Desarrollo e Implementación de una Herramienta Computacional Basada en la Transformación Local Polinomial de Fourier (LPFT) para el Análisis de Perturbaciones Electromagnéticas

DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN LA TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) PARA

EL ANÁLISIS DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

MARÍA CAROLINA FORERO MEJÍA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

GRUPO DE COMPATIBILIDAD E INTERFERENCIA ELECTROMAGNÉTICA BOGOTÁ

DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN LA TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) PARA

EL ANÁLISIS DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

MARÍA CAROLINA FORERO MEJÍA

Proyecto de grado para optar por el título de Ingeniero Eléctrico

DIRECTOR:

Prof. HERBERT ENRIQUE ROJAS CUBIDES I.E., MSc., PhD(c)

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

GRUPO DE COMPATIBILIDAD E INTERFERENCIA ELECTROMAGNÉTICA BOGOTÁ

Notas de aprobación

El presente trabajo de grado ha sido evaluado y socializado con calificación de cinco punto cero (5.0)

_________Prof. Adolfo Jaramillo Matta PhD_______ Jurado

________Prof. Carmenza Moreno Roa MSc_ _ ____ Jurado

Dedicatoria

A Dios quien lo hace posible A mi papá artífice de quien soy y a quien amo A mi mamá la mujer que me dio la vida A mi hermano de quien no termino de aprender A todos aquellos que han sido parte de mi

crecimiento personal y profesional María Carolina

“La imaginación es la mejor herramienta con que cuenta el ser humano. Por eso siempre debemos creer en la posibilidad de lo imposible”

Agradecimientos

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por haberme brindado espacios de aprendizaje y esparcimiento propicios para mi desarrollo personal y profesional.

Al profesor Herbert Enrique Rojas quién fue mi maestro y guía fundamental en el desarrollo de este proyecto. Por sus aportes intelectuales y personales que sin duda alguna han enriquecido mi formación académica.

A mi familia por la dedicación, esfuerzo y paciencia que han tenido siempre, sobre todo durante el proceso de convertirme en ingeniera eléctrica.

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I

Resumen

Debido a los avances tecnológicos en la industria, la informática y la incursión de nuevos dispositivos electrónicos (conversores análogo-digital, amplificadores de potencia, variadores de velocidad, etc.), han aumentado el interés por conocer y comprender el comportamiento de las diferentes perturbaciones electromagnéticas presentes en los sistemas eléctricos.

A lo largo del presente trabajo de grado se desarrolla e implementa una herramienta computacional –programada en MATLAB ®– basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT). Para esto, se incluye una revisión bibliográfica sobre procesamiento de señales, la definición y propiedades de la LPFT, al igual que los algoritmos computacionales y los códigos de software necesarios para su estimación. La herramienta computacional ha sido desarrollada con énfasis en la detección de la frecuencia instantánea (IF), la identificación de características en el plano tiempo-frecuencia y el análisis de las componentes de energía de señales producidas por perturbaciones electromagnéticas. Además, cuenta con una interfaz gráfica que le da al usuario una mayor comodidad en el manejo del software. La validación del cálculo de la LPFT y el uso de la herramienta se realiza con ejemplos teórico-prácticos encontrados en literatura especializada sobre procesamiento de señales.

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III

Abstract

Due to the technological developments in the industry, informatics and the incursion of new electronic devices (analog-digital converters, power amplifiers, variators of speed, among others), have increased the interest in knowing and understanding the behavior of the different electromagnetic disturbances present in electrical systems

Throughout the present work is develops and implements a computational tool -programmed in MATLAB ®-based on the transformation local polynomial of Fourier (LPFT). For this, it includes a bibliographic review on signal processing, the definition and properties of the LPFT, as well as computational algorithms and software codes required for its estimate.

The computational tool has been developed for the detection of the frequency instant (IF), the identification of characteristics in the time-frequency plane and the analysis of the components of energy of signals produced by electromagnetic disturbances. Also, it has a graphical interface that gives the user a greater comfort in the handling of the software. The validation of the calculation of the LPFT and the use of the tool is done with theoretical-practical examples found in specialized literature about processing of signals.

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V

Aclaraciones

Teniendo en cuenta que esta es una versión digital del documento evaluado y aprobado, no fue posible adjuntar los archivos ejecutables de la herramienta computacional desarrollada como producto principal del trabajo de grado. Sin embargo, en caso de requerir los archivos de la herramienta o tener inquietudes acerca del contenido de este libro, el lector puede comunicarse con la autora del trabajo de grado ([email protected]) o con su director ([email protected])

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LPFT: Transformación Local Polinomial de Fourier LPFT-SP: Procesamiento de Señales Usando LPFT LPPn: Periodograma Local Polinomial Normalizado

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IX

Índice general

1 INTRODUCCIÓN ... 1

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA... 1

1.2 JUSTIFICACIÓN ... 2

1.3 OBJETIVOS ... 3

1.4 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO DE TRABAJO DE GRADO ... 3

2 ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES ... 5

2.1 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO ... 5

2.2 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA ... 5

2.3 ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA ... 7

2.3.1 TFRs basadas en la descomposición de señales ... 9

2.3.2 TFRs basadas en las clases de Cohen ... 10

2.3.3 TFRs rotadas ... 10

3 TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) ... 13

3.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA LPFT ... 13

3.2 VARIABLES EN EL CÁLCULO DE LA LPFT ... 14

3.2.1 La señal ... 15

3.2.2 La función de ventanado... 15

3.2.3 El núcleo o kernel de la LPFT... 20

3.3 DESARROLLO DE ALGORITMOS PARA CALCULAR LA LPFT ... 20

3.3.1 Cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos ... 22

3.3.2 Cálculo de la LPFT con estimadores individuales ... 24

3.4 CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO ... 27

4 VALIDACIÓN DE ALGORITMOS PARA EL CÁLCULO DE LA LPFT ... 28

4.1 SELECCIÓN DE LOS CASOS DE SIMULACIÓN ... 28

4.2 PROCEDIMIENTO DE VALIDACIÓN ... 30

4.3 CASO 1:FUNCIÓN CHIRP ... 30

4.3.1 Resultados presentados en la literatura ... 30

4.3.2 Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos ... 31

4.3.3 Simulaciones algoritmo 1 ... 32

X

4.3.5 Comparación de resultados entre códigos ... 37

4.4 CASO 2:FUNCIÓN FRECUENCIA MODULADA (FM)PARABÓLICA ... 39

4.4.1 Resultados presentados en la literatura ... 39

4.4.2 Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos ... 39

4.4.3 Simulaciones algoritmo 1 ... 40

4.4.4 Simulaciones algoritmo 2 ... 42

4.4.5 Comparación de resultados entre códigos ... 43

4.5 INFLUENCIA DE LA VENTANA ... 45

4.6 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO ... 50

5 HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN LA LPFT ... 52

5.1 DESCRIPCIÓN GENERAL ... 52

5.2 MENÚ SUPERIOR DEL SOFTWARE ... 55

5.3 MÓDULO 1:SELECCIONAR LA SEÑAL ... 55

5.3.1 Matemática ... 56

5.3.2 Calidad de potencia (PQ) ... 56

5.3.3 Otras ... 57

5.9 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO ... 62

6 PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS QUE PUEDEN SER ANALIZADAS USANDO LA LPFT ... 63

6.1 CARACTERÍSTICAS EN TIEMPO Y FRECUENCIA DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS 63 6.2 METODOLOGÍA DE SELECCIÓN DE LOS DOS CASOS DE ESTUDIO ... 70

6.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN DE DESCARGAS PARCIALES ... 71

6.3.1 Modelo de DP para pulsos individuales ... 72

6.3.2 Modelo de DP de secuencia de pulsos ... 73

6.3.3 Parámetros de simulación para las señales de DP ... 73

6.4 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN DE FLICKERS CON TRANSITORIO OSCILATORIO ... 75

6.4.1 Modelo de flickers con transitorio oscilatorio (FTO) ... 75

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XI

7 ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS . 79

7.1 ANÁLISIS DE DESCARGAS PARCIALES ... 79

7.1.1 Análisis en el domino del tiempo ... 80

7.1.2 Análisis en el domino de la frecuencia ... 81

7.1.3 Análisis en el domino del tiempo-frecuencia ... 82

7.2 ANÁLISIS DE FLICKERS CON TRANSITORIO OSCILATORIO ... 86

7.2.1 Análisis en el domino del tiempo ... 87

7.2.2 Análisis en el domino de la frecuencia ... 88

7.2.3 Análisis en el domino del tiempo-frecuencia ... 88

7.3 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO ... 93

8 CONCLUSIONES ... 94

9 TRABAJOS FUTUROS ... 96

_____________________________________________________________________________________________________

XIII

Índice de tablas

XIV

_____________________________________________________________________________________________________

XV

Índice de figuras

FIGURA 2-1. PROCEDIMIENTOS PARA LA EXTRACCIÓN Y CLASIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS A TRAVÉS DE LA CONCENTRACIÓN DE ENERGÍA EN EL DOMINIO TF ... 8 FIGURA 3-1.FUNCIÓN GAUSSIANA,(A).DOMINIO DEL TIEMPO,(B).DOMINIO DE LA FRECUENCIA... 16 FIGURA 3-2.INFLUENCIA DEL VENTANEADO SOBRE LA RESOLUCIÓN Y DISTORSIÓN ESPECTRAL ... 17 FIGURA 3-3.ALGORITMO CÁLCULO DE LA LPFT CON ESTIMADORES SIMULTÁNEOS ... 23 FIGURA 3-4.ALGORITMO CÁLCULO DE LA LPFT CON ESTIMADORES INDIVIDUALES ... 26 FIGURA 4-1.COMPORTAMIENTO DEL LPP DE LA SEÑAL CHIRP,(A).LPP VS Ω1 VS Ω2,(B).LPP VS Ω1

Índice de anexos

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1

1

INTRODUCCIÓN

Durante los últimos años con el desarrollo de nuevas tecnologías, el avance en los sistemas de control y de comunicaciones, la preocupación por el medio ambiente, la disponibilidad de los recursos y la búsqueda de la eficiencia, la eficacia y la rentabilidad de los procesos productivos, surge una nueva forma de ver el sistema eléctrico de potencia. Por lo tanto, el esquema tradicional del sistema eléctrico ha venido afrontando cambios paulatinos como la integración de fuentes alternativas de energía, la aparición de la generación distribuida, la inclusión de tecnología basada en electrónica de potencia, una mayor interacción por parte de los usuarios con el sistema, etc. Estos a su vez son causantes de una gran variedad de efectos adversos para la red que perjudican tanto a clientes como a proveedores del sector eléctrico.

Por esta razón, desde la década de los 90 hasta la actualidad se ha incrementado el interés por el término calidad de potencia y en general por el estudio de los distintos tipos de perturbaciones electromagnéticas que pueden afectar la calidad del suministro de energía eléctrica, dentro de las cuales se tienen: huecos de tensión (sags o dips), sobretensiones (swells), flickers, distorsión armónica, ruido, descargas electromagnéticas, transitorios, rayos, entre otros. [1]. Lo que ha impulsado el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas y computacionales que permitan identificar, caracterizar y clasificar dichas perturbaciones, y con ello, generar estrategias efectivas para mitigar los daños que estos fenómenos producen.

1.1

P

En la carrera por explorar y evaluar el comportamiento de diversas perturbaciones electromagnéticas se han utilizado una variedad de herramientas, entre ellas se encuentran los métodos orientados al procesamiento de señales. Estos métodos buscan la representación, transformación e identificación de las características de una señal no solo en el tiempo, sino también en la frecuencia o en espacios híbridos tiempo-frecuencia. En el grupo de las técnicas clásicas de procesamiento se tienen la transformación de Fourier (FT), la transformación discreta de Fourier (DFT) y la transformación rápida de Fourier (FFT), usadas ampliamente para el estudio de señales estacionaras [2], [3]. Por otro lado, la transformación de Fourier de corto tiempo (STFT) [4]–[6], la transformación Wavelet (WT) [7]–[9] y la transformación S (ST) [10]–[13] han sido ampliamente usadas para señales no estacionarias que son originadas debido a perturbaciones electromagnéticas [3], [14].

2

de las señales producidas por perturbaciones electromagnéticas se tengan a disposición, existe mayor probabilidad de confirmar e identificar características importantes de un tipo de evento en particular. Por esta razón, la implementación de nuevas técnicas de procesamiento de señales basadas en herramientas matemáticas y en representaciones tiempo-frecuencia (TFRs), como la transformación local polinomial de Fourier (LPFT), cuyas aplicaciones han sido poco exploradas en el campo de la ingeniería eléctrica, cobran gran importancia en el estudio de perturbaciones provocadas por fenómenos electromagnéticos [17], [18], lo que lleva al siguiente interrogante: ¿Se puede desarrollar e implementar una herramienta computacional basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) para el análisis de señales producidas por perturbaciones electromagnéticas?

1.2

J

Para analizar en el tiempo las variaciones de una señal respecto a los parámetros ideales que las caracterizan (amplitud, frecuencia, forma de onda, desbalance o asimetría y continuidad) es necesario su constante monitoreo, pues cualquier cambio en sus características permite la detección oportuna de fenómenos que afectan al sistema eléctrico. Sin embargo, de nada serviría contar con innumerables registros si estos eventos no son analizados con ayuda de técnicas de procesamiento de señales con miras a su identificación, caracterización y clasificación, para luego tomar los correctivos respectivos del problema que se esté enfrentando [16]. Así mismo, es importante contar con un módulo de simulación que permita reproducir ciertos fenómenos electromagnéticos y analizarlos a través de una herramienta computacional facilita el estudio y comprensión de los mismos.

Muchas de las perturbaciones electromagnéticas producen señales que no son periódicas, por lo cual su análisis es un poco más complejo respecto a señales estacionarias. Esto conlleva a que las técnicas de procesamiento que se deben utilizar realicen un análisis tiempo-frecuencia de la señal como lo hace la transformación de Fourier de corto tiempo o de ventana deslizante (STFT), la transformación de Wavelet (WT) o la transformación fraccional de Fourier (FRFT), entre otras. Tanto la STFT, la WT y la FRFT han sido implementadas en MATLAB y utilizadas para el análisis de perturbaciones electromagnéticas como se evidencia en la literatura [9], [10]. Sin embargo, con la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) no se han presentado aún experiencias en este campo.

_____________________________________________________________________________________________________

3

1.3

O

Para el desarrollo del presente trabajo de grado se ha planteado como objetivo general: Desarrollar e implementar una herramienta computacional basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) para el análisis de dos tipos de perturbaciones electromagnéticas.

Para lograr dicho objetivo, se plantearon los siguientes objetivos específicos:

1. Examinar y comprender la estructura matemática de la transformación local polinomial de Fourier resaltando sus propiedades y aplicaciones.

2. Desarrollar un algoritmo (a nivel de software) para el cálculo de la transformación local polinomial de Fourier que facilite la implementación de la herramienta computacional.

3. Validar el funcionamiento de los algoritmos y la herramienta computacional desarrollada, mediante la comparación de los resultados obtenidos por esta herramienta con los proporcionados por ejemplos presentados en la literatura. 4. Revisar teóricamente las características en tiempo y frecuencia de las señales

producidas por perturbaciones electromagnéticas típicas para seleccionar al menos dos tipos de estas como casos de estudio.

5. Aplicar la herramienta computacional propuesta en la identificación de las características de frecuencia y componentes de energía de las perturbaciones electromagnéticas seleccionadas como casos de estudio.

1.4

E

Este trabajo de grado se desarrolla en siete capítulos y 8 anexos físicos y 3 anexos digitales. Se incluye una revisión bibliográfica, los algoritmos computacionales para la implementación de la LPFT, un ejecutable de la herramienta, el manual de funcionamiento de la misma y los resultados de la aplicación de la herramienta en el análisis de perturbaciones electromagnéticas.

4

_____________________________________________________________________________________________________

5

2

ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES

El procesamiento de señales hace referencia a la extracción de datos y características que no son fácilmente perceptibles en el registro de una señal [16], por consiguiente su principal objetivo es proporcionar información sobre un problema (evento) en específico permitiendo su análisis, evaluación y finalmente la toma de decisiones [17]. Procesar una señal enmarca un conjunto de etapas las cuales van desde la adquisición de la señal bajo estudio hasta la estimación de indicadores estadísticos o características particulares de la señal, pasando por el alistamiento y organización de los datos, y por la selección de la herramienta matemática o la técnica computacional elegida para la extracción de la información [2], [3], [16]. Estas técnicas usadas en el procesamiento de señales pueden clasificarse como algoritmos basados en el dominio del tiempo, de la frecuencia o del tiempo-frecuencia.

En este capítulo se presenta una breve introducción al procesamiento de señales, sus objetivos y aplicaciones. Además, se revisan los diversos tipos de análisis que se pueden realizar cuando se procesa una señal. Finalmente, se hace una clasificación de las técnicas de procesamiento más usadas en el análisis de señales estacionarias y no-estacionarias. Dentro de esta clasificación se hace énfasis en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT), se definen sus características, ventajas y desventajas.

2.1

A

Este tipo de análisis se realiza a través de la representación amplitud versus tiempo de la señal bajo estudio, lo cual permite observar su magnitud, forma de onda, tiempos de desplazamiento, etc. Uno de los elementos que permite llevar a cabo este tipo de análisis es el osciloscopio, que es un instrumento que representa de manera gráfica una señal en función del tiempo [19].

Cuando se utilizan herramientas de procesamiento de señales basadas en el dominio del tiempo para el análisis y extracción de características de una señal, se podrá disponer de algunos parámetros como lo son los niveles de amplitud, la señal de energía en un intervalo de tiempo y de promedios estadísticos, los cuales son de gran utilidad cuando el enfoque de la aplicación es la inspección visual y la medición de distancias, retrasos o desfasamientos, permitiendo así la clasificación y el reconocimiento de las singularidades de la señal [17].

2.2

A

6

conocer la distribución en amplitud para cada frecuencia de la señal en un instante de tiempo determinado. Un ejemplo que facilita la interpretación del análisis frecuencial es la descomposición de la luz solar en los colores del arco iris a través de un prisma, en donde este último hace las veces de “herramienta de procesamiento” para el análisis de las componentes del haz de luz en los diferentes colores o “componentes frecuenciales”. De esta manera si se desea recuperar la señal original después de haber realizado el análisis frecuencial se deben sumar las diferentes componentes resultantes en este proceso [2], [19].

Al emplear algoritmos basados en el dominio de la frecuencia para el procesamiento de señales, el análisis y la extracción de características de una señal se puede llevar a cabo mediante la utilización de una serie de parámetros como lo son las bandas de frecuencia, los coeficientes de Fourier, la señal de energía en una banda de frecuencia, etc. Dichos elementos son de gran provecho cuando el enfoque de la aplicación a la cual se dirige el procesamiento de señales es la inteligencia artificial y la lógica difusa, lo cual permite la clasificación y el reconocimiento de las singularidades de la señal con miras a tomar decisiones al respecto [17].

Entre las transformaciones más utilizadas en el análisis del dominio de la frecuencia se encuentra la transformación clásica de Fourier FT, la cual es definida como una descomposición de las señales bajo análisis en términos de componentes sinusoidales o de exponenciales complejas que tienen diferente frecuencia [3]. Al aplicar la FT se pueden conocer las componentes de frecuencia de la señal como se mencionó anteriormente, sin embargo esta técnica requiere la utilización de todos los datos del registro de una señal para su análisis y no se puede determinar el valor de una componente frecuencial en un instante de tiempo específico.

Cuando se evalúa el comportamiento de la FT es posible establecer como este tipo de análisis presenta una buena resolución en la frecuencia a cambio de perder toda información en el tiempo. Por esta razón, la FT es exitosa en el análisis de señales estacionarias pero no es conveniente utilizarla para determinar el momento en que una componente de frecuencia aparece en la señal o cuando el contenido espectral de la señal cambia en cada instante de tiempo, como ocurre en las señales no estacionarias [20].

Por otra parte, la transformación discreta de Fourier (DFT) es un caso particular de la FT para secuencias de longitud finita en que evalúa el espectro solamente en unas frecuencias concretas y por consiguiente, se obtiene un espectro discreto [21]. Debido a la complejidad matemática que se debe realizar al implementar la DFT, se desarrolló un algoritmo computacional, denominado transformación rápida de Fourier (FFT).

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7

La transformación de Fourier es muy útil en el análisis de armónicos, y es una herramienta esencial para el diseño de filtros. Sin embargo, hay algunas desventajas, tales como pérdidas de información temporal [3] y el no permitir la descripción de la variación del contenido espectral de una señal con respecto al tiempo. De esta manera, la FT sólo provee resultados satisfactorios en el análisis y procesamiento de señales estacionarias [17].

Debido a que las señales no-estacionarias son señales no periódicas o señales cuyas componentes espectrales varían en el tiempo [16], [24], es necesario el uso de herramientas diferentes a la FT, la DFT o la FFT que realicen un análisis espectral detallado sin perder resolución en el tiempo, es decir que realicen el procesamiento de las señales mediante representaciones tiempo-frecuencia.

2.3

A

-

El enfoque tradicional asume la estacionariedad de las señales, lo cual en la práctica no es provechoso. Por lo tanto, las descripciones independientes de tiempo y frecuencia son insuficientes para proveer información sobre señales que no son estacionarias. Por el contrario el análisis tiempo-frecuencia (TFA) es más adecuado para este tipo de señales [17].

Cuando se emplean herramientas de procesamiento de señales basadas en el dominio tiempo-frecuencia, el análisis y extracción de características de una señal se podrá permite la clasificación y el reconocimiento de las singularidades de la señal con el fin de tomar decisiones al respecto [17].

El objetivo principal del TFA es determinar la concentración de energía de una señal bajo estudio a lo largo del eje de la frecuencia en un instante de tiempo dado con ayuda de las representaciones tiempo-frecuencia (TFRs) [14]. Para esto, las TFRs pueden ser clasificadas de varias formas según el enfoque del análisis.

8

Las distribuciones tiempo-frecuencia (TFD), representan la segunda categoría de las TFR, estas se caracterizan por tener presente una función kernel (núcleo) que generalmente es no lineal y presenta términos cruzados [18]. Las propiedades de dichas representaciones están ligadas a las restricciones sobre el kernel [14]. Algunos de los métodos comúnmente utilizados para obtener las TFD son la distribución Wigner (WD), la distribución Gabor-Wigner (GWD), la distribución Choi-Williams y el espectrograma [14].

Como se mencionó anteriormente, una de las características más importantes en el procesamiento de señales con un TFA es la concentración de energía. Esto se debe a que al analizar su comportamiento en un determinado instante de tiempo, o banda de frecuencia, se puede percibir información acerca de un fenómeno particular con fines de diagnóstico [17].

De esta manera, la concentración de energía en el dominio tiempo-frecuencia (TF-d) como característica particular de una señal puede ser vista desde dos puntos de vista: el primero, se basa en la extracción de características de la señal a partir del aumento de la concentración de energía en el TF-d, lo cual desde el punto de vista del reconocimiento de singularidades significa aumentar la resolución de las TFRs. Algunas de estas alternativas están basadas en la descomposición de una señal a partir del uso de TFRs basadas en las clases de Cohen y las TFRs rotadas. El segundo enfoque aborda el desarrollo de esquemas de clasificación y reconocimiento de la señal a partir de la inspección visual, las propiedades estadísticas y la medida de distancias que provee la concentración de la energía. Esta clasificación se muestra en la Figura 2-1.

Figura 2-1. Procedimientos para la extracción y clasificación de características a través de la concentración de energía en el dominio TF

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9

2.3.1

TFRs basadas en la descomposición de señales

Son utilizadas para representar la concentración de energía siempre y cuando la TFR seleccionada no presente términos cruzados, es decir, cuando la técnica de procesamiento se comporta de manera lineal. Algunos de los métodos para la descomposición de señales son la transformación de corto tiempo de Fourier (STFT), la transformación wavelet (WT), la transformación S (ST) y la transformación armónica de corto tiempo (STHRT). A continuación, se describen con más detalle dos de las TFRs más usadas por la comunidad científica.

 Transformación de corto tiempo de Fourier (STFT)

Es uno de los métodos más comunes en el análisis tiempo-frecuencia, en el cual la señal bajo estudio es dividida en una secuencia de segmentos que se multiplican por una función ventana para luego calcular la transformada de Fourier [14]. Al utilizar la STFT se logra conocer en qué intervalo de tiempo se produce la aparición de una singularidad de la señal bajo estudio, siempre y cuando se elija de manera correcta el ancho de la función ventana.

Para todos los casos, si la ventana seleccionada es muy estrecha se conseguirá una buena resolución en tiempo pero una pésima resolución en frecuencia y viceversa. Por lo tanto, un defecto de la STFT es el no poder dar una alta resolución tanto en tiempo como en frecuencia de manera simultánea [20].

 Transformación Wavelet (WT)

La WT, es una herramienta matemática desarrollada a mediados de los años 80, que ha tenido gran impacto en los últimos años. Esta transformación es muy utilizada para el análisis de señales no estacionarias. Al igual que la STFT, la WT evalúa la frecuencias de mayor rango de una señal se realiza usando ventanas angostas y el análisis de las frecuencias de menor rango se hace utilizando ventanas anchas [25]. La WT ha sido empleada en el análisis local de señales no estacionarias, el análisis de transitorios y sistemas de potencia [26], [27], la detección de impulsos electromagnéticos y descargas parciales [8], [28]–[31], el estudio de eventos que afectan la calidad de la energía [32]–[36], entre otros.

10

Tabla 2-1. Propiedades de las técnicas de descomposición

Método Ventajas Desventajas

STFT Implementación simple Un ancho constante de la ventana _{limita la resolución TF}

WT Resolución variable

No mantiene la fase absoluta de los componentes de señal Una escala para la conversión de frecuencia es dependiente de la wavelet madre

ST Resolución variable La fase absoluta de cada

componente se mantiene Función de ventana única

STHT Fácil implementación Las mismas desventajas que STFT

Fuente: Adaptado de [17]

En la Tabla 2-1 se puede observar que existe una cantidad de métodos que pueden ser seleccionados para la representación de concentración de energía en el dominio TF, cada uno con sus ventajas y desventajas. Esto demuestra que la selección de la TFR dependerá del tipo de aplicación o evento que se desee analizar. Sin embargo, este resumen permite inferir el hecho de que no hay una técnica perfecta sin importar que tanto se ajusten los parámetros de estudio.

2.3.2

TFRs basadas en las clases de Cohen

El atractivo de las FTRs basadas en las clases de Cohen radica en que estós métodos pueden minimizar los términos cruzados ajustando sus parámetros y pueden producir representaciones de muy alta resolución [18]. Debido a esto, las investigaciones en esta área van dirigidas a reducir o eliminar los efectos de los términos cruzados a través de una función kernel que está diseñada como un filtro pasa bajo para este propósito, así como también para obtener las propiedades deseadas de la TFR.

2.3.3

TFRs rotadas

Las TFR son utilizadas para la extracción de características tales como la concentración de energía y las características tiempo-frecuencia de las señales bajo estudio [37]. Algunas de estas son la Distribución Radon-Wigner (RWD), la transformación fraccional de Fourier (FRFT) y la transformación local polinomial de Fourier (LPFT). A continuación se describe con más detalle la FRFT y la LPFT:

 Transformación fraccional de Fourier (FRFT)

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La FRFT posee aplicaciones en filtrado óptimo en el dominio fraccional, en óptica, en análisis tiempo-frecuencia y en radar y sonar [39]–[41].

 Transformación local polinomial de Fourier (LPFT)

La transformación local polinomial de Fourier (LPFT) fue presentada por Vladimir Katkovnik en 1995 [42]. Esta TFR es una forma generalizada de la transformación de Fourier de corto tiempo (STFT) cuando el orden del polinomio es . Aunque no ha sido ampliamente difundida entre la comunidad científica especializada, la LPFT ha sido usada en aplicaciones con señales no estacionarias y con el fin de conocer los cambios en el contenido frecuencial (respecto al tiempo) de la señal bajo estudio.

La LPFT permite estimar la variación de la frecuencia instantánea (IF) respecto al tiempo y puede ser definida matemáticamente como se muestra en la Ecuación función polinomial para describir las características de la frecuencia instantánea (IF) de señales variantes en el tiempo, también conocidas como señales de fase polinomial (PPSs), esta puede proporcionar una mejor concentración y resolución que la STFT. Además, debido a su linealidad, la LPFT está libre de términos cruzados lo cual facilita su operación a diferencia de otras transformadas como la distribución Wigner (WD) [45].

12

Tabla 2-2. Propiedades de las técnicas rotadas

Método Ventajas Desventajas

LPFT Provee una generalización de la FRFT para cualquier orden del polinomio IF

El incremento de dimensionalidad representa un aumento de la complejidad del calculo

Fuente: Adaptado de [17]

Con el propósito de brindar al lector una idea de que tanto se han utilizado a la fecha las diferentes TFRs descritas en la Sección 2.3, la Tabla 2-3 presenta una comparación entre las diversas aplicaciones de estas técnicas de procesamiento de señales.

Tabla 2-3. Matriz de implementación de las TFRs en diversas aplicaciones

Aplicaciones Descomposición TFR

MI: Muy Implementada I: Implementada

PI: Poco Implementada NI: No Implementada

Fuente: Adaptado de [17]

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13

3

T

RANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE

FOURIER (LPFT)

Dentro del desarrollo de este trabajo de grado es fundamental examinar y comprender las características de la LPFT ya que a partir de sus bases teóricas será posible crear algoritmos y códigos (a nivel de software), y así, facilitar la implementación de una herramienta computacional confiable. En el presente capítulo se estudia la definición y propiedades de la LPFT, se analizan las variables que se integran en su definición matemática y se proponen dos algoritmos computacionales para su cálculo. La fundamentación matemática que se utiliza para el desarrollo de este proyecto es la propuesta por Vladimir Katkovnik en las referencias [46]–[48].

3.1

D

LPFT

La LPFT es una forma generalizada de la STFT la cual puede proporcionar una concentración de energía y una resolución mucho mayor en el plano tiempo-frecuencia [18] debido a que incluye un polinomio de su exponente compleja. La LPFT es una representación tiempo-frecuencia lineal que se define matemáticamente como se muestra en la Ecuación (3-1) [49]:

Donde, es el grado de la LPFT. Dentro de los elementos que hacen parte del polinomio en el exponente complejo de la LPFT se encuentra la frecuencia instantánea (IF) , su primera derivada y derivadas de órdenes superiores que dependerán del grado ( ) de la transformación. Todos ellos hacen parte de un conjunto de estimadores y están definidos como se muestra en la Ecuación (3-3) [49], [50]:

̅ ( ) ̅ _(3-3)

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14

para una señal que posea variaciones rápidas de FI es interesante determinar no solamente la primera derivada de la FI, sino sus derivadas de orden superior. Los estimadores agrupados en el vector ̅ presentan un intervalo sobre el cual pueden variar, ver Ecuación (3-4) [49].

{ } _(3-4)

A partir de la definición mostrada en la Ecuación (3-1) se puede concluir que ̅ es una función periódica ̅ , con periodos iguales a ⁄ , donde . A partir de esto, el rango de valores que puede asumir cada estimador que hace parte del vector ̅ es [43]:

̅ ( ) _(3-5)

Se considera que existe una relación entre la LPFT y el periodograma local polinomial (LPP) a través de las variaciones de la IF y sus derivadas dado que este último se define como la distribución de energía en el plano tiempo-frecuencia

( ). El LPP es definido de la siguiente forma:

̅ | ̅ | _(3-6)

Tanto la LPFT como el LPP pueden calcular aplicando el concepto de la aproximación local polinomial (LPA), la cual es una técnica no paramétrica que proporciona los estimadores de una función polinomial dentro de una ventana de análisis y está fundamentada en un ajuste polinómico medio cuadrático a partir de series truncadas de Taylor [51], [52].

En el caso de la LPFT, la LPA es utilizada para aproximar de manera local el vector de estimadores ̅ sobre un intervalo de ventaneado . Es decir, para cada instante de tiempo en el intervalo que dura la señal se calcula un vector ̅ que contiene un conjunto de coeficientes . De esta manera, ̅ no se puede considerar como un polinomio de coeficientes constantes en función del tiempo. Esta es la principal diferencia que existe entre el uso de estimadores no-paramétricos y la aplicación de estimadores paramétricos los cuales definen coeficientes independientes que son asumidos como constantes en la fase polinomial (ver Ecuación (3-2)) sin importar la variación del tiempo [52].

3.2

V

LPFT

_____________________________________________________________________________________________________

15

3.2.1

La señal

Aunque la señal es un patrón de datos con características particulares según el fenómeno que se mide, monitorea o analiza y su selección depende de quien realiza el análisis, es importante aclarar que para desarrollar tareas de procesamiento digital de señales (como el que se desarrolla en este trabajo) se requiere un adecuado muestreo de la señal.

De esta manera, al ser la LPFT una generalización de la STFT, y esta es a su vez una modificación de la FT clásica, es necesario el tiempo de muestreo seleccionado durante el proceso de captura o digitalización de la señal cumpla con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, el cual establece que la tasa de muestreo de una señal debe ser superior al doble de su ancho de banda [53], [54].

3.2.2

La función de ventanado

En procesamiento digital de señales la función matemática que se usa para fraccionar una señal en varios trozos es conocida como ventana y al proceso de segmentar la señal en intervalos de análisis se denomina ventaneado [55]. Entre las funciones ventana más conocidas se encuentran la rectangular, gaussiana, haming y hann [55]–[57]. Para ser usada en el cálculo de la LPFT una función ventana debe poseer las siguientes propiedades matemáticas:

1. . Esta propiedad establece que el punto máximo

de la ventana debe estar centrado en , el cual se considera como el punto de simetría. Cuando esto se cumple y a su vez aparece sobre el eje de simetría el punto máximo de la ventana se habla de ventanas simétricas, de lo contrario se consideran ventanas no simétricas [47], [52].

2. ; | | ; ∫ . Esta propiedad establece que el área bajo la curva de una función ventana debe ser igual a . Cuando esta condición se cumple se habla de ventanas normalizadas de lo contrario son no normalizadas [46], [47].

_____________________________________________________________________________________________________

16

Tabla 3-1. Características en el dominio del tiempo y frecuencia de las funciones ventana

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

 Ancho de la ventana  Anchura del lóbulo principal

 Longitud de la ventana  Lóbulo secundario

 Duración de la ventana

 Magnitud del rizado

 Selectividad

Fuente: Autor

La Figura 3-1 muestra de manera gráfica un ejemplo para una ventana gaussiana donde se relacionan algunas de las características presentadas en la Tabla 3-1.

(a) (b)

Figura 3-1. Función Gaussiana, (a). Dominio del tiempo, (b). Dominio de la frecuencia

Fuente: Autor

A continuación, se presentan las definiciones de las características de una función ventana en el dominio de la frecuencia:

 Anchura del lóbulo principal: Este parámetro determina la capacidad de la ventana para separar componentes de similar amplitud. Por lo cual establece la resolución del espectro. Además, es dependiente de la longitud de la ventana, de manera que entre más larga sea en el tiempo más estrecho será el lóbulo [57]– [59].

 Lóbulo secundario: Este parámetro establece la manera en la cual la ventana distorsiona el espectro y pueden ocultar detalles o introducir componentes espectrales indeseables [57]–[59].

 Magnitud del rizado: Este parámetro determina la habilidad de la ventana para representar la magnitud de las componentes frecuenciales [58], [59].

_____________________________________________________________________________________________________

17

Durante el cálculo de la LPFT, el tipo de función y el ancho ( ) de ventana son parámetros seleccionados por quién realiza el análisis. Sin embargo, de la elección de la ventana depende la capacidad de resolución y dispersión espectral que la técnica de procesamiento pueda entregar [55]. Un diagrama de la influencia de la ventana en el cálculo de la LPFT y el LPP se muestra en la Figura 3-2.

De acuerdo a este diagrama, es posible afirmar que para aumentar la resolución y disminuir la distorsión espectral se debe utilizar una ventana que en el dominio de la frecuencia tenga un lóbulo principal angosto y un lóbulo secundario muy pequeño [58]. Sin embargo, es difícil encontrar una ventana que cumpla esta condición ya que generalmente una función ventana puede mejorar la resolución sacrificando la dispersión espectral, o viceversa. Por esta razón, siempre hay que definir la prioridad según la aplicación y el tipo de estudio que se quiera realizar [58], [59].

Figura 3-2. Influencia del ventaneado sobre la resolución y distorsión espectral

Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

18

Tabla 3-2. Características en el dominio de la frecuencia de las funciones ventana

Ventana Ancho lóbulo _principal Nivel lóbulo _secundario Magnitud del _rizado Factor de _forma

Rectangular -13dB 3.92dB 750

Gaussiana -43dB 1.58dB 45.9

Hamming -41dB 1.40dB 9.2

Hann -31dB 1.40dB 9

Fuente: Adoptado de [58], [59]

Cabe aclarar que no existe una ventana más adecuada que otra, su apropiada elección dependerá de evaluar sus características en tiempo y frecuencia en relación al tipo de señal bajo estudio y de la experticia de quién hace el análisis. Por ejemplo, la ventana gaussiana presenta mayor selectividad que la ventana rectangular, es decir, permite diferenciar con mayor facilidad componentes de diferente amplitud que componentes de amplitud similar. Esta selectividad depende del factor de forma (ver Tabla 3-2), en cuyo caso presenta mayor selectividad a medida que disminuye su valor.

_____________________________________________________________________________________________________

19

Tabla 3-3. Características en el dominio del tiempo de las funciones ventana

Nombre Expresión Matemática Variables

Función Rectangular determinar que la ventana rectangular y gaussiana presentan un lóbulo principal más estrecho en comparación con otras ventanas de igual número de muestras, lo cual mejora la resolución espectral. Sin embargo, la gran magnitud del lóbulo secundario hace que detalles de baja intensidad en el espectro puedan ocultarse, o puede ocasionar que durante el análisis se incluyan componentes indeseables.

_____________________________________________________________________________________________________

20

Al igual que no existe tipo de ventana adecuada, ocurre lo mismo con la selección del número de muestras de la función ventana. Si se utilizan ventanas anchas (mayor cantidad de muestras) la localización en el tiempo de los eventos es mucho mejor pero empeora la resolución en la frecuencia, caso contario cuando las ventanas son angostas. En consecuencia, en el caso de una señal con grandes variaciones en el tiempo sería propicio utilizar una ventana angosta como lo es la función gaussiana. De lo contrario, estaría bien utilizar una ventana rectangular o una ventana con un gran número de muestras (ventana ancha). No obstante, debido a que muchas veces la selección de la ventana es subjetiva, se recomienda que antes de iniciar cualquier estudio se realicen algunas pruebas preliminares con el fin seleccionar la función más adecuada.

3.2.3

El núcleo o kernel de la LPFT

Teniendo en cuenta el teorema de aproximación de Weierstrass [17], [50] la fase de una señal variable en el tiempo puede ser definida a través de una función polinomial. A este tipo de señales se les conoce como señales de fase polinomial (PPSs) y su modelo es el siguiente:

( ) _(3-7)

Donde, es la fase polinomial de la señal y representa la amplitud de la misma. Para que una señal cumpla esta condición es importante que la función sea diferenciable respecto al tiempo con el fin de estimar la frecuencia instantánea (IF) y sus derivadas [43]. De esta manera, la IF de la señal puede ser definida como [49]:

⁄ _(3-8)

Esta definición de la IF está relacionada con la estructura matemática de la LPFT, específicamente con su núcleo o kernel, ya que el polinomio de su exponencial compleja está constituido por los estimadores ̅ ( ). De esta manera, la LPFT puede definirse como una técnica que utiliza una función polinomial para describir las características de IF de señales variantes en el tiempo, proporcionando así mejor concentración y resolución que la STFT [44], [52], [60]. Teniendo claro el modelo de señal usado, se debe tener en cuenta que los estimadores

̅ son el parámetro insignia de la LPFT. Sin embargo, la cantidad de operaciones que se deben realizar para determinar los estimadores (en cada instante de tiempo) aumenta en función de la función ventana utilizada, del número de muestras que posee la señal de interés y del orden polinomial . Por esta razón, se debe prestar especial atención en los métodos de cálculo que permitan obtener los estimadores de la manera más confiable y eficiente.

3.3

D

LPFT

_____________________________________________________________________________________________________ simbolos y abreviaturas, para esta ecuación se conservan las mismas expresiones presentadas desde la Ecuación (3-2) hasta la Ecuación (3-4).

Existen en la literatura dos maneras de calcular los estimadores ̅ y por tanto realizar el cálculo de la LPFT y del LPP. El primero de ellos fue implementado por Li Xiumei en [45]. En este método se aplica una función ventana para dividir la señal y modelar cada porción como una señal PPS estimando sus parámetros de fase a través de la transformación polinomial tiempo frecuencia (PTFT), para luego si calcular la LPFT [18], [45], [61]–[63].

El segundo es el método propuesto por Katkovnik en [42], [43], [46]–[48] y se basa en la aplicación de la LPA para determinar el valor de los estimadores ̅ en cada instante de tiempo. En este método la LPA busca los puntos de mayor concentración de energía en el LPP (ver Ecuación (3-6)) mediante el siguiente problema de optimización [47], [64]:

̅ _̅ ̅ _(3-10)

La adecuada localización de cada estimador ̅ de la LPA se asegura mediante la función ventana , la cual sólo considera las observaciones en la vecindad del punto central sobre el cual se está calculando la aproximación local.

Para el desarrollo de este trabajo se ha tomado como punto de referencia el método propuesto por Katkovnik que se basa en el concepto de la LPA. Sin embargo, se realizan algunas aclaraciones sobre las definiciones presentadas en la literatura y se describe el proceso completo para la implementación computacional de LPFT a partir de dos algoritmos que permiten dar solución al problema de optimización presentado en la Ecuación (3-10). Estos algoritmos hacen parte de los aportes más importantes de este trabajo pues en ninguna de las publicaciones hechas por el autor mencionado se presentan de manera completa.

Teniendo en cuenta los parámetros necesarios para el cálculo de la LPFT, los datos de entrada para los dos algoritmos propuestos en este trabajo son:

a. La señal bajo estudio que debe estar compuesta por un vector de tiempo ( ) y un vector de amplitud ( )

_____________________________________________________________________________________________________ dependiendo del orden de la LPFT. Esto ocurre para ambos algoritmos.

3.3.1

Cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos

Este algoritmo se caracteriza por que evalúa de forma simultanea los valores de , creando todas las posibles combinaciones de los estimadores que puedan existir dentro de los límites definidos. Para este proceso, se requiere construir matrices de dimensiones dependiendo del orden definido para la LPFT. De esta manera, se tendrán un vector para , matrices de dos dimensiones para y así sucesivamente. Para este método luego de contar con las variables iniciales se procede a:

a. Calcular el período de muestreo de la señal , el número de muestras de la

f. Guardar el valor máximo de

g. Calcular el LPP normalizado

h. Hallar posición en la matriz en la se encuentra el valor máximo del

i. Buscar en el vector o en las matrices el valor de

j. Almacenar los valores encontrados de , en una matriz llamada Todo este proceso se realiza para cada instante de tiempo de la señal bajo análisis. Al final como parámetros de salida del algoritmo se obtendrá el , y los estimadores ̅ . Sin embargo, debido a la cantidad de datos que se generan para establecer todas las combinaciones posibles de y el tamaño considerable de memoria que se requiere para almacenar esta información durante el proceso de cómputo, en este trabajo sólo se ha implementado este algoritmo para calcular la LPFT y el LPP con órdenes .

Teniendo en cuenta estos ajustes y dependiendo del orden polinomial definido, este algoritmo permite mostrar de manera gráfica las siguientes relaciones:

 Gráficas en 2D: relación entre cada estimador y el tiempo (por ejemplo: vs )

_____________________________________________________________________________________________________

23

puede graficar el LPP o el LPP normalizado en función de un estimador y el tiempo (por ejemplo: LPP vs vs o LPPnorm vs vs )

Finalmente, la Figura 3-3 muestra el algoritmo de cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos [65].

Figura 3-3. Algoritmo cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos

_____________________________________________________________________________________________________

24

3.3.2

Cálculo de la LPFT con estimadores individuales

Este algoritmo fue construido teniendo en cuenta las consideraciones realizadas por Katkovnik en [52]. Estas recomendaciones permiten la formulación de un algoritmo basado en una optimización unidimensional para cada iteración que se realice en busca de los estimadores ̅ . Aunque en [52] se afirma que este método de calculo ha presentado resultados exitosos para calcular la LPFT y el LPP con , en este trabajo de grado se ha implementado un algoritmo que permite calcular la LPFT, el LPP y los estimadores hasta el orden .

En contraste con el primer algoritmo, este método calcula cada uno de los estimadores de manera individual, es decir, se evalúa inicialmente con seleccionado de , que para este trabajo es 6 como máximo.

Para este algoritmo, después de tener las variables iniciales se procede a:

a. Calcular el período de muestreo de la señal , el número de muestras de la

h. Buscar en el vector , la posición fila-columna

i. Almacenar los valores encontrados de _{, en una matriz llamada}

_____________________________________________________________________________________________________

25

r. Almacenar los valores encontrados de , en una matriz llamada Todo este proceso se realiza para cada instante de tiempo de la señal bajo análisis y se repite individualmente para cada estimador según el valor de Al terminar el algoritmo como parámetros de salida se obtendrá el , y los estimadores ̅ .

Teniendo en cuenta la dificultad (por hardware) de graficar vectores en 3D en MATLAB y el orden polinomial definido, este algoritmo permite visualizar:

 Gráficas en 2D: relación entre cada estimador y tiempo (por ejemplo: vs )

 Gráficas en 3D: comportamiento del LPP o el LPP normalizado en función de un estimador y el tiempo (por ejemplo: LPP vs vs o LPPnorm vs vs )

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

26

Figura 3-4. Algoritmo cálculo de la LPFT con estimadores individuales

_____________________________________________________________________________________________________

27

3.4

C

 Con este capítulo se da cumplimiento al objetivo específico 1 “Examinar y comprender la estructura matemática de la transformación local polinomial de Fourier resaltando sus propiedades y aplicaciones” y cumplimiento parcial al objetivo específico 2 “Desarrollar un algoritmo (a nivel de software) para el cálculo de la transformación local polinomial de Fourier que facilite la implementación de la herramienta computacional”.

 La LPFT, a diferencia de otras técnicas para el procesamiento de señales (FT, STFT, Wavelet, entre otras) permite estimar las variaciones de frecuencia instantánea y sus derivadas para una señal en cada instante de tiempo. Esto se consigue gracias a que su núcleo de transformación (kernel) posee un polinomio cuyo orden mejora la precisión con la que se localizan las componentes de frecuencia de la señal en el tiempo.

 Se propusieron dos algoritmos para el cálculo de la LPFT basados en la aplicación de la aproximación local polinomial (LPA). El algoritmo 1, evalúa de forma simultánea los valores de los estimadores , creando todas las combinaciones posibles dentro de los límites definidos, mientras que el algoritmo 2 evalúa los estimadores de manera individual.

_____________________________________________________________________________________________________

28

4

V

ALIDACIÓN DE ALGORITMOS PARA EL

CÁLCULO DE LA LPFT

Para verificar la operación de los algoritmos propuestos para el cálculo de la LPFT y obtener las variables de salida establecidas ( , y los estimadores ̅ ) es necesario realizar un proceso de validación con cada uno de ellos. Este capítulo presenta, a partir de la selección de cuatro casos de estudio documentados en la literatura, el proceso de revisión al que fueron sometidos los dos algoritmos (programados en MATLAB®) para el cálculo de la LPFT. Además, se analizan los resultados obtenidos con ambos algoritmos a partir de una comparación gráfica y se calcula el error en el cálculo de los estimadores. Finalmente, se evalúa la influencia de la función ventana en el cálculo del periodograma local polinomial (LPP).

4.1

S

Con el fin de seleccionar los casos de simulación para la validación de los dos algoritmos propuestos, se realizó una revisión bibliográfica para definir los casos de estudio teniendo en cuenta los siguientes criterios: (a) que la señal bajo estudio tuviera una expresión matemática, (b) que se mostrara gráficamente el comportamiento del LPP en función del tiempo o de los estimadores ̅ luego de aplicar la LPFT y, (c) que las publicaciones en las que se presentan las señales de interés tuviesen alto impacto dentro de la comunidad científica en procesamiento de señales.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

29

Tabla 4-1. Casos de simulación para la validación

Nombre Expresión matemática Autor Nombre publicación

_____________________________________________________________________________________________________

30

4.2

P

Para verificar el buen funcionamiento de los códigos desarrollados para el cálculo de la LPFT, se estableció un proceso de validación compuesto de las siguientes etapas:

a. Realizar la extracción de los resultados presentados en la referencia bibliográfica de la cual se seleccionó el caso de estudio

b. Definir los parámetros de entrada para el algoritmo 1 (basado en el cálculo de estimadores simultáneos) y el algoritmo 2 (basado en el cálculo de estimadores individuales)

c. Presentar los resultados obtenidos de la simulación de cada código

d. Comparar visualmente los resultados presentados en la literatura con los resultados obtenidos con los códigos propios. Esta comparación estará limitada por el orden de la LPFT y por la manera en que son presentados los resultados en cada referencia e. Comparar la información teórica de la señal analizada con los resultados obtenidos

de los códigos propios. Para esto, se calcula (en cada algoritmo) el valor de la raíz cuadrada del error medio cuadrático SRMSE [43], el cual es definido como:

√

∑

El SRMSE se utilizó como indicador de comparación debido a que permite obtener un estimado global del error para todos los valores calculados, en vez de obtener errores individuales.

Cabe aclarar que dependiendo del orden polinomial ( ) seleccionado se obtendrán hasta estimadores. Por lo tanto, en los casos en que no se puedan graficar ciertos parámetros, aparecerá la sigla N/A (no aplica) en la respectiva tabla de resultados. Este proceso de validación se llevará a cabo para los cuatros casos de estudio presentados en la Tabla 4-1. Adicionalmente, en el proceso de validación también se compararán los tiempos de cómputo obtenidos con ambos códigos, así como se presentará la mejor solución “local” comparando para cada caso el SRMSE calculado.

4.3

C

1:

F

C

4.3.1

Resultados presentados en la literatura

La función chirp usada para la validación de los algoritmos de la LPFT y mostrar el comportamiento del LPP en función del tiempo y los estimadores ̅ fue tomada de [52]. Esta función presenta la siguiente estructura matemática:

( )

(4-2)

La variables de simulación usadas para analizar esta señal fueron: período de muestreo

_____________________________________________________________________________________________________

31

. Los resultados presentados en la Figura 4-1 y extractados de [52] muestran el

comportamiento del LPP con relación a la variación de la IF y el tiempo (ver Figura 4-1 (a)) y el comportamiento del LPP con relación a la variación de la IF y la primera derivada de la IF (ver Figura 4-1 (b)).

(a) (b)

Figura 4-1. Comportamiento del LPP de la señal chirp, (a). LPP vs ω1 vs ω2, (b). LPP vs ω1 vs t

Fuente: [52]

Teniendo en cuenta que la fase polinomial de la señal chirp es , y conociendo la definición presentada en la Ecuación (3-8), la IF de la señal es

. Esta función tiene un comportamiento lineal con respecto al tiempo tal y como se observa en la Figura 4-1 (a).

Por otra parte, al calcular la primera derivada de la IF esta tiene un valor

, valor que se mantiene constante sin importar las variaciones de la IF y

del tiempo, tal y como se muestra en la Figura 4-1 (b). En este caso, las simulaciones presentadas en [52] solo fueron realizadas para calcular los estimadores y

debido a que si se continua con el proceso de derivación de para hallar

sus valores serían cero.

4.3.2

Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos

A partir de las características que presenta la señal chirp se definieron las siguientes variables de entrada para validar los dos algoritmos de la LPFT:

 Características de la señal: tiempo inicial tiempo final

tiempo de muestreo

 Ventana: Función rectangular simétrica normalizada con ancho variable

[muestras]

 Grado del polinomio de la LPFT:

 Rango de análisis para los estimadores: , ,

_____________________________________________________________________________________________________

32

4.3.3

Simulaciones algoritmo 1

Para el caso del cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos (algoritmo 1), la Tabla 4-2 muestra en 3D el comportamiento del LPP en función de y del tiempo y el LPP en función de y . En ambos casos se usó un ancho de ventana de 8 muestras (0.8 [s]) y se varió el orden polinomial .

Tabla 4-2. Comportamiento del LPP de la señal chirp con algoritmo 1 y

m Algoritmo 1: Cálculo de la LPFT con estimadores individuales

1 N/A

2

3

Fuente: Autor

Revisando las figuras de la columna izquierda de la Tabla 4-2 se puede observar como el LPP se concentra a medida que el orden polinomial aumenta, mejorando así la resolución en el cálculo del estimador . Además, revisando las figuras de la columna derecha de la Tabla 4-2 es posible ver como el comportamiento del LPP en función de la IF y su primera derivada presenta problemas de resolución que impiden determinar con claridad el valor de los estimadores .

_____________________________________________________________________________________________________

33

ventana de mayor duración. La Tabla 4-3 presenta para este caso los resultados del LPP variando el orden polinomial desde hasta y trabajando con una ventana de 50 muestras.

Tabla 4-3. Comportamiento del LPP de la señal chirp con algoritmo 1 y

m Algoritmo 1: Cálculo de la LPFT con estimadores simultaneos

1 N/A

2

3

Fuente: Autor

Al comparar las imágenes de la columna izquierda de la Tabla 4-3 se puede evidenciar que el uso de ventanas anchas para el cálculo de la LPFT con un orden polinomial

(STFT) provoca en el LPP un comportamiento sin una tendencia definida y con múltiples máximos por cada tiempo analizado. Este comportamiento aleatorio genera problemas de resolución para determinar el estimador .