GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO

GUÍA DIDÁCTICA Y MÓDULO

GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES

Colombia, 2008

COMITÉ DIRECTIVO Fray Marino Martínez Pérez Rector

Hernán Ospina Atehortúa

Vicerrector Administrativo y Financiero Director de Planeación

José Jaime Díaz Osorio Vicerrector Académico

Francisco Javier Acosta Gómez Secretario General

CÁLCULO

Gabriel Jaime Posada Hernández

Decana Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables:

María Victoria Agudelo Vargas Corrección de estilo:

SOMOS PROFESIONALES LTDA.

Diseño:

Colectivo Docente Facultad de Administración Impresión:

Departamento de Publicaciones FUNLAM www.funlam.edu.co

TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS Medellín – Colombia

2008

CONTENIDO GUÍA DIDÁCTICA

Pág

PRESENTACIÓN 8

1. IDENTIFICACIÓN 10

2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS 11

2.1. Objetivo general 11

2.2. Objetivos complementarios 11

3. UNIDADES TEMÁTICAS 12

4. METODOLOGÍA GENERAL 13

5. EVALUACIÓN INTEGRAL 14

5.1. Sistema de evaluación 14

5.2. Actividades de reconocimiento 14

5.3. Actividades de profundización 15

CÁLCULO

INTRODUCCIÓN 17

JUSTIFICACIÓN 19

UNIDAD 1

1.LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES 21

1.1. Definición de límite 22

1.2. Propiedades de los límites 25

1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito 27

1.3.1. Asíntotas horizontales de una función 30

1.3.2. Asíntotas verticales de una función 31

1.4. Continuidad de una función en un punto 32 UNIDAD 2

2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES 34

2.1. Definición 35

2.2. Incrementos y tasas 36

2.3. Definición de la derivada 40

2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada 43

2.3.2. Reglas de derivación 46

2.3.3. Regla de la cadena 50

2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial 52

2.5. Derivadas de orden superior 57

UNIDAD 3

3. ANÁLISIS MARGINAL 60

3.1. Costo marginal 61

3.2. Ingreso marginal 63

3.3. Utilidad marginal 66

UNIDAD 4

4. OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS 70

4.1. Crecimiento y decrecimiento de una función 71

4.2. Concavidad de una función 75

4.3. Máximos y mínimos 77

4.3.1. Criterio de la primera derivada para hallar extremos 80 4.3.2. Criterio de la segunda derivada para hallar extremos 83

4.4. Bosquejo de curvas polinomiales 90

4.4.1. Intervalos de crecimiento 93

4.4.2. Puntos de inflexión 94

4.4.3. Intervalos de concavidad 95

4.4.4. Ubicación de puntos e intervalos 96

UNIDAD 5

5. INTEGRAL INDEFINIDA 98

5.1. Antiderivada 99

5.2. Reglas de integración 101

5.3. Métodos de integración 109

5.3.1. Integración por sustitución 109

5.3.2. Integración por partes 111

UNIDAD 6

6. INTEGRAL DEFINIDA 116

6.1. Áreas bajo curvas 117

6.2. Propiedades de la integral definida 120

6.3. Teorema fundamental del cálculo 126

6.4. Aplicaciones de la integral definida 130

6.4.1. Coeficientes de desigualdad para distribuciones de ingreso 130

6.4.2. Curvas de aprendizaje 134

6.4.3. Maximización de la utilidad con respecto al tiempo 137

6.4.4.valor presente de un ingreso continuo 142

6.4.5. Superávit del consumidor y del productor 144

UNIDAD 7

7. CÁLCULO MULTIVARIABLE 152

7.1. Funciones de varias variables 153

7.2. Derivadas parciales 159

7.3. Optimización de funciones de varias variables 170

7.4 multiplicadores de lagrange 180

UNIDAD 8

8. ÁLGEBRA DE MATRICES 191

8.1. Definición 192

8.2. Operaciones de matrices 195

8.2.1. Multiplicación de una matriz por un escalar 195

8.2.2. Adición y sustracción de matrices 197

8.2.3. Multiplicación de matrices 198

8.3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 203

8.3.1. Matrices aumentadas 205

8.3.2. Forma reducida por filas o renglones 207

8.4. Eliminación de gauss-jordan mediante matrices 209

ESTUDIOS DE CASOS 216

ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO 219

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN 221

BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL 235

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 236

GLOSARIO 237

RESPUESTA A PREGUNTAS FRECUENTES 239

PRESENTACIÓN

Apreciado estudiante, bienvenido al programa de Administración de Empresas con énfasis en Economía Solidaria de la Fundación Universitaria Luis Amigó.

Este módulo ha sido escrito teniendo presente al estudiante que ingresa en la metodología a distancia, la cual se constituye en uno de los nuevos retos y alternativas para la formación de profesionales capaces de intervenir problemáticas sociales contemporáneas, desde la aplicación de la ciencia y la tecnología con criterios éticos y de calidad.

La educación a distancia responde a la necesidad de ofrecer un proceso de formación que supere obstáculos representados en grandes distancias geográficas y escasez de tiempo de personas deseosas de tener las oportunidades de desarrollo humano que brinda la educación superior.

Dicha metodología exige a cada estudiante un esfuerzo investigativo, creativo e innovador soportado por la voluntad del compromiso que demanda nuestra sociedad.

Por esto, para el alcance de los objetivos en este proceso formativo, más que

construir un texto, se ha tratado de presentar un instrumento de

comunicación académica y dinámica entre la institución y el estudiante, en el

que se diferencian dos partes fundamentales: la guía de estudio y trabajo, el

módulo de aprendizaje. La guía considera las orientaciones sobre el

desarrollo del curso en cuanto define los elementos necesarios para la

interlocución entre estudiantes y asesor, describiendo en la metodología las

actividades a realizar para cada encuentro, bibliografía complementaria,

proceso de evaluación y compromisos adquiridos por el estudiante. El módulo desarrolla el contenido conceptual básico que permite al estudiante la comprensión de los problemas potenciales en el campo administrativo.

Seguros de que en dicho material se encuentran los referentes necesarios

para el desarrollo de un proceso académico con calidad, le deseamos éxitos

en este nuevo ciclo de su formación profesional.

1. IDENTIFICACIÓN

Ficha técnica

CURSO CÁLCULO

AUTOR GABRIEL JAIME POSADA HERNÁNDEZ

INSTITUCIÓN FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LUIS AMIGÓ

UNIDAD ACADÉMICA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, ECONÓMICAS Y CONTABLES

PROGRAMAS ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS, CONTADURÍA PÚBLICA, NEGOCIOS INTERNACIONALES

PALABRAS CLAVE MATEMÁTICAS, FUNCIÓN, TASA, DERIVADA, INTEGRAL, ECUACIONES, MATRIZ

ÁREA DE CONOCIMIENTO BÁSICA

CRÉDITOS 3 (TRES)

CIUDAD MEDELLÍN

FECHA 20 DE JULIO DE 2007

ACTUALIZACIÓN ADICIÓN DE TEMAS

APROBADA POR

2. INTENCIONALIDADES FORMATIVAS

2.1. Objetivo general

Familiarizar al estudiante con los conceptos generales del cálculo, en el contexto de las disciplinas administrativa, económica y contable, para utilizarlos como herramienta matemática en los procesos que impliquen toma de decisiones en las diferentes organizaciones.

2.2. Objetivos específicos

 Determinar el límite y la continuidad de una función real en un punto determinado.

 Calcular e interpretar la derivada de una función real para un valor determinado.

 Calcular y analizar las funciones marginales a partir de la derivada.

 Aplicar los criterios de las derivadas en el bosquejo de curvas y optimización de funciones.

 Solucionar problemas utilizando la integral definida.

 Optimizar funciones de varias variables.

 Realizar operaciones matriciales que permitan tomar decisiones en el campo administrativo.

3. UNIDADES TEMÁTICAS

UNIDAD 1

Límites y continuidad de funciones reales

UNIDAD 2

Derivada de funciones reales

UNIDAD 3

Análisis marginal

UNIDAD 4

Optimización y bosquejo de curvas

UNIDAD 5

Integral indefinida

UNIDAD 6

Integral definida

UNIDAD 7

Cálculo multivariable

UNIDAD 8

Álgebra de matrices

4. METODOLOGÍA GENERAL

Para garantizar el buen desarrollo del curso se establecerán los criterios definidos en el Reglamento Estudiantil con relación a evaluación y seguimiento del portafolio personal de desempeño, entre otros.

En los encuentros presenciales se hará claridad sobre aquellos conceptos que han presentado alguna dificultad en los estudiantes; para ello se utilizarán explicaciones precisas sobre el tema, ejemplos y aplicaciones.

Adicionalmente, se responderán inquietudes sobre los ejercicios propuestos para ser desarrollados por los estudiantes en el tiempo destinado al trabajo independiente.

El estudiante debe realizar las actividades de forma consecuente con los encuentros presenciales, para garantizar el logro de los objetivos propuestos en el curso.

5. EVALUACIÓN INTEGRAL

5.1. Sistema de evaluación

Para la Fundación Universitaria Luis Amigó la evaluación es definida como

“un proceso crítico, intencionado y sistemático de recolección, análisis, comprensión e interpretación de información que permite a los actores educativos valorar el estado en que se encuentra la formación integral de los estudiantes”, por lo cual, la evaluación se caracteriza por ser pedagógica, integral, continua, cooperativa, de perspectiva científica y de carácter ético.

El Portafolio Personal de Desempeño es el instrumento de evaluación del estudiante; en él se debe llevar el registro y compendio de las diferentes actividades evaluativas y de la reflexión permanente que realiza cada estudiante sobre su proceso de formación; tiene en cuenta las responsabilidades y compromisos acordados entre docentes y estudiantes, los avances y dificultades encontradas en el proceso por cada estudiante y las sugerencias de los docentes y compañeros para la obtención de los logros propuestos.

5.2. Actividades de reconocimiento

Las actividades de reconocimiento están planteadas para que el estudiante identifique los conceptos previos al desarrollo de la temática del módulo. Esto le permitirá comprender de forma rápida los conocimientos presentados en cada unidad.

5.3. Actividades de profundización

Las actividades de profundización permiten al estudiante reforzar los

conocimientos adquiridos en cada unidad. Estas actividades se presentan

en forma de talleres, los cuales requieren de soluciones puntuales para los

ejercicios planteados y de interpretaciones para los resultados obtenidos.

INTRODUCCIÓN

Desde el punto de vista histórico, el cálculo diferencial se desarrolló como respuesta al problema de hallar la recta tangente a una curva arbitraria. Pero muy pronto fue claro que, al resolver este problema, los matemáticos dispondrían de un método para resolver muchos problemas prácticos relacionados con la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra.

La herramienta básica utilizada en el cálculo diferencial es la derivada de una función. A su vez, el concepto de derivada se basa en una noción más fundamental: la del límite de una función.

Posteriormente, se inicia el estudio de otra rama del cálculo, conocida como el cálculo integral. En este caso hay que resolver el problema inverso: si se conoce la razón de cambio de una variable en relación con otra, ¿se puede hallar la relación entre ambas?

El módulo de cálculo se ha elaborado a partir de la compilación de conceptos tratados por varios autores, entre ellos Arya y Lardner, S. T. Tan y Haeussler y Paul. Está conformado por ocho unidades temáticas, a saber: límites y continuidad, derivada de funciones reales, análisis marginal, optimización y bosquejo de curvas, integral indefinida, integral definida, cálculo multivariable y álgebra de matrices.

En cada unidad se presentan las actividades de reconocimiento como un conjunto de elementos previos que el estudiante debe manejar, con el objeto de lograr un mayor entendimiento de los conceptos compartidos en dicha unidad.

La temática tratada en cada unidad está desarrollada de forma didáctica y

secuencial, a partir de la definición de los conceptos, presentación de

ecuaciones correspondientes, ejemplos y, finalmente, actividades de profundización.

Al final, se presenta un estudio de caso en el cual se ilustra una de las tantas maneras de la aplicación de matemáticas en el campo administrativo;

además, algunas preguntas frecuentes con su respectiva respuesta, que se presentan al estudiar el cálculo.

JUSTIFICACIÓN

El desarrollo científico del siglo XXI exige una formación profesional íntegra, que reúna conocimientos, experiencia y expectativas, que permita la utilización adecuada de los recursos y herramientas del mundo actual.

El estudio de la Matemática presenta grandes alternativas para el profesional de hoy, entre ellas la aplicación en el área administrativa, la cual permite relacionar fenómenos de la organización con la construcción de modelos matemáticos que den cuenta del comportamiento y las tendencias de las variables que intervienen en ella.

En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones, para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, que lo hagan más competente en los retos del mundo moderno.

Siendo conscientes de las diferentes decisiones que se toman en la

organización, es preciso que los profesionales de la FUNLAM lo hagan de

manera acertada, con criterios lógicos y coherentes, apoyados en elementos

matemáticos que permitan establecer modelos para facilitar la toma de

decisiones en las diferentes organizaciones.

1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES

En esta sección se pretende estudiar los límites y continuidad de las funciones reales. Para ello, se aborda desde la definición de límites, propiedades de los límites, formas indeterminadas y límites al infinito y, por último, la continuidad de una función en un punto.

OBJETIVOS

1. Comprender el concepto de Límite de funciones reales.

2. Aplicar las propiedades para el cálculo de límite de funciones reales.

3. Hallar las asíntotas horizontales y verticales de una función.

4. Evaluar la continuidad de una función real.

1.1. Definición de límite

Tal vez ha estado usted en un estacionamiento en el que puede

“aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere golpearlo ni tocarlo.

Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas, y está involucrada en el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función.

Examínese lo que sucede con la función ƒ(x) = x + 3 cuando x → 2 se permite que x tome los valores 1.8, 1.9, 1.99, 1.999 y 1.9999 que, sin duda, se acercan cada vez más a 2. Los valores correspondientes de ƒ(x) están dados en la tabla 1.

TABLA 1. Valores correspondientes para ƒ(x) con x menor que 2.

x

1.8 1.9 1.99 1.999 1.9999 ƒ (x)

4.4 4.9 4.99 4.999 4.9999

A partir de esta tabla es claro que a medida que x se acerca a 2, ƒ(x) está

cada vez más cerca de 5. Se escribe, entonces ƒ(x) → 5 cuando x → 2.

Los valores de x considerados en la tabla 1 son menores que 2. En tal caso, decimos que x se aproxima a 2 por debajo. Podemos considerar también el caso alternativo en que x se aproxima a 2 por encima; es decir, x toma valores que están cada vez más cerca de 2 pero siempre son mayores que 2. Estos valores se presentan en la tabla 2.

TABLA 2. Valores correspondientes para ƒ(x) con x mayores que 2.

x

2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001

ƒ(x)

5.5 5.1 5.01 5.001 5.0001

El comportamiento de la función cuando x toma valores próximos a 2, se representa en la gráfica 1.

Gráfica 1

En consecuencia, cuando x se aproxima a 2 por debajo o por encima, ƒ (x) = x + 3 se acerca a 5. Se dice que el límite (o valor límite) de ƒ(x) cuando x tiende a 2 es igual a 5. Esto se denota así:

5 ) 3

2 ( + =

→ x lim x

Definición: el límite de ƒ(x) cuando x se acerca (o tiende) a c, es el número L, escrito

L x f

C =

→ ( )

lím x ,

Siempre que ƒ(x) esté arbitrariamente cercana de L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de c.

Ejemplo:

Hallar el límite de la función ƒ(x) = 4x – 7 cuando x tiende a 2.

Solución:

lím x → 2 (4x – 7) = 4(2) – 7 = 8 – 7 = 1.

1.2. Propiedades de los límites

Los límites pueden ser calculados mediante la aplicación de las siguientes propiedades:

1. Si ƒ(x) = k, es una función constante, entonces,

límx→C

ƒ (x) =

k = k

Ejemplo:

límx→2

7 = 7;

8 = 8

2.

, para cualquier entero positivo n.

Ejemplo:

lím_{x 6}

→

x² = 6² = 36

si

ƒ (x) y

g(x) existe, entonces:

3.

[ ƒ (x) ± g(x)] =

ƒ (x) ±

g(x)

Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia, respectivamente, de los límites.

Ejemplo:

límx→2

( x² + x ) =

x² +

x = 2² + 2 = 6

4.

[ ƒ (x) . g(x)] =

ƒ (x) .

g(x)

Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites.

Ejemplo:

[(x + 1) (x – 3)] =

(x + 1) .

(x – 3)

= [

x +

1] . [

x -

3]

= (2 + 1) . (2 – 3) = 3(-1) = -3

5. lím _{x → C g} ^f ₍ ⁽ _x ^x ₎ ⁾ =

) ( lim

) ( lim

x g

x f

c x

c x

→

→ , si lím ( ) ≠ 0

→ g x

c x

Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador no tenga un límite de 0.

Ejemplo:

4 x³

3 - x 2x²

+

+ = ^2(1)² _(1)³ ⁺ ₊ ⁽¹⁾ ₄ ^{- 3} =

5

0 = 0

6.

[k ƒ(x)] = k [

ƒ(x)], donde k es una constante.

Esto es, el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función.

Ejemplo:

xlím→−2

3x³ = 3 .

x³ = 3(-2)³ = -24

7. lím _{x c} ⁿ f ( x )

→ = ^{n lím} _{x → c} ^{f ( x )} , con ^lím

^{f ( x )} positivo si n es par.

Ejemplo:

6 3 3 ) 3 ( lím 3

lím 3 + = 3 + = + =

→

→ x x

x x

1.3. Formas indeterminadas y límites al infinito

Con frecuencia se encuentran límites cuyo cálculo por sustitución directa dé como resultado formas indeterminadas, tales como ∞ − ∞ ^{, 0.} ∞ ^{, 0/0,}

∞ ∞ , entre otras. Estos límites deben ser calculados mediante operaciones algebraicas sobre ƒ(x), de modo que se obtenga una forma en la cual las propiedades de los límites puedan aplicarse.

Ejemplo:

Determinar lím _{x → − 1}

1 1) (x²

+

− x Solución:

Cuando x → -1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a cero. Ya que el límite del denominador es 0, no puede utilizarse la propiedad 5. Sin embargo, se puede simplificar la fracción:

1 1) (x²

+

−

x =

1 1) (x 1) (x

+ +

−

x = x – 1

Esta manipulación algebraica (factorización y cancelación), sobre la función original, da lugar a una nueva función, que es igual a la función original. Por tanto,

xlím→−1

1 1) (x²

+

−

x =

1 1) (x 1) (x

+ +

−

x =

(x – 1) = -1 –1 = - 2

Observar que, aunque la función original no está definida en –1, tiene un

límite cuando x → -1.

Para el caso de fracciones con radicales, la indeterminación se evita racionalizando el numerador y/o el denominador.

Otra forma indeterminada es

x

1 , la cual toma valores de - ∞ cuando se aproxima a x por la izquierda, y + ∞ cuando se aproxima por la derecha.

En muchos casos se desea saber qué pasa con los valores de f(x) cuando x se hace cada vez mayor, lo cual se denota:

límx→∞

ƒ (x)

Al igual que en el caso en que x tiende a un número finito c, el límite de ƒ (x)

puede ser finito ( ^lím _{x → ∞} ƒ (x) = L) o no puede ser finito ( ^lím _{x → ∞} ƒ (x) = ∞ ^{). En}

este último caso, la indeterminación ∞ ∞ se resuelve dividiendo numerador y denominador de la función entre la potencia de mayor grado.

Ejemplo:

Calcular lím _{x → ∞}

4 x²

1 + + x

Se dividen todos los términos del numerador y denominador por x²

lím x → ∞

x² 4 x² x² x²

1 x²

+ x +

= lím

x → ∞

x² 4 1

x² 1 x 1

+

+ = 0 1

0 0

+ + = 0.

1.3.1. Asíntotas horizontales de una función

Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular, cuando exista, el límite de ^{f (x )} cuando x tiende a + ∞ ^{o a} − ∞ ^{. Los}

valores finitos de estos límites determinan las asíntotas horizontales.

Ejemplo

Hallar las asíntotas horizontales de la función ) 36

( ₂

2

= − x x x f

Solución:

La función ^{f (x )} tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y = b cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende

a dicho punto y vale + ∞ ^o − ∞ ^.

b x f b

x

f x

x = ∨ =

−∞

→ +∞

→ ( ) lím ( )

− lím

Cuando x tiende a + ∞ , la función va tomando valores cada vez más próximos a 1. Es decir,

36 1

lím ₂

2 =

= −

+∞

→ x

x

x

En este caso, la recta de ecuación y = 1 es una asíntota horizontal de la función.

1.3.2. Asíntotas verticales de una función

Ejemplo:

Hallar las asíntotas verticales de la función ) 36

( ₂

2

= − x x x f

Observar que cuando x tiende a 6 ⁺ la función tiende a + ∞ , y cuando x tiende a 6 ⁻ , la función tiende a − ∞ ^.

En este caso, la recta de la ecuación x = 6 es una asíntota vertical de la función.

Cuando x tiende a ₋₆ ⁺ la función tiende a − ∞ y cuando x tiende a ₋₆ ⁻ la función tiende a + ∞ ^{, luego:}

La función ^{f (x )} tiene por asíntota vertical la recta de ecuación x = a

cuando existe al menos uno de los límites laterales de la función , tiende a dicho punto y vale + ∞ ^ó − ∞ ^.

± ∞

=

∨

± ∞

=

+

→

→ ( ) lím ( )

lím f x f x

a x a

x −

+∞

− =

+

=

−

→ 36

lím ₂

2

6 x

x

x = −∞

= −

−

→ 36

lím ₂

2

6 x

x

x

La recta de ecuación x = -6 es asíntota vertical.

1.4. Continuidad de una función en un punto

Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay “cortes“ en sus gráficas.

A este tipo de funciones se les denomina funciones continuas.

Definición: una función ƒ(x) es continua en c si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes:

1. ƒ(x) está definida en x = c; esto es, c está en el dominio de ƒ(x).

2. lím _{x → C} ƒ(x) existe.

3. lím _{x → C} ƒ(x) = ƒ(c).

Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contenga a c, excepto tal vez en ella misma, y ƒ (x) no es continua en c, entonces, se dice que ƒ (x) es discontinua en c, y c es llamado punto de discontinuidad.

Ejemplo:

Demostrar que ƒ (x) = x ² - 3 es continua en – 4.

Solución:

1. La función ƒ(x) está definida en x = - 4 ( - 4 pertenece al dominio).

2. lím _{x → − 4} ( x ² - 3) = (- 4) ² - 3 = 13 (existe).

3. ƒ(- 4) = (- 4) ² - 3 = 13 (igual al límite).

Por tanto, ƒ(x) es continua en x = - 4.

2. DERIVADA DE FUNCIONES REALES

Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva, entendida ésta como la recta que toca la curva en un solo punto.

OBJETIVOS

1. Calcular el incremento, la tasa de cambio relativa a una función.

2. Interpretar la derivada de una función real.

3. Aplicar las reglas de derivación para el cálculo de la derivada de una función real.

4. Calcular e interpretar la derivada de las funciones logarítmica y exponencial.

5. Calcular las derivadas de orden superior de una función real.

2.1. Definición

La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P. De tal forma que:

Donde m ^PQ es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P, como se visualiza en la gráfica 2.

Gráfica 2

x x f x x m f

PQ x

∆

−

∆

= +

→

∆

) ( ) lím (

0

2.2. Incrementos y tasas

Sea x una variable con un primer valor x 1 y un segundo valor x 2. Entonces, el cambio en el valor x, que es x 2 - x 1 , se denomina el incremento de x y se denota por ∆ x. De tal forma que ∆ x = x 2 - x 1 (ver gráfica 3).

Se usa la letra griega ∆ (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier variable.

Gráfica 3

Sea y una variable que depende de x tal que y = f(x) está definida por todo valor de x entre x 1 y x 2 . Cuando x = x 1 , y tiene el valor y 1 = f (x 1 ). De manera similar, cuando x = x 2 , y tiene el valor y 2 = f(x 2 ). Así, el incremento de y es:

∆ y = y 2 - y 1

∆ y = f(x 2 ) - f(x 1 )

Resolviendo la ecuación ∆ x = x 2 - x 1 para x 2 , se tiene x 2 = x 1 + ∆ x. Usando este valor de x 2 en la definición de ∆ y , se obtienen:

Dado que x 1 puede ser cualquier valor de x, se puede suprimir el subíndice y escribir:

En forma alternativa, dado que ƒ(x) = y, se puede escribir:

Ejemplo: Dada ƒ(x) = x ² , calcular ∆ y si x = 1 y ∆ x = 0.2.

Solución: Sustituyendo los valores de x y ∆ x en la fórmula de ∆ y, se obtiene:

∆ y = f(x + ∆ x) - f(x )

= f(1 + 0.2) - f(1 )

= f(1.2) - f(1 )

= f(1.2)² - f(1 )²

= 1.44 – 1

= 0.44

∆ y = f(x + ∆ x) - f(x )

y +∆y = f(x + ∆x)

∆ y = f(x 1 + ∆ x) - f(x 1 )

Así que, un cambio de 0.2 en el valor de x, da como resultado un cambio en y de 0.44.

La tasa de cambio promedio de una función ƒ , sobre un intervalo de x a

(x + ∆ x), se define por la razón _d ^{d (} _{( x} ^y ₎ ⁾ . Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es:

Ejemplo:

Un fabricante de productos químicos advierte que el costo por semana de producir x toneladas de cierto fertilizante está dado por C(x) = 20.000 + 40x pesos, y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por R(x) = 100x – 0.01 x ². La compañía, actualmente, produce 3.100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3.200 toneladas por semana. Calcular los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad para las toneladas extra producidas.

∆ x

∆ y

= x

) ( ) (

∆

−

∆

+ x f x x

f

Solución:

El primer valor de x es 3.100 y (x + ∆ x) es 3.200 ∆ C = C(x + ∆ x) - C(x)

= C(3200) - C(3.100)

= [20.000 + 40(3.200)] - [20.000 + 40(3.100)]

= 148.000 – 144.000 = 4.000 ∆ R = R(x + ∆ x) - R(x)

= R(3.200) - R(3.100)

= [100(3.200) – 0.01(3.200) ² ] - [100(3.100) 0.01(3.100) ² ^]

= 217.600 – 213.900 = 3.700

De modo que los costos se incrementan en $4.000, bajo el incremento dado en la producción, mientras que los ingresos se incrementan en $3.700.

A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en $300.

Se puede advertir esto con más detalle si se considera que las utilidades obtenidas por la empresa son iguales a sus ingresos menos sus costos, de modo que la utilidad P(x) por la venta de x toneladas de fertilizantes es:

P(x) = R(x) - C(x)

= 100x – 0.01x ² - (20.000 + 40x)

= 60x – 0.01x ² - 20.000

En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3.00 a 3.200 es:

∆ P = P(3.200) - P(3.100)

= [60(3.200)–0.01(3.200) ²- 20.000] –[60(3.100)–01(3.100)²-20.000]

= 69.600 – 69.900 = -300

Así pues, la utilidad decrece en $300. La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es:

∆ x

∆ P

= ⁻ ₁₀₀ ³⁰⁰ = -3

En donde ∆ x = 3.200 – 3.100 = 100. De modo que la utilidad decrece en un promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la producción.

2.3. Definición de la derivada

Sea y = ƒ (x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy / dx , se define por:

A la derivada también se le llama coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación.

dx

dy =

∆ x

∆ y

ó bien dx dy =

x

) ( ) (

∆

−

∆

+ x f x x

f

Si la derivada de una función existe en un punto en particular, se dice que f es diferenciable en tal punto.

La derivada de y = f(x) con respecto a x también se denota por uno de los símbolos siguientes:

) (

) (

x d

y

d , ^d _d ⁽ _{( x} ^f ₎ ⁾ , y’ , ƒ ’(x) , D _x y ^, D _x f

Con el propósito de calcular la derivada dy/dx, se procede de la siguiente manera:

1. Se calcula y = ƒ (x) y y + ∆ y = ƒ (x + ∆ x)

2. Se resta la primera cantidad de la segunda a fin de obtener ∆ y y se simplifica el resultado.

3. Se divide ∆ y entre ∆ x y se toma el límite de la expresión resultante cuando

∆ x → ₀

El valor de dy / dx depende de la elección de x. Esto se enfatiza cuando se utiliza la notación ƒ ’(x), la cual indica que la derivada ƒ ’(x) es una función de x. El valor de la derivada en un punto particular, por ejemplo, x = 2, entonces es ƒ’ ^(2).

Ejemplo:

Durante un periodo de 10 años, de 1970 a 1980, se encontró que la población de cierto país estaba dada por la fórmula:

ƒ (x) = 1 + 0.03x + 0.001x ²

Donde y está en millones y x es el tiempo medido en años desde 1970.

Determinar y‘ (5).

Solución:

Sea y = ƒ ⁽ x ) = 1 + 0.03x + 0.001x ² . Entonces, y + ∆ y = ƒ ⁽ x + ∆ x ) = 1 + 0.03(x + ∆ x ) + 0.001(x + ∆ x ) ²

= 1+0.03x + 0.03 ∆ x + 0.001[ x ² + 2x ∆ x + ( ∆ x ) ² ]

=1+0.03x + 0.03 ∆ x + 0.001x ² + 0.002x ∆ x + 0.001( ∆ x ) ²

Restando y de y + ∆ y, se tiene:

∆ y=1+0.03x + 0.03∆ x + 0.001x ² +0.002x∆ x + 0.001(∆ x) ² - [ 1+ 0.03x + 0.001x ² ]

∆ y = 1+0.03x + 0.03∆ x + 0.001x ² +0.002x∆ x + 0.001(∆ x) ² - 1- 0.03x - 0.001x ²

∆ y = 0.03∆ x + 0.002x∆ x + 0.001(∆ x) ²

∆ y = ∆ x (0.03 + 0.002x + 0.001∆ x)

Y así

∆ x

∆ y

= 0.03 + 0.002x + 0.001∆ x

Por lo que _d ^{d (} _{( x} ^y ₎ ⁾ =

=

(0.03 + 0.002x + 0.001 ∆ x) = 0.03 + 0.002x Esto es, ƒ ’ (x) = 0.03 + 0.002x

Cuando x = 5, ƒ ’ (5) = 0.03 + 0.002(5) = 0.04 millones de habitantes.

2.3.1. Interpretación geométrica de la derivada

Como se mencionó, inicialmente, para la función y = ƒ (x) la derivada ^d _{d (} ⁽ _x ^y ₎ ⁾ representa la tasa de cambio de y con respecto a x. Además de esta clase de aplicación, la derivada también tiene una interpretación desde el punto de vista geométrico.

Si P y Q son dos puntos (x, ƒ (x)) y (x + ∆ x , ƒ (x + ∆ x)) sobre la gráfica y =

ƒ ⁽ x ), entonces, la razón

∆ x

∆ y

= x

) ( ) (

∆

−

∆

+ x f x x

f

Representa la pendiente del segmento de recta PQ. A medida que ∆ x se hace más y más pequeño, el punto Q se aproxima cada vez más a P y el segmento secante PQ está cada vez más cerca de ser tangente. Cuando ∆ x

→ 0, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la recta tangente en P. Así que:

límx→0

Δ

∆ x

∆ y

= dx dy

Representa la pendiente de la recta tangente a y = ƒ (x) en el punto P(x,

ƒ (x)). Con tal de que la curva y = ƒ (x) sea “suave” en P; esto es, si se

puede dibujar una tangente que no sea vertical en P, el límite existirá.

Gráfica 4

En consecuencia, la derivada de una función será la pendiente de la recta tangente a la función en un punto determinado.

Ejemplo:

Determinar la pendiente de la tangente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = ƒ(x) = ^x en el punto (4,2) y en el punto ( ¼,½ ^).

Solución:

La pendiente de la recta tangente será la derivada de ƒ(x). Es decir,

ƒ’ ^{(x) =} ₂ ¹ _x . Cuando x = 4, ƒ’ ^{(4) =} ₂ ¹ ₄ ⁼ ₄ ¹ . Lo cual significa que la

pendiente de la tangente en el punto (4,2) es 4 1 .

Para obtener la ecuación de la recta tangente, se puede utilizar la fórmula punto-pendiente:

Con pendiente m = ¼ ^{y (x} 1, y 1 ) = (4,2)

Cuando x = ¼ , ƒ ’( ¼ ) = ₂ ¹ _¼ = 1. Por lo cual la pendiente de la tangente en ( ¼,½ ) es 1. Con base en la fórmula punto-pendiente, la ecuación es:

2.3.2. Reglas de derivación

Hallar la derivada de una función aplicando la definición por medio de límite no siempre es fácil; en ocasiones, y en especial en el campo administrativo, se presentan funciones con algunos niveles de complejidad para obtener su

y - y 1 = m(x-x 1 )

y- ½ = 1. (x - ¼) ó y = x + ¼

derivada. Sin embargo, existen técnicas útiles para solucionar este tipo de inconvenientes.

Teorema 1: “La derivada de cualquier potencia constante de x es la potencia de x reducida en 1 y multiplicada por el exponente original”.

Ejemplo:

Hallar la derivada de:

1. y = ƒ ^{(x) = x 7}

Solución: ƒ ’(x) = 7x ⁶ 2. y = ƒ (t) = ¹ _t

Solución: ƒ (t) = t ^-1/2 , ƒ ’(x) = - ₂ ¹ t ^-1/2-1 = - ¹ ₂ t ^{- 3/2}

Teorema 2: “La derivada del producto de una constante por una función de x es igual al producto de la constante por la derivada de la función”.

Si y = x ⁿ , entonces _dx ^{dy = f ' ( x ) = n} x ^{n − 1}

Si u(x) es una función diferenciable de x y c es una constante, entonces

dx

d c(u) = c dx

du = c ƒ ’(u)

Ejemplo:

Hallar la derivada de y = ƒ(x) = 5x ³

ƒ ’ (x) = 5.3x ² = 15 x ²

Teorema 3: “La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones”

Ejemplo:

Hallar la derivada de y = ƒ(x) = x ² + ^x

Solución: ƒ ’(x) = _dx ^d (x ² ) + _dx ^d (x ^1/2 ) = 2x + ₂ ¹ x ^-1/2

Teorema 4: “La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda más la primera función por la derivada de la segunda”.

Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, entonces

dx

d (u+ v ) = dx du +

dx

dv = ƒ’(u) + ƒ’( v ).

Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x , se sigue que

dx

d (u. v ) = dx

du v + u dx

dv = ƒ ’(u). ƒ ( v ) + ƒ (u). ƒ ’( v )

Ejemplo:

Calcular la derivada si y = (5x ² - 3x)(2x ³ + 8x + 7)

Solución:

La función dada y puede escribirse como un producto y = u v si hacemos.

u = 5x ² - 3x y v _{= 2x} ³ ^{+ 8x + 7}

Calculando las derivadas se tiene que:

u' = 10x – 3 y v _{' = 6 x} ² _{+ 8}

Por consiguiente, y' = u' v + u v '

= (10x – 3)( 2x ³ + 8x + 7) + (5x ² - 3x)( 6 x ² + 8)

= 50x ⁴ – 24x ³ ^{+ 120x 2} + 22x – 21

Teorema 5: “La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador”.

Si u(x) y v (x) son funciones diferenciables de x, se sigue que

dx

d ( ^u _v ) ⁼

v ^dx

u dv dx v du

2

− =

v

v f u v u f

2

) ( ' . ).

(

' −

Ejemplo:

Calcular la derivada de y = 4 x³

1 x²

+ +

Solución:

Inicialmente se seleccionan u y v , tales que y = u/ v . En este caso U = x ² + 1 y v _{= x} ³ + 4

Entonces, ^{f ' u ( )} = u' = 2x y ^{f ' v ( )} = v _{' = 3x} ²

Finalmente, aplicando el teorema se tiene:

y' = 3 2

2 2

3

) 4 (

) 3 )(

1 ( ) 4 )(

2 (

+ +

− +

x

x x

x

x = 3 2

2 4 4

) 4 (

) 3 3 ( 8 2

+ +

− +

x

x x x

x = 3 2

2 4

) 4 (

8 3

+ +

−

− x

x x x

2.3.3. Regla de la cadena

La regla de la cadena es una de las herramientas más útiles en derivación de funciones, pues se utiliza cuando se deriva una función compuesta de dos o más funciones simples.

Sea y = ^{f (u )} una función de u y u = ^{g (x )} una función de x. Entonces, se puede escribir:

[ ^{g (x )} ]

f

y =

Que representa a y como una función x, denominada la función composición de ^f y g . Se denota por ^{( f  g )( x )}

Teorema 6: “La derivada de una función compuesta es la derivada de la función externa por la derivada de la función interna”.

Ejemplo:

Calcular la derivada de y = ( x ² + 1 ) ⁵

Solución:

Se define la parte externa de la función como ( x ² + 1 ) ⁵ y la parte interna como x ² + 1

En consecuencia, la derivada externa será ^{5 (} x ² + ^{1 ) 4} y la derivada interna será 2 x .

Por lo tanto, dx

dy = (derivada externa)(derivada interna).

= [ ^{5 ( x 2 + 1 ) 4} ] ^{( 2 x )}

Si ^{y =} [ ^{u ( x )} ] ^{n , entonces}

dx

dy = nu ^{n − 1}

dx

du

2.4. Derivada de las funciones logarítmica y exponencial

Una función del tipo y = a ^{x (} a > ^{0 ,} a ≠ ^{1 )} se denomina una función exponencial. Cuando a >1, la función se conoce como una función exponencial creciente, mientras que si a <1, se llama una función exponencial decreciente.

El número a que aparece en la función exponencial ^y = ^a

se conoce como

la base. Ésta puede ser cualquier número real positivo excepto 1 (por que se

convertiría en una función constante). Con frecuencia es útil usar como base

un número irracional denotado por e , el cual está dado hasta cinco cifras

decimales:

e = 2.71828. La función exponencial correspondiente se denota por e ^x y se denomina la función exponencial natural.

Ejemplo:

Hallar la derivada de la función y = f ( x ) = 5 ^{3 x}

Solución:

La función y = f ( x ) = 5 ^{3 x} presenta como base 5 y exponente 3x. Por tanto, la derivada será:

) 5 ln(

. 5 . 3 3 ).

5 ln(

. 5

' ^{3 x 3 x}

y = =

Definición:

Ejemplo:

Sea la función y = f ( x ) = a ^u , donde u es función de x, entonces dx

a du a

y ' = ^u . ln( ).

Sea la función ^y = ^f ( ^x ) = ^{e u} , donde u es función de x, entonces

dx

e du

y ' = ^u .

Hallar la derivada de la función y = e ^3x

Solución:

La función y = e ^3x

presenta como base e y exponente 3x ² . Por tanto, la derivada será:

2

2

3

3 . 6 6 .

' e ^x x x e ^x

y = =

La inversa de una función ^{f (x )} se obtiene resolviendo la ecuación ^{y = f (x )} para x, de modo que se exprese a x como función de ^{y : x} = ^{f − 1 ( y )} . Se puede considerar la posibilidad de construir la inversa de la función a ^x . Con el propósito de lograrlo, se debe resolver la ecuación ^y = ^a

para x. Tal ecuación no puede resolverse en términos de las funciones que conocemos hasta el momento. Se escribe la solución en la forma ^x = ^log a ^{( y )} , la cual denominamos logaritmo de y con base a .

La función a ^x sólo está definida cuando a > 0. Además, cuando a = 1, entonces 1 ^x = 1 para todo x, en consecuencia, esta función no puede tener una inversa. Por tanto, en estas definiciones a puede ser cualquier número positivo excepto 1.

Cuando la base del logaritmo es 10, por convención, se denota ^log 10 = ^log .

) ( log y

x = _a si y sólo si y = a

También se pueden formar logaritmos con base e . Éstos se denominan logaritmos naturales (o logaritmos neperianos). Se denotan con el símbolo

ln y se definen como:

Esto es, la función ^{x = ln( y )} es la inversa de la función y = e

.

Definición:

Ejemplo:

Hallar la derivada de la función ^y = ^{log x}

.

Solución:

Sea la función ^y = ^{f ( x )} = ^log a ^{( u )} , donde u es función de x, entonces

dx e du y u 1 . log _a ( ).

' =

) ln(

) ( log

, x y y

e

y = ^x = _e =

Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es:

) 2 log(

2 ).

log(

1 .

' ₂ e

x x x e

y = =

Definición:

Ejemplo:

Hallar la derivada de la función ^y = ^{f ( x )} = ^{ln( x 3 )} .

Solución:

Aplicando la definición, se encuentra que la derivada para la función es:

x x

y x 3

3 1 .

' = ₃ ² =

Sea la función ^{y = f ( x ) = ln( u )} , donde u es función de x, entonces dx

du y u 1 .

' =

2.5. Derivadas de orden superior

Sea ^{y = f (x )} una función dada con derivada ^{f ' x ( )} dx

dy = . A ésta, se le llama la primera derivada de y con respecto a x. Si ^{f ' x ( )} es una función diferenciable, su derivada se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x. Si la segunda derivada es una función diferenciable, su derivada se conoce como la tercera derivada de y con respecto a x, etcétera.

Ejemplo:

Si ^{y = f (x )} es una función derivable, entonces La primera derivada será:

dx ó dy x f ó

y ' (' )

La segunda derivada será: '' ' (' ) ² ₂ dx

y ó d x f ó y

La tercera derivada será: ' '' '' (' ) ³ ₃ dx

y ó d x f ó y

La enésima derivada será: ^{n n n} _n dx

y ó d x f ó

y ( )

Calcular la primera derivada y las de orden superior de la función

1 7 5 3 )

( = ⁴ − ³ + ² −

= f x x x x

y .

Solución:

La primera derivada de la función será:

x x

x x

f

y ' = ' ( ) = 12 ³ − 15 ² + 14

La segunda derivada será la derivada de la primera derivada:

14 30 36

) ( ''

'' = f x = x ² − x + y

La tercera derivada será la derivada de la segunda derivada:

30 72 ) ( '' ' ''

' = f x = x − y

La cuarta derivada será la derivada de la tercera derivada:

4 72

4 =

dx y d

La quinta derivada será la derivada de la cuarta derivada:

5 0

5

dx =

y

d

3. ANÁLISIS MARGINAL

El análisis marginal es el estudio de la razón de cambio de cantidades económicas; por ejemplo, un administrador no se preocupa sólo por el valor del producto interno bruto (PIB) de una economía en un instante dado, sino también por la razón por la que aumenta o disminuye. En el mismo sentido, un fabricante no sólo se interesa en sus gastos totales correspondientes a cierto nivel de producción de un artículo, sino también en la razón de cambio de los gastos totales con respecto al nivel de producción.

OBJETIVOS

1. Calcular e interpretar la función de costo marginal.

2. Calcular e interpretar la función de costo promedio.

3. Calcular e interpretar la función de ingreso marginal.

4. Calcular e interpretar la función de utilidad marginal.