Presentacion Basilea

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Luis Fernando Grajales H.

Universidad de Antioquia

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Contenido

1 Contexto Histórico

2 Otros intentos

3 Leonard Euler

4 Resolviendo el problrema

5 Final del problema

6 Bibliofrafía

( Universidad de Antioquia) Universidad de Antioquia 03/08/2022 2 / 20

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Contexto Histórico

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. . . . . Contexto Histórico

Origen del problema

Este problema fue planteado por primera vez en 1644 por prieto mingole en su obra novae quadraturae arithmeticae, ademas uno de los primeros en lanzarse a resolver el problema fue john wallis quien en 1655 pudo lograr

aproximar la serie a 1,645 gracias a lo hoy conocido como el propudcto de wallis.

∏∞ i=1

( 2n 2n− 1. 2n

2n + 1 )

=2.2.4.4.6.6.8.8· 1.3.3.5.5.7.7· = π

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Otros intentos

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. . . . . Otros intentos

Jakob Bernoulli

El matemático jakob Bernoulli quien era amante de las series infinitas, demostro la divergencia de la serie armonica, ademas calculo el valor exacto de la serie a + ar + ar²+ ... + arⁿ =₁_−r^a para−1 < r < 1 y entre otras.

Jakob estaba viviendo un momento de ensueño ya que los resultados de sus trabajos le daban la confianza de una mentalidad brillante en ese entonces, pero luego se queda analizando las series de la forma

∑∞ k=1

1

k^p = 1 + 1 2^p + 1

3^p + . . .

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Jakob Bernoulli

∑∞ k=1

1

k² = 1 + 1 2² + 1

3² + . . .

Jakob se fijo que para p=1 esta era la serie Armónica la cual el conocia muy bien, pero le intrigaba que pasaba con p=2 asi que empezo a trabajarle, pero a pesar de dedicarle mucho tiempo no conseguia resolverla.sin embargo se le ocurrio una idea de acotar la serie utilizando la desigualdad

k(k + 1)≤ 2k²−→ 1

k² ≤ 1 k^(k+1)₂ ≤ 2

El resultado que obtuvo Jakob fue nada mas y nada menos que el primer ejemplo de lo que hoy conocemos como test de comparación para convergencia de series.

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Admite la derrota

No nos podemos imaginar la frustacion que pudo haber sentido jakob al no poder resolver una de las series que al parecer no se veia mas dificil de los problemas que venia resolviendo anteriormente, tanto asi que envio el siguiente comunicado a la comunidad matematica.

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Leonard Euler

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. . . . . Leonard Euler

Euler

Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707-San Petersburgo, Imperio ruso; 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un

matemático y físico suizo. Es, sin duda, el gran matemático del Siglo de las Luces y uno de los grandes de la historia. Aunque su nombre está indisolublemente asociado al análisis matemático (series, límites y cálculo diferencial), su ingente labor científico no acaba aquí: realizó aportaciones fundamentales en geometría y teoría de números, creó de la nada una nueva área de investigación, la teoría de grafos, y publicó infinidad de estudios de temas tan diversos como la

hidrodinámica, la mecánica, la astronomía, la óptica o la ingeniería naval.

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Resolviendo el problrema

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. . . . . Resolviendo el problrema

Euler

Para desarrollar el problema el aun joven Euler utiliza un metodo completamente vanguardista para la epoca, el truco consistia en calcular la integral impropia de dos formas diferentes.

I=∫¹₂

0 −^ln(1_x^−x)dx I =

∫ ¹

2

0

x−^x₂² −^x₃³ − . . .

x dx (1)

=1 2 +

1 2²

4 +

1 2³

9 + . . .

I =

∫ ¹₂

1

−ln(z)

1− zdz (2)

I =−[ln(2)]²− (1 2 +

1 2²

4 +

1 2³

9 + . . .) +

∑∞ k=1

1 k²

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Euler

Despues de haber desarrollado las dos integrales Euler igualo los resultados obteniendo

∑∞ k=1

1 k² = 2(1

2 +

1 2²

4 +

1 2³

9 + . . .) + [ln(2)]²=

∑∞ k=1

1

k²2^k⁻¹ + [ln(2)]² En este resultado obtuvo una serie que converge rapidamente por el termino 2^k⁻¹ y el ya conocido por el [ln(2)]² que el ya habia calculado con docenas de cifras decimales, pero a pesar de todo este arduo trabajo el problema seguia sin ser resuelto, pero cuatro años despues Euler escribe con gran felicidad, dando una luz de esperanza al problema.

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. . . . . Final del problema

Final del problema

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Final del problema

Euler

Para el desarrollo de la prueba Euler observo que si p(x)=0 es una ecuación polinomica de grado n con raices a1, a2, ..., an distintas de cero y tal que P(0)=1 entonces su factorización es de la forma.

P (x) = (1− x a1

)(1− x a2

)...(1− x an

)

por otro lado se necesita el desarrollo de la serie de sin(x) , es decir sin x = x−x³

3! +x⁵ 5! −x⁷

7! + . . . ya no siendo mas veamos la prueba.

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Prueba

Euler introdujo

P (x) = 1−x² 3! +x⁴

5! −x⁶ 7! + . . .

P (x) = x (

1−^x_3!²+^x_5!⁴ +^x_7!⁶ − . . . x

)

=1−^x_3!² +^x_5!⁴ +^x_7!⁶− . . .

x =sin x

x

por la primera observación cuando se inicio la demostración a P(x) lo factorizamos de la forma:

P (x) = (

1−x² π

) ( 1− x²

−π ) (

1−x² 2π

) ( 1− x²

−2π )

. . .

=( 1−^x_π²2

) ( 1−_4π^x²2

) ( 1−_9π^x²2

) (

1−_16π^x²2

) . . .

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Prueba

Luego

−x² 3! =

( 1−x²

π² ) (

1− x² 4π²

) ( 1− x²

9π² ) (

1− x² 16π²

) . . .

Asi

P (x) = 1− 1 π²

( 1 +1

4 +1 9 + 1

16+ . . . )

x²

1 6 = 1

π² (

1 + 1 4+1

9 + 1 16+ . . .

)

Y para finalizar

π²

6 = 1 + 1 4+1

9 + 1

16+ . . . =

∑∞ k=1

1 k²

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. . . . . Acknowledgement

Gracias!

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Bibliofrafía

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. . . . . Bibliofrafía

1. Euler el maestro de todos los matematicos- William dunham 2. Dialnet-ElProblemaDeBasilea-7177416

3.https://tutoriasdematematicas.angelfire.com/BiografaLeonhardEuler.pdf