SEL Métodos Directos

(1)

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Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca

Universidad Nacional de Ingenieria Facultad de Ingenieria Mecánica

Métodos Numérico

(2)

SEL Métodos Directos Mg. Hermes

Pantoja C.

Métodos Directos

Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana Pivoteo Factorización LU

Agenda

Métodos Directos

Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana

Pivoteo

Factorización LU

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3 Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana Pivoteo Factorización LU

Universidad Nacional de Ingenieria

Generalidades sobre métodos directos

I Encuentra una solución en un número finito de operaciones(en ausencia de errores de redondeo)

transformando el sistema en un sistema equivalente que sea ”más fácil” de solucionar.

I Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .

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Generalidades sobre Métodos Directos 4 Eliminación Gaussiana

Pivoteo Factorización LU

Eliminación Gaussiana

I Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), la matriz A es transformada en una matriz triangular superior (todos los elementos debajo de la diagonal son cero).

I Sustitución hacia atrás es usada para resolver un sistema triangular superior

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Eliminación Gaussiana

Primer Paso de Eliminación

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Eliminación Gaussiana

Segundo Paso de Eliminación

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Eliminación Gaussiana

Sustitución Regresiva

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Ejemplo

Utilizando Eliminación Gaussiana resolver:

3x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 1 x₁ + x₂ + 2x₃ = 2 4x1 + 3x2 − 2x₃ = 3

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Métodos Directos

Ejemplo

Método de Eliminación Gaussiana

• Sistema equivalente:

Solución:



















0 8

3 / 5 3 / 2 1/3

1 4 2 3

3 3 2

3 2

1

x x x

x x

x

















 0 5 3

* x

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Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana 10 Pivoteo

Factorización LU

Pivoteo

I Computadoras usan precisión aritmética finita.

I Pequeños errores son introducidos en cada operación aritmética, propagación de errores

I Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, los multiplicadores podrían ser muy grandes.

I La adición de números de magnitud diferente puede conducir a la pérdida de significación.

I Para reducir el error, se realiza intercambio de filas para maximizar la magnitud del elemento pivotal.

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Métodos Directos

Factorización LU

Pivoteo

Ejemplo (Sin Pivoteo)

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Factorización LU

Pivoteo

Ejemplo (Con Pivoteo)

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Factorización LU

Procedimiento con Pivoteo

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Factorización LU

Pivoteo por Filas

I Más comúnmente llamado procedimiento de pivoteo parcial.

I Busque la columna pivotal.

I Encuentre el mas grande elemento en magnitud.

I Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.

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Métodos Directos

Factorización LU

Pivoteo por Filas

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Métodos Directos

Factorización LU

Ejemplo de Pivoteo por Filas



















15 7 6 5 0

7

3

1 - 4

5 -

0

1 2

3 -

1

2 0 0 0 3

| ⁽¹⁾

) 1

( b

A



















15 6 7 5 0

3

7

1 - 4

0

5 -

1 2

1

3 -

2 0 0 0 3

| ⁽¹⁾

) 1

( b

A 3

3

|

| max 4

32

2 2









 a 

pivote

a n

i i

tenemos 2,

k , Para

En la etapa k, escoger para pivote el elemento de mayor módulo entre a_ik, i=k,k+1,...,n;

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Factorización LU

Pivoteo Completo

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Factorización LU

Ejemplo de Pivoteo Completo

Luego, intercambiamos las filas 2 y 3 y las columnas 2 y 4:



















15 7 6 5 0

7

3

1 - 4

5 -

0

1 2

3 -

1

2 0 0 0 3

| ⁽¹⁾

) 1

( b

A



















15 6 7 5 2

1

3 -

2 4

0

5 -

1 0

3

7

1 - 0 0 0 3

| ⁽¹⁾

) 1

( b

A

7 7

|

| max

4 34

2 ,









a pivo a

n

j i

ij

tenemos 2,

k e Para

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Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana Pivoteo 19 Factorización LU

Algoritmo de la factorización LU

Descomposición de una matriz como producto de dos triangulares

Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puede descomponer como A = LU, con L triángular inferior y U triangular superior.

LUx = b, ⇔ Ly = b, Ux = y

Teorema

Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filas que sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicar operaciones elementales ( de filas).

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Diferentes Formas de Factorización

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Forma de Crout

I Cálculo de la primera columna de L l_{i 1} = a_{i 1}

I Cálculo de la primera fila de U u1j = a1j

l₁₁

I Cálculo alternado de las columnas de L y filas de U l_ij = a_ij −^Xa^j−1_k=1l_iku_kj j ≤ i , i = 1, 2, . . . , n

u_ij = aij−^Pa^{i −1}_k=1l_iku_kj

l_ii i ≤ j, j = 2, 3, . . . , n

(22)

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Crout

(23)

Descomposición de Cholesky

Descomposición de Cholesky. Sea A una matriz simética y definida positiva, existe una única matriz triangular inferior L con l_ii > 0 tal que

A = LL^T Esto es







a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ...

an1 an2 . . . ann







=







l11 0 0 0

l₂₁ l₂₂ . . . 0 ... ... . .. ...

ln1 ln2 . . . lnn













l11 l12 . . . l1n

0 l₂₂ . . . l_2n ... ... . .. ...

0 0 . . . lnn







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Descomposición de Cholesky

Note que

I

a11= l₁₁² ⇒ l₁₁=√ a11

l11 es un número real positivo ya que a11> 0 por que A es definida positiva.

I

a_{i 1}= l_{i 1}l₁₁⇒ l_{i 1} = a_{i 1} l11

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Descomposición de Cholesky

I Como

aij = li 1lj1+ li 2lj2+ . . . + lijljj; j = 1, 2, . . . , i − 1 luego

lij = aij −^Pa_k=1^j−1likljk

l_jj ; j = 1, 2, . . . , i − 1

(26)

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Descomposición de Cholesky

I Además

a_ii = l_{i 1}² + . . . + l_ii² lo que implica

lii =

"

aii−

i −1

X

k=1

l_ik²

#

1 2

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Descomposición de Cholesky-MatLab

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Ejemplo:

Ejemplo

Dada la matriz A

A =







6 15 55

15 55 225 55 225 979







Factorizar utilizando descomposición de Cholesky.

Solución:

A es simetrica y definida positiva, en efecto:

det(6) > 0;

det 6 15

15 55

!

= 105 > 0

(29)

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