COLEGIO INGLÉS. Valor esperado

Valor esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su

esperanza de ganar o perder.

Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

El valor esperado o esperanza matemática es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Si “X” es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad “f(x)”.

Entonces el valor esperado de la variable aleatoria “X”, el cual se representa por “E(X)”, está definido por E(x)



x_i f(x_i)

Lo anterior significa que para calcular E(x) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a la media o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra 

De acuerdo a lo anterior podemos escribir que:

) ( )

(x x_i f x_i

E 

^







Ejemplo 1: Si se lanzan dos dados normales

La variable aleatoria “x” será la suma de los números que aparezcan al lanzar los dos dados, la distribución de probabilidad es:

) ( _i

i f x

x 



Es decir:

La distribución de probabilidades es simétrica, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución.

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1

COLEGIO INGLÉS

DEPARTAMENTO

NIVEL: CUARTO MEDIO PSU.

UNIDAD: ESTADISTICA 5

PROFESOR: NATALIA MORALES A.

ROLANDO SAEZ M.

MIGUEL GUTIÉRREZ S.

JAVIER FRIGERIO B.

Ejemplo 2: Un casino le permite a un jugador que lance un dado normal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad de “k” pesos cada vez que juegue. Calcular cuánto debe valer “k” para que el jugador ni pierda ni gane.

Sea x la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar el dado. Su distribución de probabilidad es:

xi 1 2 3 4 5 6



f(x_i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

Xif(xi) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 3,5

En este caso el valor esperado es igual al valor de k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la formula del valor esperado tenemos:

5 , 3 ) 6 / 1 ( 6 ) 6 / 1 ( 5 ) 6 / 1 ( 4 ) 6 / 1 ( 3 ) 6 / 1 ( 2 ) 6 / 1 ( 1 )

(       



^xi ^{f xi}

El jugador debe pagar 3,5 pesos cada vez que participa en un juego.

Si la cuota k fuera 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de $0,50 por juego , ya que k = 4 – 3,50 =$0,5. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a $3,5(debe ser un número entero entre 1 y 6), entonces E(x) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego.

El significado de E(x)=$3,5 , es que si el juego se realiza un gran número de veces el cociente Ingreso total/número de juegos realizados debe ser

aproximadamente igual a $3,5.

VARIANZA

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, y la segunda por la varianza o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria x.

Por ejemplo, en un espacio muestral vemos que los valores: 5 , 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9,9 ; 10 y 10,1 tambien tienen una media de 10.

Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren

notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto , para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la

variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la varianza o la desviación estándar de la distribución de probabilidad.

Las desviaciones x, toman valores (x₁



),(x₂ 



)...(x_i



), con probabilidades respectivas: f(x₁),f(x₂),f(x₃)...f(x_i). Sin embargo al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:



^{ }



^



^



^{   }



 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

(X  x_i  f x_i x_if x_i  f x_i x_if x_i    E

Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas.

Para determinar una medida de dispersión , necesitamos considerar únicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos.

Una manera de eliminar el signo de las desviaciones es considerar el cuadrado de las mismas, es decir, (x_i)².

Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado, obtenemos una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad, la cual es conocida como varianza y se simboliza por ² o Var(x)

La varianza de una variable aleatoria “X” se define como:



^









 ( ) ( ) ( )² ( )² ( )

2

i

i f x

x X

E x Var x

V

 



A partir de ésta ecuación y mediante un pequeño desarrollo matemático se obtiene la expresión :² ^V(^x)



^xi2f(^xi)²

Si representamos a



x_i²f(x_i) ^{por E(X2)}, podemos escribir:

2 2 2

2

2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( )





V x Var x E X  E X E X 

Al usar la varianza como medida de dispersión se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria son lineales, es decir, kilogramos, metros, litros ,……., por lo que E(X) también será lineal, pero la varianza ²está en unidades cuadráticas, es decir ,

kilogramos al cuadrado, metros al cuadrado, litros cuadrados, …..

En vista de lo anterior , si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la varianza. A esta cantidad se le conoce como desviación estándar y se representa por .

La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como:

2 2 1

2 2

2 ( ) ( )

)

(   

   



  



X E x

f x X

Var

N

i

i i

Ejemplo: Consideremos la distribución de probabilidad de ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A:

X=xi 0 1 2 3 4 5

f(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1

Encontrar la varianza y la desviación estándar

Basándonos en la distribución de probabilidad obtenemos la siguiente tabla:

xi

X  0 1 2 3 4 5 Total

) (x

f 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 1

) (x f

x_i 0 0,1 0,4 0,9 0,8 0,5 2,7 )

2 ( x f

x ⁱ 0 0,1 0,8 2,7 3,2 2,5 9,3 Podemos observar entonces que por lo tanto la varianza es:

01 , 2 ) 7 , 2 ( 3 , 9 )

( )

( ^{2 2 2}

2   



  



Var x E X y la desviación estándar

es:



 2,011,42

1. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad para una variable aleatoria X. ¿Cuál es el valor esperado?

A) 6 B) 5 C) 103 D) 3 E) 110

2. Considerando la tabla anterior , ¿Cuál es el valor de la varianza?

A) 40,8 B) 34,8 C) 30,2 D) 6 E) 4,8

3. Una caja contiene esferas numeradas del 1 al 5, se extrae una esfera y se anota su valor, la siguiente tabla muestra la probabilidad de cada uno de los resultados:

El valor esperado para la variable X es:

A) 3 B) 2,45 C) 2,35 D) 1,067 E) 0,47

4. Si E(X)es el valor esperado de una variable aleatoria , ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?

I) Si todos los elementos del espacio muestral son iguales E(X)0 II) Si todos los elementos del espacio muestral se multiplican por un

número real K , entonces el nuevo valor esperado será: KE( X) III) Si a todos los elementos del espacio muestral se suma un número

real K, entonces el valor esperado será: KE(X) A) Solo I y II

B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) N.A

X 2 4 6 8 10

P(X=x) p 2p 4p 2p p

X 1 2 3 4 5

P(X=x) 0,2 0,4 0,25 0,05 0,1

5. Una variable aleatoria X tiene por función de distribución acumulada a los datos de la tabla adjunta. ¿Cuál es la esperanza de X?

A) 176 B) 23 C) 16 D) 3 E) 1

6. La siguiente tabla muestra una función de probabilidad para la variable aleatoria X. ¿Cuál es el valor esperado?

A) 2,5 B) 2,0 C) 1,8 D) 1,6 E) 1,4

X 0 1 2

) (X x P 

12

56 ₁

X 0 1 2 3 4

P(X=x) 0,2 0,4 0,15 0,1 0,15

1.A 2.E 3.B 4.C 5.B 6.D

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Para variables aleatorias continuas x, La función de probabilidad es

denominada, FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD, es una función continua y la probabilidad de que la variable este comprendida en el intervalo

 

a,b , está dada por el área bajo la curva de la función entre los puntos a y b.

La distribución normal, una de las más importantes, recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución nos permite

representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.

Cuando una variable continua tiene distribución normal, su grafico es similar al indicado más abajo, tiene forma de campana (denominado generalmente campana de Gauss) y es simétrico con respecto a la media, además posee pocos valores extremos. Se denota porX N(



;



) dondees la media y  la desviación estándar o típica, sus características son:

 El área bajo la curva es 1

 Es simétrica con respecto ax , y deja un área bajo la curva igual a 0,5 a la izquierda y otra de 0,5 a la derecha, es decir, hay una

probabilidad del 50% de observar un dato mayor a la media y un 50%

de observar un dato menor a la media.

 Es asintótica al eje de las abscisas

 La media, mediana y moda coinciden

 La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Si una población tiene media  y desviación estándar  , se tiene entonces que:

a) El 68,26% de los individuos se encuentra en el intervalo:

 





,





 

68,26%

  

b) El 95,44% de los individuos se encuentra en el intervalo:

 ^

²

^

^,

^

²

^ 

95,45%

2 



2



c) El 99,73% de los individuos se encuentra en el intervalo:

 

3



,



3

 

99,73%

3 



3



La distribución normal describe la distribución de datos, que en general se relacionan con mediciones relacionadas con variables , tales como el tamaño de la especies, rendimiento intelectual , variables sociales, etc.

La distribución normal o tipificada , es aquella que tiene media 0 y desviación estándar 1. Se denota por X N(0;1)

Sus características son:

Para calcular la probabilidad en distribuciones normales, cuando los límites de las variables sean distintos de la media o más menos desviaciones estándar, se deben usar las tablas que presentan las áreas bajo la curva y que permite determinar la probabilidad en ese intervalo, dada a continuación:

TABLA DE DISTRIBUCION NORMAL N(0,1)

x ^{0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09} 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,98053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 4,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998

Ejemplo:

Para una variable aleatoria continua X con distribución normal estándar N(0,1) Calcular la probabilidad de que tome un valor menor o igual a 1,87?

Solución: Se pide determinar el valor de P(x1,87)?

De acuerdo a la tabla anterior este seria 0,96926 o lo que es lo mismo que 96,926%, gráficamente lo siguiente:

 1,87 

Para una variable aleatoria X con distribución normal N(,)

Los datos se pueden estandarizar o normalizar utilizando la variable aleatoria:





 x Z

Con distribución normalN(0,1)

Entonces la probabilidad en términos de la variable X puede calcularse en términos de Z, utilizando las tablas de distribución tipificadas, es decir:

) (

)

( 



 



 x

Z P x X P

Ejemplo: Sea la variable aleatoria X con distribución N(23,5) ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor :

a) Mayor que 30 b) Entre 24 y 26 Solución:

a) P(X 30)1P(X 30)



 



  





 5

23 1 30

) 30

(X P Z

P

 23 30  )

4 , 1 ( 1 ) 30

(X   P Z

P

P(X 30)10,91924 P(X 30)0,08076

b) P(24X 26)P(x26)P(x24)

)

5 23 ( 24

5 ) 23 ( 26

) 26 24

(  X  P Z   P Z  P

P(24X 26)P(Z0,6)P(z0,2) P(24X 26)0,725750,57926 P(24X 26)0,14649

Las siguientes figuras nos facilitan entender la probabilidad a calcular:

Ejemplo: El resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribución N(5,3;0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba es

de150.¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este haya obtenido más de un 6,0?

Calculamos la probabilidad de que el alumno tenga menos de un 6,0; para facilitar el uso de la tabla, el complemento será lo buscado.

16 , 6 1 , 0

3 , 5 0 ,

6  

 

 



Z x , en la tabla corresponde a 0,87698; por lo tanto 1 – 0,87698 = 0,12302, probabilidad de obtener un alumno con nota superior a 6,0 , o bien 12,3% de los alumnos obtuvo una nota

perteneciente a ese intervalo o12,3%de15018,4518 alumnos.

Ejemplo 2: La media de los pesos de 500 estudiantes es 70 kg y la desviación típica es 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen

normalmente. ¿Cuántos estudiantes pesan entre 60 y 65 kg?

Sabemos que la tipificación es:





 x

Z , donde se debe cumplir

que:P(x₁ X x₂), además x₁ 60y x₂ 65 , ahora remplazamos en la formula:

Por lo tanto )

3 5 3

( 10 3

70 65 3

70

(60        

 

 x p z p z

Z 

 ₌

) 33 , 3 ( ) 67 , 1 ( ) 67 , 1 33

, 3

( z  p z p z p

)) 33 , 3 ( 1 ( ) 67 , 1 ( ) 33 , 3 ( ) 67 , 1

(z p z p z  p z p

476 47 , 475 500 95094 , 0 0043 , 0 95524 , 0 ) 99957 , 0 1 ( 95524 ,

0        

Es decir 476 alumnos

Ejercicios

1. Las longitudes , en cm , de los palillos que fabrica una empresa , tiene una distribución N(10;0,3)

¿Cuál es la probabilidad de que un palillo mida menos de 10cm?

A) 1 B) 0,7 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,3

2. En una distribución normal estándarP(X a)m; entonces P(X a)? A) –m

B) m C) m-1 D) 1-m

E) No se puede determinar

3. Si X N(0,1), entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad P(X0) es 50%

II) P(X 2,1)1P(X 2,1) III) P(X 0,5)0

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I , II y III

4. En una distribución normal N(90,15) , ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) P(90x105)0,3413 II) P(60x90)0,4772 III) P(105x120)0,1359

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I , II y III E) N.A

5. En una distribución estándar X N(0,1), ¿Cuál de las alternativas es la correcta?

A) P(x2)0,9773 B) P(x2)0,9773 C) P(x2)0,02275 D) P(x2)0,9773 E) P(2x2)0,0456

6. El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa , se distribuye en forma normal con media 1020 horas y desviación

estándar 51 horas. ¿Cuál es la probabilidad en porcentajes de que dure más de 1173 horas?

A) 0,27%

B) 2,7%

C) 0,027º%

D) 0,135%

E) 13,5%

7. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a tres distribuciones de probabilidad normal con la misma media y diferente desviaciones estándar?

8. Si X es una variable aleatoria de una distribución N(,), entonces p(3 x3)significa que la variable x, se encuentra Aproximadamente entre el :

A) 68,26%

B) 87,95%

C) 95%

D) 99,72%

E) N.A

9. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de Junio sigue una distribución normal , con media de 23° y desviación típica de 5°.

¿Cuál es el porcentaje aproximado de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 23° y 28°?

A) 24%

B) 34%

C) 44%

D) 68%

E) 95%

10. El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. ¿Cuál es el porcentaje aproximado de empleados que realizan la tarea entre 5 y 7 días

A) 30%

B) 45%

C) 48%

D) 68%

E) 95%

11. El tiempo medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de un determinado cuadro eléctrico es de 4 días, con una desviación típica de 1 día. Se supone que se distribuye según una distribución normal.

¿Cuál es el porcentaje aproximado de electricistas que tardan menos de 3 días?

A) 12%

B) 14%

C) 25%

D) 15,8%

E) 31,2%

12. Una población normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de un valor localizado entre 75 y 90?

A) 20%

B) 38%

C) 40%

D) 50%

E) 60%

13. Con los datos del ejercicio anterior ¿cuál es la probabilidad aproximada de un valor menor de 66?

A) 10%

B) 13%

C) 16%

D) 30%

E) 38%

14. Los promedios de los alumnos de un colegio , en su último semestre de Cuarto Medio, tiene una distribución N(5;0,8) ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Aproximadamente , el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8

II) Aproximadamente , el 2,3% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4 III) Un 13,6% , aproximadamente , tiene promedio entre 5,8 y 6,6 A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I , II y III

15. Sea una distribución normal N(18,6;2,6) ,entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A) La desviación estándar es igual a 2,6 B) El promedio de la muestra es 18,6 C) P(x18,6)0,5

D) P(x2,6)0,5

E) P(16x21,2)68,26%

16. Sean N₁(₁;₁) y N₂(₂ ;₂)distribuciones normales. Es correcto afirmar que:

I) Si ₁ ₂ , entonces ₁ ₂

II) Si ₁ ₂, entonces sus medianas son iguales

III) Si ₁ ₂, entonces las curvas tienen las mismas alturas A) Solo I

B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

17. En una distribución normal definida de manera tal que N(120,11), si se escoge un dato al azar , ¿Cuál es la probabilidad que el numero escogido sea menor que 120?

A) 0 B) 14 C) 13 D) 12 E) 34

18. En la figura se encuentra representada la distribución normal estándar )

1 , 0 ( N

Z de cierta variable aleatoria X. La probabilidad que un dato se encuentre en el intervalo destacado es:

A) 0,085 B) 0,850 C) 0,900 D) 0,976 E) 0,985

19. Una empresa instala en una ciudad 20.000 ampolletas para su

iluminación. La duración de una ampolleta sigue una distribución normal con una media de 302 días y una desviación estándar de 40 días. Para saber cuántas ampolletas es de esperar que se fundan antes de 365 días, la variable Z debe tipificarse:

A) 20.000 302 365



Z

B) 40

365 302

 Z

C) 40

302 365

 Z

D) 20.000 365 302

 Z

E) 400

302 365

 Z

20. Un consultorio de salud , realizo un estudio para determinar la

masa(peso) de la población femenina adulta de su comuna, obteniendo una distribución N(62,5), ¿alrededor de que porcentaje de la población adulta tiene masa entre 57 y 62 k?

A) 99%

B) 95%

C) 68%

D) 34%

E) 24%

1.C 2.D 3.E 4.D 5.C 6.D 7.A 8.D

9.B 10.C 11.D 12.C 13.C 14.E 15.D 16.E

17.D 18.A 19.C 20.D