Conocimiento Habilidades específicas Aspectos necesarios

(1)

Anexos

(2)

Anexo 1

(3)

Habilidades específicas de la función lineal y cuadrática que deben ser desarrolladas según el Programa de Estudios de Matemática del MEP y una descripción de los conocimientos previos de cada una de ellas y de los procesos necesarios para conseguirlas.

Conocimiento Habilidades específicas Aspectos necesarios

Función lineal ( )

f x mxb

1. Representar gráficamente una función lineal.

1. Ubicación de puntos en el plano cartesiano.

2. Cálculo de imágenes.

3. Traza la representación gráfica a partir de puntos dados.

4. Traza la representación gráfica a partir del criterio de la función.

2. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.

5. Extrae pares ordenados a partir de la representación gráfica.

6. Cálculo de la pendiente a partir de la representación gráfica.

7. Identifica la pendiente en el criterio de la función.

8. Identifica la monotonía de la función en la representación algebraica.

9. Identifica la monotonía de la función en la representación gráfica.

10. Calcula la intersección con el eje de las ordenadas.

11. Calcula la intersección con el eje de las abscisas.

3. Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relacionados con ella.

12. Obtiene la ecuación de la recta a partir de la representación gráfica.

13. Obtiene la ecuación de la recta a partir de pares ordenados.

14. Resuelve ecuaciones lineales para obtener el valor de b conociendo la pendiente y algún par ordenado.

4. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función lineal.

15. Modela problemas en contextos reales utilizando funciones lineales.

16. Plantea problemas que involucren funciones lineales.

17. Extrae conclusiones a partir de un modelo lineal.

18. Resuelve problemas en contextos reales que involucran la función lineal.

Función cuadrática

( ) 2

f x ax  bx c con a b c , , y

0 a 

1. Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio

( ) 2

f x ax  bx c, a 0.

1. Calcula la intersección con el eje de las ordenadas.

2. Calcula la intersección con el eje de las abscisas.

3. Determina la cantidad de intersecciones con el eje x.

4. Resuelve ecuaciones cuadráticas.

5. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica.

6. Cálculo del eje de simetría a partir del criterio de la función.

7. Determina el intervalo de crecimiento o decrecimiento en la representación gráfica.

(4)

8. Determina el intervalo de crecimiento o decrecimiento en la representación algebraica.

9. Determina la concavidad de la función a partir de la representación gráfica.

10. Determina la concavidad de la función a partir de la representación algebraica.

11. Calcula los intervalos donde la función es positiva o negativa.

12. Resuelve desigualdades cuadráticas utilizando la representación gráfica.

13. Cálculo del vértice a partir del criterio de la función.

14. Obtiene el máximo o mínimo de la función (vértice) en la representación gráfica.

15. Obtiene el ámbito de la función a partir de la representación gráfica.

16. Cálculo del ámbito de una función cuadrática con los números reales como dominio.

17. Cálculo del ámbito de la función utilizando un dominio distinto de los números reales.

18. Utiliza el vértice para calcular ámbito.

19. Obtiene intervalos máximos donde la función es inyectiva.

20. Traza la representación gráfica a partir del criterio de la función.

2. Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando la función cuadrática.

21. Plantea problemas que involucren funciones cuadráticas.

22. Extrae conclusiones a partir de un modelo cuadrático.

23. Resuelve problemas en contextos reales que involucran la función cuadrática.

(5)

Habilidades específicas de la función lineal y cuadrática que deben ser desarrolladas según el Programa de Estudios de Matemática del MEP en el nivel de 8 año y 9 año.

Conocimiento Habilidades Específicas

Función lineal

( )

f x mxb

 Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax + b

 Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función lineal.

Función cuadrática ( ) 2

f x ax   bx c con a b c , , y a 0

 Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y ax ²  bx c

 Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y ax 2  , utilizando software. bx c

(6)

Anexo 2

(7)

Universidad Nacional Escuela de Matemática

CUESTIONARIO Nº ____

Estimado(a) docente:

Respetuosamente se le solicita contestar las preguntas que se le formulan en este cuestionario, el cual forma parte del Trabajo Final de Graduación denominado “Análisis Didáctico, como fundamentación teórica, en la creación de materiales didácticos congruentes con el Programa de Estudios de Matemática de Costa Rica: el caso de la función lineal y de la función cuadrática”. La información que se brinde será confidencial, no se expondrán casos individuales.

Se le agradece su colaboración.

Instrucciones generales: Marque una equis dentro del paréntesis que corresponda. En los casos que así lo ameriten se puede marcar más de una opción.

A. Información general

1. Sexo: 1. Hombre ( ) 2. Mujer ( )

2. ¿Cuántos años tiene de laborar, en secundaria, como docente de Matemática?

1. ( ) De 0 a menos de 5 2. ( ) De 5 a menos de 10 3. ( ) De 10 a menos de 15 4. ( ) De 15 a menos de 20 5. ( ) 20 o más

3. Nombre de la institución donde trabaja como docente de Matemática ______________________________

4. ¿Cuántas veces ha impartido décimo año?

1. ( ) Dos veces 2. ( ) Tres veces 3. ( ) Cuatro veces

4. ( ) Más de cuatro veces

(8)

Las siguientes afirmaciones están relacionadas con una serie de habilidades que deben tener los estudiantes de décimo año al estudiar Función Lineal y otras que se deben desarrollar en su estudio. Marque una equis en la casilla que según su experiencia, describe la capacidad que posee el estudiante en estas habilidades cuando ha abordado esta temática en el aula, para ello tome en cuenta la siguiente escala:

1: Nunca 2: Casi nunca 3: Algunas veces 4: Casi siempre 5: Siempre 6: No sé

Ítem 1 2 3 4 5 6

1. Logra ubicar puntos en el plano cartesiano 2. Obtiene el valor de las imágenes a partir del

criterio de una función

3. Traza la representación gráfica a partir de puntos dados

4. Traza la representación gráfica a partir del criterio de una función

5. Aplica la fórmula para calcular la pendiente de una recta dados dos pares ordenados

6. Obtiene la pendiente a partir de la representación gráfica

7. Identifica la pendiente en el criterio de la función 8. Relaciona la monotonía de la recta con el signo de

la pendiente

9. Identifica la monotonía de la función en la representación algebraica

10. Logra calcular la intersección con el eje “x”

11. Logra calcular la intersección con el eje “y”

sabiendo que “b” corresponde a el valor de dicha intersección

12. Calcula la intersección con el eje “y” evaluando la función en cero

13. Identifica la relación que hay entre “b” y la intersección con el eje “y”, en la representación gráfica

14. Obtiene a partir de la representación gráfica la ecuación de la recta

15. Obtiene a partir de pares ordenados la ecuación de la recta

16. Es capaz de resolver ecuaciones lineales para obtener el valor de “b”

17. Dada la función lineal que modela un problema en un contexto real es capaz de extraer conclusiones a partir de ella

18. Plantea funciones lineales para modelar problemas en contextos reales

19. Es capaz de plantear problemas que involucren funciones lineales

B. Dificultades y errores de los estudiantes en el aprendizaje de la función lineal f x( )mxb

(9)

20. Puede a partir de un problema dado construir una tabla de valores que represente la situación mostrada Para profundizar

Mencione, al menos, dos debilidades que ha detectado en sus estudiantes al desarrollar la Función Lineal, sea lo más explícito posible.

_________________________________________________________________________

C. Dificultades y errores de los estudiantes en el aprendizaje de la función cuadrática f x( )ax²  bx c Las siguientes afirmaciones están relacionadas con una serie de habilidades que deben tener los estudiantes de décimo año al estudiar Función Cuadrática y otras que se deben desarrollar en su estudio. Marque una equis en la casilla que según su experiencia, describe la capacidad que posee el estudiante en estas habilidades cuando ha abordado esta temática en el aula, para ello tome en cuenta la siguiente escala:

1: Nunca 2: Casi nunca 3: Algunas veces 4: Casi siempre 5: Siempre 6: No sé

Ítem 1 2 3 4 5 6

1. Determina si existe la intersección con el eje “x”

2. Relaciona el valor del discriminante con la cantidad de intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”

3. Calcula la intersección con el eje “x”

4. Calcula la intersección con el eje “y”

5. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección con el eje “y”, en la representación gráfica

6. Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad en una representación gráfica

7. Identifica la concavidad de la función dado el criterio 8. Determina los intervalos de crecimiento o decrecimiento

de forma algebraica

9. Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la representación gráfica

10. Relaciona la gráfica de la función con inecuaciones cuadráticas para determinar donde es positiva o negativa.

(10)

Ítem 1 2 3 4 5 6 11. Calcula del vértice a partir del criterio de la función

12. Obtiene el máximo o mínimo de la función en la representación gráfica

13. Identifica el vértice en el esbozo de la gráfica 14. Obtiene el ámbito de la función a partir de la

representación gráfica

15. Calcula del ámbito de la función cuando el dominio es 16. Calcula del ámbito de la función sobre un dominio

restringido

17. Utiliza el vértice para calcular ámbito de la función 18. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la

función

19. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica

20. Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva 21. Logra representar gráficamente una función cuadrática a

partir de su representación algebraica

22. Determina a partir de la representación gráfica los valores de “a”, “b” y “c” utilizando los pares ordenados de la misma y un sistema de ecuaciones

23. Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es capaz de extraer conclusiones a partir de ella

24. Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales

25. Es capaz de plantear problemas que involucren funciones cuadráticas

26. Es capaz de resolver ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de segundo grado.

Para profundizar

Mencione, al menos dos, debilidades que ha detectado en sus estudiantes al desarrollar la Función Cuadrática, sea lo más explícito posible.

_________________________________________________________________________

¡Muchas gracias por su colaboración!

(11)

CUESTIONARIO Nº ____

Estimado(a) estudiante:

Respetuosamente se le solicita resolver los ejercicios y problemas que se formulan en este instrumento, el mismo tiene como finalidad conocer errores y dificultades que presentan los alumnos de secundaria al estudiar la función lineal y la función cuadrática; por lo que se le solicita, escribir todos los procedimientos utilizados para encontrar las respuestas a cada uno de ellos. La información que se obtenga será confidencial y no se expondrán casos individuales. Se le agradece su colaboración.

Función lineal

Instrucciones: Trabaje de manera clara y ordenada, exprese su respuesta de la manera más simple. Deben aparecer TODOS los procedimientos que necesite para encontrar las respuestas a cada ítem.

1. Determine el criterio de una función lineal tal que f ( 2)  y (0)3 f   . Además 7 realice un esbozo de la misma.

2. Para la función cuyo criterio es ( ) ^{1 2} 3

f x   x indique si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas, colocando para ello, en el espacio anterior a cada proposición una V si es verdadera o una F si es falsa; además, en cada caso justifique su respuesta en el reglón que se encuentra debajo de la proposición

a. _____ f es estrictamente creciente en

__________________________________________________________

b. _____ La gráfica de f interseca al eje Y en 1

__________________________________________________________

3. Determine la intersección con el eje de las abscisas de la función ( ) ¹ ⁵ 3 2 f x   x

(12)

4. De acuerdo con los datos de la gráfica adjunta, determine la ecuación de la recta que aparece en ella

5. En cada una de las siguientes proposiciones escriba en el espacio brindado <, >, o = según corresponda. Considere que ambas representaciones gráficas son funciones de la forma ( )f x mx b

6. La empresa Claro S.A ofrece el servicio de televisión satelital, la tarifa base del servicio tiene un costo de ₡12 500 para un televisor y ₡3500 por cada televisor adicional. Con base en la información anterior:

a. Determine el costo de adquirir el servicio para cuatro televisores

b. Escriba una fórmula que estime el costo a pagar dependiendo de la cantidad de televisores

m ____ 0 b_____ 0

m ____ 0 b _____ 0

(13)

c. ¿Cuántos televisores tienen en un restaurante en el que pagan ₡44 000?

d. Realice un esbozo de la gráfica que relacione el costo a pagar dependiendo de la cantidad de televisores adquiridos.

7. Grafique una función f tal que b  , ( )f x 5x2b y

 

^2,8 Gf

(14)

Función cuadrática

1. Para la función f :  cuyo criterio es ^{f x}^{( )}^{ }



¹ ^x



^x indique si las siguientes ²



proposiciones son falsas o verdaderas, colocando para ello, en el espacio anterior a cada proposición, una V si es verdadera o una F si es falsa; además, en cada caso justifique su respuesta en el reglón que se encuentra debajo de la proposición

a. _____ f es estrictamente creciente ya que a 0

____________________________________________________

b. _____ La gráfica de f interseca al eje y en



^{0, 2}



____________________________________________________

c. _____ La gráfica interseca al eje x en



^^{2, 0}



^y

 

^1,0

____________________________________________________

2. Determine el criterio de la función cuadrática que modela la siguiente representación gráfica

(15)

3. Considere la función h:  con h x( )  3 2x²7xcon base en ella determine:

a) Concavidad ___________________ Justificación ________________

b) Intersección con el eje de las ordenadas ___________________

c) Intersección con el eje de las abscisas___________________

d) Eje de simetría ___________________

e) Vértice ___________________

f) Intervalo donde es estrictamente creciente ___________________

g) Ámbito de la función ___________________

3.1. Realice la representación gráfica de la función h:  con h x( )  3 2x²7x

4. Si cierto balón de voleibol sigue un movimiento uniformemente acelerado, y su altura viene dada por la fórmula ^{h t}^{( )}^{  }

 

¹ ^t ²^⁴^t^{, donde}^t está dado en segundos y h en metros, entonces ¿en qué tiempo alcanza su altura máxima?

(16)

5. Para cada una de las siguientes proposiciones escriba en el espacio brindado <, >, o = según corresponda. Considere que ambas representaciones gráficas son funciones de la forma

:

f  con f x( )ax² bx c

6. La cantidad de sapos de una población se aproxima mediante el criterio^{c t}

 

^^–^t²^²⁰^t^¹¹⁰^{, donde}

“t” (t ≥ 0) representa los años a partir de su descubrimiento. Con base en esta información, responda los siguientes cuestionamientos:

a) ¿En cuántos años se producirá la mayor cantidad de sapitos de la población?

b) ¿Cuál es la mayor cantidad de sapitos que puede haber en dicho hábitat?

c) ¿Cuántos años deben pasar para que haya 110 sapitos?

a ____ 0

c _____ 0

 ____ 0

2 b a



___ 0

a ____ 0

c _____ 0

 ____ 0

4a



___ 0

(17)

Anexo 3

(18)

Estimado(a) docente:

Actualmente estamos realizando el trabajo final de graduación en la Universidad Nacional para optar por el grado de Licenciatura en Enseñanza de la Matemática. Por su área de especialización o afinidad con nuestro tema de investigación, deseamos contar con su opinión de experto en la etapa de validación de los instrumentos de recolección de información, en este caso de un cuestionario.

La construcción del cuestionario se realizó con fines académicos, y forma parte de la investigación titulada:

“Análisis Didáctico, como fundamentación teórica, en la creación de materiales didácticos congruentes con el Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública:

el caso de la función lineal y de la función cuadrática”.

El cuestionario adjunto está dirigido a docentes de secundaria, que hayan impartido en al menos dos ocasiones décimo año, y de ellos al menos uno debe ser con el Programa de Estudios que se encuentra en vigor.

Nombre completo: ________________________________________

Área de especialización: ____________________________________

Agradecemos de antemano, su valioso aporte en este proceso de nuestra formación académica.

1. Objetivo del instrumento: Describir las dificultades y errores que han identificado algunos docentes de Matemática de la educación secundaria al momento de enseñar los tópicos de función lineal y función cuadrática.

2. Objetivos de la investigación:

Objetivo general

Elaborar un material didáctico para la enseñanza de las funciones lineal y cuadrática, en décimo año, considerando las indicaciones metodológicas del programa de estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica.

Objetivos específicos

1. Desarrollar un análisis de contenido matemático de la función lineal y cuadrática.

2. Describir las dificultades y errores que presentan los estudiantes en el aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática.

3. Especificar métodos y técnicas que favorezcan el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones lineal y cuadrática.

(19)

4. Diseñar tareas Matemática para la enseñanza de la función lineal y de la función cuadrática, en décimo año, acordes a las orientaciones metodológicas del Programa de Estudios de Matemática del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica.

5. Valorar la pertinencia del material didáctico en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la función lineal y cuadrática mediante el criterio de docentes de secundaria de Matemática en servicio.

El cuestionario se construyó para el cumplimiento del segundo objetivo específico, los otros objetivos se pretenden lograr con otros instrumentos de recolección de información

(20)

Instrucciones generales: Marque una equis en las casillas que contiene aspectos que considera deben mejorarse e indique, si considera necesario, en la columna de observaciones cómo se mejoraría el aspecto correspondiente.

Función lineal

Ítem

^Redacción Cumple con el

objetivo

Relación con las habilidades del Programa de Estudios

del MEP

Escala Observaciones

1. Logra ubicar puntos en el plano cartesiano 2. Obtiene el valor de las imágenes a partir del

criterio de una función

3. Traza la representación gráfica a partir de puntos dados

4. Traza la representación gráfica a partir del criterio de una función

5. Aplica la fórmula para calcular la pendiente de una recta dados dos pares ordenados

6. Obtiene la pendiente a partir de la representación gráfica

7. Identifica la pendiente en el criterio de la función

8. Relaciona la monotonía de la recta con el signo de la pendiente

9. Identifica la monotonía de la función en la representación algebraica

10. Logra calcular la intersección con el eje “x”

11. Logra calcular la intersección con el eje “y”

sabiendo que “b” corresponde a el valor de dicha intersección

evaluando la función en cero

13. Identifica la relación que hay entre “b” y la intersección con el eje “y”, en la

(21)

14. Obtiene a partir de la representación gráfica la ecuación de la recta

15. Obtiene a partir de pares ordenados la ecuación de la recta

16. Es capaz de resolver ecuaciones lineales para obtener el valor de “b”

17. Dada la función lineal que modela un problema en un contexto real es capaz de extraer conclusiones a partir de ella 18. Plantea funciones lineales para modelar

problemas en contextos reales

19. Es capaz de plantear problemas que involucren funciones lineales

20. Puede a partir de un problema dado construir una tabla de valores que represente la situación mostrada

Función Cuadrática

Ítem Redacción

Cumple con el objetivo

Relación con las habilidades del

Programa de Estudios del MEP

Escala Observaciones

1. Determina si existe la intersección con el eje “x”

2. Relaciona el valor del discriminante con la cantidad de intersecciones que tiene la gráfica con el eje “x”

3. Calcula la intersección con el eje “x”

5. Identifica la relación que hay entre “c” y la intersección con el eje “y”, en la representación gráfica

(22)

6. Identifica la relación del parámetro “a” con la concavidad en una representación gráfica 7. Identifica la concavidad de la función dado el

criterio

8. Determina los intervalos de crecimiento o decrecimiento de forma algebraica

9. Determina los intervalos donde la función es positiva o negativa en la representación gráfica 10. Relaciona la gráfica de la función con

inecuaciones cuadráticas para determinar donde es positiva o negativa.

11. Calcula del vértice a partir del criterio de la función

12. Obtiene el máximo o mínimo de la función en la representación gráfica

13. Identifica el vértice en el esbozo de la gráfica 14. Obtiene el ámbito de la función a partir de la

15. Calcula del ámbito de la función cuando el dominio es

16. Calcula del ámbito de la función sobre un dominio restringido

17. Utiliza el vértice para calcular ámbito de la función

18. Obtiene el eje de simetría a partir del criterio de la función

19. Obtiene el eje de simetría a partir de la representación gráfica

20. Obtiene el mayor intervalo donde la función es inyectiva

(23)

21. Logra representar gráficamente una función cuadrática a partir de su representación algebraica

22. Determina a partir de la representación gráfica los valores de “a”, “b” y “c” utilizando los pares ordenados de la misma y un sistema de

ecuaciones

23. Dada la función cuadrática que modela un problema en un contexto real es capaz de extraer conclusiones a partir de ella

24. Plantea funciones cuadráticas para modelar problemas en contextos reales

25. Es capaz de plantear problemas que involucren funciones cuadráticas

26. Es capaz de resolver ejercicios que involucren implícitamente las ecuaciones de segundo grado.

(24)

1. ¿Considera que hace falta incluir otros aspectos en el cuestionario? ¿Cuáles? Por favor, ser lo más explicativo posible.

___________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

2. ¿Considera que hay aspectos del cuestionario que no son relevantes para la investigación?

¿Cuáles?

___________________________________________________________________________________

¡Muchas gracias por su colaboración!

(25)

Anexo 4

(26)

Universidad Nacional Escuela de Matemática Trabajo Final de Graduación 2016

Guión para la entrevista

Nombre del entrevistado: _________________________________________________

Relación con el Programa de Matemática del MEP:

______________________________________________________________________

Lugar de la entrevista: ____________________________________________________

1. ¿Qué es lo más importante que se debe enseñar en el tema de función lineal y función cuadrática en IV ciclo?

2. ¿Cómo se puede utilizar la historia de la Matemática para una clase donde se desarrolle la función lineal o la función cuadrática?

3. ¿Qué característica debe tener una situación problema para ser utilizada como un ejemplo de modelización para la función lineal o cuadrática?

4. Para utilizar la resolución de problemas en la enseñanza de la función lineal o cuadrática qué aspectos se deben considerar para plantear los problemas

5. Al utilizar herramientas tecnológicas qué aspectos deben considerarse para enseñar función lineal o cuadrática

6. ¿Qué herramientas tecnológicas son recomendables para desarrollar los temas de función lineal y función cuadrática?

(27)

7. ¿Considera que un aprendizaje basado en la experimentación es adecuado para desarrollar función lineal o función cuadrática? ¿Por qué?

8. ¿Cuál es la manera idónea para desarrollar una clase donde se estén enseñando conceptos claves de función lineal o función cuadrática?

9. ¿Ha tenido la oportunidad de visualizar los libros que se están utilizando en secundaria?

¿Considera usted que estos libros están de acuerdo con los lineamientos del MEP dados en el programa de estudios? ¿Recomendaría algún libro en específico?

¡Muchas gracias por su colaboración!

(28)

Anexo 5

(29)

ESTRUCTURA DE INTERVENCIÓN DE LOS PROCESOS EN UN PROBLEMA⁷

PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS

GRADO 1 GRADO 2 GRADO 3

Resolver problemas con datos sencillos y enunciados de manera explícita que sólo admiten una única solución

Plantear una estrategia correcta para resolver problemas que no han sido estudiados donde se identifiquen con claridad los procedimientos a utilizar

Resolver problemas que no han sido estudiados donde se seleccionen, comparen y evalúen diferentes estrategias

Resolver problemas que involucran la utilización de algoritmos, fórmulas, procedimientos, propiedades, o convenciones elementales

Resolver problemas que no han sido estudiados a partir de una situación dada (Matemática o de contexto real) donde se ejecuten acciones secuenciales

Generalizar los resultados obtenidos en la resolución de problemas

Identificar problemas que se pueden plantear a partir de una situación dada Matemática o de contexto real dada

Resolver problemas que impliquen establecer conexiones entre distintas áreas Matemática, o distintas formas de representación o de comunicación

Plantear problemas a partir de una situación Matemática o de contexto real que implique diferentes estrategias de solución o que sean de solución abierta

Identificar modelos matemáticos que ya han sido estudiados, que se encuentran explícitamente formulados y que permitirían explicar o representar situaciones Matemática elementales o de contexto real

Plantear problemas a partir de una situación dada Matemática o de contexto real que implique una estrategia de solución

Usar modelos matemáticos que no han sido estudiados, para representar o explicar situaciones (Matemática o de contextos reales) identificando las limitaciones y los supuestos de los mismos

Resolver problemas mediante la aplicación de un modelo que ya ha sido estudiado y que se encuentra explícitamente formulado

Identificar y usar modelos matemáticos que ya han sido estudiados, que no están explícitamente formulados y que permitirían explicar o representar situaciones elementales Matemática o de contexto real

7Ruiz, A. (2017). Evaluación y Pruebas Nacionales para un Currículo de Matemática que enfatiza capacidades superiores.Cuadernos de investigación y formación en Educación Matemática, 12(1), 1-245. Recuperado de http://revistas.ucr.ac.cr/index.php/cifem/article/view/31916/31622

(30)

RAZONAR Y ARGUMENTAR

Identificar la información presente de forma explícita en situaciones Matemática o de contexto real

Identificar información Matemática que no está dada de manera explícita en una situación Matemática o de contexto real

Realizar argumentos matemáticos para resolver problemas o describir situaciones (Matemática o de contexto real) no estudiados y complejos Desarrollar procedimientos rutinarios

siguiendo instrucciones directas

Responder a preguntas donde la respuesta no es directa y amerita mayor argumentación (por ejemplo: ¿Cómo hallamos? ¿Qué tratamiento matemático damos? ¿Qué puede o no puede pasar y por qué? ¿Qué sabemos? ¿Qué queremos obtener?)

Desarrollar argumentos que utilizan integradamente distintos conceptos o métodos matemáticos para resolver un problema

Responder a preguntas donde está presente de forma explícita toda la información necesaria para encontrar la solución (preguntas directas como

¿Cuántos? ¿Cuánto es?)

Brindar las soluciones de las preguntas cuando sea pertinente mediante diferentes representaciones: tablas, gráficos, medidas estadísticas, elementos algebraicos, cifras, entre otros

Generalizar los métodos matemáticos utilizados o resultados obtenidos en la resolución de problemas

Efectuar razonamientos directos o realizar interpretaciones que se extraen literalmente de los resultados en la aplicación de un procedimiento

Evaluar la validez de una secuencia no compleja de argumentos matemáticos (por ejemplo escrita en un texto o en una exposición)

Realizar razonamientos matemáticos donde se muestra que se comprende la amplitud y los límites de los objetos matemáticos usados y de los procedimientos desarrollados

Describir los procesos de cálculo o los resultados cuantitativos obtenidos al resolver un problema en una situación Matemática o de contexto real ya estudiada

Elaborar argumentos basados en sus propias acciones al resolver problemas similares a los ya estudiados

Formular conceptos novedosos en la resolución de problemas o descripción de una situación (Matemática o de contexto real)

Realizar razonamientos donde se señalan cuáles son los aspectos esenciales del problema o situación y cómo están relacionados los diferentes objetos matemáticos que participan Consignar en la resolución de un problema los elementos cruciales de la estrategia seguida Realizar razonamientos matemáticos en situaciones específicas donde se consignan las diferencias entre definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis o afirmaciones

(31)

CONECTAR

Identificar conexiones entre conceptos o procedimientos matemáticos y una situación de contexto real similar a las ya estudiadas

Usar la conexión entre conceptos o procedimientos matemáticos y una situación de contexto real para resolver problemas similares a los ya estudiados

Usar la conexión entre conceptos o procedimientos matemáticos y una situación de contexto real para resolver problemas no estudiados y relativamente complejos

Relacionar conceptos o procedimientos matemáticos distintos dentro de una misma área Matemática en la resolución de problemas

Relacionar conceptos o procedimientos matemáticos de dos o más áreas Matemática diferentes en la resolución de problemas

Relacionar conceptos o procedimientos matemáticos de dos o más asignaturas o disciplinas cognoscitivas diferentes en la resolución de un problema

(32)

COMUNICAR

Identificar expresiones Matemática estudiadas en textos dados similares a los estudiados (aportados de manera escrita o verbal)

Identificar expresiones Matemática estudiadas en textos dados no similares a los estudiados (aportados de manera escrita o verbal)

Interpretar o seguir una secuencia de razonamientos matemáticos abstractos no estudiados y complejos

Interpretar expresiones Matemática dadas en situaciones similares a las estudiadas para proceder a buscar una estrategia de Solución

Interpretar o seguir una secuencia de razonamientos matemáticos, que usan conceptos o procedimientos matemáticos estudiados (expresados de manera oral o escrita) en la resolución de un problema

Expresar ideas, acciones, argumentos y

conclusiones usando lenguaje matemático y precisión Matemática

Reproducir los nombres y las propiedades básicas de objetos matemáticos ya

Estudiados

Describir mediante un lenguaje Matemáticamente no preciso las acciones, resultados y razonamientos que ha efectuado en la solución de un problema

Comunicar sus argumentos en la resolución de un problema o la realización de una prueba, usando relaciones más abstractas entre conceptos, métodos o resultados matemáticos (en especial relaciones lógicas) Comunicar en forma breve mediante

representaciones Matemática (verbales, numéricas, algebraicas, tabulares, estadísticas, gráficas) resultados de procedimientos rutinarios (por aplicación de algoritmos o propiedades, fórmulas, convenciones elementales, o un modelo que ya ha sido estudiado) que se desarrollan en la resolución de un problema ya estudiado

Comunicar conclusiones mediante lenguaje natural en torno a acciones, razonamientos y resultados que ha desarrollado en la resolución de un problema

(33)

REPRESENTAR

Identificar los datos que están presentes de forma explícita en representaciones ya estudiadas de objetos matemáticos

Interpretar y razonar sobre la información codificada en una representación Matemática dada

Pasar de una representación Matemática a dos o más representaciones Matemática en la resolución de problemas

Usar solo una representación Matemática para resolver o para modelar situaciones Matemática o de un contexto real que han sido estudiadas

Pasar de una representación Matemática a otra en la resolución de problemas

Usar tres o más representaciones Matemática para aplicar en la resolución de problemas en contextos reales o matemáticos que no han sido estudiados y son complejos

Identificar dos o más representaciones de objetos matemáticos en una situación Dada

Elaborar una representación Matemática para interpretar o modelar una situación Matemática o de contexto real no estudiada

Combinar representaciones Matemática distintas de manera creativa para interpretar y modelar una situación Matemática o de contexto real

Usar dos representaciones Matemática en la resolución de problemas estudiados

Inventar nuevas formas de representación Matemática en la resolución de problemas Evidenciar con claridad que se comprenden las ventajas y desventajas de cada representación en la resolución de problemas

(34)

Anexo 6

(35)

ANÁLISIS DETALLADO DE VARIABLES INVOLUCRADAS EN LAS TAREAS

Se presenta en este anexo el análisis detallado de dos tareas, una de la función lineal y la otra de la función cuadrática.

Tarea 4: Televisión satelital Claro

Según la Encuesta Nacional de Hogares realizada por el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC) en el 2017, en Costa Rica, 69% de los hogares cuentan con televisión por cable. Santiago es uno de los costarricenses que actualmente no cuenta con dicho servicio, y se encuentra considerando la opción de adquirirlo, por lo cual visita el sitio web de Claro Costa Rica y encuentra la siguiente información:

La empresa Claro S.A entre sus servicios ofrece televisión satelital, la tarifa base del paquete básico en HD tiene un costo de ₡12 500 para un televisor y ₡3500 por cada televisor adicional.

Con base en la información anterior:

a. Realice una representación tabular sobre el costo a pagar dependiendo de la cantidad de televisores adquiridos, hasta un máximo de 4.

x 1 2 3 4

y 12 500 16 000 19 500 23 000

b. Escriba una función que estime el costo a pagar dependiendo de la cantidad de televisores

(36)

Solución 1 Solución 2 Solución 3

:

x cantidad adicional de televisiones

 

: 0,1, 2, 3,...

( ) 12 500 3500

c con

c x x



 

:

x cantidad total de televisiones

 

 

: 1, 2,3,...

( ) 12 500 3500 1 12 500 3500 3500

9000 3500

c con

C x x

x x



  

 

Cantidad de televisores

Costo

1 12 500

2 16 000

2 1

16000 12500 2 1 3500 y y

m x x

 

  

 

Cálculo de b 12500 3500 1

12500 3500 1 9000 b

b

  

    

 

: 1, 2, 3,...

( ) 3500 9000

c con

C x x



 

c. ¿Cuál es la pendiente de la función anterior y cómo se interpreta en este contexto?

 La pendiente es 3500.

 En el caso de la primera solución los 3500 representan que por cada televisor adicional la facturación aumentará en 3500 de la tarifa base de 12 500.

 En los casos de la solución 2 y 3, los 3500 representan el monto que se debe agregar a los 9000 colones por cada televisor que se tenga en la casa para calcular el monto de facturación.

d. Realice un esbozo de la gráfica que relacione el costo a pagar dependiendo de la cantidad de televisores adquiridos.

(37)

Para determinar las descripciones de las variables involucradas en la tarea anterior, se procedió en primera instancia a realizar su resolución, en la cual se tomó en cuenta diversas formas en las que podría resolverla un estudiante, con el fin de evidenciar todos los contenidos matemáticos y dificultades/errores que podrían aparecer en la resolución de la misma.

Posteriormente, se analizó con base en ello, las variables: habilidades, contenido matemático, sistemas de representación, situación, procesos, dificultades/errores y finalmente se estableció el nivel de complejidad. En la siguiente tabla, se describe cómo se realizó dicho estudio.

(38)

Tabla 1. Ejemplo del análisis que se realiza en una tarea Matemática para determinar la descripción de las variables inmersas en la misma

Variables analizadas Aspectos determinados

Habilidades específicas de la función lineal en décimo

año

a. Representar gráficamente una función lineal.

Esta habilidad se encuentra presente en el ítem “d” del ejercicio, dado que en el mismo se solicita realizar la representación gráfica del problema en cuestión, y este se modela a través de una función lineal.

b. Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.

Esta habilidad está presente en los ítems b y c.

Otras habilidades inmersas (8° año)

a. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma yax b .

Esta presente en la resolución del ítem b.

b. Representar de forma tabular, algebraica y gráficamente una función lineal.

Esta habilidad está presente en los ítems a, b y d.

c. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se requiere en la resolución del ítem b.

Contenido matemático

a. Concepto de pendiente.

Está presente directamente en el ítem c, en el que se solicita la interpretación del mismo.

b. Fórmula de la pendiente.

Dependiendo de la forma de resolución del ítem b se tendría presente la fórmula de la pendiente, aunque propiamente los ítems a, b y d propician el paso de un sistema de representación a otro.

c. Ecuaciones lineales.

Se requieren para determinar el parámetro b en el ítem

Sistemas de representación

a. Verbal

Está presente de forma implícita, al indicar que hay un precio fijo de 12500 y uno variable de 3500.

b. Tabular

Se solicita en el ítem a.

c. Algebraica

Se solicita en el ítem b.

d. Gráfica

Se solicita en el ítem d.

(39)

Situación/contexto

Personal

Dado que se relaciona con actividades cotidianas que tienen relevancia personal directa e inmediata para el estudiante. Como lo son: las compras, los juegos, el transporte personal, los deportes, los viajes, las propias finanzas, etc.

Procesos

a. Representar

Está presente en grado 2, pues involucra pasar de una representación Matemática a otra en la resolución de problemas, como en los ítems a, b y d.

b. Razonar y argumentar.

Se propicia en grado 2, dado que debe brindar información que no está dada de manera explícita en el problema, como en el ítem b y d.

c. Plantear y resolver problemas.

Se desarrolla en grado 1, pues en la resolución del problema se involucra la utilización de algoritmos relacionados con ecuaciones lineales y la fórmula de la pendiente.

Dificultades/ Errores

a. Mal empleo de la ley de signos en la realización de operaciones básicas en el conjunto de los números reales.

Puede estar presente en la resolución del ítem b, al buscar la solución de la ecuación planteada.

b. Error al efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números reales.

Puede aparecer en la resolución del ítem a o b, en los que se deben realizar multiplicaciones y sumas.

c. Error al aplicar algoritmos relacionados con la resolución de ecuaciones lineales.

Se puede evidenciar al resolver el ítem b.

d. Aplica incorrectamente la fórmula de la pendiente al hacer

2 1

x x

m y y

 

 ó

2 2

1 1

y x

m y x

 

 .

Este error se puede dar en caso de que se utilice el tercer método de solución en el ítem b.

e. Ubicación incorrecta de pares ordenados.

Podría aparecer en la resolución del ítem ed.

(40)

f. Dada la representación algebraica de una función lineal traza una parábola como su representación gráfica.

En la realización del ítem d, podría confundir la representación gráfica con una parábola en asociación con lo estudiado en noveno año.

g. Error al expresar en forma gráfica una situación dada al no tomar en cuenta el dominio de la misma.

En la resolución del ítem d, podría ser que el estudiante trace una recta, con lo que se estaría asumiendo un dominio continuo, el cual no se podría por la naturaleza del problema, así como podría ser que realice una representación gráfica tomando en cuenta abscisas negativas.

Complejidad

Conexión

Como solo hay dos indicadores de grados dos y uno de grado uno, se debe aplicar el criterio 4 de la sección 7.2, y analizando lo que requieren los indicadores de grado dos presentes se concluye que es de conexión.

Fuente: Elaboración propia

(41)

Tarea 1: Explorando con Geogebra

Se presenta una actividad con el uso de GeoGebra para la función f :  con ( ) 2

f x ax   , la misma tiene como finalidad determinar de qué manera cambia la bx c representación gráfica de dicha función conforme se varían los valores de los parámetros a , b y c ; para lo cual, se utilizará la opción de “deslizadores” que ofrece el software, tal como se muestra en la siguiente imagen, con el objetivo de variar de una forma más ágil los valores de los parámetros.

I Parte. Análisis de la influencia de los parámetros a , b y c en la representación gráfica de las funciones cuadráticas

Con ayuda de un archivo de GeoGebra y creando deslizadores para cada uno de los parámetros de la función responda los siguientes ítems:

1. Explique qué sucede con la representación gráfica cuando a 0.

2. Determine los valores de a para los cuáles la parábola queda cóncava hacia arriba.

¿Hay otros valores de a para los que sucede lo mismo?

3. Determine los valores de a para los cuáles la parábola queda cóncava hacia abajo.

¿Hay otros valores de a para los que sucede lo mismo?

4. ¿Qué parámetro(s) influye(n) en el desplazamiento horizontal de la parábola? ¿Es el mismo del desplazamiento vertical? Justifique su respuesta.

(42)

5. Sintetice qué ocurre con la parábola cuando se varían los valores de a , b y c . 6. Varíe los parámetros y determine la cantidad de veces que puede la parábola

intersecar al eje de las abscisas y al eje de las ordenadas.

7. La representación gráfica ¿Siempre interseca al eje de las abscisas? ¿Siempre interseca al eje de ordenadas? Justifique su respuesta.

II Parte. Análisis de la influencia en la representación gráfica, de una función cuadrática, de los parámetros a , b y c . Un poco más allá de lo planteado en el Programa de Estudios de Matemática del MEP

Esta actividad tiene el objetivo de ampliar los aspectos conjeturados en la I parte; está dirigida a aquellos estudiantes que logren finalizar de forma anticipada la actividad anterior, o a los docentes que en sus instituciones educativas requieren un análisis mayor por parte de los estudiantes.

1. En el software fija el valor de b en cero, y varíe los parámetros a y c .

a. Explica ¿qué sucede con la gráfica, en este caso, para los distintos valores de a y c ? b. ¿Dónde se ubica el eje de simetría? ¿Está siempre en la misma posición? Justifique

su respuesta

2. Grafique, con Geogebra, las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano :

f  con f x( ) 3 x²9x3 y g:  con g x( )x²  . 3x 1

a. ¿Cuáles son los puntos de intersección de ambas funciones con el eje de las abscisas? ¿Son los mismos o son diferentes?

b. Justifique a qué se debe lo que sucedió en la parte a.

c. ¿Lo que pasó en los puntos anteriores se repite con el eje de las ordenadas? ¿A qué se debe este hecho?

d. Determine el vértice de ambas funciones ¿es el mismo? Justifique su respuesta detallando el trasfondo de ella.

3. Considere las siguientes funciones, con dominio y codominio .

 

²

( ) 1 1

f x  x 

  

( ) 1 2

g x  x x

( ) 2 2 2

h x x  x

 

²

( ) 2 4

m x  x 

( ) 2 2

n x x  x

( ) 2 4

j x x  x

(43)

a. Compare gráfica y algebraicamente los siguientes pares de funciones f y h, g y n , m y j (refiérase a sus semejanzas y diferencias, puede utilizar aspectos como el ámbito, la intersección con los ejes cartesianos, sus intervalos de monotonía, eje de simetría, etc).

b. Para el caso de las funciones que se representen algebraicamente como f , m o g conjeture de qué manera influyen los valores numéricos presentes en su criterio en la representación gráfica de las mismas.

Tabla 2. Variables de la tarea “Explorando con Geogebra”

Variables analizadas Aspectos determinados

Habilidades específicas de la función cuadrática

en décimo año

Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática :

f  con f x( )ax²bx c , a 0. Otras habilidades inmersas

(9° año)

Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de yax2  utilizando software. bx c

Se encuentra presente principalmente en lo requerido en la I parte de la actividad.

Contenido matemático

a. Intersección con el eje de las abscisas y de las ordenadas.

Se utiliza en la I parte de la actividad en los ítems 6 y 7, y en la II parte en los puntos a y c del ítem 2, y en el ítem a del punto 3.

b. Relación entre los distintos parámetros de la representación algebraica y la representación gráfica.

Está presente en la I parte de la actividad en los ítems del 1 al 5.

c. Ámbito, intervalos de monotonía y concavidad en la representación gráfica.

Se presenta en el ítem d del punto 2 de la II parte.

d. Eje de simetría.

En la II parte en el ítem a del punto 1 y 3.

e. Representación algebraica estándar, producto de binomios, criterio del vértice.

Está presente en completitud del punto 3 de la II parte.

Sistemas de representación de la

función cuadrática

Algebraica f x( )ax² bx c, ^{f x}^{( )}^^{a x h}



^



²^^k ^y



1



2



( )

f x a xx xx .

Está presente en totalidad en el punto 3 de la II parte.

(44)

Gráfica. A lo largo de la actividad se trabaja con la representación gráfica.

Situación/contexto Matemático

Procesos

a. Razonar y argumentar – Grado 3 – Requiere de razonamientos donde se señalen cuáles son los aspectos esenciales de la situación y cómo están relacionados los diferentes objetos matemáticos que participan.

Está presente en los ítems del 1 al 4, en el 6 y en el de la I parte. Dado que el estudiante debe deducir qué es lo que está sucediendo con la gráfica.

b. Comunicar – Grado 3 – Expresar ideas, acciones, argumentos y conclusiones usando lenguaje matemático y precisión Matemática.

Está presente en el ítem 5 de la I parte. Se requiere además en los ítems a y b del punto 3 de la II parte. En las que el estudiante debe expresar cuáles son sus conclusiones, tiene un vocabulario preciso y claro.

c. Representar – Grado 2 – Interpretar y razonar sobre la información codificada en una representación Matemática dada.

Se propicia a lo largo de toda la actividad, pero se precisa de mayor forma en los ítems 2 y 3 de la II parte en los que se requiere que a partir de la gráfica se interprete y razone sobre lo que está sucediendo.

Dificultades/ Errores

a. No identifica a ,b y c dado el criterio de la función.

Se podría presentar en la resolución del ítem 2 y del ítem 3 de la II parte.

b. No distingue qué determina cada variable del criterio en su representación gráfica.

Este error se podría presentar en las interpretaciones obtenidas en la resolución de todos los ítems de la I parte.

c. Calcula el vértice de la representación gráfica de una función cuadrática pero no determina el ámbito ni los intervalos de monotonía o lo realiza de forma incorrecta.

Está presente en el ítem d del punto 3 de la II parte.

d. Confunde el intervalo de crecimiento con el de decrecimiento.

Se puede presentar en el ítem a del punto 3 de la II parte.

Complejidad Reflexión Fuente: Elaboración propia

(45)

Anexo 7

(46)

Universidad Nacional Escuela de Matemática

Estimado(a) docente: La finalidad de este instrumento es valorar un material didáctico diseñado para la enseñanza y aprendizaje de la función lineal y de la función cuadrática, en décimo año, mediante el criterio que ha desarrollado a través de su experiencia en la enseñanza de estos temas.

Esta rúbrica se divide en dos apartados, el primero hace referencia a la función lineal y el segundo a la función cuadrática; cada uno de ellos abarca aspectos relativos a los contenidos, al cumplimiento de las habilidades y a la metodología planteada en el material.

A. Información general

5. Nombre del evaluador: __________________________________________________

6. Nombre de la institución donde labora: ______________________________________

7. ¿Cuántos años tiene de laborar, en educación secundaria, como docente de Matemática? ______

8. ¿Cuántas veces ha impartido décimo año con el Programa de Estudios de Matemática que está vigente? ____________

9. ¿Cuál es el mayor grado académico que posee en relación con Enseñanza de la Matemática?

_____________________________________________________________

10. ¿En qué universidad obtuvo su mayor grado académico relacionado con Enseñanza de la Matemática? ___________________________________________________

B. Rúbrica de valoración

Instrucciones: Marque una equis en la casilla que según su criterio se adapta a cada uno de los siguientes rubros, para ello tome en cuenta la escala dada.

1: Muy en desacuerdo 2 : En desacuerdo 3: Indiferente 4: De acuerdo 5 : Muy de acuerdo B.1. Función Lineal

Criterios 1 2 3 4 5

1. Las tareas requieren del uso de distintas formas de representación de la función lineal (gráfica, algebraica, tabular, verbal).

2. El lenguaje matemático utilizado es el adecuado para el nivel en el que se enfoca el material.

3. Las aplicaciones de la función lineal utilizadas en el material se encuentran contextualizadas.