, pues las técnicas involucradas son de diferente naturaleza. De hecho, en el ámbito de las ecuaciones no lineales, este último estudio no suele admitir métodos generales, siendo necesario analizar las peculiaridades que se presentan en cada ecuación. En los problemas de evolución, la unicidad de soluciones suele obedecer a la propia presencia del término de la derivada temporal. El estudio de la existencia y unicidad (o multiplicidad) de las soluciones de un modelo dista mucho de agotar su tratamiento matemático. Así, por ejemplo, si el modelo es evolutivo es de gran importancia analizar el paso a régimen permanente o estacionario. Esta es una investigación capital en la moderna teoría de los sistemas dinámicos, desarrollada a partir de los trabajos de Poincaré y que ha cobrado una gran actualidad con el estudio de la formación de caos. Muchas otras propiedades cualitativas son también objeto del análisis matemático del modelo.. 1.2.2. Tratamiento numérico: Simulación y Validación Para obtener la información inicialmente requerida de los modelos matemáticos es preciso terminar presentando repuestas cuantificadas. El objetivo del análisis numérico es exactamente ése: el estudio de algoritmos para los problemas de la matemática continua. Esos algoritmos son procesos infinitos convergentes a alguna de las soluciones. Los algoritmos han de ser constructivos y al detener los cálculos en distintas etapas obtendremos diferentes aproximaciones de la solución en cuestión. Un algoritmo convergente suministra un teorema de existencia de soluciones alternativo al que pueda encontrarse por otros métodos no constructivos. A la hora de evaluar la eficacia de los métodos numéricos hay que tener en cuenta su universalidad, la sencillez de la organización del proceso de cálculo y del control de la exactitud, y, por último, la velocidad de convergencia. El afán de culminar el tratamiento matemático con cálculos aproximativos estaba ya presente en Euler, Lagrange, Gauss y tantos otros matemáticos de épocas pasadas. Los algoritmos requerían grandes cálculos incluso aun simplificando la formulación de los modelos. La trascendente aportación de los ordenadores consiste en proporcionar esa enorme capacidad de cálculo que permite aplicar sofisticados algoritmos para modelos muy complejos. El análisis numérico se extendía así al Cálculo Científico, esto es, a la utilización del ordenador como herramienta de trabajo en cualquier disciplina científica. 11.

(21) La posibilidad de representar sobre una pantalla los resultados suministrados por los modelos matemáticos es un elemento de gran importancia. La visualización de los resultados numéricos nos sumerge en una especie de realidad virtual que nos puede permitir una experimentación difícil o costosa y a veces imposible de llevar a cabo sobre el proceso real (caso de problemas en medio ambiente, economía, astrofísica etc.). Se puede observar como varían las soluciones, en qué región espacial ocurre algún fenómeno interesante. Se puede utilizar distintos colores para visualizar los valores de variables complicadas, se puede cambiar de sistema de referencia, utilizar el “zoom”, simular dinámicamente los movimientos. Las posibilidades de aplicaciones científicas e industriales son inmensas. En esa realidad virtual es fácil observar los cambios originados por modificaciones de los parámetros o de los datos. La simulación mediante ordenador permite explorar a gran velocidad la compatibilidad entre el comportamiento de un gran número de partes y el comportamiento del todo que las integra. La simulación puede nutrirse indistintamente de la teoría o de la experiencia. En el primer caso, el resultado puede poner de manifiesto una incompatibilidad con la realidad y entonces juega el papel reservado históricamente a las experiencias. En el segundo caso, si la simulación se nutre de datos experimentales el resultado ofrece predicciones de la globalidad o confirma la viabilidad de las individuales y esto puede significar la propuesta de nuevas experiencias. En ese caso la simulación juega el papel histórico de la teoría. Una etapa que no siempre recibe la atención que se merece en el mundo académico se refiere a la validación. Se hace poco menos que imprescindible estudiar las condiciones de aplicabilidad de los modelos, confrontando los resultados matemáticos obtenidos con el conocimiento accesible por otros métodos: soluciones exactas en casos particulares, tratamiento analítico, mediciones experimentales etc. Resulta curioso observar que ese contraste entre resultados de la mente y la realidad está a veces más presente en la obra de pensadores filosóficos que la de los propios científicos. Ortega y Gasset escribe en [7] lo siguiente: …Entonces es cuando salimos se nuestra soledad imaginativa, de nuestra mente pura y aislada, y comparamos esos hechos que la realidad imaginada por nosotros produciría con los hechos efectivos que nos rodean. Si casan unos con otros es que hemos descifrado el jeroglífico, que hemos descubierto la realidad que los hechos cubrían y arcaizaban… Ese jeroglífico al que se refiere Ortega, es tan complejo que nuestra “modesta” declaración de objetivos es la que debe servir para dar como adecuados o insuficientes los resultados obtenidos. A veces, el modelo es el adecuado, pero es necesario ajustar los parámetros que intervienen en él. Otras veces, se hace imprescindible acudir a otros modelos de la jerarquía correspondientes a una mayor complejidad. Aparecen dificultades en esa tarea. No siempre es posible tener acceso ni multiplicar las mediciones. Es el caso de modelos de aplicación en astrofísica, economía, medicina y muchas otras ciencias. La 12.

(22) validación se analiza, en esos casos, confrontando los resultados particularizados a submodelos en los que es posible disponer de mediciones experimentales.. 1.2.3. Predicción y Control La predicción y el control pueden ser entendidos como la culminación del largo proceso descrito anteriormente. Ya nos hemos referido a la primera motivación de ése tipo de matemáticas: comprender el mundo. Otra motivación es intentar controlarlo. En otras ciencias alguna de esas dos motivaciones puede predominar sobre la otra: en cosmología lo hace la primera, en medicina la segunda. Una vez más dos actitudes pueden presentarse como antagonistas. Esto no es así en el caso de las matemáticas del mundo. La previsión, fruto de la predicción y el control, es considerada por muchos cómo el máximo baremo del desarrollo. Incluso los efectos de las ingobernables catástrofes naturales pueden ser, en algún modo, amortiguados. Un terremoto de grado moderado provoca normalmente una inmensa cifra de muertos en la paupérrima Armenia. En Tokio, esa misma fuerza sísmica no suele pasar de ser un susto. La cuestión de cómo actuar sobre los sistemas para alcanzar estrategias deseadas es el objeto de la optimización y de la teoría de control. Son parcelas en un rápido progreso por la creativa interacción de matemáticos, ingenieros y especialistas de ciencias de la computación. La necesidad de controlar un sistema o un proceso se manifiesta en muchas áreas de la actividad humana, desde la tecnología a la medicina y la economía. Los ingredientes básicos de la teoría de control son: un modelo o ecuación de estado, unas variables o acciones posibles y unos criterios que se intentan optimizar. Comenzando con los primeros resultados matemáticos sobre control óptimo de sistemas diferenciales lineales de los años cincuenta y sesenta, la teoría de control ha crecido enormemente en numerosas direcciones alcanzando incluso a los más complejos modelos no lineales. Así el control de la turbulencia es uno de los problemas centrales que esperan aún una respuesta matemática satisfactoria. Las cuestiones matemáticas abordadas encierran una gran dificultad pues exigen la utilización de técnicas de muchos otros campos. Es como si nos enfrentásemos a unas pruebas de decatlón o si como si se tratase de componer un concierto, no ya para un instrumento, ni para un cuarteto de cámara, sino para una gran orquesta. Además de su papel fundamental en la elaboración de previsiones y actuaciones, la teoría de control es un área de integración en la que las barreras de comunicación entre científicos e ingenieros han de ser necesariamente superadas.. 13.

(23) 1.2.4. Resumen del Proceso de Modelización. La formulación de un modelo matemático (que implica una ecuación diferencial) consta de las siguientes fases [8]:  Identificar las variables que causan el fenómeno. Puede ocurrir que algunas variables no se tengan en cuenta si se quiere simplificar el modelo.  Se establecen las hipótesis que tiene que cumplir el fenómeno.  Se plantea la ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.  Resolver la ecuación diferencial.  Comprobar que el modelo es razonable con los hechos conocidos del fenómeno.  Si las predicciones son deficientes, podemos aumentar el número de variables a tener en cuenta o mejorar las hipótesis.  Repetir los pasos anteriores hasta obtener unas predicciones aceptables.. 1. Definir variables dependientes, variables independientes y parámetros. 2. Establecer Hipótesis 3. Establecer relaciones entre las variables. Problema del mundo real. Modelo Matemático Formular. Probar. Resolver. Predicciones sobre el mundo real. Conclusiones Matemáticas Interpretar Figura 1: El proceso de modelización. 14.

(24) 1.3. Objetivos y Resumen de principios empleados. Según diferentes expertos se sugiere que en el aprendizaje del modelado se deben de considerar los siguientes objetivos [9]: Encauzar a los estudiantes en que el entendimiento del mundo físico se da por la construcción y uso de modelos científicos para describir, explicar, predecir, diseñar y controlar fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. Proveerse con herramientas básicas conceptuales para modelar objetos físicos y procesos, especialmente herramientas conceptuales matemáticas, y representaciones gráficas y diagramáticas. Familiarizarse con un “pequeño” conjunto de modelos básicos que representan el contenido “núcleo” de diferentes ramas de la vida. Atender el análisis sobre la estructura del conocimiento científico para examinar como los modelos encajan en las teorías. Comprender como el conocimiento científico es validado y aplicar ese conocimiento para evaluar los modelos contrastando lo predicho con los datos empíricos. Desarrollar habilidades en todos los aspectos del modelado considerando que éste es el núcleo del conocimiento científico. Partiendo de estos objetivos, se estudiará la forma de análisis de un conjunto de modelos básicos.. Resumen de principios empleados en los diferentes modelos. Al analizar la bibliografía y conjuntos de problemas resueltos y propuestos se pueden localizar los siguientes principios:. 1. Proporcionalidad directa entre la variación y la cantidad presente. :. Este principio está presente en toda situación de crecimiento o decrecimiento, en la que la cantidad presente de una sustancia, población, objetos, etc.; provoca que la misma sustancia crezca a una velocidad que crece si la cantidad presente crece y de igual manera a la inversa, si la cantidad presente decrece la velocidad de decrecimiento decrece en una misma proporción. Ejemplos de este principio se dan de manera general en: Tamaño y velocidad de crecimiento de una población. Cantidad presente de una sustancia radioactiva y su velocidad de descomposición. 15.

(25) El capital P en una inversión con una tasa de interés. , luego. .. 2. Proporcionalidad inversa entre la variación y la cantidad presente Principio que se emplea cuando se observa que la cantidad presente de una sustancia, población u objetos, provoca que entre más grande sea más lentamente crece y a la inversa cuando la cantidad presente es muy pequeña la velocidad de crecimiento es más grande. Ejemplos de este principio se pueden observar de manera general en: La generación de productos en una reacción química. Entre más se reduce el desperdicio en un proceso industrial más difícil resulta seguirlo disminuyendo.. 3. Proporcionalidad directa entre la velocidad de la variación y la diferencia entre la cantidad presente y la inicial. –. :. Este principio se puede observar por ejemplo en la ley del enfriamiento de Newton que establece que la temperatura de un cuerpo caliente decrece (o a la inversa un cuerpo frío se calienta) en proporción directa a la diferencia entre la temperatura actual y la temperatura ambiente.. 4. Proporcionalidad directa entre la variación de una variable o la variable misma y otra diferente: Normalmente esta proporcionalidad se expresa mediante Leyes físicas, por ejemplo podemos tener: Segunda Ley de Newton en cualquiera de sus versiones:. ,. .. Amortiguamiento viscoso: la Fuerza que se opone a desplazamiento de un cuerpo es proporcionalidad a la velocidad que presenta. .. Variación de la cantidad de movimiento (otra versión de la 2ª Ley de Newton) Ley de Hooke: La fuerza de deformación en un resorte es proporcional a su deformación:. . .. La energía potencial de un cuerpo es proporcional a su masa y a su distancia al nivel de referencia:. Si una variable es proporcional a otra se tiene que variación del otro respecto de una variable común. luego la variación de una es proporcional a la .. Principio de flotación – Ley de Arquímedes – la fuerza de empuje que recibe un cuerpo al sumergirse en un líquido es igual al peso del volumen del líquido desplazado:. , donde es la densidad del fluido. y V es el volumen desplazado.. 16.

(26) Deflexión en vigas: recta original) y. . Donde y es la flecha (deformación de la viga respecto de su forma es la distribución de fuerzas perpendiculares al eje recto de la viga, E es el módulo. de Young del material e I el momento de Inercia de la sección de la viga.. 5. Proporcionalidad directa entre una variable y una función de otra variable: Si una variable es proporcional a una función de otra se tiene. , luego la variación de A. respecto de la misma variable es proporcional a la variación de f, esto es Por ejemplo considera la expresión escalar para el trabajo:. . –. , luego. La energía Cinética es proporcional a la velocidad al cuadrado del móvil: Ley de Torricelli:. –. .. .. , la velocidad con que se vacía un tanque es proporcional a la altura de. la columna de líquido por encima del orificio. Más específicamente la velocidad de salida del fluido por un orificio corresponde a la velocidad de caída libre. ,donde. es la altura de la columna de. líquido por encima del orificio. –. Ecuación logística:. .. Caída de potencial V (en Voltios) en un elemento de un circuito: resistencia medida en Ohms e. , donde. la corriente en el circuito en Amperios.. potencial en una bobina (inductancia en Henrios). capacitancia en Faradios, además. , es la caída de. , donde q es la carga en Coulomb y C es la. . Ley de Kirchhoff en una malla “la suma de las caídas de. potencial en el circuito es igual a el voltaje de la fuente”: Difusión de la energía a través de un muro:. es el valor de una. –. . , donde Q es el calor difundido en. ,. A es el área de la cara perpendicular al flujo en cm2, T es la temperatura a x cm de la cara y k es la conductividad del material.. 6. Conversión de una Ley física a problemas de variación. Cualquier ley física se puede convertir en una ecuación diferencial si una variable se puede hacer variar en términos de otra presente en la misma ley, o dos variables presentes varían respecto de otra ajena a la ley. Por ejemplo considere la Ley de Coulomb en. , podrá ser convertida a. o bien. .. Otro caso muy similar en estructura lo representa la Ley de la Gravitación Universal. .. 7. Consideración de elementos diferenciales.. 17.

(27) En lo general un elemento diferencial proviene de la definición de derivada ya que. , luego. . Por ejemplo la definición de área de una superficie rectangular plana será constante un elemento diferencial de área será. , luego para una base. .. Un elemento diferencial de arco de una curva será. .. Elemento diferencial de volumen de un prisma de sección fija A:. .. 8. Concentración de una sustancia x en una mezcla de la sustancia x y otra sustancia z. Resulta típica en problemas de mezclas de sustancias químicas, para lo que la concentración sustancia x en la mezcla es:. de la. donde x y z corresponde con la cantidad en masa, peso o. volumen de las sustancias.. 9. Gasto o flujo en una tubería u orificio. El gasto. o cantidad de fluido que circula sobre una tubería de área seccional A corresponde a. ,. donde v es la velocidad del fluido. Esto es, el volumen que circula por una sección de la tubería en el tiempo. , es. , ya que. .. 10. Tasas de cambio o Ley del equilibrio. Lo que entra menos lo que sale corresponde a la variación total, luego las velocidad de variación o tasa de cambio total será tasa de cambio = tasa de entrada – tasa de salida, o bien. –. .. Que no es otra que la propiedad aditiva de la derivada, y se emplea de manera común en problemas de flujo.. 11. Aplicación de la regla de la cadena. Se aplica para convertir expresiones diferenciales en una variable a otra, por ejemplo consideremos la 2ª Ley de Newton. o finalmente. .. 12. Simplificación por condiciones límite. Se genera una condición ideal bajo una condición límite cuando una variable se hace tender a algún valor específico (al cero es un caso muy común) o bien se considera infinita. Por ejemplo la expresión , siempre que que. , lo cual es una simplificación enorme y es equivalente a afirmar. es casi a, si x es pequeña. Un caso muy importante que se puede considerar es para valores pequeños de α. 18.

(28) 13. Principios económicos La demanda de un artículo es una función de su precio actual y de la variación del precio a lo largo del tiempo.. , f se llama función de la demanda.. 14. Curvas ortogonales. Dos curvas son ortogonales en un punto si f’(x) = – 1/g’(x).. En donde f’(x) y g’(x) son las pendientes de. las tangentes a las curvas en el punto común x.. 15. Principios geométricos que involucran a la derivada. En algunos problemas geométricos se pueden considerar los elementos de la construcción siguiente: La ecuación de la recta tangente en el punto en el mismo punto es. –. –. es. –. –. , de donde la recta normal. – ). –. Los segmentos intersecados en los ejes x e y por la tangente son respectivamente –. . Mientras los segmentos intersecados por la normal son. La longitud de los segmentos sobre la tangente desde el punto son:. ;. ;. ; .. hasta el eje x e y respectivamente. .. Mientras los segmentos correspondientes para la normal son: Las longitudes de la subtangente y la subnormal son. ; .. 19.

(29) Capítulo 2: Modelos y Aplicaciones de EDOs de Primer Orden.. . as ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden representan las ecuaciones diferenciales más sencillas pues en ellas aparecen solamente la primera derivada. Por tanto todo curso básico. de EDOs comienza por éste tema. En este capítulo expondremos una serie de aplicaciones que pueden ser modeladas por este tipo de ecuaciones.. 2.1. EDOs lineales de primer orden. 2.1.1. Ecuaciones de la forma ¿Qué forma tienen las soluciones? Consideremos la ecuación diferencial (2.1.1.1) En primer lugar debemos considerar la condición inicial pues la función. no evolucionará igual si la. condición inicial es una u otra .Al problema de hallar la o las soluciones de la ecuación (2.1.1.1) sabiendo que. se le llama problema de condiciones iniciales (problema de Cauchy) para la ecuación. (2.1.1.1), y lo escribimos de la siguiente forma:. Cálculo analítico de las soluciones Integrando la ecuación (2.1.1.1) encontramos (2.1.1.3) que aplicando la condición. se puede expresar en la forma. (2.1.1.4) Estas soluciones representan una familia de rectas donde si. dicha recta es creciente y si. decreciente. La función. obtenida se llama solución del problema de condición inicial y también solución. particular de la ecuación diferencial. El conjunto de funciones. se llama solución general. 20.

(30) de la ecuación diferencial (2.1.1.1) porque podemos usarla para encontrar cada solución particular correspondiente a cualquier problema de condición inicial. En el Anexo 1.1 podemos ver la solución que ofrece el “Mathematica” y su simulación dinámica donde podemos variar los parámetros. en un intervalo dado.. 2.1.1.1. Caída libre El tema de la física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo físico. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada dinámica. Las leyes del movimiento de Newton, conocidas por los estudiantes en física elemental, forman la base fundamental para su estudio. Resulta, sin embargo, que para los objetos que se mueven muy rápido (por ejemplo cerca a la velocidad de la luz, 186 000 millas por segundo) no podemos usar las leyes de Newton. En vez debemos usar una versión revisada de estas leyes, desarrolladas por Einstein y conocidas como mecánica relativista, o mecánica de la relatividad. Para objetos de dimensiones atómicas, las leyes de Newton tampoco son válidas. De hecho para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes estudiadas en un tema conocido como mecánica cuántica. Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontramos en nuestra vida diaria, objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones atómicas, no necesitamos mecánica cuántica o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en éstos casos. Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Una masa de. gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad partiendo del. reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire establezca la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y resuélvala.. Fundamento Teórico. Leyes de Newton: Las tres leyes de Newton permiten resolver muchos de los problemas de la Mecánica Clásica (de los cuerpos rígidos), dichas leyes pueden ser enunciadas: 1ª Ley: Un cuerpo en estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, no modifica dicho estado a menos que exista una fuerza externa (resultante) no nula actuando sobre él. Esta Ley es la base de las ecuaciones de la estática y se modela con. 21.