Muestreo y. Distribuciones Muestrales

(1)

Muestreo y

Distribuciones

Muestrales

(2)

Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM. 2

Muestreo

POBLACION ^muestra Muestreo

Inferencia Estadística

Conteos rápidos, preferencias electorales, etc.

(3)

Tipos de Muestreo

Muestreo No Probabilístico

No aplican las fórmulas estadísticas del curso

Muestreo Probabilístico.

Aplican las fórmulas estadísticas del

curso

(4)

Muestreo No Probabilístico

No se conocen de antemano las

probabilidades de que aparezcan cada uno de los elementos de la población en la

muestra.

Ejemplos: Muestreo por Conveniencia,

Muestreo en Centros Comerciales, Muestreo por Cuotas, Encuestas Telefónicas no

Solicitadas, etc.

Adolece de sesgos en la selección de la muestra.

(5)

Muestreo Probabilístico

Las unidades se seleccionan por un

procedimiento probabilístico controlado.

Las probabilidades de que aparezcan cada uno de los elementos de la

población en la muestra se conocen de antemano.

Evita sesgos en la selección de los

elementos de la muestra.

(6)

Tipos de Muestreo Probabilístico

Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

Muestreo Sistemático (MS) con Arranque Aleatorio

Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE)

Muestreo Polietápico o por

Conglomerados.

(7)

Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

Existe un marco de muestreo: listado, mapa, tarjetero, etc.

Todas la unidades tiene IGUAL.

probabilidad de aparecer en la muestra.

N = Tamaño de la población.

n = Tamaño de la muestra.

Total de muestras disrtintas: C

_n^N

(8)

Muestreo Aleatorio Simple (MAS).

=ALEATORIO.ENTRE(1,$E$3)

Muestreo Aleatorio Simple.

Tamaño de la población N 400

Tamaño de la muestra n 15

Variable orden

Elemento a encuestar

265 1 167

71 2 397

24 3 213

10 4 85

361 5 93

65 6 112

324 7 100

375 8 31

382 9 134

69 10 86

60 11 149

57 12 381

69 13 369

399 14 286

14 15 274

Los elementos se fijan copiando los valores de la columna variable.

(9)

Muestreo Sistemático con Arranque Aleatorio (MS)

Existe un marco de muestreo: listado, mapa, tarjetero, etc.

Todas la unidades tiene IGUAL probabilidad de aparecer en la muestra.

Procedimiento:

Calcular k=N/n.

Elegir un arranque aleatorio entre 1 y k, digamos a.

Elegir las unidades a, a+k, a+2k, ... Etc.

(10)

Muestreo Sistemático (MS) con Arranque Aleatorio.

Muestreo Sistemático con Arranque Aleatorio Tamaño de la población N 1000

Tamaño de la muestra n 40

Muestrear uno cada k 25 Variable

Arranque aleatorio 23 19 orden

Elemento a encuestar

1 19

2 44

3 69

4 94

5 119

6 144

38 944

39 969

40 994

...

(11)

¿Qué se observa o mide?

Variable cuantitativa X

₁

= edad de un árbol X

₂

= ingreso del hogar X

₃

= gasto del hogar

Variable cualitativa

X

₅

= partido político

X = género

(12)

Estimación Puntual. Variable cuantitativa X

Estimadores puntuales (muestra)

∑

=

ⁿ

1 i

x

i

n x 1

∑

=

−

= ⁿ

1 j

2 j

2

X ( x x )

1 - n s 1

∑

=

^N

1 j

j

X

x

N

µ 1

∑

=

−

= ^N

1 j

2 X j

2

X ( x )

N

1

µ

σ

POBLACION ^muestra

Muestreo

Población, fijo Muestra, variable aleatoria

(13)

Ejemplo.

Se obtuvo una muestra sistemática de 22 carrocerías de una línea de pintado.

Se midieron espesores de las carrocerías en 3 planos y 7 posiciones.

3 2

1

(14)

Datos Muestrales.

obs ESP3.1 ESP3.2 ESP3.4 ESP1.2 ESP1.3 ESP2.2 ESP2.3

1 1 0.98 1 0.93 0.77 1.19 1.02

2 0.98 0.96 0.89 0.92 0.83 1.09 0.97

3 1.01 0.94 0.92 0.94 0.75 1.12 0.98

4 0.92 0.85 0.87 0.93 0.8 1.09 0.88

5 1.02 0.97 1.05 1.09 0.93 1.09 0.97

6 0.93 0.96 0.85 0.91 0.83 1.01 0.89

7 1.1 1.01 1.02 0.85 0.96 1.1 1.06

8 1.23 1.1 1.21 0.98 0.92 1.3 1.3

9 1.18 1.18 1.13 1.01 1 1.18 1.21

10 1.18 1.1 1.12 0.93 1 1.13 0.94

11 0.89 0.84 0.8 0.88 0.72 0.96 0.75

12 1.06 0.93 0.81 0.91 0.81 0.94 0.87

13 1.04 0.98 0.94 1.01 0.92 1.06 1

14 1.09 1.01 1.02 1.08 0.72 1.04 0.89

15 1.08 1.05 1.14 0.91 0.89 1.06 1

16 1.02 1.09 1 0.89 0.87 1.05 0.88

17 1 1.02 0.91 0.93 0.81 1.08 0.85

18 0.93 0.98 0.84 0.83 0.7 0.98 0.84

19 1.02 1.01 0.94 0.97 0.79 1.1 1

20 0.89 0.84 0.83 0.98 0.89 0.94 0.83

21 1.09 1.05 0.96 1.1 0.96 1.26 1

22 0.87 0.96 0.81 0.91 0.81 1.02 0.84

Promedio 1.0241 0.9914 0.9573 0.9495 0.8491 1.0814 0.9532 Var

muestral 0.0096 0.0073 0.0143 0.0053 0.0083 0.0087 0.0157 Desviación

Estándar 0.0980 0.0855 0.1195 0.0725 0.0909 0.0935 0.1255

(15)

Variable cualitativa X

X solo toma valores 0 o 1.

Parámetro poblacional de interés:

población la

en unos

de Proporción

N x p 1

N 1 j

j X

=

= ∑

=

(16)

Estimación Puntual

Parámetro Estimador

∑

=

= ⁿ

1 i

i

X x

n p 1

∑

=

= ^N

1 j

j

X x

N p 1

Población, fijo Muestra, variable aleatoria

POBLACION ^muestra Muestreo

(17)

Ejemplo.

Se obtuvo una muestra sistemática de 1114 electores que fueron a votar en una elección. Datos Muestrales:

Votos a favor p barra

Partido 1 473 0.4246

Partido 2 418 0.3752

Partido 3 167 0.1499

Partido 4 56 0.0503

Total 1114

(18)

Variación Muestral

Tanto como son variables aleatorias.

Ambas pueden tomar una cantidad prácticamente infinita de valores

distintos.

Se puede modelar su variación por medio de la distribución de

probabilidades Normal.

x ^p

(19)

Demo de la Universidad de Rice

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampli ng_dist/

Muestra el histograma del promedio muestral, en el caso hipotético que se pudiesen obtener una gran cantidad de muestras de la misma población.

Si n=25 (tamaño de la muestra) el histograma es aproximadamente normal.

(20)

Distribución Muestral de bajo MAS y MS.

Se puede mostrar que

Teorema del Límite Central. Para n>30, tiene un distribución de probabilidades

aproximadamente normal con media y desviación estándar

x

2 X X

X X )

) x (

E = µ = σ = σ ; E(s²_X =σ ) n

x Var(

;

n

σ

X

x

µ

X

(21)

0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98

f(x) 0

5 10 15 20 25

Distribución Muestral de

bajo MAS y MS. Posición 1.2.

x

0192 .

09 0 . 0

09 .

9 . 0 ) x ( E

9 . 22

n

) 2 . 1 ( X

2 . 1

) 2 . 1 ( X

=

22

(supuesto) (supuesto) 0

σ σ µ

Intervalo de Variación

Muestral Máxima: 0.842-0.957

0192 ) .

0

9 . 0 957 . z 0 0192

. 0

9 . 0 842 . (0 P ) 957 . 0 x

842 . 0 (

P < ₁_.₂ < = − < < −

Valor observado

(22)

Distribución Muestral de bajo MAS y MS.

Se puede mostrar que

Si np>5 y n(1-p)>5 entonces la distribución muestral de se pues aproximar con una distribución normal con parámetros

p

n

) p 1

( ) p

p Var(

; p )

p (

E = = − = σ ²_p

n

) p 1

( p p

) p (

E = _p = −

= σ

µ y p

(23)

0.29 0.31 0.32 0.34 0.35 0.36 0.38 0.39 0.41

f(x) 0

5 10 15 20 25 30

Distribución Muestral de bajo MAS y MS.Partido 2.

p

0.014291 0.000204

; 389.9

(supuesto)

0.35

σ

) p Var(

1 . 724 )

p 1 ( n np

p ) p ( E

1114 n

p2

2

2 2

=

−

=

Intervalo de Variación

Muestral Máxima: 0.3071-0.3928

Valor observado

01429 ) .

0

35 . 0 3928 .

z 0 01429

. 0

35 . 0 3071 .

(0 P ) 3928 .

0 p 3071 .

0 (

P < ₂ < = − < < −

(24)