La notación de Peirce para los 16 conectivos binarios

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Simetr´ıa y L´ ogica

La notaci´ on de Peirce para los 16 conectivos binarios

Mireya Garc´ıa

Jhon Fredy G´ omez

Arnold Oostra

Tabla de Contenido

1 Simetr´ıa en los conectivos proposicionales 1

1.1 Conectivos proposicionales . . . . 1 1.2 Simetr´ıa . . . . 6 1.3 El grupo de automorfismos . . . . 10

2 Charles S. Peirce 19

2.1 Acercamiento . . . . 19 2.2 Nota biogr´ afica . . . . 20 2.3 La teor´ıa de los signos . . . . 23

3 Notaciones para los conectivos binarios 26

3.1 La notaci´ on de Peirce . . . . 26 3.2 Car´ acter ic´ onico de la notaci´ on de Peirce . . . . 28 3.3 La notaci´ on de Zellweger . . . . 32

Bibliograf´ıa 33

(2)

Simetr´ıa y L´ ogica

La notaci´ on de Peirce para los 16 conectivos binarios ^∗

Mireya Garc´ıa

Jhon Fredy G´ omez

Arnold Oostra ^†

Resumen. Se estudian de manera sistem´ atica los 16 conectivos proposicionales binarios y las diferentes simetr´ıas l´ ogicas discernibles en este conjunto. Luego se presenta la poco conocida notaci´ on de Charles S.

Peirce que, adem´ as de reflejar las simetr´ıas mencionadas, se enmarca en principios filos´ oficos muy generales propuestos por el pensador.

1 Simetr´ıa en los conectivos proposicionales

1.1 Conectivos proposicionales

Un conectivo proposicional de aridad n es una funci´ on que asigna un valor de verdad a n proposiciones dadas. Desde el punto de vista de la l´ ogica proposicional, lo ´ unico relevante de una proposici´ on es su valor de verdad — luego un conectivo es una funci´ on que asigna un valor de verdad a n valores

∗ Publicado en las Memorias del XII Encuentro de Geometr´ıa y sus Aplicaciones, Uni- versidad Pedag´ ogica Nacional, Bogot´ a, junio 2001.

† Arnold Oostra es profesor del Departamento de Matem´ aticas y Estad´ıstica de la Uni-

versidad del Tolima y Becario 2003–2004 de la Fundaci´ on Mazda para el Arte y la Ciencia.

(3)

de verdad dados. En otras palabras, es una operaci´ on de aridad n en el conjunto de los valores de verdad.

En la l´ ogica cl´ asica bivalente se estudia el caso m´ as sencillo (llamada the simplest possible hypothesis por Peirce, v´ ease [14, §4.250]) considerando solo dos valores de verdad, V y F . En ese contexto, un conectivo de aridad n es una funci´ on del conjunto

{V, F } ⁿ = {V, F } × {V, F } × · · · × {V, F }

en el conjunto {V, F }. Es decir, una operaci´ on de aridad n en el conjunto {V, F }.

Si A es un conjunto finito con a elementos y B es otro con b elementos entonces existen b ^a funciones diferentes de A en B. De acuerdo con esto, como {V, F } ⁿ tiene 2 ⁿ elementos y {V, F } tiene 2, existen 2 ⁽²

ⁿ

⁾ conectivos de aridad n.

Dado un subconjunto de un conjunto universal, puede asociarse un valor de verdad con el subconjunto y el otro con su complemento. Por ejemplo, si el subconjunto est´ a descrito mediante una funci´ on proposicional, sus elementos son los que hacen verdadera la funci´ on y los elementos de su complemento son los que la hacen falsa. Esta idea permite establecer una correspondencia biyectiva entre los conectivos de aridad n y las operaciones de aridad n con subconjuntos. Por ejemplo, la conjunci´ on corresponde a la intersecci´ on y la negaci´ on al complemento. Las operaciones con subconjuntos pueden representarse con facilidad mediante diagramas de Venn.

Las 2 ⁽²

¹

⁾ = 4 posibles operaciones con un solo subconjunto se ilustran en

el siguiente diagrama, donde A es un subconjunto de un universo U y ( ) ^c

denota el complemento.

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U

A ^c A

∅ 1

2 3

4 Un conectivo unario o de aridad 1 es una funci´ on de {V, F } en {V, F }.

Los conectivos unarios se obtienen del diagrama anterior identificando, en el dominio, V con el subconjunto A y F con su complemento. As´ı, los posibles conectivos unarios son las funciones siguientes.

1 2 3 4

V F F V V

F F V F V

Aunque podr´ıan dise˜ narse signos para todos los cuatro conectivos unarios, solo se designar´ a de manera especial el segundo, conocido como negaci´ on.

Las notaciones usuales incluyen ∼ x, ¬x, N x pero aqu´ı, siguiendo las buenas razones de Peirce (explicadas en el par´ agrafo 4.259 de [14]), se adopta la notaci´ on con barra superior: x.

Hay 2 ⁽²

²

⁾ conectivos binarios o de aridad 2 y otras tantas operaciones

con dos subconjuntos. El diagrama siguiente muestra estas 16 operaciones

donde A, B son subconjuntos de un mismo universo U . Cabe anotar que este

diagrama fue elaborado por los autores; una presentaci´ on diferente (aunque

isomorfa como ret´ıculo) puede encontrarse en [16].

(5)

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∅

B − A A − B A ∩ B

A B

A 4 B

A ∪ B

U

∧

↔

...

→ ∨

(1)

(2) (3) (4) (5)

(6) (7)

(8)

(9) (10)

(11)

(12) (13) (14) (15)

(16)

En este diagrama se observa que las operaciones “usuales” (intersecci´ on,

uni´ on, diferencia, diferencia sim´ etrica, vac´ıo, proyecciones) dan cuenta de

(6)

la mitad de las operaciones posibles; la otra mitad se obtiene por comple- mentaci´ on.

Un conectivo binario es una funci´ on de

{V, F } ² = {V V, V F, F V, F F }

en {V, F }. Los conectivos binarios se obtienen del diagrama anterior rotu- lando las cuatro regiones como sigue.

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V V V F F V

F F

En cada una de las 16 operaciones representadas, se asigna V a las regiones sombreadas y F a las dem´ as. La siguiente tabla muestra los 16 conectivos binarios con la numeraci´ on del diagrama anterior.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

V V F F F F V V V V F F F F V V V V

V F F F F V F V F F V V F V F V V V

F V F F V F F F V F V F V V V F V V

F F F V F F F F F V F V V V V V F V

Los conectivos “usuales” son la conjunci´ on (5) cuyos s´ımbolos corrientes son ∧, &; la disyunci´ on (15), simbolizada ∨ y la disyunci´ on exclusiva (9), simbolizada

...

; la condici´ on (13) con s´ımbolos →, ⇒, ⊃ y su conversa (14); la

bicondici´ on (8) simbolizada ↔, ⇔. El conectivo (6) es la primera proyecci´ on,

x(6)y = x y el conectivo (7) es la segunda, x(7)y = y. Aunque no son tan

ubicuos en los tratados de l´ ogica, el conectivo (12) se conoce como ‘barra de

Sheffer’ y se simboliza | mientras que (por ejemplo en [1]) el conectivo (2) se

(7)

denomina ‘funtor de Peirce’ y se simboliza ↓. Cabe anotar que Peirce fue el primero en estudiar las propiedades de estos dos ´ ultimos conectivos, muchos a˜ nos antes que Sheffer (v´ ease [21]).

Se observa que los conectivos usuales no corresponden en su totalidad a las operaciones usuales con subconjuntos.

1.2 Simetr´ıa

En la tabla de los conectivos binarios saltan a la vista diferentes simetr´ıas.

Por ejemplo: intercambiar V y F en toda la tabla equivale a una reflexi´ on en el eje vertical. Esta reflexi´ on induce una correspondencia entre los bloques (2)–(5) y (12)–(15), en particular, entre los conectivos usuales ∧, ∨ y los conectivos de Peirce |, ↓. Tambi´ en se observa que (11) y (10) representan la negaci´ on de las proyecciones: x(11)y = x, x(10)y = y.

Otro ejemplo de simetr´ıa evidente es la invarianza bajo rotaciones de 180 grados de los bloques (2)–(5), (12)–(15) y (6)(7)(10)(11).

¿C´ omo precisar estas simetr´ıas? Para comprender la simetr´ıa de cualquier estructura, Hermann Weyl en [20] aconseja determinar y estudiar grupos de automorfismos de la estructura, entendiendo por automorfismo una funci´ on biyectiva del conjunto en ´ el mismo que preserva la estructura.

Un conjunto con 16 elementos tiene 16!= 20’922.789’888.000 funciones biyectivas en s´ı mismo (permutaciones), lo cual es un n´ umero considerable.

No todas esas funciones tienen un significado para los conectivos proposicionales. Se buscan entonces funciones biyectivas de los conectivos construi- das con sentido l´ ogico.

En principio surgen dos automorfismos: la negaci´ on porque es el ´ unico conectivo unario interesante; la conversi´ on porque los conectivos binarios tienen dos variables. Pero la negaci´ on puede aplicarse a los argumentos (al uno, o al otro, o a ambos, o a ninguno) y tambi´ en a la proposici´ on compuesta.

Adem´ as estos diferentes automorfismos pueden combinarse entre s´ı.

(8)

Despu´ es de calcular todas las combinaciones posibles y de ensayar varias notaciones, se escogieron los siguientes automorfismos b´ asicos.

Definici´ on. Sea un conectivo binario. Los conectivos I , N , C , R se definen como sigue, siendo x, y variables proposicionales.

x(I )y = x y x(N )y = x y x(C )y = y x x(R )y = y x

Es evidente que se trata de funciones en el conjunto de los conectivos binarios. I es la funci´ on Id´ entica; N, C, R se denominan Negaci´ on, Conversi´ on y Rotaci´ on respectivamente. El ´ ultimo nombre tiene distintas justificaciones, como se ver´ a m´ as adelante, aunque la m´ as sencilla es la analog´ıa con la rotaci´ on en el plano cartesiano: (x, y) 7→ (−y, x).

Si A, B son elementos de {I, N, C, R} entonces AB denota la funci´ on compuesta: AB significa A(B ). Por la manera en que se han definido estas funciones, en el c´ alculo de AB debe tenerse en cuenta primero la acci´ on de A sobre las variables.

Afirmaci´ on. La composici´ on de las funciones definidas satisface las igualdades siguientes.

IN = N I = N N ² = I CN = N C

IC = CI = C C ² = I RN = N R

IR = RI = R R ⁴ = I RC = CR ³

Prueba. Las seis igualdades de la primera columna son evidentes porque

la funci´ on id´ entica es elemento neutro para la composici´ on. Las dem´ as se

(9)

calculan como sigue.

x(N ² )y = x(N (N ))y = x(N )y = x y = x y = x(I )y x(C ² )y = x(C(C ))y = y(C )x = x y = x(I )y

x(R ⁴ )y = x(R(R(R(R ))))y = y(R(R(R )))x = x(R(R ))y =

= y(R )x = x y = x y = x(I )y

x(CN )y = x(C(N ))y = y(N )x = y x x(N C )y = x(N (C ))y = x(C )y = y x

x(RN )y = x(R(N ))y = y(N )x = y x x(N R )y = x(N (R ))y = x(R )y = y x

x(RC )y = x(R(C ))y = y(C )x = x y

x(CR ³ )y = x(C(R(R(R ))))y = y(R(R(R )))x = x(R(R ))y =

= y(R )x = x y = x y

Se observa de inmediato que I, N , C, R son funciones biyectivas: I, N , C son cada una su propia inversa y la inversa de R es R ³ . Como tales, pueden considerarse permutaciones (elementos del grupo sim´ etrico S ₁₆ ) y, como se construyeron con significado l´ ogico, ellas y sus combinaciones merecen el nombre de automorfismos l´ ogicos.

La totalidad de las combinaciones posibles se obtiene escogiendo un orden

(N, C, R) y considerando todas las potencias posibles. En este caso, todas

las combinaciones tienen la forma N ⁱ C ^j R ^k donde 0 ≤ i < 2, 0 ≤ j < 2,

0 ≤ k < 4 y se conviene que N ⁰ C ⁰ R ⁰ es I. Resultan, pues, 2 × 2 × 4 = 16

combinaciones posibles. Los autores a´ un no tienen explicaci´ on para el hecho

muy curioso de que el n´ umero de automorfismos l´ ogicos coincida con el de

(10)

conectivos binarios.

A partir de la identidad RC = CR ³ se demuestra por inducci´ on que para cada par de enteros no negativos m, p se cumple

R ^m C ^p = C ^p R ³

^p

^m ,

luego la composici´ on de dos productos arbitrarios obedece a la ley (N ⁱ C ^j R ^k )(N ^s C ^t R ^u ) = N ^i+s C ^j+t R ³

^t

^k+u .

La tabla siguiente muestra, por un lado, el c´ alculo de los 16 automorfismos; por otra parte, la definici´ on de las 16 funciones por extensi´ on.

x O y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

x O y I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

y O x R 1 3 5 2 4 10 6 9 8 11 7 13 15 12 14 16

x O y R ² 1 5 4 3 2 11 10 8 9 7 6 15 14 13 12 16 y O x R ³ 1 4 2 5 3 7 11 9 8 6 10 14 12 15 13 16

y O x C 1 2 4 3 5 7 6 8 9 11 10 12 14 13 15 16

x O y CR 1 4 5 2 3 11 7 9 8 10 6 14 15 12 13 16 y O x CR ² 1 5 3 4 2 10 11 8 9 6 7 15 13 14 12 16 x O y CR ³ 1 3 2 5 4 6 10 9 8 7 11 13 12 15 14 16

x O y N 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y O x N R 16 14 12 15 13 7 11 8 9 6 10 4 2 5 3 1

x O y N R ² 16 12 13 14 15 6 7 9 8 10 11 2 3 4 5 1

y O x N R ³ 16 13 15 12 14 10 6 8 9 11 7 3 5 2 4 1

y O x N C 16 15 13 14 12 10 11 9 8 6 7 5 3 4 2 1

x O y N CR 16 13 12 15 14 6 10 8 9 7 11 3 2 5 4 1

y O x N CR ² 16 12 14 13 15 7 6 9 8 11 10 2 4 3 5 1

x O y N CR ³ 16 14 15 12 13 11 7 8 9 10 6 4 5 2 3 1

De nuevo, en esta tabla saltan a la vista varias simetr´ıas. Por ejemplo, si

cualquier cuadrante se refleja en el eje vertical de la tabla y se corre entonces

(11)

coincide con el cuadrante opuesto. Tambi´ en se observan agrupaciones: en la primera y ´ ultimas columnas solo aparecen los conectivos (1) y (16); en la octava y novena columnas solo aparecen (8) y (9). En las primeras 8 filas de las columnas (2)–(5) solo aparecen estos mismos conectivos y en las otras 8 filas solo aparecen los conectivos (12)–(15); lo mismo sucede con las columnas (12)–(15). En las columnas (6), (7), (10), (11) solo aparecen estos 4 conectivos.

1.3 El grupo de automorfismos

Definici´ on. El grupo de automorfismos l´ ogicos (de los conectivos binarios), denotado B, es el subgrupo del grupo sim´ etrico S 16 generado por N , C, R.

Seg´ un las observaciones anteriores el grupo B puede expresarse como sigue.

B = {N ⁱ C ^j R ^k

0 ≤ i < 2, 0 ≤ j < 2, 0 ≤ k < 4}

B = {I, R, R ² , R ³ , C, CR, CR ² , CR ³ ,

N, N R, N R ² , N R ³ , N C, N CR, N CR ² , N CR ³ }

La tabla de la p´ agina siguiente muestra de manera expl´ıcita la operaci´ on del grupo B.

Una vez m´ as, se observan de inmediato muchas simetr´ıas. Por ejemplo, cada cuadrante coincide con su opuesto; los 8 cuadros de la primera y tercera columnas son isomorfos, lo mismo sucede con la segunda y cuarta columnas.

Hay 4 bloques donde solo aparecen automorfismos de la forma R ^k (est´ an en

la diagonal descendente de izquierda a derecha), dos son iguales entre s´ı y los

otros dos tambi´ en; hay 4 bloques donde solo aparecen automorfismos de la

forma C ^j R ^k ; hay 4 bloques donde solo aparecen automorfismos de la forma

N ⁱ R ^k ; hay 4 bloques donde solo aparecen automorfismos de la forma N ⁱ C ^j R ^k

(est´ an en la diagonal ascendente).

(12)

I R R² R³ C CR CR² CR³ N N R N R² N R³ N C N CR N CR²N CR³

I I R R² R³ C CR CR² CR³ N N R N R² N R³ N C N CR N CR²N CR³

R R R² R³ I CR³ C CR CR² N R N R² N R³ N N CR³ N C N CR N CR²

R² R² R³ I R CR² CR³ C CR N R² N R³ N N R N CR²N CR³ N C N CR

R³ R³ I R R² CR CR² CR³ C N R³ N N R N R² N CR N CR²N CR³ N C

C C CR CR² CR³ I R R² R³ N C N CR N CR²N CR³ N N R N R² N R³

CR CR CR² CR³ C R³ I R R² N CR N CR²N CR³ N C N R³ N N R N R²

CR² CR² CR³ C CR R² R³ I R N CR²N CR³ N C N CR N R² N R³ N N R

CR³ CR³ C CR CR² R R² R³ I N CR³ N C N CR N CR² N R N R² N R³ N

N N N R N R² N R³ N C N CR N CR²N CR³ I R R² R³ C CR CR² CR³

N R N R N R² N R³ N N CR³ N C N CR N CR² R R² R³ I CR³ C CR CR²

N R² N R² N R³ N N R N CR²N CR³ N C N CR R² R³ I R CR² CR³ C CR

N R³ N R³ N N R N R² N CR N CR²N CR³ N C R³ I R R² CR CR² CR³ C

N C N C N CR N CR²N CR³ N N R N R² N R³ C CR CR² CR³ I R R² R³

N CR N CR N CR²N CR³ N C N R³ N N R N R² CR CR² CR³ C R³ I R R²

N CR²N CR²N CR³ N C N CR N R² N R³ N N R CR² CR³ C CR R² R³ I R

N CR³N CR³ N C N CR N CR² N R N R² N R³ N CR³ C CR CR² R R² R³ I

En el estudio del grupo de automorfismos B aparece de manera repetida el grupo di´ edrico D ₄ . Por este motivo, en los pr´ oximos p´ arrafos se le prestar´ a atenci´ on especial.

En general, el grupo di´ edrico D _n es el grupo de los movimientos r´ıgidos de un pol´ıgono regular de n lados. Puede presentarse como el grupo generado por dos elementos c y r, correspondientes a una reflexi´ on y una rotaci´ on, que satisfacen las identidades

c ² = r ⁿ = e, rc = cr ⁿ⁻¹ ,

siendo e el elemento neutro. Estas identidades equivalen a c ² = r ⁿ = (cr) ² = e,

y de ellas tambi´ en se deriva la regla de c´ alculo

r ^m c ^p = c ^p r ⁽ⁿ⁻¹⁾

^p

^m .

(13)

Otra presentaci´ on se obtiene tomando como generadores dos elementos c y d, correspondientes a reflexiones en ejes sucesivos, que satisfacen las identidades siguientes:

c ² = d ² = (cd) ⁿ = e.

El profesor Fernando Zalamea indic´ o a los autores que, en el caso n = 4, el grupo de los movimientos del cuadrado puede presentarse como un grupo de matrices. M´ as exactamente, es el subgrupo del grupo lineal Gl 2 (Z) generado por las matrices siguientes.

A =

"

0 1

1 0

#

B =

"

0 1

−1 0

#

Se verifica de inmediato que A ² = B ⁴ = I, BA = AB ³ . El grupo generado por estas matrices es el siguiente.

("

1 0

0 1

# ,

"

1 0

0 −1

# ,

"

−1 0

0 1

# ,

"

−1 0

0 −1

# ,

"

0 1

1 0

# ,

"

0 1

−1 0

# ,

"

0 −1

1 0

# ,

"

0 −1

−1 0

#)

Volviendo al estudio del grupo de automorfismos, la lista de la p´ agina siguiente muestra los subgrupos de B que los autores han podido encontrar;

los que est´ an marcados con un tri´ angulo C son normales en B.

En B no hay m´ as subgrupos de orden 2 porque no hay m´ as elementos de orden 2; no hay m´ as subgrupos de orden 4 porque no hay m´ as elementos de orden 4 ni m´ as pares de elementos de orden 2 que conmuten entre s´ı. Hasta el momento los autores ignoran si B posee m´ as subgrupos de orden 8.

Excepto el primero, todos los isomorfismos indicados se verifican sin difi-

cultad.

(14)

B ∼ = Z ² × D 4 C

{I, R, R ² , R ³ , C, CR, CR ² , CR ³ } ∼ = D 4 C {I, R, R ² , R ³ , N, N R, N R ² , N R ³ } ∼ = Z 2 × Z 4 C {I, R, R ² , R ³ , N C, N CR, N CR ² , N CR ³ } ∼ = D 4 C {I, R ² , C, CR ² , N R, N R ³ , N CR, N CR ³ } ∼ = D 4 C {I, R ² , C, CR ² , N, N R ² , N C, N CR ² } ∼ = Z 2 × V C {I, R ² , CR, CR ³ , N, N R ² , N CR, N CR ³ } ∼ = Z ² × V C

{I, R, R ² , R ³ } ∼ = Z ⁴ C

{I, C, N, N C} ∼ = V

{I, CR, N R ² , N CR ³ } ∼ = V C

{I, CR ² , N, N CR ² } ∼ = V

{I, CR ³ , N R ² , N CR} ∼ = V C

{I, CR ² , N R ² , N C} ∼ = V

{I, CR ³ , N, N CR ³ } ∼ = V

{I, C, N R ² , N CR ² } ∼ = V C

{I, CR, N, N CR} ∼ = V

{I, R ² , N R, N R ³ } ∼ = Z 4 C

{I, R ² , N CR, N CR ³ } ∼ = V

{I, R ² , C, CR ² } ∼ = V C

{I, R ² , N, N R ² } ∼ = V C

{I, R ² , N C, N CR ² } ∼ = V C

{I, R ² } ∼ = Z ² C

{I, C} ∼ = Z 2

{I, CR} ∼ = Z ²

{I, CR ² } ∼ = Z 2

{I, CR ³ } ∼ = Z 2

{I, N } ∼ = Z ² C

{I, N R ² } ∼ = Z 2 C

{I, N C} ∼ = Z ²

{I, N CR} ∼ = Z 2

{I, N CR ² } ∼ = Z 2

{I, N CR ³ } ∼ = Z 2 C

{I} C

(15)

Teorema. El grupo B de los automorfismos l´ ogicos es isomorfo al grupo producto Z 2 × D ₄ .

Demostraci´ on. Escogiendo para D ₄ la presentaci´ on como generado por c y r, la correspondencia es evidente pues al elemento (i, c ^j r ^k ) de Z 2 × D ₄ se asigna el elemento N ⁱ C ^j R ^k del grupo B. Esta funci´ on ϕ : Z 2 ×D ₄ −→ B es biyectiva y preserva las operaciones porque N conmuta con todos los elementos de B mientras C, R en B satisfacen las mismas relaciones que c, r en D ₄ . De manera formal:

ϕ((i, c ^j r ^k )(s, c ^t r ^u )) = ϕ(i + s, c ^j r ^k c ^t r ^u )

= ϕ(i + s, c ^j+t r ³

^t

^k+u )

= N ^i+s C ^j+t R ³

^t

^k+u

= (N ⁱ C ^j R ^k )(N ^s C ^t R ^u )

= ϕ(i, c ^j r ^k )ϕ(s, c ^t r ^u ).

Este isomorfismo expresa el siguiente hecho sorprendente: los automorfismos de los conectivos binarios corresponden a los movimientos r´ıgidos de un

“cuadrado binario”, esto es, un cuadrado cuyos lados pueden alternar entre dos estados (por ejemplo, entre blanco y negro).

Nota: El grupo B no puede verse como subgrupo de Gl 2 (Z) exten- diendo la presentaci´ on de D 4 indicada antes. Porque el automorfismo N corresponder´ıa a una matriz M ∈ M 2 (Z) que conmuta con todos los elementos de D ₄ , en particular con A y B. Pero si M conmuta con A =

"

0 1

1 0

#

y B =

"

0 1

−1 0

#

entonces es un m´ ultiplo escalar

de la id´ entica, M = aI; si adem´ as M ² = I entonces M =

"

1 0

0 1

# o

M =

"

−1 0

0 −1

#

. Estas dos matrices ya pertenecen a la representaci´ on

matricial de D ₄ .

(16)

La lista siguiente muestra algunos grupos cociente obtenidos de B, con seguridad hay m´ as. Todos los isomorfismos indicados se demuestran sin dificultad. Esto constituye un ejemplo interesante de los siguientes hechos:

subgrupos no isomorfos pueden dar lugar a cocientes isomorfos; subgrupos isomorfos pueden dar lugar a cocientes no isomorfos.

B/{I, R, R ² , R ³ , C, CR, CR ² , CR ³ } ∼ = Z 2

B/{I, R, R ² , R ³ , N, N R, N R ² , N R ³ } ∼ = Z ² B/{I, R, R ² , R ³ , N C, N CR, N CR ² , N CR ³ } ∼ = Z 2

B/{I, R ² , C, CR ² , N R, N R ³ , N CR, N CR ³ } ∼ = Z ²

B/{I, R, R ² , R ³ } ∼ = V

B/{I, CR ³ , N R ² , N CR} ∼ = Z ⁴

B/{I, R ² } ∼ = Z 2 × V

B/{I, N } ∼ = D 4

B/{I, N R ² } ∼ = D 4

Los ´ unicos subgrupos normales de orden 2 son {I, R ² }, {I, N } e {I, N R ² }, luego no hay m´ as cocientes de orden 8 fuera de los indicados. En particular, Z 2 × Z 4 aparece como un subgrupo de B pero no como cociente del mismo.

Si el grupo B de automorfismos l´ ogicos se mira como un subgrupo del grupo sim´ etrico S ₁₆ , entonces act´ ua de manera natural sobre el conjunto de los 16 conectivos binarios. Los elementos que aporta esta acci´ on de grupo son los siguientes.

Los subgrupos de isotrop´ıa son:

{I, R, R ² , R ³ , C, CR, CR ² , CR ³ } (1) (16) {I, R ² , C, CR ² , N R, N R ³ , N CR, N CR ³ } (8) (9)

{I, CR, N R ² , N CR ³ } (7) (10)

{I, CR ³ , N R ² , N CR} (6) (11)

{I, C} (2) (5) (12) (15)

{I, CR ² } (3) (4) (13) (14)

Los elementos invariantes bajo los diferentes automorfismos son:

(17)

I (1), (2), (3), (4), ..., (13), (14), (15), (16)

R (1), (16)

R ² (1), (8), (9), (16)

R ³ (1), (16)

C (1), (2), (5), (8), (9), (12), (15), (16) CR (1), (6), (11), (16)

CR ² (1), (3), (4), (8), (9), (13), (14), (16) CR ³ (1), (7), (10), (11)

N —

N R (8), (9)

N R ² (6), (7), (10), (11)

N R ³ (8), (9)

N C —

N CR (7), (8), (9), (10)

N CR ² —

N CR ³ (6), (8), (9), (11) Las ´ orbitas de esta acci´ on de grupo son:

{(1), (16)}

{(2), (3), (4), (5), (12), (13), (14), (15)}

{(6), (7), (10), (11)}

{(8), (9)}

Estas ´ orbitas corresponden a las agrupaciones observadas al final del apartado 1.2 en la tabla de las 16 funciones por extensi´ on.

El profesor Fernando Zalamea indic´ o a los autores la siguiente

construcci´ on, m´ as geom´ etrica, del grupo de automorfismos, construc-

ci´ on que surge de distinguir los automorfismos que act´ uan sobre las

variables (conversi´ on, negaci´ on en las variables) de los que act´ uan

sobre la proposici´ on compuesta.

(18)

Actuando solo sobre las variables, las im´ agenes posibles de una pareja (x, y) son

(x, y), (x, y), (x, y), (x, y), (y, x), (y, x), (y, x), (y, x).

Ahora se ubican las parejas V V, V F, F V, F F en los v´ ertices de un cuadrado:

...

FV VV

VF FF

Los automorfismos se traducen como sigue.

Id´ entica (x, y) Reposo

Negaci´ on 1 ^a (x, y) Reflexi´ on en eje vertical

Negaci´ on 2 ^a (x, y) Reflexi´ on en eje horizontal

Negaci´ on 1 ^a y 2 ^a (x, y) Rotaci´ on 180 ^◦

Conversi´ on (y, x) Ref en diagonal ascendente

Conversi´ on + Neg 1 ^a (y, x) Rotaci´ on 90 ^◦ Conversi´ on + Neg 2 ^a (y, x) Rotaci´ on 270 ^◦

Conversi´ on + Neg 1 ^a y 2 ^a (y, x) Ref en diagonal descendente Pero estos corresponden con exactitud a los movimientos r´ıgidos del cuadrado.

Si el cuadrado se ubica adecuadamente en el plano cartesiano, los movimientos corresponden a rotaciones y reflexiones del plano en los que la negaci´ on corresponde a cambiar el signo.

x y

...

(-1, 1) (1, 1)

(1, -1)

(-1, -1)

(19)

De esta manera, el grupo di´ edrico D ₄ act´ ua sobre el conjunto {V V, V F, F V, F F }.

Por otro lado, es claro que el grupo Z 2 act´ ua sobre {V, F }. Y ahora basta recordar el siguiente teorema de Teor´ıa de Grupos.

Teorema. Sup´ ongase que el grupo G act´ ua a la derecha sobre el conjunto X y que el grupo H act´ ua a la izquierda sobre el conjunto Y .

(i) G act´ ua (a la izquierda) sobre el conjunto F un(X, Y ) de las funciones de X en Y .

(ii) H act´ ua (a la izquierda) sobre F un(X, Y ).

(iii) El grupo producto H ×G act´ ua (a la izquierda) sobre F un(X, Y ).

Nota: La acci´ on “a la izquierda” significa que (h 1 ∗ h ₂ ) y = h 1 (h 2 y);

la acci´ on “a la derecha” significa que (g 1 ∗ g ₂ ) x = g 2 (g 1 x).

Esquema de la prueba.

(i) Haciendo g(x) = g x, los elementos de G se identifican con funciones de X en X. Como la acci´ on es a la derecha, al elemento g 1 ∗ g ₂ corresponde la funci´ on compuesta g 2 g 1 . A la pareja (g, f ) de G × F un(X, Y ) se asigna la funci´ on compuesta f g.

(ii) Los elementos de H se identifican con funciones de Y en Y ; en este caso, h 1 ∗ h ₂ corresponde a h 1 h 2 . A la pareja (h, f ) de H × F un(X, Y ) se asigna hf .

(iii) A la pareja ((h, g), f ) de (H ×G)×F un(X, Y ) se asigna la funci´ on compuesta hf g.

En particular, el grupo producto Z 2 × D ₄ act´ ua sobre el conjunto

de todas las funciones de {V V, V F, F V, F F } en {V, F }, es decir, sobre

el conjunto de los conectivos binarios.

(20)

2 Charles S. Peirce

2.1 Acercamiento

Los autores no conocen hasta ahora ning´ un texto de l´ ogica que haga un tratamiento del conjunto completo de los conectivos binarios. Tan solo para unos cuantos se presenta una notaci´ on “usual”, entre ellos la conjunci´ on, la disyunci´ on, la disyunci´ on exclusiva, la condici´ on y la bicondici´ on; en algunos casos se incluyen otros dos m´ as, la barra de Sheffer y el funtor de Peirce, terminando ah´ı. La pregunta que surge entonces es: ¿Existe alguna notaci´ on adecuada y completa para los 16 conectivos binarios? ¿Qu´ e criterios deben asumirse para la palabra “adecuada”?

Desde luego existen muchas notaciones, pero son poco conocidas y menos conocidos a´ un son los criterios adoptados por sus autores. Dado el estudio, presentado en la secci´ on anterior, de los conectivos binarios bajo una pers- pectiva l´ ogica y algebraica, aqu´ı se buscar´ıa una notaci´ on que de alguna manera refleje las propiedades estudiadas en los conectivos. Pero hay m´ as por precisar y, puesto que se trata de buscar s´ımbolos o signos, vale la pena acudir a la ciencia de los signos o semi´ otica. El problema de la notaci´ on adecuada para los conectivos binarios se ubica en el cruce entre ´ algebra, l´ ogica y semi´ otica.

Ubicado ya el problema en la intersecci´ on de la l´ ogica y la semi´ otica,

resulta obligatorio mirar la obra del gran l´ ogico y padre de la semi´ otica mo-

derna Charles Sanders Peirce (1839–1914). Adem´ as de principios filos´ oficos

generales para los signos adecuados, Peirce propuso una notaci´ on que cumple

a cabalidad esos requerimientos generales. La notaci´ on es completa, es decir,

tiene un signo para cada uno de los 16 conectivos binarios; adem´ as es de

car´ acter plenamente ic´ onico, pues el signo refleja para el interpretante carac-

ter´ısticas del objeto representado, precisa variaciones mostrando propiedades

de los conectivos y refleja simetr´ıas globales.

(21)

2.2 Nota biogr´ afica

Fue en Cambridge (Massachusetts) donde Sarah Mills y Benjamin Peirce reci- bieron el 10 de septiembre de 1839 en el seno de su hogar a Charles Sanders Peirce. Su padre, quien ejerci´ o la ense˜ nanza de la matem´ atica por cerca de medio siglo en la Universidad de Harvard en Boston, se encarg´ o personal- mente de la formaci´ on matem´ atica de su hijo Charles. Desde temprana edad a Charles se le not´ o gran curiosidad por las ciencias y el conocimiento en general, fue as´ı como a la edad de 12 a˜ nos construy´ o su propio laboratorio de qu´ımica, a los 13 ley´ o Elements of Logic de Whately, a˜ nos m´ as tarde dedic´ o 2 horas diarias durante 3 a˜ nos a la lectura de Cr´ıtica de la Raz´ on Pura, de Kant, obra que influy´ o notablemente en la construcci´ on de su filosof´ıa. Pero aqu´ı no terminan las muestras de su precocidad ya que a sus 20 a˜ nos obtuvo la Licenciatura en Matem´ aticas en la Universidad de Harvard, al igual que su Maestr´ıa a los 23, tambi´ en obtuvo en 1863 una Licenciatura en Qu´ımica otorgada por primera vez Summa Cum Laude por esta Universidad.

Pero indudablemente todo en la vida de Charles no fue solo estudio, tambi´ en hubo lugar para otros espacios como su vida sentimental o amorosa, encontr´ andose a la edad de 23 a˜ nos casado con una se˜ norita de la alta so- ciedad de Cambridge con la que permaneci´ o alrededor de 14 a˜ nos. Luego de su separaci´ on rehizo su hogar junto a la actriz francesa Juliette Annette Pourtalais, quien le acompa˜ n´ o hasta el d´ıa de su muerte el 19 de abril de 1914 en su casa de campo, Arisbe, cerca de la ciudad de Milford (Pennsylvania), donde vivi´ o sus ´ ultimos 27 a˜ nos con la cuantiosa herencia recibida en 1883, la que solo le dur´ o 10 a˜ nos quedando luego en la ruina y viviendo de la caridad p´ ublica.

Hay que resaltar la brillantez de Peirce quien es considerado como uno de los genios universales que produjo el siglo XIX, pues se destac´ o como:

qu´ımico, f´ısico, geodesta, matem´ atico, l´ ogico, fil´ osofo y semi´ otico, aportando

numerosos trabajos a cada uno de estos campos, es m´ as, renovando comple-

tamente algunos de ellos como la filosof´ıa, la l´ ogica y la semi´ otica. Adem´ as

(22)

escribi´ o sobre epistemolog´ıa, el m´ etodo cient´ıfico, metaf´ısica, ontolog´ıa, ´ etica, est´ etica y religi´ on. Peirce trabaj´ o por m´ as de 30 a˜ nos en el Servicio Geod´ esico de los Estados Unidos (United States Coast and Geodetic Survey), dejando varias contribuciones tales como: la medici´ on de la tierra; la medici´ on del metro a partir de la longitud de onda de la luz (1877–1879); un mapa plano del globo terr´ aqueo usando funciones el´ıpticas (proyecci´ on quincuncial ); el desarrollo de m´ etodos para el c´ alculo del valor de la gravedad con el uso del p´ endulo; la observaci´ on del eclipse de sol el 22 de diciembre de 1870, para lo cual recorri´ o Europa en busca de las mejores condiciones. Otros trabajos fueron expuestos en Photometric Researches (1878), el ´ unico libro publicado por Peirce, donde se incluyeron resultados de investigaciones en astronom´ıa y geof´ısica, art´ıculos t´ ecnicos de l´ ogica y matem´ atica y metodolog´ıa cient´ıfica.

Respecto a la l´ ogica en particular, Peirce ley´ o bajo la influencia de su padre los trabajos de Arist´ oteles, Whately, Kant y Boole. Contribuy´ o al refinamiento del sistema de Boole y de De Morgan; invent´ o la l´ ogica de relaciones (1870), la l´ ogica de cuantificadores (1882) y la l´ ogica trivalente (1909);

estudi´ o la axiomatizaci´ on del c´ alculo proposicional (1885), el c´ alculo im- plicativo d´ ebil, la negaci´ on intuicionista (1880), las tablas de verdad (1885), los conectivos completos (1880, 1902), las definiciones reticulares (1880), la notaci´ on de los conectivos proposicionales (1902), la enumeraci´ on de los n´ umeros racionales, una axiomatizaci´ on de los n´ umeros naturales, entre otros.

Un aporte original nunca igualado son sus gr´ aficos existenciales (1903), sis-

tema que provee una axiomatizaci´ on uniforme tanto para el c´ alculo proposi-

cional cl´ asico como para la l´ ogica cl´ asica de primer orden, aporte que a´ un

hoy queda por recuperarse y desarrollarse a fondo; estos gr´ aficos est´ an dados

bajo importantes contextos filos´ oficos como las tres categor´ıas peirceanas y la

m´ axima pragm´ atica. Adem´ as Peirce ampli´ o la l´ ogica a las dimensiones de la

semi´ otica o teor´ıa general de los signos, trabajando sobre la distinci´ on entre

dos tipos de acci´ on: acci´ on del signo o semiosis y acci´ on din´ amica o mec´ anica,

no siendo posible esto sin la fundamentaci´ on de una filosof´ıa fenomenol´ ogica

La notación de Peirce para los 16 conectivos binarios

Simetr´ıa y L´ ogica

La notaci´ on de Peirce para los 16 conectivos binarios

Mireya Garc´ıa

Jhon Fredy G´ omez

Arnold Oostra

Tabla de Contenido

1 Simetr´ıa en los conectivos proposicionales 1

1.1 Conectivos proposicionales . . . . 1 1.2 Simetr´ıa . . . . 6 1.3 El grupo de automorfismos . . . . 10

2 Charles S. Peirce 19

2.1 Acercamiento . . . . 19 2.2 Nota biogr´ afica . . . . 20 2.3 La teor´ıa de los signos . . . . 23

3 Notaciones para los conectivos binarios 26

3.1 La notaci´ on de Peirce . . . . 26 3.2 Car´ acter ic´ onico de la notaci´ on de Peirce . . . . 28 3.3 La notaci´ on de Zellweger . . . . 32

Bibliograf´ıa 33

Simetr´ıa y L´ ogica

La notaci´ on de Peirce para los 16 conectivos binarios ∗

Mireya Garc´ıa

Jhon Fredy G´ omez

Arnold Oostra †

Resumen. Se estudian de manera sistem´ atica los 16 conectivos propo- sicionales binarios y las diferentes simetr´ıas l´ ogicas discernibles en este conjunto. Luego se presenta la poco conocida notaci´ on de Charles S.

Peirce que, adem´ as de reflejar las simetr´ıas mencionadas, se enmarca en principios filos´ oficos muy generales propuestos por el pensador.

1 Simetr´ıa en los conectivos proposicionales

1.1 Conectivos proposicionales

∗ Publicado en las Memorias del XII Encuentro de Geometr´ıa y sus Aplicaciones, Uni- versidad Pedag´ ogica Nacional, Bogot´ a, junio 2001.

† Arnold Oostra es profesor del Departamento de Matem´ aticas y Estad´ıstica de la Uni-

versidad del Tolima y Becario 2003–2004 de la Fundaci´ on Mazda para el Arte y la Ciencia.

de verdad dados. En otras palabras, es una operaci´ on de aridad n en el conjunto de los valores de verdad.

En la l´ ogica cl´ asica bivalente se estudia el caso m´ as sencillo (llamada the simplest possible hypothesis por Peirce, v´ ease [14, §4.250]) considerando solo dos valores de verdad, V y F . En ese contexto, un conectivo de aridad n es una funci´ on del conjunto

{V, F } n = {V, F } × {V, F } × · · · × {V, F }

en el conjunto {V, F }. Es decir, una operaci´ on de aridad n en el conjunto {V, F }.

Si A es un conjunto finito con a elementos y B es otro con b elementos entonces existen b a funciones diferentes de A en B. De acuerdo con esto, como {V, F } n tiene 2 n elementos y {V, F } tiene 2, existen 2 (2

) conectivos de aridad n.

Las 2 (2

) = 4 posibles operaciones con un solo subconjunto se ilustran en

el siguiente diagrama, donde A es un subconjunto de un universo U y ( ) c

denota el complemento.

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La notaci´ on de Peirce para los 16 conectivos binarios ^∗

Arnold Oostra ^†

{V, F } ⁿ = {V, F } × {V, F } × · · · × {V, F }

Si A es un conjunto finito con a elementos y B es otro con b elementos entonces existen b ^a funciones diferentes de A en B. De acuerdo con esto, como {V, F } ⁿ tiene 2 ⁿ elementos y {V, F } tiene 2, existen 2 ⁽²

⁾ conectivos de aridad n.

Las 2 ⁽²

⁾ = 4 posibles operaciones con un solo subconjunto se ilustran en

el siguiente diagrama, donde A es un subconjunto de un universo U y ( ) ^c