Corriente Eléctrica y Resistencia

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Corriente Eléctrica y

Resistencia

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El propósito de una batería es producir una diferencia de potencial, la cual

puede provocar un movimiento de

cargas. Cuando se forma una trayectoria de conducción entre las terminales de una batería, tenemos un circuito

eléctrico.

El aparato que se conecta a la batería puede ser una bombilla eléctrica, un calentador, un radio o algún otro.

Cuando se forma un circuito de esta manera, la carga eléctrica puede fluir a través de los cables del circuito desde una terminal de la batería hasta la otra terminal, siempre y cuando el camino de conducción sea continuo. A cualquier flujo de carga como éste, se le conoce como corriente eléctrica.

a) Un circuito eléctrico sencillo.

b) Esquema del mismo circuito, que consiste en una batería, alambres conductores (líneas grises gruesas) y una bombilla u otro aparato.

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Corriente Eléctrica

Una corriente eléctrica es todo movimiento de carga de una región a otra. Con mayor precisión, la corriente eléctrica en un alambre se define como la cantidad de carga neta que pasa a través de la sección transversal completa del alambre en cualquier punto por unidad de tiempo.

La corriente promedio está dada por la ecuación

𝐼 = ∆𝑄

∆𝑡

donde ∆𝑄 es la cantidad de carga que pasa a través del conductor en cualquier posición durante el intervalo de tiempo ∆𝑡.

La corriente instantánea 𝐼 se define como el límite diferencial de la corriente promedio:

𝐼 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡

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Unidades de la corriente

La unidad del SI para la corriente es el ampere; un ampere se define como un coulomb por segundo (1 𝐴 = 1 𝐶 𝑠 ). Esta unidad recibe su nombre en honor del científico francés André Marie Ampère (1775-1836).

Cuando se enciende una linterna común (de pilas tamaño D), la corriente en ella es aproximadamente de 0.5 a 1 A; la corriente en los cables del motor de arranque de un automóvil es de alrededor de 200 A. Las corrientes en los

circuitos de radio y televisión por lo general se expresan en miliamperes (1 𝑚𝐴 = 10−3 𝐴) o microamperes (1 𝜇𝐴 = 10−6 𝐴), y las corrientes en los circuitos de computadoras son del orden de nanoamperes (1 𝑛𝐴 = 10−9 𝐴) o picoamperes (1 𝑝𝐴 = 10−12 𝐴).

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Dirección de la corriente

Es una regla convencional asignar a la corriente la misma dirección que la del flujo de la carga positiva. Lo anterior se conoce en ocasiones como la corriente convencional.

En los conductores eléctricos, como cobre o aluminio, la corriente está ocasionada por el movimiento de electrones con carga negativa. Por lo tanto, en cualquier conductor, la

dirección de la corriente es la

opuesta a la dirección del flujo de los electrones.

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Densidad de corriente 𝐽

La densidad de corriente 𝐽 en el conductor se define como la corriente por unidad de área de la sección transversal.

𝐽 = 𝐼 𝐴

Las unidades de 𝐽 en el SI es de amperes por metro 𝐴

𝑚2 .

Esta expresión es válida sólo si la densidad de corriente es uniforme y sólo si la superficie del área de sección transversal A es perpendicular a la dirección de la corriente.

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Ley de Ohm

La densidad de corriente 𝐽 en un conductor depende del campo eléctrico 𝐸 y de las propiedades del material.

En general, esta dependencia es muy compleja. Pero para ciertos materiales, en especial metálicos, a una temperatura dada, 𝐽 es casi

directamente proporcional a 𝐸, donde la constante de proporcionalidad

𝜍 se conoce como conductividad del conductor.

𝐽 = 𝜍𝐸

Esta relación, llamada ley de Ohm, fue descubierta en 1826 por el físico alemán Georg Simon Ohm (1787-1854).

Ley de Ohm

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Conductividad de un material 𝜍

La conductividad del conductor es la razón de las magnitudes de 𝐽 y 𝐸, y es un valor constante que depende de las características del material:

𝜍 = 𝐽 𝐸

Sus unidades son Ω ∙ 𝑚

−1

.

Conductividad de un material

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Resistividad de un material 𝜌

La resistividad 𝜌 de un material se define como la razón de las magnitudes del campo eléctrico 𝐸 y la densidad de corriente 𝐽:

𝜌 = 𝐸 𝐽

El recíproco de la resistividad es la conductividad.

Los buenos conductores de la electricidad tienen una conductividad mayor que la de los aislantes, por ende, baja resistividad.

Un conductor perfecto tendría una resistividad igual a cero; y un aislante perfecto tendría resistividad infinita. Los metales y las aleaciones tienen las menores resistividades y son los mejores conductores.

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Resistencia de un conductor 𝑅

Para producir una corriente eléctrica en un circuito se requiere establecer una diferencia de potencial. Una manera de lograr una diferencia de potencial a través de un alambre es conectar sus

extremos a las terminales opuestas de una batería. Fue Georg Simon Ohm (1787-1854) quien estableció en forma experimental que la

corriente en un alambre de metal es proporcional a la diferencia de potencial V aplicada a sus extremos:

𝐼 ∝ 𝑉

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Resistencia de un conductor 𝑅

La magnitud de una corriente en un alambre depende no sólo del voltaje, sino también de la resistencia que ofrece el alambre al flujo de los

electrones. A mayor resistencia, menos corriente para un voltaje dado V.

Definimos entonces la resistencia eléctrica de forma que la corriente es inversamente proporcional a la resistencia; esto es:

𝐼 = 𝑉 𝑅

La unidad de la resistencia del conductor R es el ohm Ω que es lo mismo que 𝑉 𝐴 .

La expresión anterior también se puede escribir como:

𝑉 = 𝐼𝑅

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Resistencia de un conductor 𝑅

Sabemos que:

∆𝑉 = 𝐸𝑙

Reemplazando en la densidad de corriente:

𝐽 = 𝜍𝐸 = 𝜍 ∆𝑉 𝑙

Como 𝐽 = 𝐼

𝐴, tenemos:

𝐼

𝐴 = 𝜍 ∆𝑉 𝑙

Despejando ∆𝑉

∆𝑉 = 𝐼 𝑙 𝜍𝐴

La cantidad

𝑙

𝜍𝐴 = 𝑅

se conoce como la resistencia 𝑅 del

conductor, la cual depende directamente de la longitud del resistor e inversamente del área y la conductividad del resistor,

propiedades propias del resistor.

Quedando la ecuación como:

∆𝑉 = 𝐼R

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La resistividad 𝝆 de un material es inversa a la conductividad 𝝈 del material. Con esto en mente, la resistencia R de un conductor particular se relaciona con la

resistividad 𝝆 y con la conductividad 𝝈 del material mediante las ecuaciones:

𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴

𝑅 = 𝐿 𝜍𝐴

Donde:

• 𝜌 es la resistividad del material

• 𝜍 es la conductividad del material

• 𝐿 es la longitud del conductor

• 𝐴 es el área transversal del conductor

La mayoría de los circuitos eléctricos usan elementos llamados resistores

(resistencias) para controlar la corriente en las diferentes partes del circuito.

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Resistencia de un Resistor – Ejercicio Resuelto 1

Cálculo de la resistencia de un resistor con base en su geometría

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La figura muestra un sólido rectangular hecho de carbón con lados de 1 cm, 2 cm y 4 cm a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente.

Determine la resistencia cuando la corriente pasa a través del sólido en

a) la dirección x, b) la dirección y c) la dirección z.

Considere que la resistividad es 𝜌 = 3 × 10−5 Ω ∙ 𝑚.

Resistencia Eléctrica

Cálculo de la resistencia de un resistor

Ejercicio 1

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Solución

Cuando la corriente pasa a través del solido en la dirección x, el área transversal que atraviesa la carga es de 4 𝑐𝑚 × 2 𝑐𝑚, y la longitud que recorre es de 1 𝑐𝑚.

Con estos datos calculamos la resistencia con la ecuación:

𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴

𝑅 = 3 × 10−5 Ω ∙ 𝑚 0,01𝑚

0,04 𝑚 × 0,02 𝑚 𝑅 = 0,375 𝑚Ω

𝐼𝑥

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Solución

Cuando la corriente pasa a través del solido en la dirección y, el área transversal que atraviesa la carga es de 4 𝑐𝑚 × 1 𝑐𝑚, y la longitud que recorre es de 2 𝑐𝑚.

Con estos datos calculamos la resistencia con la ecuación:

𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴

𝑅 = 3 × 10−5 Ω ∙ 𝑚 0,02𝑚

0,04 𝑚 × 0,01 𝑚 𝑅 = 1,5 𝑚Ω

𝐼𝑦

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Solución

Cuando la corriente pasa a través del solido en la dirección z, el área transversal que atraviesa la carga es de 2 𝑐𝑚 × 1 𝑐𝑚, y la longitud que recorre es de 4 𝑐𝑚.

Con estos datos calculamos la resistencia con la ecuación:

𝑅 = 𝜌 𝐿 𝐴

𝑅 = 3 × 10−5 Ω ∙ 𝑚 0,04𝑚

0,02 𝑚 × 0,01 𝑚

𝑅 = 6 𝑚Ω 𝐼𝑧

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Un resistor cilíndrico hueco con radio

interior 𝑟1, radio exterior 𝑟2 y longitud 𝑙 está hecho de un material con resistividad 𝜌.

a. Demuestre que para corriente que fluye radialmente hacia fuera la

resistencia está dada por la expresión:

𝑅 = 𝜌

2𝜋𝑙 ln 𝑟2 𝑟1

b. Evalúe la resistencia 𝑅 para el caso de un resistor hecho de carbón con radio interior de 1 𝑚𝑚, radio exterior de 1.8 𝑚𝑚 y longitud de 2.4 𝑐𝑚.

(Considere 𝜌 = 15 × 10−5Ω ∙ 𝑚).

c. ¿Cuál es la resistencia en el inciso b) cuando la corriente fluye paralela al eje del cilindro?

Resistencia Eléctrica

Cálculo de la resistencia de un resistor

Ejercicio 2

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Potencia Eléctrica 𝒫

La potencia 𝒫, representa la rapidez a la cual se entrega energía al resistor, es decir, es la relación de transferencia de energía por unidad de tiempo, y se calcula

mediante las expresiones:

𝒫 = 𝐼𝑉

𝒫 = 𝐼2𝑅

𝒫 = 𝑉2 𝑅

La unidad de la potencia eléctrica en el SI es el watt W que equivale a 𝐽 𝑠

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Resistencia Eléctrica

Cálculo de la resistencia de un resistor

Ejercicio 2

• Si el circuito de la figura se

diseña para un fusible de 20A,

¿se quemará el fusible cuando todos los aparatos estén

funcionando simultáneamente?

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Solución

• Primero se determina la

corriente total tomada por todos los aparatos que se ilustran en el circuito de la figura. Para este fin se usa la ecuación:

𝐼 = 𝒫

𝑉

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Solución

𝐼𝑏𝑜𝑚𝑏𝑖𝑙𝑙𝑎 = 𝒫

𝑉 = 100𝑊

120𝑉 = 0,83𝐴

𝐼𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝒫

𝑉 = 1800𝑊

120𝑉 = 15𝐴

𝐼𝑒𝑠𝑡é𝑟𝑒𝑜 = 𝒫

𝑉 = 350𝑊

120𝑉 = 2,92𝐴

𝐼𝑠𝑒𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 = 𝒫

𝑉 = 1200𝑊

120𝑉 = 10𝐴

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Solución

La corriente total empleada, si se utilizan todos los aparatos al mismo tiempo, es:

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼𝑏𝑜𝑚𝑏𝑖𝑙𝑙𝑎 + 𝐼𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝐼𝑒𝑠𝑡é𝑟𝑒𝑜 + 𝐼𝑠𝑒𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎

𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,82𝐴 + 15𝐴 + 2,92𝐴 + 10𝐴 = 28,74𝐴

Si el circuito de la figura se diseña para un fusible de 20 A, el fusible se quemará —y esperamos que así lo haga— para evitar que alambres

sobrecargados se calienten demasiado y generen un incendio.

Figure

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