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MTRA. ANA MARCELA CASTELLANOS GUZMÁN DIRECTORA DE GESTIÓN ESCOLAR
UNIVERSIDAD LA SALLE P R E S E N T E
Le informo que el (la) C.
Ciudad de México a 04 de abril de 2022
DIEGO ARMANDO CID GARCÍA
Egresada(o) de la Facultad de Negocios
de la UNIVERSIDAD LA SALLE, de la Licenciatura en:
ACTUARÍA
Con reconocimiento de validez oficial de estudios de la Secretaria de Educación Pública Según Decreto Presidencial de fecha 29 de mayo de 1987.
Ha elaborado la tesis titulada: "DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA CALCULADORA FINANCIERA EN VISUAL BASIC FOR APPLICATIONS (VBA)."
De conformidad con la modalidad para la obtención de título aprobada para esta Licenciatura de acuerdo a lo establecido en el Reglamento General de las Universidades La Salle Integrantes del Sistema Educativo de las Universidades la Salle.
Cumplió con todos los requisitos y el trabajo que fue elaborado bajo la conducción del Dr. Héctor Hugo Corrales Sánchez quien fungió como asesor, tiene la calidad suficiente para ser la base de sustentación de su Examen Profesional por lo qu
Benjamín Franklin No. 45, Col. Condesa, Ale. Cuauhtémoc, Ciudad de México. CP 06140 ¡ soo LA SALLE (5272 553) (52) 55 5278 9500 lasalle.mx
A Dios, por mostrarme el camino y guiar mis pasos A mis padres y mejores maestros, Román y Lupita, por su amor, cariño, apoyo y por las lecciones que acordamos juntos para esta vida A mi hermano y gran compañero, Betito, por caminar conmigo y apoyarme para lograr este sueño A mi abuelo Armando García Portillo, Manito por su gran cariño y apoyo incondicional A Lupe y Elvi, por guiar mis pasos, por su bondad y por respaldarme en todo momento A Lau, por acompañarme y ayudarme a ver las cosas con claridad y paciencia A mis profesores, por todo lo que aprendí de ellos y por lo que cambiaron en mi Al Prof. Ezequiel García, por haberme instruido con herramientas valiosas para mi futuro Al Dr. Lucio Tazzer, por impulsar mi desarrollo personal y profesional cuando más lo necesitaba A la Mtra. Vanessa Salazar, por su consejo, comprensión y amistad A Huguito, mi maestro, asesor y amigo por compartir conmigo su conocimiento y guiarme para hacer de este proyecto una realidad A La Salle, por todas las experiencias que ahí he encontrado A mis amigos, por formar parte de mis alegrías A esas personas maravillosas que conoceré, por aquello que nos unirá A ti, lector, por tomar como referencia esta herramienta A quienes también me ayudaron a hacer esto posible y que están presentes en mi mente y en mi corazón,
¡Gracias!
Y por cierto, gracias infinitas a Dieguito, pues su curiosidad, intuición y valentía le llevan siempre a aventurarse en los caminos adecuados...
“El ojo que siente y que piensa detrás de los párpados cerrados, el ojo separado del cuerpo, fundido con el espacio, ve todo sin ver nada.
El champiñón habla.”
HOMERO ARIDJIS CARNE DE DIOS
Introducción
Los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) son un conjunto de 17 propósitos globales establecidos en 2015 por la Asamblea General de las Naciones Unidas (NU) para “hacer realidad los derechos humanos de todas las personas” (Naciones Unidas, 2015). A la par, se establecieron metas específicas para cada uno de los objetivos, las cuales son fundamentales para lograr los ODS y por lo tanto, deben alcanzarse antes de 2030, año límite de la actual agenda de desarrollo sostenible de las NU. Los ODS y las metas específicas asociadas conjugan las tres dimensiones del desarrollo sostenible: económica, social y ambiental y buscan estimular las acciones que cada uno de los estados asociados, como principales responsables del desarrollo de su nación, deben implementar para lograr un desarrollo sostenible (Naciones Unidas, 2015).
Entre las más de 200 metas específicas la inclusión financiera tiene un lugar prominente, ya que figura en 8 de los 17 ODS: fin de la pobreza (ODS1), hambre cero (ODS2), salud y bienestar (ODS3), igualdad de género (ODS5), trabajo decente y crecimiento económico (ODS8), industria, innovación e infraestructura (ODS9), reducción de la desigualdad (ODS10) y alianzas para lograr los objetivos (ODS17) (Fondo de las Naciones Unidas para el Desarrollo del Capital, 2021). Pero, ¿qué es la inclusión financiera?
La inclusión financiera se define como el acceso y uso de servicios financieros formales por las personas que conforman una población. Estos servicios deben estar bajo una regulación apropiada que garantice esquemas de protección al consumidor y promueva la educación financiera (Instituto Nacional de Estadística y Geografía, 2018). A su vez, la educación financiera es el conjunto de aptitudes, habilidades, conocimientos y actitudes que permiten administrar y planear las finanzas personales, usar de manera óptima los productos y servicios que ofrece el sistema financiero, de tal manera que el usuario comprenda los riesgos, beneficios, derechos y obligaciones que adquiere al contratar un producto o servicio financiero (Instituto Nacional de Estadística y Geografía, 2018).
Así, la inclusión financiera no consiste sólo en usar o tener acceso a servicios financieros. También debe existir un marco legal de protección al usuario y que éste a su vez conozca las ventajas y desventajas de los productos o servicios que pretenda contratar. Es importante tener en consideración que los productos y servicios financieros no se limitan al uso de una cuenta de ahorro o de una tarjeta de crédito; los seguros, las afores y los créditos hipotecarios (por mencionar sólo algunos) son también productos cuyo buen o mal manejo tiene una gran repercusión en las finanzas personales. De hecho, diversos estudios han demostrado que la inclusión y la educación financiera promueven el crecimiento económico, la estabilidad de los sistemas financieros, un mayor ahorro en la población e incluso mejoran las finanzas gubernamentales (Fondo de las Naciones Unidas para el Desarrollo del Capital, 2021; United Nations Secretary-General’s Special Advocate for Inclusive Finance for Development, 2018; El-Zoghbi, 2016).
formación básica en la materia (Oficina de Información Científica y Tecnológica para el Congreso de la Unión, 2018). A pesar de la importancia que tiene para la población en general conocer, al menos, conceptos básicos como inflación y tasa de interés, ninguno de estos temas está incluido en el diseño curricular de los progra- mas de educación básica o media superior oficiales (Secretaría de Educación Pública, 2017a; Secretaría de Educación Pública, 2017b). Sin embargo, el Estado, a través de la Comisión Nacional para Protección y De- fensa de los Usuarios de Servicios Financieros (CONDUSEF), ha impulsado diversas acciones orientadas a sensibilizar a la población sobre la importancia que tiene la educación financiera (Comisión Nacional para Pro- tección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros, 2021, 1 de Feb). Así mismo, muchas empresas del ramo ofrecen contenidos gratuitos en Internet con elementos simples de educación financiera en temas como inversiones, afores, créditos hipotecarios, uso de banca electrónica y contratación de seguros (Grupo Financiero BBVA México, 2021; Grupo Financiero Banamex, 2021; Grupo Financiero Banorte, 2021; Grupo de Inversiones Suramericana, 2021; Grupo BMV, 2021).
Entre estos contenidos disponibles en línea, es fácil encontrar un común denominador: la ausencia de contenidos de Matemáticas financieras. En las esferas económicas y financieras, éstas han jugado un papel importante pues constituyen las bases teóricas para determinar y comprender los movimientos del dinero a través del tiempo (Alhabeeb, 2012). Esta rama de las Matemáticas aborda problemas tan sencillos como el cálculo del interés generado por una inversión o un préstamo y temas de vanguardia como los son la valuación de opciones y derivados (Petters y Dong, 2016). Es por esto que extraña la ausencia de contenidos de esta rama de las finanzas dentro de los temas orientados a fomentar la educación financiera en nuestro país.
Esta falta de contenidos puntuales en el área de Matemáticas financieras es quizá intencional. Es bien sabido que muchas personas en México muestran rechazo ante las Matemáticas (Conexión Cinvestav, 2019), motivo por el cual es posible conjeturar que se ha evitado mencionar la disciplina con el fin de no provocar rechazo hacia los contenidos ofrecidos. Esta conjetura toma fuerza si se toman en cuenta las diferentes in- vestigaciones sobre la educación matemática que tiene la población general. Existen muchos estudios que demuestran que los mexicanos poseen, en general, poca o nula habilidad para emplear sus conocimientos en el área como una herramienta para resolver problemas (Martinez y Camarena, 2015).
Independientemente de las razones por las cuales los contenidos mencionados no tienen elementos de Matemáticas financieras, si se pretende alcanzar la meta de la inclusión financiera para el 2030, esta situación debe cambiar, ya que para que una persona pueda comprender los riesgos, beneficios, derechos y obligaciones que adquiere al contratar, por ejemplo, un crédito hipotecario o un instrumento de inversión, es imprescindible que posea la capacidad de comprender los conceptos básicos de las Matemáticas financieras.
Para facilitar el acercamiento a estos temas, el objetivo de esta tesis es desarrollar e implementar una calculadora financiera que facilite la comprensión y aplicación de los conceptos básicos de Matemáticas fi- nancieras. Esto es, se diseñará una herramienta informática (software) capaz de realizar cálculos financieros.
Para lograr que la herramienta sea útil a una gran variedad de posibles usuarios, el desarrollo de la calculadora se enfocará en mantener una interfaz amigable y a la vez incorporar una amplia variedad de funcionalidades.
Con el objetivo de que la herramienta sea visualmente intuitiva, se empleará una plataforma familiar para el usuario, por lo que la implementación será realizada utilizando una interfaz gráfica (Graphic User Interface o GUI, por sus siglas en inglés) que se asemeje a las calculadoras básicas de sistemas operativos como Win- dows o MacOS. Sobre las funcionalidades principales que se incorporarán dentro de la calculadora, está el cálculo de intereses, valor presente, anualidades, bonos, medidas de rentabilidad y construcción de la tabla de amortización de un préstamo.
El desarrollo de esta herramienta se dividirá en tres etapas: planteamiento, diseño e implementación y verificación. Se debe señalar que desarrollar la calculadora como un software independiente y con los alcances que se plantearon anteriormente se encuentra fuera de los objetivos de esta tesis, por lo que esta herramienta será construida como una extensión (add-in) del software Excel de Microsoft Corporation.
Durante el planteamiento se describirán todos los elementos que se desean implementar en la calculadora y esta etapa se documenta dentro del primer capítulo de esta tesis, en donde se presentan brevemente los elementos básicos de Matemáticas financieras que se incorporarán como funcionalidades de la calculadora.
Este capítulo no pretende ser una revisión a profundidad de los conceptos presentados, por el contrario, con- stituye sólo una fuente de consulta rápida con los elementos mínimos necesarios para proveer una referencia autocontenida al resto del trabajo.
En el segundo capítulo se aborda la fase de desarrollo, la cual contiene la descripción del funcionamiento de la calculadora. Esto incluye la estructura general y sus componentes, así como también el diagrama de flujo entre éstos. De igual forma, en este capítulo se describe a detalle el funcionamiento particular de cada componente, los procesos de validación y su funcionamiento interno.
En el tercer capítulo se documenta la implementación de la calculadora, por lo que ahí se enumeran y describen todos los componentes de la interfaz gráfica así como la gestión de los errores que se pudiesen suscitar durante el uso de la herramienta. Con la finalidad de no hacer innecesariamente largo este capítulo, existe un breve manual de usuario y algunos ejemplos prácticos a modo de introducción al uso de la calculadora en el Apéndice A. Por otra parte, el código plano que resulta de esta implementación se presenta como un apéndice al final de la tesis en el Apéndice B.
El último capítulo plantea el alcance y las limitaciones de la calculadora financiera así como algunas posibles extensiones en sus funcionalidades.
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Índice
Introducción i
Capítulo I Elementos básicos
1 Tasas de interés y de descuento 1
2 Fuerza de interés y de descuento 6
3 Anualidades niveladas 9
4 Anualidades aritméticas 12
5 Amortización y fondos de deuda 14
6 Bonos 17
7 Valuación de flujos de efectivo 19
Capítulo II Desarrollo de la calculadora financiera
1 Estructura general de la calculadora financiera 22
2 Mascarillas de la calculadora 23
3 Metodología para cálculos aritméticos 28
4 Métodología de gestión de errores 34
Capítulo III Implementación de la calculadora financiera
1 Elementos de los UserForms 36
2 Controles de las mascarillas 36
Capítulo IV Comentarios finales
1 Conclusiones 53
2 Extensiones 54
Anexo A Manual de Usuario 57
Anexo B Código de la calculadora financiera 73
Capítulo I
Elementos básicos
El campo de acción de las Matemáticas financieras es tan amplio que sus aplicaciones pueden encontrarse en cualquier tipo de empresa, industria o negocio, tanto en el sector privado como en el gubernamental. Debido a ello, elementos de esta área forman parte del plan curricular de casi cualquier licenciatura relacionada a los negocios como Economía, Finanzas, Contaduría, Administración y, por supuesto, Actuaría. El correcto dominio de esta materia permite que una empresa, negocio e incluso las personas puedan tomar decisiones financieras con mayor facilidad. Además, son la base para analizar hechos contingentes y cuantificar el impacto económico relacionado a éstos. El material contenido en este capítulo puede encontrarse en la mayoría de textos básicos sobre matemáticas financieras, por ejemplo (Kellison, 2009; Ayres, 1991; De la Cueva, 1971;
Alhabeeb, 2012).
Las Matemáticas financieras buscan explicar cómo opera el dinero en el transcurso del tiempo. Por tal razón, es fundamental comprender los siguientes conceptos:
Capital. Es una cantidad de dinero que se tiene disponible para invertir o prestar, cuyo fin es el de generar más dinero. Por su traducción del inglés, también se le conoce como principal.
Interés. Es una ganancia de dinero. La obtiene quien invierte o presta dinero.
Antes de iniciar, se debe mencionar que existen diferentes tipos de notaciones para los conceptos abordados en este capítulo, por lo que es importante aclarar que en esta tesis se utiliza la notación actuarial recomendada por la Society of Actuaries (SOA por sus siglas en inglés).
1. Tasas de interés y de descuento
A menos que se diga lo contrario, siempre se considerará que una inversión inicia en el tiempo cero y que no realizará ninguna modificación al capital salvo la causada por el interés. Es decir, se considerará un capital al que no se le agregará ni se le retirará dinero durante la inversión.
Sobre el tiempo, y en especial en cuanto a su medición, lo usual es especificar como unidad temporal un lapso conveniente, el cual puede ser de 1 día, 1 mes, 2 meses, 1 año, etc. Para evitar confusiones, a la unidad
temporal se le denomina periodo. Al lapso total de la inversión se le denomina plazo y usualmente es un múltiplo entero del periodo.
El monto del capital es calculado mediante una función definida, en donde a(t) es conocida como la función de acumulación y permite trasladar el dinero al momento t mediante el interés. Por otra parte, K es una constante y hace referencia al capital existente al inicio de la inversión. Con base en esto, la función de monto A(t)queda definida por la relación:
A(t) = K a(t). (I.1)
Si el interés es una función lineal del capital, entonces la ecuación I.1 permite conocer el monto del capital en cualquier momento posterior al inicio de la inversión independientemente del monto inicial invertido. Existen diversas funciones de acumulación según la forma en la que se genere el interés y se acumule el capital. Las más comunes se presentarán posteriormente.
Se debe señalar que todas las fórmulas se expresan considerando $1 como el capital de la inversión.
Tasas de interés
La forma más común en la que se genera el interés en una inversión es en forma discreta respecto al tiempo. Es decir, una vez iniciada la inversión, las ganancias se generan de forma instantánea en un momento determinado.
En lo siguiente se supondrá, como es usual, que el interés se genera sólo en múltiplos enteros del periodo.
En este contexto, es común referirse a el tiempo en términos de n periodos (n = 1, 2, . . .) y en cada periodo se pueden distinguir dos conceptos diferentes relacionados con el monto del interés generado:
• Interés ganado en un periodo. Se denota por Iny es la diferencia en el monto del capital que surge de un periodo a otro al generarse el interés. Es decir,
In = A(n)− A(n − 1) (I.2)
para cualquier n = 1, 2, . . .
Según el tipo de interés, esta cantidad puede o no ser la misma durante todo el plazo.
• Tasa de interés en un periodo. Es el porcentaje del capital inicial que corresponde al monto del interés ganado en un periodo determinado. Comúnmente se denota como iny se calcula mediante la fórmula
in= A(n)− A(n − 1)
A(n− 1) = a(n)− a(n − 1)
a(n− 1) , n = 1, 2, . . . (I.3) La tasa de interés por periodo puede ser calculada utilizando la función de monto y/o la función de acumulación, ya que la única diferencia entre éstas es el uso de la constante K descrita en la ecuación I.1.
Por otra parte, al final del periodo se tendrá como capital final el monto del capital inicial del periodo más la tasa de interés
a(n) = a(n− 1)(1 + in). (I.4)
Sección 1. Tasas de interés y de descuento Se debe señalar que el uso de la tasa efectiva de interés está íntimamente relacionado con el periodo. Por ejemplo, si el periodo se considera igual a un año, la tasa efectiva deberá denominarse tasa efectiva anual y si el periodo es igual a 2 meses, entonces la tasa efectiva se denominará tasa efectiva bimestral. Por lo general, cuando se habla de tasa efectiva, la unidad de tiempo convenida es de un año a menos de que se especifique lo contrario.
Se dice que una inversión genera un interés simple cuando las ganancias se generan de forma discreta y son un múltiplo constante del monto inicial de la inversión. Es decir, el monto del interés es independiente del periodo en el que se encuentre la inversión. Así, la ganancia se genera sobre el capital inicial y no genera interés sobre interés.
Al porcentaje del capital que corresponde a la ganancia generada en cada periodo se le denomina tasa de interés y se suele representar por i. Luego, la función de acumulación para el interés simple queda definida por
a(n) = 1 + in n = 1, 2, . . . (I.5)
Por lo que la función de monto para interés simple es
A(n) = K(1 + in) n = 1, 2, . . . (I.6)
En el interés simple, la ganancia generada en cada periodo es In = Ki. De esto y de la ecuación I.3, se sigue que la tasa de interés en cada periodo es igual a
in= a(n)− a(n − 1)
a(n− 1) = i
1 + i(n− 1) (I.7)
en donde la tasa de interés simple constante es i y n = 1, 2, 3, ...
De aquí, se deduce que una tasa constante de interés simple generará una tasa efectiva de interés decre- ciente a lo largo del tiempo.
Por otra parte, una inversión genera interés compuesto cuando la ganancia en un momento dado se vuelve a reinvertir (siempre y cuando el plazo no haya concluido), de forma que se generan intereses sobre intereses.
Así, a diferencia del interés simple, en donde la ganancia generada siempre es la misma a lo largo de todo el plazo, en el interés compuesto lo que se mantiene constante en el tiempo es la tasa de interés.
Por simplicidad, se puede suponer que el interés compuesto se paga en los múltiplos enteros del periodo.
Al seguir la misma notación de la sección anterior, se tiene que la función de acumulación en este caso toma la forma
a(n) = (1 + i)n n = 1, 2, . . . (I.8)
y por lo tanto, la función de monto para interés compuesto queda definida por
A(n) = K(1 + i)n n = 1, 2, . . . (I.9)
La tasa efectiva de interés compuesto en un periodo n está dada por
in= a(n)− a(n − 1)
a(n− 1) = i. (I.10)
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Debido a que este valor de i es independiente de n se mantiene constante a lo largo de todo el plazo.
En muchas otras ocasiones, es deseable realizar una operación similar pero a la inversa. Es decir, se desea conocer la cantidad de dinero que se debe invertir para obtener un determinado monto en el futuro. En este contexto, se suele decir que el cálculo no es para acumular sino para descontar.
Una vez más, al tomar en consideración que el monto del interés es lineal respecto al capital, se puede asumir que la ganancia que se desea obtener a futuro es $1. Si t≥ 0 es el tiempo hacia atrás desde el cual se desea realizar la inversión, entonces la función de descuento se denota como a−1(t).
Al igual que la función de acumulación, la función de descuento depende fundamentalmente de la forma en la que se genera y acumula el interés. Si se supone que la inversión genera un interés simple o compuesto sujeto a una tasa de interés i, a la cantidad v = (1 + i)−1se le conoce como factor de descuento.
En el caso del interés simple, de la ecuación I.5, se puede deducir que
a−1(n) = (1 + in)−1. (I.11)
De forma similar, de la ecuación I.8 se obtiene que si el interés es compuesto, entonces
a−1(n) = (1 + i)−n = vn. (I.12)
Tasas de descuento
La tasa efectiva de descuento se define de forma similar a la tasa efectiva de interés. De forma precisa, la tasa efectiva de descuento dnpara el n-ésimo periodo (n = 1, 2, 3, ...) queda expresada por
dn= A(n)− A(n − 1)
A(n) = a(n)− a(n − 1)
a(n) . (I.13)
La tasa efectiva de descuento en el periodo n se relaciona con la función de acumulación mediante la relación
a(n− 1) = a(n)(1 − dn) (I.14)
la cual es análoga a la ecuación I.4 para la tasa efectiva de interés.
Dada una tasa de interés i, se puede encontrar una tasa de descuento cuyo patrón de decrecimiento es igual al patrón de crecimiento de la tasa de interés durante un periodo y se define como
d = i
1 + i (I.15)
o de forma equivalente, mediante la relación
i = d
1− d. (I.16)
La tasa de descuento también puede expresarse en términos del factor de descuento, d = 1+ii = 1−1+i1 .
Sección 1. Tasas de interés y de descuento En algunas circunstancias es más conveniente pensar en una tasa de descuento de forma independiente a una tasa de interés. Esto es posible ya que el efecto de una tasa de descuento es idéntico al de una tasa de interés (generar una ganancia), pero hablar de tasa de interés resulta más natural dado que es usual pensar en el tiempo hacia adelante, pero esto no significa que el uso de una tasa de descuento sea más o menos útil.
De forma similar a como el interés simple y el interés compuesto son dos formas de acumular una ganancia hacia adelante, el descuento simple y el descuento compuesto son formas de acumular una ganancia a partir de un monto por adelantado. En lo siguiente se asume una tasa de descuento constante d.
En el descuento simple, se desea acumular $1 en una inversión que paga un interés simple con una tasa de interés i equivalente a la tasa de descuento d. En estas circunstancias, la función de descuento está dada por
a(t) = (1− d · t)−1 (I.17)
y
a−1(t) = 1− d · t para 0 ≤ t < 1
d (I.18)
y si en cambio, la inversión generase un interés compuesto (con la misma tasa de interés equivalente), entonces se habla de descuento compuesto, en cuyo caso la función de descuento queda expresada por
a(t) = (1− d)−t (I.19)
y
a−1(t) = (1− d)t = vt t≥ 0. (I.20)
Tasas Nominales
Hasta el momento se han mencionado las tasas efectivas de interés o de descuento, es decir, aquellas que se pagan una vez por periodo. Sin embargo, es común que una inversión genere intereses con mayor frecuencia por periodo, por ejemplo, una inversión cuyo plazo es de 2 años y que paga un interés de forma trimestral. En este caso, el interés se pagará 4 veces por periodo y un total de 8 veces durante el plazo. Para distinguir este tipo de circunstancias, a estas tasas se les denomina indistintamente como nominales, pagaderas o convertibles mveces por periodo, en donde m indica las veces que se paga por periodo.
En la tabla I.1 se enlistan las tasas nominales más comunes, así como también el número de pagos que realizan anualmente.
Así, en una inversión en donde la tasa de interés es nominal, se puede hablar de tasa nominal de interés, de tasa efectiva por periodo y de tasa efectiva (anual). La siguiente sección relaciona estos tres tipos de tasas.
Una tasa de interés que se paga m veces por periodo se denota como i(m). Es importante señalar que el superíndice (m) carece de un sentido algebraico, esto es, el superíndice (m) no indica la m-ésima potencia, sino que su uso es para indicar que la tasa es de tipo nominal. Para este tipo de tasas, el monto acumulado de
$1 al final del periodo fraccionario es 1 + i(m)m .
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Tabla I.1
Tasas nominales más comúnes. 1 perido=1 año.
Tasa Nominal Número de pagos por periodo
Mensual (Monthly) 12
Bimestral (Bimonthly) 6
Trimestral (Quarterly) 4
Semianual (Semiannual) 2
Así, una tasa nominal de interés i(m)es equivalente a una tasa de interés efectiva i si 1 + i =
(
1 + i(m) m
)m
(I.21)
o equivalentemente,
i = (
1 + i(m) m
)m
− 1 y i(m) = m [
(1 + i)m1 − 1] .
Una tasa de descuento convertible m veces por periodo se denota como d(m) y se define de forma equiv- alente a la tasa de interés nominal. De esta forma, una tasa de descuento d(m) genera un descuento efectivo de d(m)m durante el periodo fraccionario.
Para las tasas de descuento nominales d(m)y la efectiva d, la relación equivalente a la ecuación I.21 es
(1− d)−1 = (
1−d(m) m
)−m
(I.22) de donde se deducen las siguientes igualdades
d = 1− (
1− d(m) m
)m
y d(m) = m [
1− (1 − d)m1]
= m [
1− vm1 ] .
Las ecuaciones I.15 y I.16 definen tasas de interés y de descuento equivalentes, por lo que al tomar es- tas ecuaciones junto con I.21 y I.22, se obtienen los conceptos de tasas nominales de interés y de descuento equivalentes. Éstas serán las tasas que cumplan la igualdad
i(m) m · d(m)
m = i(m)
m − d(m)
m . (I.23)
2. Fuerza de interés y de descuento
El interés y el descuento pueden medirse en cualquier intervalo, ya sea anual, semestral, trimestral, mensual y también en días, horas, minutos, etc., para lo cual se pueden utilizar los conceptos de las secciones anteriores.
La fuerza de interés y la fuerza de descuento permiten medir el interés y el descuento de forma instantánea.
Sección 2. Fuerza de interés y de descuento
Fuerza de interés
La fuerza de interés en el instante t se denota como δ(t) y se define como la razón de cambio de a(t) en el tiempo t, es decir
δ(t) = a′(t)
a(t) = A′(t)
A(t). (I.24)
Si se conoce la fuerza de interés, entonces se pueden obtener la función de monto y la de acumulación mediante el cálculo de una integral respecto del tiempo
a(t) = e∫0tδ(s)ds y A(t) = A(0) e∫0tδ(s)ds. (I.25) En cuanto al interés simple, se tiene de acuerdo a la definición de δ(t) y la ecuación I.4
δ(t) = 1 1 + it · d
dt (1 + it) = i
1 + it 0≤ t. (I.26)
La fuerza de interés simple en el momento t se interpreta como el interés que genera el valor presente de
$1 por t periodos.
Por otra parte, se puede deducir que para un interés compuesto de tasa i, la fuerza de interés es constante y al utilizar la ecuación I.8 y I.24, ésta queda expresada como
δ(t) = 1
(1 + i)t · d
dt(1 + i)t=ln(1 + i). (I.27)
Como δ(t) es constante, se suele escribir solamente δ = ln(1 + i).
Fuerza de descuento
La fuerza de descuento se define de forma similar a la fuerza de interés. La notación en este caso es δ′(t)y se define utilizando la función de descuento en lugar de la función de acumulación
δ′(t) =−a−1′(t)
a−1(t). (I.28)
El signo negativo se agrega con el único fin de que la fuerza de descuento sea no negativa toda vez que la derivada de a−1(t)es negativa, puesto que a−1(t)es decreciente.
Para la fuerza de descuento simple δ(t) se obtiene que
δ(t) =− 1 1− dt · d
dt (1− dt) = d
1− dt 0≤ t ≤ 1
d. (I.29)
La fuerza de descuento simple en el momento t se interpreta como el descuento que genera el valor acu- mulado de $1 por t periodos.
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Para un descuento compuesto de tasa d, la igualdad análoga a la ecuación I.27 se puede deducir de forma similar al utilizar la ecuación I.20. Alternativamente, se puede utilizar una tasa de interés i equivalente a d, dada por la ecuación I.16, y la ecuación I.27. Como δ′(t) = δ(t)se deduce que
δ(t) =−ln (1 − d) . (I.30)
Relaciones entre tasas
Sobre los temas que se han abordado hasta el momento, existe una serie de igualdades que muestran el valor acumulado de $1 al final de un periodo y que permiten encontrar equivalencias entre tasas efectivas y nominales tanto de interés, descuento y fuerza de interés.
Una fuerza de interés constante δ produce un interés o descuento compuesto con tasa constante. En este caso, la tasa efectiva de interés i, la tasa efectiva de descuento d y las tasas nominales de interés y de descuento i(m)y d(m)están interrelacionadas por las igualdades
eδ= 1 + i = (
1 + i(m) m
)m
= (1− d)−1 = (
1− d(m) m
)−m
. (I.31)
De éstas, se deduce que para cualquier m = 2, 3, . . .
i(m) = m [
emδ − 1]
y d(m) = m (
1− e−δm) .
Se puede reescribir i(m)como serie de Taylor de la función exponencial, en donde i(m) = δ+2! mδ2 +3! mδ32+· · · y debido a que ésta converge uniformemente, entonces se deduce que
mlim→∞i(m) = δ. (I.32)
Al ser i(m)una tasa de interés nominal convertible m veces por periodo, cuando se aplica el límite conforme m → ∞, los periodos fraccionarios se vuelven instantáneos, de forma que δ puede ser interpretada como la tasa nominal de interés convertible continuamente.
Análogamente, d(m) = δ− 2! mδ2 +3! mδ32 − · · · y
mlim→∞d(m) = δ. (I.33)
Como d(m)es una tasa de descuento nominal convertible m veces por periodo, δ sería su tasa nominal de descuento convertible continuamente.
A manera de referencia, la Tabla I.2 contiene un resumen de las formulas elementales presentadas en esta sección. Es relevante recordar aquí, que la función de acumulación a(t) hace referencia al valor acumulado de $1 en el tiempo t. Por otro lado, la función de descuento a−1(t)hace referencia al valor presente que se necesita para que se acumule a $1 en el tiempo t.
Sección 3. Anualidades niveladas Tabla I.2
Principales resultados de funciones de acumulación y de descuento.
Enfoque Tasa a(t) a−1(t)
Simple Interés efectivo 1 + i· t (1 + i· t)−1
Descuento efectivo (1− d · t)−1 1− d · t
Compuesto Interés efectivo
i (1 + i)t (1 + i)−t
Interés nominal
i(m) (
1 + i(m)m
)mt (
1 + i(m)m )−mt
Descuento efectivo
d (1− d · t)−1 1− d · t
Descuento nominal
d(m) (
1− d(m)m )−mt (
1−d(m)m )mt
Fuerza de interés
δ eδt e−δt
3. Anualidades niveladas
Esta sección y la siguiente abordan el tema de anualidades. Una anualidad es una serie de pagos periódicos, en donde el tiempo desde el inicio y hasta el fin de los pagos es conocido como plazo. El lapso que transcurre entre cada uno de los pagos es nombrado como intervalo o periodo de pago. El intervalo puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, continuo o con cualquier otra frecuencia. Las anualidades son clasificadas en dos grandes grupos:
• Anualidades ciertas. Su plazo está bien delimitado, es decir, existen fechas de inicio y de término para la anualidad. Por ejemplo, el pago de una hipoteca a 15 años o la compra de un vehículo a plazos.
• Anualidades contingentes. Su vigencia es desconocida, es decir, tienen una fecha de inicio, pero el plazo dependerá de algún factor externo que está en función de la ocurrencia de un evento. Por ejemplo, el pago de un seguro de vida, en donde el monto asegurado es pagadero a un beneficiario cuando el asegurado fallece, o el pago de una pensión, en donde un asegurado recibe pagos periódicos únicamente mientras vive.
Este trabajo se limita a las anualidades ciertas, las cuales a su vez se dividen en niveladas o variables. El primero de estos tipos consiste en aquellas cuyo pagos son todos iguales, mientras que en las variables, el pago en cada periodo es diferente. En este último caso, lo más habitual es que los pagos tengan incrementos o decrementos regulares a lo largo del plazo de la anualidad.
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Esta sección aborda las anualidades niveladas, mientras que en las secciones posteriores se estudiarán algunos subtipos especiales de aquellas que son variables. Por último, todas las anualidades pueden ser clasi- ficadas según el momento en donde comiencen a realizarse los pagos. Si éstos se realizan al inicio de cada periodo se les llama anticipadas, mientras que si se realizan al final se les conoce como vencidas.
Anualidades anticipadas y vencidas
En el caso de las anualidades niveladas, cada pago consiste de una cantidad fija $P . El valor presente y futuro de la serie puede obtenerse multiplicando $P por el valor presente o futuro de una anualidad del mismo tipo en la que los pagos consisten de $1 (esta propiedad es análoga a la relación I.9 entre la función de acumulación y la función de monto, la cual permite prescindir de $P en el calculo de las valuaciones deseadas).
Si la tasa de interés aplicable es i, la tasa de descuento d y el factor de descuento v = (1 + i)−1, entonces se tienen los siguientes resultados:
El valor presente de una anualidad vencida con n pagos futuros de $1 al final de cada periodo es denotado por an y se expresa como
an = v
(1− vn 1− v
)
= 1− vn
i . (I.34)
En algunas ocasiones se desea hacer énfasis en la tasa de interés, en cuyo caso se escribe an i
El valor futuro de una anualidad vencida se denota por sn. Debido a que el valor acumulado del primer periodo es (1 + i)n−1, el del segundo (1 + i)n−2 y así sucesivamente hasta el periodo n, el valor futuro o monto de la anualidad es
sn = (1 + i)n− 1
(1 + i)− 1 = (1 + i)n− 1
i . (I.35)
Por el contrario, cuando los pagos de la serie se hacen al inicio de cada periodo, el valor presente de una anualidad anticipada de n pagos de $1 se denota por ¨an. El valor valor presente del pago del primer periodo es 1, el del segundo periodo es v y así sucesivamente, por lo que el valor presente de la anualidad está dado por
¨
an = 1− vn
d . (I.36)
Por otro lado, el símbolo ¨sn se utiliza para denotar el valor acumulado de una anualidad anticipada, en donde el valor del primer pago es (1 + i)n, el del segundo (1 + i)n−1y así sucesivamente hasta el periodo n, por lo que
¨
sn = (1 + i)n− 1
d . (I.37)
El valor presente y el valor acumulado de una anualidad consistente en n pagos de $1 están relacionados mediante las siguientes ecuaciones:
¨
sn = (1 + i)n¨an (I.38)
y
¨
sn = (1 + i)n+1an. (I.39)
Sección 3. Anualidades niveladas Las ecuaciones I.38 y I.39 muestran el valor acumulado de una serie anticipada de n pagos de $1. En la primera, este valor es igual al valor acumulado durante n periodos del valor presente de una serie anticipada de n pagos de $1. Para la segunda, el resultado es igual al valor presente de una serie vencida de n pagos de $1 que se acumula durante n + 1 periodos. Por último, se deben señalar las siguientes relaciones:
¨
an = vns¨n (I.40)
¨
an = vn−1sn. (I.41)
Ambas ecuaciones muestran el valor presente de una serie anticipada de n pagos de $1. En la ecuación I.40, es igual al al valor futuro de una serie anticipada de n pagos de $1 que es descontado n periodos. En la ecuación I.41, es igual al valor futuro de una serie vencida de n pagos de $1 que es descontado n− 1 periodos, respectivamente.
Anualidades diferidas
Se denomina así a aquellas anualidades cuyos pagos inician después de haber transcurrido un determinado número de periodos. Este tipo de anualidades también son conocidas como anualidades valuadas en cualquier momento y su cálculo se puede determinar con base en los conceptos vistos hasta ahora y al agregar un factor de acumulación o de descuento.
Las anualidades diferidas se dividen también en vencidas y anticipadas. Las primeras son aquellas que después de haber transcurrido m periodos, los pagos comienzan a ser efectuados al final de cada periodo, por lo que el primer pago se realiza al final del periodo m + 1.
El valor presente de una anualidad de $1 pagadero al final de cada periodo durante n periodos y que se encuentra diferida por m periodos se representa comom|an. Dado que el primer pago se efectuará en el periodo m + 1, el segundo en el m + 2 y así sucesivamente, el valor presente está dado por
m|an = vman. (I.42)
Por otro lado, si los pagos comienzan a ser realizados al inicio de cada periodo, el valor presente se denota comom|¨an y está dado por
m|¨an = vm¨an. (I.43)
El valor futuro se representa por m|sn o m|s¨n, en donde según sean sus pagos, corresponderá a una anualidad diferida vencida o anticipada, respectivamente. De forma análoga a los valores presentes, para los valores acumulados se tiene
m|sn = (1 + i)msn y m|¨sn = (1 + i)ms¨n.
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Anualidades pagaderas m-veces por periodo
Se denomina así a las anualidades cuyos pagos se realizan con mayor frecuencia que lo indicado por la tasa de interés efectiva. Es decir, se realizan pagos a intervalos regulares dentro del periodo indicado por la tasa de interés.
Al igual que como sucede en las anualidades generales, los pagos efectuados para las anualidades pagaderas m-veces pueden ser al inicio o al final de cada uno de los m intervalos regulares en los que se divide cada pe- riodo, lo que las clasifica en vencidas y anticipadas. Para calcular el valor presente y futuro de las anualidades de este tipo, una alternativa es el uso de tasas equivalentes para mantener congruencia entre la convertibil- idad del interés y la frecuencia de sus pagos. Por otra parte, también es posible realizar el cálculo de estas anualidades directamente, que es el enfoque que se desarrolla a continuación.
El valor presente de una anualidad vencida que realiza m pagos en cada periodo y que paga un total de $1 al final de cada periodo (de forma que cada pago que se hace durante el periodo es de $m1) se denota como a(m)n , mientras que si los pagos son anticipados el valor presente, entonces se denota como ¨a(m)n .
Si i(m)es la tasa de interés nominal de la anualidad, entonces a(m)n = 1− vn
i(m) y ¨a(m)n = 1− vn d(m) .
Para calcular el valor futuro de una anualidad vencida o anticipada de características similares, la notación y las expresiones son, respectivamente,
s(m)n = (1 + i)n− 1
i(m) y ¨s(m)n = (1 + i)n− 1 d(m) .
4. Anualidades aritméticas
Las anualidades de la sección anterior se caracterizan por realizar pagos fijos de la misma cantidad durante todo el plazo. Sin embargo, también existen anualidades en donde el pago efectuado en cada periodo es difer- ente.
Las anualidades aritméticas son aquellas cuyos pagos siguen un patrón de crecimiento o decrecimiento aritmético. Esto es, el primer pago será de una cantidad P > 0 y los demás pagos serán de P más un factor Qque podrá ser creciente (Q > 0) o decreciente (Q < 0). De esta forma, los pagos en cada periodo están dados como se describe en la tabla I.3.
Tabla I.3
Distribución de pagos en anualidades aritméticas
Periodo 1 2 3 4 · · · n− 1 n
Pago P P + Q P + 2Q P + 3Q · · · P + (n − 2)Q P + (n − 1)Q
No existe una notación estándar para denotar el valor presente y futuro de las anualidades aritméticas, por lo que no serán representadas por algún símbolo concreto. De acuerdo al esquema de la tabla I.3 y al tomar en cuenta el efecto de la tasa de interés, el valor presente de una anualidad aritmética queda dado por
P v + (P + Q)v2+· · · + [P + (n − 2)Q] vn−1+ [P + (n− 1)Q] vn.
Sección 4. Anualidades aritméticas De aquí, se obtiene una forma de expresar x en términos de anualidades vencidas
P an + Qan − nvn
i . (I.44)
Con este resultado es posible calcular el valor presente de una anualidad aritmética anticipada, sólo es importante tomar en consideración el factor de acumulación. Al hacerlo, se obtiene que el valor presente de una anualidad aritmética anticipada con pago inicial P e incremento o decremento Q está dado por
P ¨an + Qan − nvn
d . (I.45)
El valor futuro de una anualidad aritmética como la descrita anteriormente, se puede calcular utilizando el valor presente de dicha anualidad y acumularlo durante n periodos. Es decir, el valor futuro es calculado como
(
P an + Qan − nvn i
)
(1 + i)n = P sn + Qsn − n
i . (I.46)
Por otro lado, si la anualidad es anticipada, su valor futuro queda dado por (
P ¨an + Qan − nvn d
)
(1 + i)n = P ¨sn + Qsn − n
d . (I.47)
Casos especiales de las anualidades aritméticas
Las expresiones desarrolladas hasta el momento, aunque carecen de un símbolo para representarlas, permiten calcular el valor presente y futuro de cualquier anualidad aritmética. Entre este tipo de anualidades existen dos casos especiales de interés y que además, sí poseen una notación actuarial estandarizada: las anualidades aritméticas crecientes y las anualidades aritméticas decrecientes.
En las anualidades aritméticas crecientes, el coeficiente tanto de P y Q es igual a 1. En este caso, el valor presente queda denotado por(
I an)
para anualidades vencidas y por( I ¨an)
para anualidades anticipadas.
Al utilizar la ecuación I.44 se obtiene
(I an
) = ¨an − nvn
i (I.48)
y mediante la ecuación I.45
(I ¨an)
= a¨n − nvn
d . (I.49)
El valor futuro de una anualidad aritmética creciente vencida se denota como( I sn)
y para una antici- pada como(
I ¨sn)
; en donde ambas cantidades se pueden calcular utilizando el valor presente y el factor de acumulación. Luego, se obtiene que
(I sn)
= ¨sn − n
i (I.50)
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y ( I ¨sn)
= s¨n − n
d . (I.51)
Por otro lado, las anualidades decrecientes son aquellas en donde P = n y Q = −1. En este caso, para calcular el valor presente se utilizan los símbolos(
Dan) y(
D¨an)
para denotar una anualidad aritmética decreciente vencida y una anualidad aritmética decreciente anticipada, respectivamente.
De acuerdo a la ecuaciones I.44 y I.45, se tiene (Dan)
= n− an
i (I.52)
y
(D¨an)
= n− an
d . (I.53)
Para calcular el valor futuro de una anualidad creciente se pueden emplear los símbolos( Dsn)
y( D ¨sn) para denotar una anualidad vencida y una anticipada, respectivamente. Ambos valores pueden ser calculados mediante los valores presentes y al tomar en consideración el factor de interés
(Dsn)
= n(1 + i)n− sn
i (I.54)
y
(D ¨sn)
= n(1 + i)n− sn
d . (I.55)
5. Amortización y fondos de deuda
Cuando una entidad financiera otorga un préstamo a largo plazo, es común que para el pago de éste la entidad requiera al beneficiario que realice pagos parciales en lugar de uno solo al finalizar el plazo. En estos casos, se dice que el préstamo será amortizado y esto permite que sea más fácil para el beneficiario realizar los pagos, ya que el interés total pagado mediante amortización es menor en comparación con el interés que generaría la deuda total durante toda la vigencia del préstamo.
Conocer la distribución que tendrá cada uno de los pagos, los intereses y los abonos a capital, juega un papel fundamental para hacer frente a estas obligaciones. Además, el monto de estos elementos puede ser determinado a través del cálculo de anualidades en cualquier momento durante la vida del préstamo.
En esta tesis se presentan dos métodos para amortizar un préstamo. El primero es mediante pagos pe- riódicos a intervalos de tiempo iguales. Éste es el método más común y simplemente suele llamarse método de amortización. El otro método presentado es a través de un fondo de inversión de cuyo capital se realizarán los pagos. Este método es conocido como fondo de deuda, fondos de amortización o por su término en inglés sinking fund. Independientemente del método de elegido, en este contexto es común la siguiente terminología:
Sección 5. Amortización y fondos de deuda
• Pago. Es la cantidad de dinero pagada en un periodo determinado.
• Balance. Cantidad remanente del préstamo después de realizar pago del periodo. Conforme pasan los periodos, el balance disminuye hasta llegar a cero, momento en que será liquidado el préstamo.
• Total. Es el valor presente de todos los pagos realizados hasta el final del periodo.
• Pago a capital. Es la cantidad de dinero del pago que es destinado a la liquidación del monto del préstamo.
• Pago de intereses. Es la cantidad de dinero del pago que es destinado como ganancia a quien realiza el préstamo. Es decir, es la beneficio generado por otorgar el préstamo.
En este momento es conveniente introducir una notación para los montos que se desean calcular.
Una oportunidad dentro de las finanzas es que no existe una notación estándar para generar cálculos. En la tabla I.4 se presenta la notación actuarial junto con su contraparte en la notación utilizada por la editorial ACTEX Learning (ambas son útiles y se recomienda su uso a discreción y comodidad del lector. ACTEX es una de las principales editoriales que provee guías de preparación para las certificaciones internacionales de la Society of Actuaries).
Tabla I.4
Diferencias en la notación de cálculos de amortización Elemento Notación Actuarial Notación Actex
Pago $1 P mtt
Balance an−t Balt
Total an Lo Bal0
Capital vn−t+1 P Rint
Interés ian−t+1 Intk
En este método de amortización, los pagos son considerablemente grandes en los primeros periodos y es por esto que la mayoría de los préstamos se liquidan mediante pagos nivelados. Es decir, en cada periodo el pago (total) es igual y lo que cambiará en cada periodo será el pago a capital y el pago de intereses. En estos casos, la mayor parte del dinero de los primeros pagos es destinada a los intereses y conforme avanza el tiempo, esto se invierte y entonces la mayor parte del pago se destina al capital.
Para facilitar los cálculos se puede asumir que cada pago consistirá de $1. Es decir, el beneficiario del préstamo se compromete a pagar una anualidad al prestamista de $1 por un total de n periodos. El monto del préstamo es entonces el valor presente de la anualidad, el cual es an, i.e. Bal0 = an.
De esta forma, en cada periodo t el pago a intereses y el pago a capital están dados por
Pago de interés: Intt+1= i(Balt) (I.56)
Pago a capital: P Rint= P mtt− i(Balt−1) (I.57)
Balance: Balt= Balt−1− P Rint = (1 + i)Balt−1− P mtt. (I.58) 15
Tabla I.5
Tabla de Amortización con pagos nivelados
Periodo Pagos Interés Principal Balance
0 - - - an
1 1 ian = 1− vn vn an − vn = an−1
2 1 ian−1 = 1− vn−1 vn−1 an−1 − vn−1 = an−2
... ... ... ... ...
t 1 ian−t+1 = 1− vn−t+1 vn−t+1 an−t+1− vn−t+1 = an−t
... ... ... ... ...
n− 1 1 ia2 = 1− v2 v2 a2 − v2 = a1
n 1 ia1 = 1− v v a1 − v = 0
Total n n− an an -
La tabla I.5 describe el monto de interés y el balance para cada periodo. Además, incluye una columna de- nominada Principal, la cual contiene para cada periodo t, el monto del préstamo pagado. Es decir, el acumulado de los pagos a capital.
Fondos de deuda
Esta es una estrategia que, por lo general, da una ventaja a quien debe pagar un préstamo. Mediante un acuerdo, el prestamista sólo recibirá el pago de intereses en cada periodo y al final del plazo recibirá el pago total del préstamo en una sola exhibición. De manera paralela, el prestatario utilizará otro fondo en donde realizará depósitos periódicos sujetos a una tasa más atractiva (es decir, pagará menos y generará mayor interés) con el fin de acumular el monto total del préstamo que debe pagar.
En lo subsecuente i denotará la tasa de interés del préstamo y j a la tasa de interés del fondo de inversión.
El préstamo (o adeudo) es denotado como L, el pago periódico del fondo de deuda como SF D (del inglés, Sinking Fund Deposit), también llamado pago o P mt (del inglés, payment). Así, se desea que
L = SF D( sn j
) (I.59)
por lo que el pago total por periodo incluyendo los intereses es igual a
SF D + iL = L
( 1
sn j + i )
. (I.60)
Al comparar i y j es posible identificar los siguientes tres escenarios en esta estrategia.
• j = i. En este caso hacer uso del fondo no genera beneficio alguno y resulta igual que pagar directamente la deuda al prestamista, ya que en este caso
L
( 1
sn j + i )
= L
an i. (I.61)
Sección 6. Bonos
• j < i. El dinero que será aportado en el sinking fund será mayor en comparación con pagarlo direc- tamente al prestamista, ya que el valor acumulado de los pagos ocasiona que sn|j < sn|i. Esto refleja que hacer uso del fondo no generará un beneficio. De hecho, generará un mayor gasto y resulta más conveniente hacer los pagos directamente al prestamista como muestra el hecho de que
L
( 1
sn j + i )
> L
an i. (I.62)
• j > i. Aquí, el valor acumulado del fondo será mayor que el generado por pagar directamente al prestamista. Es decir, sn|j > sn|i. En otras palabras, como sn|j es la cifra más grande y es utilizada como denominador, ocasionará que el pago SF D sea menor. Por lo tanto, sí conviene usar un sink- ing fund cuando j > i, ya que el dinero destinado a ese fondo será menor en comparación a pagarlo directamente al prestamista.
L
( 1
sn j + i )
< L
an i. (I.63)
Esto demuestra que a menos que la tasa de interés del fondo (j) sea mayor a la tasa de interés del préstamo (i), esta estrategia no resulta atractiva para el deudor. En tal caso, el balance del fondo de deuda en el tiempo kes denotado como SF Balk(en inglés, sinking fund balance) y es calculado como
SF Balk= SF Dsk j. (I.64)
Es decir, el balance en el tiempo k es visto como el valor futuro de una anualidad que paga $SF D durante k periodos. El principal pagado en el tiempo k, es decir, la cantidad remanente de la deuda, es calculado como la diferencia de los balances de dos periodos consecutivos
P Rink = SF Balk− SF Balk−1 = SF D(1 + j)k−1. (I.65) Por lo que el interés neto pagado en el periodo k está dado por
(SF D + Li)− SF D(1 + j)k−1 = Li− SF Balk−1j. (I.66)
En su conjunto, estas fórmulas muestran la diferencia entre el interés pagado al prestamista y el interés ganado en el fondo, bajo el supuesto de que la tasa de interés del fondo es mayor a la tasa de interés del préstamo.
6. Bonos
Las instituciones públicas y privadas pueden emitir bonos para financiar sus actividades. Los bonos son un tipo de contrato específico que funciona mediante el siguiente esquema: la institución emisora emite un bono por un valor fijado por ella misma y que se denomina valor nominal del bono. Con esto, el comprador del bono tiene el derecho a recibir durante el plazo determinado en el bono un capital, llamado cupón, cuyo monto y 17
frecuencia también está especificado en el bono. Al término del plazo del bono, el poseedor recibirá el último cupón más un capital conocido como valor de redención. Así, el precio (P ), es decir el valor presente de un bono, se calcula como la suma del valor presente de los cupones más el valor presente del valor de redención.
Es común que el monto de los cupones aumente con el tiempo de forma que se puede hablar de una tasa de rendimiento del bono, la cual constituye en la práctica una tasa de interés que generalmente es constante a lo largo de toda la vida del bono. Si se denota por i a esta tasa de rendimiento, por n al número de cupones que constituyen el bono, por F r al monto del primer cupón y por C al valor de redención, entonces
P = (F r)¨an + C(1− d)n. (I.67)
Donde ¨an es una anualidad anticipada de n pagos con tasa i y d es la tasa de descuento equivalente. Además, usualmente el valor F r se determina en términos del valor nominal del bono F y de tasa de redención r, de forma que F r = F∗ r. Si el bono es cupón cero, es decir, F r = 0, entonces no habrán pagos de interés para el poseedor del bono y su valor dependerá exclusivamente del valor de redención, la tasa de interés y el plazo del mismo.
Por otra parte, el precio de los bonos suele variar y lo hace en dirección opuesta conforme a los cambios de las tasas de interés del mercado y la demanda de los inversores. Por ejemplo, cuando el valor nominal del bono es igual al valor de redención (C = F ), entonces se dice que el bono se redime a la par y no existen cambios en el precio. Sin embargo, cuando el valor de redención es mayor al valor nominal (C > F ), es decir, cuando las tasas de interés solicitadas por los inversores disminuyen, entonces el precio del bono sube y en este caso, se dice que el bono se compra con prima.
Por el contrario, si el valor de redención es menor al valor nominal (C < F ), es decir, cuando las tasas de interés del cupón incrementan, entonces el precio del bono baja y se compra a descuento.
Amortización de la prima o descuento
La serie de pagos relacionados con un bono también pueden ser vistos como un préstamo que se amortiza, ya que el precio del bono es igual al valor presente de los pagos sujeto a una tasa de rendimiento. Además, en cada pago realizado queda un balance pendiente. El monto por amortizar en el periodo k está dado por
F (r− i)vn−k+1. (I.68)
Y para el periodo k + m el valor es
F (r− i)vn−(k+m)+1 = (1 + i)mF (r− i)vn−k+1. (I.69)
Duración de Macaulay y Duración modificada
La duración de Macaulay, también conocida simplemente como duración, es un periodo promedio ponderado de cada uno de los flujos de efectivo del bono y puede entenderse como el tiempo que tomará en recuperarse la inversión inicial del bono. Se mide en años y se calcula de la siguiente manera:
