Funciones Exponenciales

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Funciones

Exponenciales

MATE 3012

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Definición de Función



Se define una función, f, de un conjunto D a otro conjunto, R, como una correspondencia que asigna a cada elemento x de D

exactamente un elemento de R :

x₁ x₂

y₁ y₂ x₃

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Funciones en Matemáticas

 En matemáticas representamos las reglas de correspondencia con ecuaciones.

 En este curso estudiamos ecuaciones en dos variables, normalmente x, y, donde

 x  variable independiente

 y variable dependiente

 Ej. y = 2𝑥² + 3𝑥 − 9, es una ecuación cuadrática

 Cuando estamos seguros que cada valor que se le asigna a x produce un solo valor para y,

entonces escribimos f 𝑥 = 2𝑥² + 3𝑥 − 9

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Terminología

 D, llamado el dominio de la función, consiste de todos los valores que puede asumir la variable independiente

 La variable independiente puede asumir un valor, si ese valor produce un resultado real.

 Por ejemplo: si f 𝑥 = _3𝑥−9^2𝑥² f(3) = ₃₍₃₎₋₉²⁽³⁾² =

2(9) 9−9 =

18

0 𝑁𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

Por lo tanto, x = 3 NO está en el dominio de la función.

El dominio de f(x) son todos los reales excepto el 3.

El dominio es −∞, 3 ∪ 3, ∞ .

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Terminología

 R, llamado el campo de valores, rango, o alcance de la función, consiste de todos los valores

producidos al evaluar la variable independiente para cada valor de su dominio (imágenes)

 Por ejemplo, si f 𝑥 = 2𝑥² + 3𝑥 − 9, entonces f(3) implica remplazar x con 3 y simplificar la

expresión

 f 3 = 2(3)²+3(3) − 9

 f 3 = 18

 3 está en el dominio de f(x) y 18 está en el campo de valores de f(x)



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Nombre el dominio y el campo de valores

a) b)

Dominio:

Campo de valores:

Dominio:

Campo de valores:

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

En este curso estudiaremos funciones exponenciales que siguen el siguiente modelo:

𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑎

^𝑥

+ 𝑐,

donde a, b, c son números reales tales que a >0 y a ≠ 1,

y b ≠ 0

Funciones exponenciales

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Resumen de comportamiento

 La función exponencial, f(x) = ba^x, (para a , un número positivo diferente de 1, b > 0 y x cualquier número real) tiene las siguientes características

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Gráficas

Tracemos las gráficas de 𝐲 𝐡(𝐱) = 𝟏 𝟑

𝒙

Nota que esta gráfica es una reflexión sobre el eje de y de la gráfica de y = 3^x. También, y = 1

3

𝑥

= 3^{−1 𝑥} = 3^−𝑥

f(x) = 3^x

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Gráficas (cont.)

Comparemos las gráficas de y h(x) = 1 3

𝑥

f(x) = 3^x

Nota que estas funciones

exponenciales tienen en común:

1. el int-y es (0,1)

2. la asíntota horizontal es eje de x o sea y=0

3. el dominio: todos los reales, campo de valores: y>0

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Gráficas (cont.)

Tracemos la gráfica de y = 3^x-2 Comparemos las tablas

de valores de 3^x y 3 ^x-2:

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Gráficas (cont.)

Tracemos la gráfica de y = 3^x - 2

x 𝑦 = 3^𝑥 -3 ₂₇¹ -2 ¹₉ -1 ¹₃

0 1

1 3

2 9

3 27

Comparemos tablas de valores de 3^x y 3^x– 2 :

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DEFINICION:

Llamamos la constante 𝑒 la base natural.

𝑒 es un número irracional.

f(x) = 𝑒^𝑥  una función que utiliza la base natural se denomina una función natural

Por ejemplo:

𝒇 𝒙 = −𝟐𝒆^𝒙+𝟏 𝒈 𝒙 = ^𝟏_𝟐 𝒆^𝟐𝒙 𝒉 𝒙 =3𝒆^𝒙 − 𝟓

La constante e

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Ej. Utilice su calculadora para aproximar los valores siguientes a 4 lugares decimales:

𝑎) 𝑒² b) 𝑒^3.55 c) 3𝑒^0.5 d) 𝑒⁻¹

La constante e (continuación)

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La función de la base natural: e

 Se define la función exponencial natural por

f(x) = e^x

para cada número real x .

 Aquí se presenta la gráfica de e^x , al lado de 2^x y 3^x .

 Note: dominio: (-∞, ∞)

campo de valores 𝒚 > 𝟎

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Ejemplo 5: Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑒^𝑥, g 𝑥 = 𝑒^−𝑥 , h 𝑥 = 𝑒^𝑥 − 3

La función exponencial natural

Notamos:

• f(x) y h(x) son crecientes en todo su dominio, g(x) es decreciente

• Dominio de todos: (−∞, ∞)

• Campo de valores de f(x) y g(x) es (0,∞), de h(x) es (-3,∞)

• f(x) y g(x) tienen el eje de x como asíntota horizontal, la asíntota horizontal de h(x) es y=3.

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Interés

Compuesto Continuamente

Una aplicación de la base natural, e, es la fórmula de interés compuesto:

donde P = el principal (la inversión original)

r = tasa de interés anual expresado como un decimal

t = número de años que P se invierte

A = valor de la inversión después de t años

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Ejemplo

 Suponer que $20,000 se depositan en una cuenta que paga interés compuesto continuamente a una razón de 8% por año.

 Determine el balance en la cuenta luego de 5 años.

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Fórmula de crecimiento

La fórmula de interés compuesto es un caso particular de la formula de crecimiento.

q = q₀e^rt^,

donde q es la cantidad final, q₀, es la cantidad inicial, r es la razon de crecimiento (en decimal) y t la cantidad de años.

Ejemplo: La población de una ciudad en 1970 era 153,800.

Asumiendo que la población crece continuamente a una razón de 5% por año, determine en qué año la población de la ciudad alcanza 1 millón primera vez .

Para la solución aplicamos la fórmula de crecimiento.

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Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e

^(0.05)(t)

= 1,000,000.

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Ejemplo (cont.)

Usando la calculadora gráfica

153,800e

^(0.05)(t)

= 1,000,000.

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Teorema

• Las funciones exponenciales son crecientes o decrecientes en todo su dominio (monotónicas).

• Una función monotónica es una función uno-a-uno.

Si f(x) = a^x para 0 < a < 1 ó a >1 se cumplen las siguientes condiciones:

• La propiedad uno-a-uno de las funciones exponenciales nos permite resolver ecuaciones exponenciales sencillas.

1. 𝑆𝑖 𝑥₁ ≠ 𝑥₂, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎^𝑥¹ ≠ 𝑎^𝑥²

2. 𝑆𝑖 𝑎^𝑥¹ ≠ 𝑎^𝑥², 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥₁ ≠ 𝑥₂. (cada valor de dominio tiene una

imagen única, las y’s NO se repiten.)

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Ejemplos

• Hallar x tal que 7

³^x

= 7

²^x^{+ 5}

.

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Ejemplos

• Resolver para x, 3

⁵^x^{– 8}

= 9

^x^{+ 2}

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Ejemplos

• Resolver para x,

^𝟏_𝟐

x – 3

= 𝟒

^𝟐−𝒙