MA 2113 Practica 9 pdf

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(1)Práctica 9 Formula de Cauchy y Series de potencias.. 1.

(2) 14.1 Teoremas Teorema 1: Fórmula integral de Cauchy. analítica, una curva de Jordan en Sea Teoremas Teorema 1: Fórmula integral sea además Int de Cauchy. . Entonces, para cada. con sentido positivo (contrario a las aguja. analítica, una curva de Jordan en con sentido positivo (contrario a las agujas del reloj), Sea de Cauchy. masea 1: además FórmulaInt integral.de Cauchy.para cada Entonces, ca, una curva deanalítica, Jordan en una concurva sentido (contrario a las agujas del (contrario reloj), de positivo Jordan en con sentido positivo a las agujas del reloj), es, paraInt cada . Entonces, para cada demás. El resultado del teorema es sumamente importante, nos dice que los valores de una función ana interior de una curva de Jordan, , se conocen si se conocen los valores de en (este es El resultado del teorema es sumamente nosobviar dice que los valores una simplemente función analítica, el Ahora bien, la condición "Int importante, " se podría si exigimos que de sea conexo.en (Así interior de una curva de Jordan, , se conocen si función se conocen los valores de en (este es con ). huecos). sresultado sumamente importante, nos dice que los valores de una analítica, en el del teorema es sumamente importante, nos dice que losque valores desimplemente una función conexo. analítica, en el Ahora bien, la condición "Int " se podría obviar si exigimos sea (Así no tendrá Sin embargo, tiene muchas aplicaciones el teorema 1 despejando la integral: an, , se conocen si se conocen los valores de en (este es con ). r de una curva de Jordan, , se conocen si se conocen los valores de en (este es con ). huecos). " se podría obviar si exigimos que sea simplemente conexo. (Así no tendrá bien,Sin la condición " se aplicaciones podría obviarelsiteorema exigimos1 que sea simplemente embargo, "Int tiene muchas despejando la integral: conexo. (Así no tendrá s). aplicaciones el teorema 1 despejando la integral: n embargo, tiene muchas aplicaciones el teorema 1 despejando la integral: Teorema 2: Fórmula de Cauchy para las derivadas y una curva de Jordan contenida en , e Int Sea una función analítica en una región Teorema 2: Fórmula de Cauchy las derivadas para cada Int , para entonces, admite derivadas de cualquier orden, las cuales vienen dadas por una función analítica en una región y una curva de Jordan contenida en , e Int y tal que Sealas derivadas hy para mapara 2: Fórmula de Cauchy para las derivadas admite derivadas de cualquier orden, lasycuales en unacada región Int , entonces, y una curva de Jordan contenida en , e Int tal quevienen dadas por una función analítica en unaorden, regiónlas cuales y vienen una curva y tal que a admite derivadas de cualquier dadasde porJordan contenida en , e Int ada Int , entonces, admite derivadas de cualquier orden, las cuales vienen dadas por Nótese que la condición Int se podría obviar si se exigiese que fuese simplemente conexo el teorema nos afirma que al ser analítica en , existen infinitas derivadas para , cosa que no o Nótese que la condición Int se podría obviar si se exigiese que fuese simplemente conexo. Además, . t el teorema se podría sique sedespejando exigiese fuese conexo.derivadas Además, para , cosa que no ocurre para analítica en simplemente , existen infinitas nos obviar afirma al ser que Además, la integral: tese la condición se podría obviar para si se exigiese queno ocurre fuese simplemente conexo. Además, analítica en. , Int existen infinitas derivadas , cosa que para ser que analítica en , existen infinitas derivadas para , cosa que no ocurre para rema Además, nos afirma que al ser despejando la integral: . egral: emás, despejando la integral: con esta fórmula y la del teorema 1 tenemos poderosas herramientas para calcular otro tipo de integrale Observe que hasta ahora sólo podíamos calcular integrales de los tipos siguientes: con esta fórmula y la del teorema 1 tenemos poderosas herramientas para calcular otro tipo de integrales. ma 1 Observe tenemos poderosas herramientas para otrointegrales tipo de integrales. a partir de lacalcular definición. que 1. hasta ahora sólo podíamos calcular de los tipos siguientes: 2.

(3) tegral. a. 6. Con el teorema 2 podemos calcular una integral. Int. analítica,. analítica,. una curva de Jordan en. sentido positivo con Int. .. , entonces, para. ntre siTodos y tenerestos potentes herramientas el cálculo de integrales resultados los para podemos entrelazar entre. Int. una curva de Jordan en .. si y tener potentes herramientas para el cálculo de integrales. complejas muy complicadas. Ahora exhibimos un importante resultado: Teorema 3: Teorema de Morera. ema 3: Teorema de Morera. onexo y. es continua en. . Si además. Sea. para toda. región simplemente conexo y. alítica en . a aquellos en que seen quiera comprobar queque una función , se concluye es analítica curvacasos de Jordan s del mismo, siendo además, una función muy complicada para. es continua en. . Si además. para toda. en . Este teorema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar que una función dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy complicada para analizar las condiciones de analiticidad.. 14.2. sentido positivo.. Ejercicios Resueltos. Problema 1 Calcular Re y Im con. sentido positivo.. Solución. Figura 14.1: 3.

(4) analizar las condiciones de analiticidad.. dada es analítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, analizar las condiciones de analiticidad.. una función muy complicada para. 14.2 Ejercicios Resueltos jercicios Resueltos Problema 1.. 1. 14.2. Ejercicios Resueltos. Problema 1 Problema 1 Calcular Re y Im con. Calcular Re y Im con. y Im con. sentido positivo.. sentido positivo. sentido positivo.. Solución. Solución. Figura 14.1:. Figura 14.1: como es una función racional, es analítica en pero y Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador ) como es una función racional, es analítica en pero es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la y en Int . Además, (que tiene por denominador clase 13, Int por. lo tanto es analítica en. es función racional con Dom . clase 13,. Dom por lo tanto. es continua en. y en Int. y ) y por el teorema de Cauchy de la. 158 Figura 14.1:. 158. 4.

(5) Figura 14.1:. como es una función racional, es analítica en pero y Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador ) es función racional con Dom Dom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la . clase 13, 158. 5.

(6) Figura 14.1:. rema puede ser puede ser usado para aquellos casos en que se quiera comprobar qu 14.2 Ejercicios Resueltos alítica en y cumple las condiciones del mismo, siendo además, una función muy condiciones de 1analiticidad. como es una función racional, es analítica en pero y Problema Int por lo tanto es analítica en y en Int . Además, (que tiene por denominador ) Calcular Re con y Im sentido positivo. es función racional Dom conDom por lo tanto es continua en y en Int y por el teorema de Cauchy de la . clase 13,. jercicios Resueltos Solución. y Im con. 158. sentido positivo.. Figura 14.1:. 6.

(7) 2. Problema 2. Problema 2 Problema 2 Calcular Re y Im con y Im Re con Calcular y Im con SoluciónSolución Obsérvese que aquí el radio de. es 4 luego tanto. que aquí el radio de. es 4 luego tanto. Obsérvese que aquí el radio de. como. es 4 luego tanto. están en el Int. (. como. como. y ) están en no el podemos Int ( aplicar el Entonces clase 13). Describir íntegramente en . Sea la región e será analítica en y así m allí.. están en el Int. (. Por lo tanto. si por lo tanto. Figura 14.2:. Ahora podemos aplicar la forma , luego se concluye que:. y ). Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver Figura 14.2: clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidoslas integrales segunda y tercera son y . Es evidente que al no estar en que es racional,primera y cuarta se aplica el teorema íntegramente en . Sea la región entre será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua allí. Por lo tanto. . Ahora, y ). Figura 14.2: Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generaliza y clase 13). Describir con y reales tales que y están con si , y si y . Es evidente que al no estar en que es ra íntegramente en . Sea la región entre por lo tanto con será analítica en y así mismo que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será7c.

(8) y ). Entonces no podemos aplicar el teorema de Cauchy, pero si el de deformación (en su forma generalizada, ver Figura 14.2: y Describir ). clase 13). con y reales tales que y están contenidos Entonces no el entre teorema deyCauchy, pero si el dealdeformación ver . Sea aplicar la región . Es evidente que no estar en(en su forma generalizada, que es racional, íntegramente en podemos clase 13). Describir y reales tales que y están contenidos será analítica en y así mismo con que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua allí. y . Es evidente que al no estar en que es racional, íntegramente y en . Sea la región entre ). seráPor analítica en y así el mismo es racional (lodeformación vimos en el ejercicio anterior) será continua lo tanto . Ahora, Entonces no podemos aplicar teoremaque de también Cauchy, pero si el de (en su forma generalizada, ver allí. clase 13). Describir con y reales tales que y están contenidos. Por lo tantoen . Sea la región entre íntegramente será analítica en y así mismo si allí. por lo tanto Por lo si tanto. y y . .Ahora, Es evidente que al no estar en que es racional, que también es racional (lo vimos en el ejercicio anterior) será continua , y si y con . Ahora,, y si . por lo tanto con y analítica en y Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema y de deformación con . , luego se concluye que: si , y si y analítica en y Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con por lo tanto con , luego se concluye que: .. y analítica en y Ahora podemos aplicar la forma generalizada del teorema de deformación con , luego se concluye que: las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy). las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy). las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).. 8.

(9) las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).. las integrales segunda y tercera son nulas por el teorema de Cauchy (analícelas). Mientras que en las integrales primera y cuarta se aplica el teorema 1 de la clase 14 (fórmula integral de Cauchy).. 159. 159. 9.

(10) Im. Problema 3. Problema 3 con 3 Problema Calcular Re y Im con Calcular Re y Im con. Solución. Solución Aquí Aquí. Int Int. Int. Int. Int. y. y Int. y. Luego,.por Luego, por elanterior, ejercicio anterior, el ejercicio. . Luego, por el ejercicio anterior,. Figura 14.3:. Figura 14.3:. con , luego. con , luego. y. analítica en. Figura 14.3:. y. analítica en. y. curva de Jordan en. y. curva de Jordan e 10.

(11) con con , luego. y y. analítica en analítica en. y. curva de Jordan en curva de Jordan en. y. , luego. por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto, por el teorema 1 (clase 14, fórmula integral de Cauchy). Por lo tanto,. Problema 4 Problema 4 Calcular Calcular Solución Solución con Análogo al problema 3, con Análogo al problema 3, la circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe la circunferencia de centro y radio 2. Dibújela y sitúe int y ni al int . Luego, ponga que int y ni al int . Luego, ponga que condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que. 160. y. y. , lo cual es respecto, lo decual ella,esverá respecto de ella, verá , ponga y verifique las , ponga y verifique las. 11.

(12) Ejercicio 3. Problema 4 Calcular Solución Análogo al problema 3, la circunferencia de centro. Ejercicio 4. int. que. y. con y radio 2. Dibújela y sitúe ni al int . Luego, ponga. y. re , ponga. condiciones de la fórmula integral de Cauchy para concluir que Problema 6 Hallar Re y Im con. Solución Siguiendo el procedimiento análogo al ejercicio anterior, demostramos que. 160. con. 12.

(13) 5 y Im con. Problema 4.. Problema 5 5 Problema Hallar ReRey Im Hallar y Imcon con. , con sentido positivo con sentido sentidopositivo positivo ,, con. viene parametrizada por . (El alumno puede demostrar que Solución Solución representa a viene unaparametrizada circunferencia de centro.. (El y alumno radio . Endemostrar efecto: ponga (El alumnopuede puede demostrar que , con La La curva aquí parametrizada por por que , con curva aquí viene , de donde , si se elevan al cuadrado y se sum y y representa a auna radio . .En Enefecto: efecto: ponga representa unacircunferencia circunferencia de de centro centro yy radio ponga , dedonde donde , ,sisise al al cuadrado y se suman se obtiene: seelevan elevan cuadrado y se suman se obtiene: .) , de .).) anto PorPor es dede centro y radio una vuelta completa. esJordan una c louna tantocircunferencia unacircunferencia circunferencia de centro yy radio 2,2,una vuelta completa. es es unauna curva de Jordan lo tanto eses una centro radio una2, vuelta completa. curva de. quí. Figura 14.4:. Figura 14.4: no es analítica en ni en. .. no es analítica en que . con en nitales Se describen circunferencias Figura 14.4: orientación (positiva). Se descompone. Se describen circunferencias. con. tales que. y. Int. y. con la misma. Int. con la misma13.

(14) Figura 14.4: no es analítica en ni en. .. con en nitales Se describen circunferencias no es analítica en que . orientación (positiva). Se descompone con tales que Se describen circunferencias orientación (positiva). Se descompone Sea. y. Int. y. Int. con la misma. con la misma. y. Sea. y. Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que es , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). es analítica en Ahora podemos aplicar el pues teorema 2 dee la clase FórmulaObserva integral de Cauchy para las derivadas, puesto que analítica en Int 14: (Explique). además que Int Int yes , pero Enuncie y aquíInt (en un2examen debe la analiticidad de en ). es analítica enson curvas de Jordan. el teorema de la clase 14explicarse para concluir que: existen que analítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int y yque que (aquí ). Ahora son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen. y que. (aquí. Demuestre que. Por lo tanto,. Demuestre que Así que Re. Así que Re. ). Ahora. Por lo tanto, , Im. , Im. .. .. 161. 14.

(15) Ahora podemos aplicar el teorema 2 de la clase 14: Fórmula integral de Cauchy para las derivadas, puesto que e , pero y Int (en un examen debe explicarse la analiticidad de en ). e analítica en analítica en pues e Int (Explique). Observa además que Int Int son curvas de Jordan. Enuncie aquí el teorema 2 de la clase 14 para concluir que: existen que y que. (aquí. Demuestre que. Así que Re. ). Ahora. Por lo tanto,. , Im. . 161. 15.

(16) Problema 5. Problema 7 Hallar Re y Im con 162. 16.

(17) nto,. Problema 5. Problema 7 Hallar Re y Im con. ar que. ma 7 e y Im con. Solución. 162. y que. i 0 -i. 162. Figura 14.5:. 17.

(18) Problema 5. Problema 7 Hallar Re y Im con 162. Solución. Figura 14.5:. Figura 14.5: curvas de Jordan con la misma orientación, adecuadamente. analítica en. pero y en. cosa que se. la región entre ellas, por ser 18.

(19) Solución. Figura 14.5:. Figura 14.5:. con y curvas de Jordan con la misma orientación, adecuadamente. consigue eligiendo Sea además analítica en. pero y en. la región. curvas decociente Jordan con misma orientación, peroy los ceros del cosa que se delafunción trigonométrica entre polinomio, polinomio, y estar fuer adecuadamente. Además, es continua también en y en , por la misma razón. Luego, apl en y en laescribir región entre ellas, porentre ser las integrales del co deformación en suanalítica forma generalizada, podemos la igualdad 19.

(20) con y curvas de Jordan con la misma orientación, pero cosa que se adecuadamente. consigue eligiendo Sea además analítica en y en la región entre ellas, por ser con y trigonométrica curvas de Jordan la misma orientación, perofuera cosa que cociente de función entrecon polinomio, y los ceros del polinomio, y estar y se . consigue eligiendo Además, es continuaadecuadamente. también en y en , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de Sea además analítica en y en ladel región entre de ellas, por ser deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales comienzo la solución (14.2). Ahora, el alumno debe revisar quepolinomio, en cada uno los sumandos del segundo miembro cociente de función trigonométrica entre y losdeceros del polinomio, y estar fuerade (14.2) se verifica y . el teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces Además, es continua también en y en a que: , por la misma razón. Luego, aplicando el teorema de. deformación en su forma generalizada, podemos escribir la igualdad entre las integrales del comienzo de la solución (14.2). Ahora, el alumno debe revisar que en cada uno de los sumandos del segundo miembro de (14.2) se verifica el teorema 1 (Fórmula integral de Cauchy) y llegar entonces a que:. por lo tanto se concluye que Re. , Im. por lo tanto se concluye que Re Problema 8 Calcular. , Im. Problema 8 Solución Calcular. .. .. .. Solución . Problema 9 Calcular 20.

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