POTENCIAS EJERCICIOS
RECORDAR:
También es importante saber que:
(Añade estas fórmulas al formulario que realizarás a lo largo del curso)
1. Calcular las siguientes potencias de exponente natural (sin usar calculadora):
0 (0,75) 0
(-1) 0
235 0
1 523
(-1) 10
(-1) 4569
1
9 1 3
(-9) 3
9 2
(-9) 2
9 3
2 - 3
(-2)
4 3 - 4
(-3) 21
1 (-2)2
130
(-1)21
2)5
(
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
2. Calcular las siguientes potencias de exponente entero (sin usar calculadora), dejando el resultado en forma entera o fraccionaria:
10 (-1)- 7
(-1)- 4
(-1)- 10
1- 7
1- 4
1-
3 3- 2
3- 1
3- 3
2- 2
2- 2 1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
− =
( )
n n n
n n n
n n
- n
n m m
n n - n
m n m
0 n
m n m
b a b a
b a b) (a
a b b
a a a
a a 1 a a
a
1 a a
a a
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
=
=
⋅
⋅
− +
( )
( ) ( )
( )
-1 1negativa base
1 1 -
negativa base
1 1
impar
impar par
algo par
−
=
−
=
=
+
=
=
3. Calcular las siguientes potencias de base fraccionaria, dejando el resultado en forma fraccionaria:
0,1 2
9 - 2
7 2
5 - 2
3
2 3
7 4
2 5
2 3
2 1 -
2 1 2
1 - 2
1 2
1 3 1
2 1
2 1
2 1 - 5
2 6 5 -
4 9
4 3 - 5
1 - 4
9 3 5
1 3
3 2
2
3 3
2 2
3
3 2
2 3
1
2 2
5 1
2
2 3
2 2
3
-=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
4. Pasar a forma de potencia de base entera lo más simple posible:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
125 1
1024 1
a m i s cienmilé 1
a millonésim 1
milésima 1
trillón 1
billón 1
millón 1
0,001
0,01
0,1
1.000.000 1
10.000 1
100 1
1.000.000
10.000
100
64 1
14 1
10 1
5 1
4 1
3 1
343
125
81
32
8
5. Pasar a potencia única de base racional, y simplificar el resultado:
( )
( ) ( ) ( )
3 33
3· 3 5
: 2 - 2
3 3 2
3 3 2 2 3 2 3
3 2
2 3 2 2
4 5
1 4 5 4
2 5
6 2 5
3 10 2 7 10 4 7 10 6 7 10 7
6 4 5 7 4 2 7 4 7
3 2 -3 2 -3
03 9
5 2- 6-
23 7- 4
10 20 10- 4
10 1020
3 9 90 5
6- 2 6- 3
7 2 7- 4
10- 20 10- 4
20 10 10-
4 20 10 10 3
0 9 9 5
6- 2 6- 3
2 7 7- 2
(-6) (-7)2
3 6) (
73 2
6 (-7)2 3
6 73 2
6 72 3
3 (-6) (-7)
2 2 (-6) 7 3
3 6 (-7) 2
2 6 7 - 3
3 6 7 2
2 6 7
5 - 7
3 2 3 2
4 3 4 3 5
3 5 3 5
5
3 =
−
=
=
−
=
−
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
− =
=
−
=
=
−
⋅
⋅
−
⋅
−
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
− =
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
6. Calcular y simplificar:
a) -54 =
b)
( )
-5 4 =c) -33 =
d)
( )
-3 3 =e) =
6
2 - 1
f) =
6
2 -1
g) =
3
3 -1
h) =
3
3 - 1
i) 22 −32 =
j) 22
( )
−32 =k)
( )
-3 −3 =l)
( )
-3 −4 =m) -3−4 =
n)
( )
23 −2= (Soluc: 1/64)o)
( )
2-3 −2= (Soluc: 64)p)
( )
-23 −2= (Soluc: 1/64)q)
[ ] ( )-23 −2= (Soluc: 1/64)
r)
[ ] ( )-2-3−2= (Soluc: 64)
s) =
2 3
5
1 (Soluc: 1/15625)
t) =
-2 2 4
3 (Soluc: 256/81)
u) =
−
−2 −1
3
5 (Soluc: 25/9)
v) =
−2 3 7
4 (Soluc: 117.649/4096)
w) =
2 -1 9
2 (Soluc: 81/4)
7. Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento:
a) =
⋅ 5
2 3 6
1 (Soluc: 1/1024)
b) =
⋅ ⋅ −
− ( 2) −4
8 1 5
6 (Soluc: 10000/81)
c) =
−
⋅
⋅
⋅
−4 −3 −3 −5
5 3 4
1 3 5 3 2
(Soluc: -900)
d) =
⋅ − ⋅
⋅
3
3 1) 2 ( 2 5 21 7 15
⋅ ⋅
53 23 73 36 - : Soluc
e) =
⋅
4 5 2
7 2
7 2 7 2
(Soluc:8/343)
f) a2·a-2·a3= (Soluc: a3)
g)
( )
=−
− 3 5 0
2
2 (Soluc: 8)
h) =
⋅ −5
3
2) (5
2 (Soluc:800000)
i) =
⋅
3 −4 −2
5 4 2
5 (Soluc:28/510)
j) =
−
−
⋅
−
⋅ −
−
2 4) ( 2) (
2 3 4 1
(Soluc: 1/4)
k) =
−
⋅
−1 2 -3
2 4 1 2 1
(Soluc: 1)
l) =
4 5
18
12 (Soluc :64/27)
m)
(
8·4−2)
3 = (Soluc: 1/8)n) =
−4 −2
3
2 ·27
3
· 1 9
·
3 (Soluc: 36)
o) =
⋅
⋅
⋅
− −
−
7 3 2
3 1
3 2 1 3 25
4 5 9 4
(Soluc: 3/10)
p) =
−
⋅
6 −4
3 10 5
6 (Soluc: 310·22/510)
q) =
⋅
− −
−
8 2 - 5
-5 3 2
3 : 2 3 2
3 2 3 2
(Soluc: (2/3)15)
r) =
−
−
−
5 :1 5
· 1 5 1
5 : 1 5 1
10 3
9 5
(Soluc: 1/512)
s) =
⋅
−
⋅
⋅
−
−
−3 2 4 3
3 1 3 1 3 1 3 1
(Soluc: -9)
8. Idem:
a) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
6 5 3
0 3 5 7
2 2 2 2
2 2 2
2 (Soluc: 1)
b) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
− 3 2 2 1
1 3 4 3
5 5 2 2
5 5 2
2 (Soluc: 26
·57)
c) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
4 5 1 3
5 4 2 2
3 7 3 7
3 7 3 7
3 (Soluc: 3)
d) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
2 3 5 1 4
2 3 2 1 8
7 5 3 5 7
3 7 5 7
3 (Soluc: 3)
e) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
4 3
30 6 5 3
2 32 2 16
8 2 2 4
2 (Soluc: 294)
f) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
27 125 5 25
45 5 3 15
3
2 3 2 2
(Soluc: 243/5)
g) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
36 48 16 3 27
108 3 18 12 6
2 2
2 2 2 3
(Soluc: 1944)
h)
( )
( )
=⋅
⋅
− −
− 2 3 3
5 -3 4 3 2
2 2
2 : 2 : 2
2 (Soluc: 2)
i)
( )
⋅ ⋅ ⋅ ⋅− =− 2 2 3
2 3 2 2
3
· 27 5
45 5 5
15 (Soluc: 243/5)
j) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
8 2 100
5 4 ) (2 2
2 3 5 3 1
(Soluc: 5·213)
k)
( )
( )
2 −2 =3 2 2
3·2 : 2
3 : 2 :
3 (Soluc: 36/27)
l) − =
−
−
−
−
3 2 2
2 1 3 3
·3
·16 6
3)
·(
·12
·8
2 (Soluc: 9/4)
m) −
( )
− =−
−
− 3 3 6 5 3
1 5 4 2 4
3
·
·3
·2 18
·2
·3
·2
·9
6 (Soluc: 2)
n)
( ) ( ) ( ) ( )
⋅ ⋅( )
=⋅
⋅
⋅
⋅
− −
− −
− −
−
2 3 2 7
1
2 3 2 3 3 2
2
2 2 3 18
2 2 3 3
(Soluc: 1)
4 1 8 2 8 3
3 2 ) 1 (9 3
3 2 ) 1 (3 3
3 2 3
3 3 2
18 18 18
18 2
18 18 18
20
18 = = =
= −
= −
− · · · ····
·
o)
( )
( )
− =− − 4 2 3 3
ab 2
b a 6
2 13
27b : 2a Soluc
p)
( ) ( )
( ) ( )
⋅ ( )
=⋅
⋅
⋅
− −
−
−
−
− −
2 5 2 5 3
2 3 6 2
2 2 2 3 -3
2 3
3
· 24
· 9 2
· 8
36
· 32 27 3 4
(Soluc: 9/2)
q)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
−− − − − =− 6 3 2
4 3 2 5
y x y
y y
x (Soluc: - x7/y15)
r) =
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3 2 3 1 3 2
4 2 2 3 2 3
] 3)
·[(
·4
·16 )]
9) [(
)
·(6 8)
·(
)
·(3 2
(Soluc: 81/2)
s)
( )
( )
=
−
− −
− − 2
2 4 3 4
z xy 5
yz x 10
32 24
x :256y Soluc
t) =
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
4 2 2 2
3 2 2 1
3
5) (
· 9
· ] 45) [(
5
· ) 25 (
· 15
· 3) (
(Soluc: -625)
9. Calcular el valor de las siguientes expresiones, aplicando en todo momento las propiedades de las potencias (¡no vale calcular el valor de las potencias de exponente elevado!). En la mayor parte de los casos, bastará con sacar como factor común la mayor potencia posible. Fíjate en el 1er ejemplo:
a)
b) =
− 15
16 15
2 2
2 (Soluc: 1/2)
c) =
+ + 31 30
32 30
2 2 2
2 7 ····
(Soluc: 1)
d) =
+ 9
9 9
2 2
2 (Soluc: 1/2)
e) − =
5 5 6
2 3
2
2 ···· (Soluc: 1/3)
f) = + 10
20 22
4 2
2 (Soluc: 2)
g) =
− 15
31 10
9 3
27 (Soluc: 1/2)
10. Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento:
a) =
− 6 3
2 1 4
2 ·8 1
·16
·8 4
(Soluc: 1/4)
b) ( )
( ) ( )
=
−
⋅
−
−
−
− −
− −
3 1 2 3
5
0 2 3 2
2 2
3 3 1
-
· 3 3 -
3
· 2 3 1 3
· 1 3 -
(Soluc: -27)
c) =
−
−
−
2 3 3 - 2 - 1 - 3
2 2 -2
3
2
· 5 (-25) 2 ·
- 5 5 · 4
25 2 5
· 2 4 5
(Soluc: 125/2)
d) =
−
−
5
· 3
·2
2 5
· 3
2 5
· 3
2
2 2
1 2 3
(Soluc: 2)
e)
( )
=
⋅
−
⋅
⋅
−
− 12
2 3 9
· 4 3
2 - 2 · 3 3
1 4
- 1
3 2 3 3
(Soluc: 36)
f) =
−
−
−
−
−
−
5 2 - 2
1 2 -
3 -
-2 0 1 -3
-2 3
2 18 1 27 · -16 4 ·
3
9
· 2 2 3 8
· 9 2 3
·
(Soluc: 3)
g)
( )
( )
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
4 4 2
4 3 3 2
4 2 3 2
5 : 1 5 1
5 5 5
5 5 5
(Soluc: 1/125)
h) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
−
2 1 2
2
1 2 2
3 3 8 2 5 3 2 5
5 2 3 5 2 3
(Soluc: 2/15)
i) ⋅ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ −
2
52 210 2
4 3 5
42 4 43 53 6 22 3 3
32 2 2 3 35 42
28 313 : Soluc
j) =
− −
−
−
1 2
3
3 3 2
5
· 1 35
· 7 49 · 25
5 7 ·
5
(Soluc: 35)
k)
( )
( )
=
−
−
−
−
−
−
−
−
1 5 2
2 4 3 2
2
· 3 2 2 · 1
3
· 3 3 ·
· 2 3 2
(Soluc: -9/128)
l) ( ) ( ) =
−
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
−
−
− −
2 5 2 3 2 2
5 0 3 2
2
3
· 2 3
· 2 3 2 3
9 2
8
· 2 4 2 2
(Soluc: 1)
m) =
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
3 3
3
2 2 2
3 27 1 2 3 3 5
3 12 2 5 6 2
(Soluc: 6/5)
n) ( )
( ) ( )
=
−
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
− −
1 3 - 3
2 - 5 -
0 -2 3 2
2 2
3
· 1 3 3 3 -
3 2 3
3 1 3 1
o) =
−
⋅
−
−
−
−
⋅
−
−
−
−
3 3
3 3 2
2 2 5 3
2 3 3
· 2 ) 3
·(
2
· ) 2 (
2
· 3 18
· ) 3 ( 2
(Soluc: 4)
p)
2 3 2 5 52
25 2 7 3 5
5 2 3 7 4 3
4 6 5 3 4 3 6 22 3 3
32 2 2 3 32
3 5 42
− =
⋅ ⋅
⋅ −
⋅ −
⋅ ⋅
− ⋅
⋅ −
− ⋅
− ⋅
− ⋅
⋅
⋅ ⋅
284 724 524 318 : Soluc
11. OPERACIONES MIXTAS: Calcular, aplicando, siempre que sea posible, las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento. Cuando no sea ya posible aplicar las propiedades de las potencias, debido a la existencia de una suma o resta, pasar la potencia a número y operar:
a)
( )
( )
=
+
⋅
⋅
−
− 2 3
3 3 1 0
3 1 3 1
2 2
2 (Soluc: 1)
CONSECUENCIA: Hay que aplicar las propiedades de las potencias siempre que se pueda; cuando ello no sea posible (normalmente porque hay sumas y/o restas) se pasa la potencia a número y se opera.
b)
[
−]
+ − ⋅ − =
− +
⋅
− − −
2 2 3
3
3 3
2
3) ( 3) ( 2) (
2 1 3
1 3 2
(Soluc: -4/179)
c)
[
− +]
⋅ =
⋅
−
−3 1
3
2 -3
63 2 2) (
3 2 3 2
(Soluc: -12)
d)
=
+
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
3 2 2
3 1
1 3 2
4 2
· 3 3 2 1
4) ( 5
2 2
5 5 4
(Soluc: -1/64)
e)
[
( )−]
+( )− =
− +
−
− −
3 3 3 2
-1 3 2 3
·2 5 2
3 1 5
4 5 2
(Soluc: 17/936)
f) =
−
−
−
− −
− −
−
−
1 4 1 2
2 1
3 5 2 2
3 4 2
2 3
1 2 3 9
4 2 1
2 3 3 2 2
3 3 2 3 2
(Soluc: -608/81)
g) ( ) =
−
⋅
+
⋅
−
−
− −
−
−
3 : 5 2 25 5 3 5
2 3 3 3
1 3
1 3
1 2 3
2
(Soluc: 1)
h) ( )
( ) =
⋅
+
+
+
⋅
+
−
−
−
−
−
−
−
2 2 3 3
2 2 1 1
2
2 2 3 2 3
3
16 7 4 4 3
3 1
3 2
(Soluc: 1)
i) =
−
⋅
⋅
−
⋅
−
−
− 10
6 6
3 2 2 2
3 3 1 2
3 3) 1 3 ( 1
(Soluc: 1)
j) ( )
=
−
−
−
⋅
⋅
−
−
− −
2 2 3
1 2 3
-
2 3) 1
(
72 2 1 3
(Soluc: -1/43)
NOTACIÓN CIENTÍFICA:
12. Escribir en notación científica los siguientes números:
a) 300.000.000 b) 456
c) 0,5
d) 0,0000000065 e) 18.400.000.000
f) 0,000001 g) -78986,34 h) 0,0000093 i) 93 mil moléculas j) 1.230.000.000.000
k) 14 millones € l) 150 millardos $ l) 7,3
n) 73 billones kg o) 0,00010001
p) 10 q) 1 r) 0,011001 s) 16.730.000 t) -345,45 (NOTA: Un millardo son mil millones, un billón son mil millardos, es decir, un millón de millones, etc...)
13. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas (y comprobar que se obtiene el mismo resultado):
-
Sin calculadora, aplicando sólo las propiedades de las potencias.-
Utilizando la calculadora científica.a) 2,5·107+3,6·107= b) 4,6·10-8+5,4·10-8= c) 1,5·106+2,4·105= d) 2,3·109+3,25·1012= e) 3,2·108-1,1·108=
f) 4,25·107-2,14·105=
g) 7,28·10-3-5,12·10-3= h) (2·109)·(3,5·107)=
i) 79 =
2·10 8,4·10
j)
( )( )
=8 -
5 -3
2·10 4·10
· 3,2·10
k) (2·105)2=
l) (1,4·1015+2,13·1018)·2·10−5 = m) 2,23·10−3+3·10−4 −5·10−5 = n) (0,55·1023
-
5·1021)·2·10-1314. La estrella más cercana a nuestro sistema solar es α-Centauri, que está a una distancia de tan sólo 4,3 años luz. Expresar, en km, esta distancia en notación científica. (Dato: velocidad de la luz: 300.000 km/s)
¿Cuánto tardaría en llegar una nave espacial viajando a 10 Km/s? (Soluc: 4,068·1013 km)
15. Calcular el volumen aproximado (en m3) de la Tierra, tomando como valor medio de su radio 6378 km, dando el resultado en notación científica con dos cifras decimales.
(
πr3)
3 : 4 esfera la de Volumen (Soluc: 1,15·1021 m3)
16. Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro, con un diámetro de unas 7 millonésimas de m y unas 2 millonésimas de altura. Hallar su volumen en notación científica. (Soluc: 76,97·10-18 m3)
17. En una balanza de precisión pesamos cien granos de arroz, obteniendo un valor de 0,0000277 kg.
¿Cuántos granos hay en 1000 ton de arroz? Utilícese notación científica. (Soluc: 3,61·1012 gr)
18. La luz del sol tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar a la Tierra. Calcular la distancia Tierra-Sol.
(Soluc: 1,5·108 km)
19. Rellenar la siguiente tabla para una calculadora de 10 dígitos en notación entera y 10+2 dígitos en notación científica:
SIN NOTACIÓN CIENTÍFICA CON NOTACIÓN CIENTÍFICA Nº MÁXIMO que
puede representar Nº MÍNIMO (positivo)
que puede representar
