Teoría de la Probabilidad

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Tema 2

Teor´ıa de la Probabilidad

2.1 Introducci´on

Un experimento aleatorio es aquel que repetido en condiciones iniciales similares puede conducir a resultados distintos.

Ejemplo 1: (Experimentos aleatorios)

1. Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz.

2. Lanzar una moneda hasta que salga cara.

3. Elegir dos n´umeros reales del intervalo [0,1].

Definición: Se llama suceso asociado a un experimento aleatorio a cualquier cuestión relacionada con dicho experimento que tenga respuesta, en el sentido de si ha ocurrido o no, después de realizar el experimento.

Ejemplo 2: (Sucesos asociados a los experimentos aleatorios del ejemplo 1) 1. Al lanzar la moneda se obtiene cara.

2. La cara se obtiene antes de la quinta tirada.

3. La diferencia entre ambos n´umeros es menor que 0.5.

Definici´on: Se llama suceso elemental a cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio.

Definici´on: Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento aleatorio. Lo denotaremos por Ω.

Ejemplo 3: Los espacios muestrales asociados a los experimentos aleatorios del ejemplo 1 son:

1. Ω = {C, X}

2. Ω = {C, XC, XXC, . . .}

3. Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}

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Un espacio muestral Ω se dice que es de tipo discreto si tiene una cantidad finita o infinita numerable de elementos. En caso contrario se dice que el espacio muestral es continuo.

El c´alculo de probabilidades exige, en muchos casos, el uso de la Teor´ıa de Conjuntos con objeto de poder definir adecuadamente distintas cuestiones relacionadas los experimentos aleatorios. Por este motivo, vamos a “redefinir” el concepto de suceso.

Definici´on: Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, se llama suceso asociado a dicho experimento, a cualquier subconjunto de Ω. Los subconjuntos unitarios de Ω son los sucesos elementales. Los denotaremos por ω.

Ejemplo 4: Los sucesos del ejemplo 2 se expresar´ıan como:

1. S₁ = {C}

2. S₂ = {C, XC, XXC, XXXC}

3. S₃ = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, |x − y| < 0.5}

De los sucesos del ejemplo 2, s´olo el primero es un suceso elemental.

Definici´on: Al realizar una prueba de un experimento aleatorio diremos que se ha verificado el suceso A si el resultado obtenido en el experimento pertenece a A.

• Ω representa el suceso seguro.

• ∅ representa el suceso imposible.

2.2 Operaciones con sucesos

Dados dos sucesos A y B asociados a un experimento aleatorio:

• A ∪ B es el suceso que se verifica siempre que se verifique al menos uno de los dos sucesos.

• A ∩ B es el suceso que se verifica siempre que se verifiquen los dos sucesos.

• B\A es el suceso que se verifica siempre que se verifique B y no se verifique A.

Ejemplo 5: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado con 6 caras.

Si definimos los sucesos:

• A: Lanzar un dado y obtener un n´umero par.

• B: Lanzar un dado y obtener un m´ultiplo de 3.

entonces:

A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A ∪ B = {2, 3, 4, 6} A ∩ B = {6} B\A = {3}

Definici´on: Diremos que dos sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si A ∩ B = ∅ (esto es, no pueden ocurrir los dos a la vez).

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Definici´on: Dado un suceso A, se denota por A al suceso complementario o suceso contrario de A. Es el suceso que se verifica si y s´olo si no se verifica A.

Propiedades: Dados dos sucesos A y B

• A ∪ B = A ∩ B

• A ∩ B = A ∪ B

• B\A = B ∩ A

Definici´on: Un conjunto de sucesos A₁, A₂, . . . , A_n, . . ., asociados a un experimento aleatorio, cuyo espacio muestral es Ω, se dice que forman un sistema completo de sucesos si:

1.

[∞ i=1

A_i= Ω

2. A_i∩ A_j = ∅ ∀ i 6= j

Ejemplo 6: En el experimento consistente en lanzar un dado con 6 caras Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los sucesos A₁ = {1, 2}, A₂ = {3, 4}, A₃ = {5, 6} constituyen un sistema completo de sucesos.

2.3 Axiomas de probabilidad

Definición: Consideremos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω. Sea A una σ-álgebra de sucesos asociada a dicho experimento aleatorio. Una aplicación P : A −→ R se dice que es una función de probabilidad si cumple las siguientes condi- ciones:

1. P (A) ≥ 0 ∀ A ∈ A 2. P (Ω) = 1

3. Si A₁, A₂, . . . , A_n, . . . ∈ A y A_i∩ A_j = ∅ ∀ i 6= j, entonces P ( [∞ i=1

A_i) = X∞ i=1

P (A_i)

A la terna (Ω, A, P ) se le llama espacio de probabilidad.

Nota: podemos interpretar A como el conjunto de sucesos a los que asignamos una probabilidad.

Consecuencias: Dado (Ω, A, P ) y dos sucesos A, B ∈ A:

• Si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B)

• P (A) = 1 − P (A)

• P (∅) = 0

• P (B\A) = P (B) − P (B ∩ A)

• P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

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Llegados a este punto, tenemos que decidir c´omo asignar las probabilidades:

• Si el espacio muestral Ω es de tipo discreto, bastar´a con asignar probabilidades a cada uno de los sucesos elementales ω_i con lo cual dado un suceso A, por el axioma 3:

P (A) = X

ωk∈A

P (ω_k)

• Si el espacio muestral es continuo el problema necesita un tratamiento diferente y conduce al c´alculo, generalmente mediante integrales, de las longitudes o vol´umenes asociados a los sucesos y al espacio muestral.

2.4 Regla de Laplace

Sea Ω = {ω₁, ω₂, . . . , ω_n} un espacio muestral discreto formado por n sucesos elementales EQUIPROBABLES. En este caso, todos los P (ω_k) son iguales, y como

1 = P (Ω) = Xn i=1

P (ω_i) = n · P (ω_j) para cualquier j resulta que P (ω_j) = ¹_n ∀ j

En consecuencia, dado un suceso A = {ω₁, ω₂, . . . , ω_k} la probabilidad de A viene dada por:

P (A) = Xk

i=1

P (ω_i) = Xk i=1

1 n = k

n es decir,

Probabilidad = n´umero de casos favorables n´umero de casos posibles

Ejemplo 7: Se extrae una bola de una urna que contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras. ¿Cu´al es la probabilidad de que la bola extra´ıda sea blanca?

Nota: la Regla de Laplace es válida únicamente si los SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES. Si los sucesos elementales no son equiprobables, la naturaleza del problema nos indicará como determinar las probabilidades.

2.5 Probabilidad condicionada

Se utiliza en los casos siguientes:

1. Cuando se conoce alguna informaci´on “extra” (o condici´on) sobre el experimento.

2. Cuando el problema es complejo y se puede abarcar mediante la descripci´on de un sistema completo de sucesos adecuado.

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Veamos un ejemplo: encuestando a un grupo de personas se ha obtenido la siguiente informaci´on

F F Total

M 75 125 200

H 115 100 215 Total 190 225 415

donde H son hombres, M mujeres y F y F significan fumador y no fumador respecti- vamente. Se elige una persona al azar. ¿Cu´al es la probabilidad de que fume?

P (F ) =190

415 = 0.45

Sabiendo que es mujer, ¿cu´al es la probabilidad de que fume?

Definici´on: Se define la probabilidad de un suceso B condicionado a otro suceso A tal que P (A) > 0, y se representa por B|_A, como:

P (B|_A) = P (B ∩ A) P (A)

Mediante este concepto podemos responder a la pregunta anterior as´ı:

P (F |_M) = P (F ∩ M )

P (M ) = 75/415 200/415 Propiedad: P (·|_A) verifica los axiomas de probabilidad, esto es 1. P (B|_A) ≥ 0 ∀ B ∈ A

2. P (Ω|_A) = 1

3. Si B₁, B₂, . . . , B_n, . . . ∈ A y B_i ∩ B_j = ∅ ∀ i 6= j, entonces P ( [∞ i=1

B_i|_A) = X∞

i=1

P (B_i|_A)

Por tanto, verifica tambi´en las consecuencias que se deducen de los axiomas.

Ejemplo 8: En una bolsa tenemos tres fichas: la primera tiene las dos caras blancas, la segunda tiene las dos caras rojas y la tercera tiene una cara blanca y otra roja. Se saca una ficha y se mira la cara superior, que resulta ser de color blanco. ¿Qu´e es m´as probable, que la otra cara sea blanca o que sea roja?

2.6 Teoremas de Probabilidad

2.6.1 Teorema del producto

Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y dos sucesos A y B con P (A) > 0. Entonces:

P (B ∩ A) = P (B|_A) · P (A)

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Este resultado se puede generalizar a una colecci´on finita de sucesos como sigue:

Dados n sucesos A₁, . . . A_n tales que P (

n−1\

i=1

A_i) > 0, entonces:

P (A₁∩ A₂∩ · · · ∩ A_n) = P (A₁) · P (A₂|_A₁) · · · P (A_n|_A₁_{∩···∩A}_n−1)

Ejemplo 9: ¿Cu´al es la probabilidad de acertar 6 n´umeros en el sorteo de la loter´ıa primitiva?

2.6.2 Independencia de sucesos

Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y A, B ∈ A con P (A) 6= 0. Se dice que el suceso B es independiente de A si se verifica que P (B|_A) = P (B).

Consecuencias:

1. B es independiente de A si y s´olo si P (A ∩ B) = P (A) · P (B) 2. Si B es independiente de A entonces A es independiente de B

La segunda consecuencia nos lleva a la siguiente definici´on:

Definici´on: Dos sucesos A y B son independientes si P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Se puede comprobar que si A y B son sucesos independientes, tambi´en lo son A y B, A y B, A y B.

2.6.3 Teorema de la probabilidad total

Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y A₁, A₂, . . . , A_n, . . . un sistema completo de sucesos tal que P (A_i) > 0 ∀ i. Dado un suceso B ∈ A, entonces:

P (B) = X∞ i=1

P (A_i) · P (B|_A_i)

2.6.4 Teorema de Bayes

En las mismas condiciones del teorema anterior, si P (B) > 0 se verifica que:

P (A_k|_B) = P (A_k) · P (B|_A_k) X∞

i=1

P (A_i) · P (B|_A_i)

Ejemplo 10: Se dispone de una urna con 4 bolas blancas y 3 bolas negras, y de una segunda urna con 1 bola blanca y 5 bolas negras. Se lanza una moneda con probabilidad 2/3 de obtener cara y 1/3 de obtener cruz. Si el resultado es cara, se saca una bola de la primera urna, y si es cruz, se saca de la segunda urna. ¿Cu´al es la probabilidad de extraer una bola negra? Si la bola extraida es blanca, ¿cu´al es la probabilidad de que al lanzar la moneda haya salido cara?

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Anexo: Combinatoria

Dada una colecci´on de n objetos, se llama permutaci´on a cualquier ordenaci´on de esos objetos. El n´umero de posibles permutaciones se denota por P_n y es:

P_n= n!

Si con los n objetos se pueden formar k grupos de objetos iguales entre s´ı y en los distintos grupos hay m₁, m₂, . . . , m_k elementos, cada ordenacion reciben el nombre de permutación con repetición. El número de permutaciones con repetición que se pueden formar viene dado por:

P_n^m¹^,...,m^k = _m ^n!

1!···mk!

siendo m₁+ · · · + m_k= n.

Ejemplo: el n´umero de formas que hay de ordenar 3 bolas rojas y 5 blancas viene dado por:

P₈^3,5= 8!

3! · 5!

Supongamos ahora que de los n objetos se desea seleccionar m. Al realizar la selección puede ocurrir que “importe” el orden en que se eligen los objetos (ej: resultados de la quiniela de fútbol) o puede ocurrir que el orden sea indiferente (ej: combinación ganadora en un sorteo de la Loter´ıa Primitiva). En el primer caso cada elección recibe el nombre de Variación, mientras que en el segundo recibe el nombre de Combinación. Si cada objeto puede ser elegido más de una vez, diremos que las elecciones se han realizado con repetición. Si esto no ocurre (cada objeto puede seleccionarse sólo una vez), diremos que se han realizado sin repetición.

El n´umero de combinaciones y variaciones, con o sin repetici´on, de n objetos tomados de m en m, viene dado en la siguiente tabla:

Combinaciones Variaciones

Con repetici´on CR_n,m=

µ n + m − 1 m

¶

V R_n,m= n^m

Sin repetici´on

(Ordinarias) C_n,m = µ n

m

¶

V_n,m= n · (n − 1) · · · (n − m + 1)

(m ≤ n) (m ≤ n)

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