RESISTENCIA DE MATERIALES I
Resistencia de Materiales I CAPÍTULO
Autor:
Víctor Vidal Barrena
Universidad
Nacional de Ingeniería
Elementos
Estáticamente
Indeterminados
ELEMENTOS
ESTÁTICAMENTE
Capítulo 04: Elementos Estáticamente Indeterminados
ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADOS
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
4.1 Por acción de una carga aplicada.
Si la barra está fija en ambos extremos, como se observa en la figura 4.1, entonces se tiene dos reacciones axiales desconocidas.
Fig. 4.1 Barra empotrada.
) 1 ( 0
0
: equilibrio de
ecuación la
Aplicando
=
− +
← +
=
∑ F
HF
AF
BP
En este caso se dice que la barra es estáticamente indeterminado, por cuanto la ecuación de equilibrio (1) no es suficiente para determinar las reacciones.
Se necesita una ecuación adicional para la solución, entonces emplearemos la deformación de la barra.
) 1 . 4 ( 0
) 2 ( 0
: nto empotramie
el Por
= +
=
CB AC
AB
δ δ
δ
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
4.1 Por acción de una carga aplicada.
Aplicando la ecuación (2.3) de RM y reemplazando valores en (4.1)
) 3 (
= 0
− EA L F EA
L
F
A AC B CBEl signo (-) menos es porque el tramo CB es de contracción.
) 4 (
AC CB B
A
L
L F = F
Fig. 4.2 Efecto de la deformación de la barra empotrada.
Efectuando (3) obtenemos:
Sustituyendo (4) en (1) obtendremos:
PL F PL
P L F
L F
AC AC
B AC
CB B
=
=
= +
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
4.2 Por cambio de temperatura.
Considérese una barra homogénea AB de sección constante, que descansa libremente sobre una superficie liza; tal como se observa en la figura 4.3(a).
) 2 . 4 ( L
T
= α ∆ T δ
Fig. 4.3 Barra homogénea sobre una superficie liza.
Entonces:
Si la temperatura de la barra se eleva ∆T, se observa que la barra se alarga una cantidad δT, que es proporcional al cambio de temperatura ∆T y a la longitud L de la barra, tal como se observa en la figura 4.3(b).
Siendo:
δT = Deformación por cambio de temperatura, m α = Coeficiente de dilatación lineal,1/ºC
∆T = Cambio de temperatura,ºC L = Longitud inicial, m
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
) 3 . 4 ( :
donde
de T
L T L
T T
∆
=
∆
= α ε
α ε
) 1 ( :
, donde L
L
T TT
T
δ δ ε
ε = =
4.2 Por cambio de temperatura.
Por la Ley de Hooke:
Sustituyendo (1) en la ecuación 4.2.
Siendo:
ε
T = Deformación unitaria térmica.4.2.1 Con Restricción Total:
Supóngase que la misma barra AB, se coloca entre dos soportes fijos, a una distancia L el uno del otro; tal como se observa en la figura 4.4.
4.2.1 Con Restricción Total:
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
Si se eleva la temperatura ∆T, la barra no puede alargarse debido a las restricciones impuestas en los extremos; el alargamiento δT no se produce, tal como se observa en la figura 4.4.
( )
(2) (3) AEL PL
T P
T = α ∆ δ =
δ
La barra aumenta su longitud al aumentar la temperatura y sin el apoyo derecho; aplicamos la temperatura y sin el apoyo derecho; aplicamos la ecuación (4.2).
El problema se resuelve considerando separadamente las deformaciones causadas por la variación de la temperatura y por la reacción y por la reacción redundante al quitar el apoyo. Por la acción de la reacción P, se produce un acortamiento; tal como se observa en la figura 4.5(b).
Fig. 4.5 Barra homogénea sin restricción en uno de sus extremos.
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
La ecuación de compatibilidad de deformaciones será:
) 4 (
= 0 +
PT
δ
δ
( ) ∆ − = 0
AE T PL
α L
Sustituyendo (2) y (3) en (4) obtendremos:
De donde:
P = α ∆ T EA ( 5 )
Y el esfuerzo generado en la barra por el cambio de temperatura ∆T es:
( )
( ) T E A ( 4 . 4 )
EA T
A P
∆
=
= ∆
= α σ
σ α
De donde:
P = α ∆ T EA ( 5 )
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
4.2.2 Con Restricción Parcial:
Supóngase que la misma barra AB de longitud L, se coloca entre dos soportes fijos, a una distancia (L + a) el uno del otro, mayor a la longitud de la barra; tal como se observa en la figura 4.6.
) 1 ( T
T
= α L ∆
δ
Si δT ≤ a, la barra no soporta esfuerzos.Si δT ≥ a, se tiene una reacción P en los apoyos, que genera esfuerzos de compresión en la barra.
Si se incrementa la temperatura, la barra aumenta en su longitud, entonces:
Fig. 4.6 Barra homogénea entre dos soportes fijos.
ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS.
4.2.2 Con Restricción Parcial:
En forma similar al caso anterior, se considera separadamente las deformaciones causadas por el ∆T y por la reacción redundante y sumar los resultados obtenidos que debe ser igual a la separación “a”.
) 2 (
P
a
T
+ δ = δ
La ecuación de compatibilidad será:
Fig. 4.6 Barra homogénea entre dos soportes fijos.
EA a P L
donde de
EA a PL L
EA a L PL
) : ( ∆Τ−
=
=
−
∆Τ
=
−
∆Τ
α α
α
L
E a T
L A
L
EA a
T L A
P
generado esfuerzo
El
) (
) (
:
−
= ∆
−
∆
=
= α α
σ
Problema 4.1:
Dos barras AC y CB, una de latón y la otra de acero, están unidas en C y tienen soportes rígidos en A y B antes de ser cargada. Dada la carga mostrada y sabiendo que los módulos de elasticidad del latón y del acero son 105 GPa y 200 GPa respectivamente. Determinar:
b. La deflexión del punto C.
a. Los esfuerzos en AC y CB
debido a la aplicación de las
cargas de 300 kN en D y 600
kN en K.
Problema 4.1:
SOLUCIÓN:
a. Los esfuerzos en AC y CB debidos a la aplicación de las cargas de 300 kN en D y 600 kN en K.
Aplicando la ecuación de equilibrio:
) 1 ( 0 600 300
R R
0
FH = + ← A + B − − =
∑
En este caso se dice que la barra es
AB
0
= +
+ +
=
δ δ
δ δ
δ
En este caso se dice que la barra es estáticamente indeterminado, por cuanto la ecuación de equilibrio (1) no es suficiente para determinar las reacciones.
Se necesita una ecuación adicional para la solución, entonces emplearemos la deformación de la barra.
Problema 4.1:
Para evaluar las deformaciones debemos conocer las fuerzas que actúa en cada tramo.
De los diagramas de fuerzas de cada tramo se tiene:
900 300
300
0 600
300 0
300 0
300 0
KB Tramo CK
Tramo DC
Tramo AD
Tramo 0 FH
−
=
−
=
−
=
=
=
− +
+
=
− +
=
− +
=
−
→ +
=
∑
A KB
A CK
A DC
A AB
A KB
A CK
A DC
A AB
R F
R F
R F
R F
R F
R F
R F
R F
Expresando las deformaciones por la ecuación 2.3 y sustituyendo en (2):
L L L
L R L
L R L
Ordenando
A E
L R
A E
L R
A E
L R
A E
L R
L L L L
A A A
A
AE PL
DC A
A
a
KB A
a
CK A
L
DC A
L AD A
) 900 300
1 ( ) 300
( )
(
:
) 900 (
) 300 (
) 300 (
m 150 . 0
m 10 250 m
10 400
) 3 . 2 (
2 2
1 1
4 3 2 1
2 6 4
3 2 6 2
1 L
+ +
= +
+ +
+ − + −
+ −
=
=
=
=
×
=
=
×
=
=
=
−
−
δ
Problema 4.1:
kN R
ne:
o se obtie efectuand
valores y emplazando
A E A E A
E A R E
L A L
E A
E L L
A L E L R
A L E
R
A
a L
a L
A
KB CK
a L
DC KB
CK a
A DC
AD L
A
18 . 261 Re
1200 ) 300
1 ( 1
2
) 900 300
1 ( ) 300
( )
(
2 1
2 1
2 1
2 1
=
+
= +
+ +
= +
+ +
Reemplazando valores en (1):
kN R
RB
82 . 630
900 18
. 261
=
=
−
a.2 Cálculo de los esfuerzos:
mm MPa kN
en valores
kN R
F kN
R F
Pero
F A F
A F A
F
AC
A DC
A AB
DC AB
DC AB
DC AD
AC
44 . 10 889
) 82 . 38 18
. 261 1 (
: ) 3 ( o
Remplazand
82 . 38 )
300 18
. 261 ( 300 18
. 261 :
) 3 ( )
1 (
2 2 6
2
1 1
1
=
×
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
+
= +
= +
=
σ
σ σ
σ
Problema 4.1:
a.2.1 Esfuerzo de AC:
m MPa mm kN
AC 889.44
) 1 82 . 38 18
. 261
250 2 ( − × 2 =
σ =
a.2.2 Esfuerzo de CB:
m MPa mm mm
N A
R
en valores
R F
R F
Pero
R A R
A F A
F
A CB
A KB
A CK
A A
KB CK
KB CK
CB
1 . 1 1694
10 400
10 )}
1200 )
18 . 261 ( 2 { 1200 2
: ) 4 ( o
Remplazand
900 300
:
) 4 ( )
900 300
1 (
2 2 6
2
3
2
2 2
2
−
=
× ×
= −
= −
−
=
−
=
− +
−
= +
= +
=
σ
σ σ
σ
b Deflexión del punto C:
en valores
A E
L R
A E
L R
L
DC A
L AD A
CC
DC AD
CC
: ) 4 ( o
Remplazand
) 4 ) (
300 (
3 1 1
' '
×
×
× + −
=
+
= δ
δ δ
δ Problema 4.1:
mm
m mm mm
m N
mm N
CC CC
27 . 1
1 250 10
10 105
10 36
. 222 150
'
2 2 6
2 2
9
3 '
=
×
×
×
×
= ×
δ
δ
• .
La barra rígida AD esta articulada en A y unida a las barras BC y ED como se observa en la figura adjunta. Todo el sistema esta al principio sin tensiones y son despreciables los pesos de las barras. La temperatura de la barra BC desciende 30ºC y la de la barra ED aumenta los mismos 30ºC. Despreciando toda posibilidad de pandeo lateral, hallar los esfuerzos en las barras BC y ED. Para la barra BC que es de bronce, E = 98GPa, α = 17.7x 10-6 1/ºC y para la barra ED que es de acero, E=210GPa y α = 11x10-6 / ºC. La sección de BC es de 6cm2 y la de ED de 3cm2.
E
Problema 4.2:
A
B D
E
25cm
30cm
26cm 39cm
Problema 4.2: Solución
donde: PBC = ?; PDE = ?; ABC = 6cm2; ADE = 3cm2 a.1 Cálculo de las reacciones::
DCL de la barra rígida AD: Aplicando las ecuaciones de equilibrio:
0
0 y P P
Fy = + ↑ Α − + =
∑
a. Esfuerzos en las barras BC y ED.
Utilizamos la ecuación (1.1) de R.M
. σ
= ΑΡ ....(1)Pac
El sistema es indeterminado, existe dos ecuaciones y tres incógnitas
) 2 ( 4
. 0 65
26
0 )
65 ( )
26 ( 0
0 0
br ac
ac br
ac br
ac br
P P
P P
P P
MA
P P
y Fy
=
→
=
=
− +
=
∑
= +
− Α
↑ +
=
∑
A B
Ay
Pac
O
Pac 26cm 39cm
Ax
Problema 4.2: Solución
26cm 39cm
A B D
B1
Lac
Por semejanza de triángulos
26 65
26 65
'
DE BC
BC DE
ADD y
ADB
δ δ
δ δ
=
=
∆
∆
a.2 Deformación de las barras:
a.3 Por efecto de la Temperatura.
D1
Utilizamos la ec. (4.2) de R.M:
) 3 ( 5
. 2
26 65
BC DE
DE BC
δ δ
δ δ
=
=
m x
cm x m
C cm
C x TL
Bronce BC
Barra
TL
T T T
8 6
10 15930
100 ) 1
º 30 ( º 30
10 7 . 17
: :
) 4 ...(
= −
−
=
∆
=
∆
=
δ
α δ
α δ
Problema 4.2: Solución
• .
a.4 Ecuación de Compatibilidad.
Utilizando la ecuación (3)
m x
x cm C
cm C x
TL
Acero DE
Barra
DE DE
8 6
10 8250
100 ) 1
º 30 ( º 25
10 11
: :
=
−=
∆
= δ
α δ
) 6 ( )
( 5 . 2 )
( δ
T+ δ
R DEAc= δ
T+ δ
R BrBCa.5 Por efecto de la redundante:
Utilizamos la ecuación:(2.3) de R.M.
) 6 ( )
( 5 . 2 )
( δ
T+ δ
R DE= δ
T+ δ
R BCEA
= PL σ
br br
R cm
m cm
cm m m
N
cm P
Bronce
×
×
=
×
×
×
×
= ×
−8
2 4
2 2
2
9 100
1 10
6 1 10
98
30 :
δ
δ
Problema 4.2: Solución
ac ac
R ac ac R
P m
cm m cm
cm m m
N
cm P
Acero
×
×
=
×
×
×
×
= ×
−8
2 4
2 2
2 9
10 3968
. 0
100 1 10
3 1 10
210
25 :
δ δ
Reemplazando valores en (6):
kN P
En
kN P
P en
do Sustituyen
P P
P P
P m
P m
ac br
br ac br
br ac
br ac
227 . 17 067
. 43 4
. 0 :
) 2 (
067 . 43
) 4 . 0 3968 .
0 275 . 1 ( 48075
: ) 7 ( )
2 (
) 7 ( 3968
. 0 275
. 1 48075
275 . 1 39825 3968
. 0 8250
10 510 . 0 10
15930 5
. 10 2
3968 .
0 10
8250
8 8
8 8
=
×
=
=
×
−
=
−
=
+
−
= +
− +
= +
Problema 4.2: Solución
Reemplazando valores en (1):
m MPa cm cm
N
m MPa cm cm
N
ac br
4 . 10 57
3
17227
8 . 10 71
6
43067
2 2 4
2
2 2 4
2
=
×
=
=
×
=
σ σ
m MPa
ac
cm 57 . 4
3
2×
2=
σ =
La barra DE del sistema conectado con seguros de la figura 4.11 está hecha de una aleación de aluminio [Ea = 70 Gpa, Aa = 300 mm2 y αα = 22.5x10-6/ºC] y laαα barra CB está hecha de un acero al carbón endurecido [Es = 210Gpa, As = 1200 mm2 y αααα = 11.9x10-6/ºC]. La barra ABE debe considerarse rígida. Cuando el sistema está sin carga a 40ºC, las barras CB y DE están libres de esfuerzos.
Después de aplicar la carga P, la temperatura de ambas barras desciende a 15ºC.
Determine: a) Los esfuerzos normales en las barras CB y DE, b) El desplazamiento vertical del seguro E,B
Problema 4.3:
a) Hallando las fuerzas en las barras CB y DE:
Se utiliza: ...1
Α Ρ σ
=a.1 Para la barra AE (DCL),
Aplicamos la ecuación de equilibrio:
2 ...
150kN AL
AC
Y
P P
C + +
=↑ +
∑ F
V = 0Problema 4.3: Solución.
∑ M
A = 0(
0,15) P (
0,45)
100kN(
0.45)
... 3P
AC + + AL =*El Sistema es Indeterminado
+
a.2 Por semejanza::::
4 ...
333 , 45 0
, 0 15
,
0 AC AL
AL
AC =
δ
⇒δ
=δ
De la ecuación 4:
( )
... 5333 ,
0
δ δ
δ
δ
TAC + RAC = TAC + RALa.2.1 Por efecto de la temperatura:
Problema 4.3: Solución.
a.2.1 Por efecto de la temperatura:
6 ...
L T x
T
= α x ∆
δ
* de 6:
( )
( m ) x x m
x x
m x
x m x
x
C C
C C
AL T
AC T
4 6
5 6
10 8125
, 2 25
5 , 0 10
5 , 22
10 437
, 7 25
25 . 0 10
9 . 11
º º
º º
=
=
=
=
−
−
−
δ
δ
a.3 Por efecto de la redundante:
7 ...
EA PL
R =
δ
*Ahora reemplazamos en 7:
( ) ( )
( x m )
m x N
P
ACm
AC
T 6 2
2
9
300 10
10 210
25 , 0
−
=
δ
Problema 4.3: Solución.
( )
( ) ( )
( )
N m x
m m x
x N
m N m x
m m x
x
P P
P
AL AL AL R
acero AC
T
8
2 6 2
9 12
2
10 38
, 2
10 300
10 70
5 , 0 10
92 , 9
10 300
10 210
−
−
−
=
=
=
δ
δ
δ
* Reemplazando valores en 5:
( )
P P
P P
ALUMINIO ACERO
ALUMINIO ACERO
x x
m N x
x m
N m
x m
x
5 5
8 4
10 5
10 4376 ,
7 10
282 , 9
10 38 , 2 10
8125 ,
2 33 , 0 10
92 , 9 10
4375 ,
7
−
−
−
−
−
−
−
=
+
= +
Por ultimo reemplazamos la ecuación 3 en 8:
(
9,282 10 5 7,4376 10 5)
0,45 4515 ,
0 x − − x −
P
ALUMINIO +P
AL =Problema 4.3: Solución.
10 5
10 58 , 2
10 399
, 1
−
−
=
=
x x
P P
P P
AC AL
AL ALUMINIO
Problema 4.4
Si los módulos elásticos son de 83 y 200 GPa para el bronce y el acero respectivamente, y los límites de proporcionalidad son de 240 MPa para el acero y 140 MPa para el bronce. El diámetro de la varilla de Una barra horizontal de peso despreciable, y que se supone absolutamente rígida, está articulada en A como indica la figura P2, y cuelga de una varilla de acero de 100 cm. y otra de bronce de 200 cm. de longitud.
bronce. El diámetro de la varilla de bronce es igual al doble del diámetro de la varilla de acero. Usar un factor de seguridad igual a 2 para ambas varillas. Determinar:
a. El esfuerzo de diseño de cada varilla.
b. Los diámetros de las varillas de bron- ce y de acero, si las deformaciones de estas barras son de 1,754 mm. y
Problema 4.4
SOLUCIÓN:
a. El esfuerzo de diseño de cada varilla.
a.1 Por los límites de proporcionalidad.
Utilizamos la ecuación 2.5 de RM.
: (1) en valores do
Reemplazan
) 1
max
(
adm
fs σ = σ
a2 Considerando las deformaciones de 1.754 mm y 0.723 mm de las varillas de bronce y acero respectivamente.
Utilizamos la ecuación 2.4 de RM.
) 2 L (
E E
L EA
PL σ σ δ
δ = = ⇒ =
MPa MPa
DE AC
2 70 140
: DE Bronce
de Barra
2.
2 120 240
: CB Acero
de Barra
1.
: (1) en valores do
Reemplazan
=
=
=
=
σ
σ
Problema 4.4
N
mm MPa m m
m N
BR mm
: CB acero de
Barra
2.
791 . 10 72
2 10 83 )
754 . 1 (
: DE bronce de
Barra
1.
3 2
9
=
×
× × σ =
SOLUCIÓN:
Reemplazando valores en la ec. (2) obtendremos.
Seleccionamos como esfuerzo de diseño a los menores valores de σ calculados.
mm MPa m m
m N
AC mm 144.6
10 1
10 200 )
723 . 0
( 3
2 9
=
×
×
× σ =
b. Diámetro de las varillas de bronce y acero.
DCL de la barra ABEF.
0 250
60 170
m 70
0
AC × + × − × =
+
∑
=BR A
cm cm
F c
F
sah
M ∩
a los menores valores de σ calculados.
σAC = 120 MPa σBR = 70 MPa
Problema 4.4
7 . 0 7
. 1
RM.
de 2.3 ecuación
la Aplicando
4 2
:
7 . 0 7
. 170 1
70
AC BR
AC BR
BR AC
BR AC
EA PL EA
PL
A A
d d
Pero
=
=
⇒
=
=
→
= δ δ δ
δ
SOLUCIÓN:
Por semejanza de triángulos:
Sustituyendo (4) en (3) obtendremos:
) 4 ( 0157
. 2 :
o Resolviend
4 10
83 7 2
. 0 10
200 7 1
. 1
7 . 0 7
. 1
AC BR
2 AC 9
BR
2 AC 9
AC
BR AC
F F
m A N
m F
m A N
m F
EA EA
=
×
×
× ×
=
×
×
× ×
=
kN F
Efectuando
F F
F F
AC
AC BR
349 .
36 :
150 )
0157 .
2 ( 7 . 1 7
. 0
150 7
. 1 7
. 0
AC AC
=
=
× +
×
=
× +
×
Reemplazando FAC en la ecuación (4):
FBR = 2.0157(36.349)= 73.268 kN
Problema 4.4:
d P d P
A P A
P
: s obtendremo (5)
en valores do
Reemplazan
) 5 4 (
4
2 = ⇒ =
×
=
⇒
=
πσ σ
π σ σ
SOLUCIÓN:
b. Diámetro de las varillas de bronce y acero.
Utilizamos le ecuación 1.1 de RM.
d d d
d Como
cm d
cm m m
N d N
2 58 . 3 2 2
: 58 . 3
10 10 791 . 72
10 268 . 73 4
: Bronce de
Barra
: s obtendremo (5)
en valores do
Reemplazan
BR AC
AC BR
BR
2 4
2 2
6
3 BR
=
=
⇔
=
=
×
×
×
×
×
= × π
La varilla CE de 15mm de diámetro y la varilla DF de 20mm de diámetro están unidas a la barra rígida ABCD como se muestra en la figura P1. Si las varillas son de aluminio cuyo modulo de elasticidad es 75GPa, determinar: a) los esfuerzos en cada varilla causada por la carga P de 75KN, b) la deflexión correspondiente en el punto A.
20 cm 30 cm 50 cm
B A C
D
Problema 4.4:
80 cm 60 cm
E F
P
Figura P1
Bx
FDF By FCE
=75K N
DCL:
Problema 4.4: Solución
FCE
N
Por
equilibrio:
) 1 ....(
...
6 . 0 75
0 5
. 0
* 75 30
. 0
* 50
. 0
*
0
CE DF
F F
m F
m F
M B
−
=
=
− +
=
∗ ∑
a) Los esfuerzos en cada varilla causada por la carga P P P de P 75KN
75KN 75KN 75KN
δ
D A
D A
δ δ
δ δ
=
= 0 . 5 5
. 0
D C
D C
C D
δ δ
δ δ δ
δ
6 . 0
6 . 3 0
. 0 5
. 0
=
=
⇒
= Problema 4.4: Solución
0.30m
0.20m 0.50m
δ
Dδ
Cδ
A
=
DF DF DF
CE CE CE
A E
L F
A E
L F
* 6 *
.
* 0
*
D A
D A
δ δ
δ δ
=
= 0 . 5 5
. 0
D C
D C
C D
δ δ
δ δ δ
δ
6 . 0
6 . 3 0
. 0 5
. 0
=
=
⇒
=
Por semejanza de triángulos:
Problema 4.4: Solución
DFCE
E A
A
E * *
Reemplazando:
2 2
) 01 . 0 (
) 0075 . 0 ( π π
=
=
DF CE
A A
) 0075 .
0 (
* 8 . 0
* )
01 . 0 (
) 01 . 0
* )(
10
* 75 (
8 . 0 6 *
. 0 )
0075 .
0
* )(
10
* 75 (
6 . 0
*
2 2
2 9
2 9
DF CE
DF CE
F F
F F
=
=
=
π
π
De las ecuaciones (1) y (2):
N F
F F
DF
CE DF
27 . 59
6 . 0 75
=
−
=
) 2 ...(
...
* 45 . 0
) 1 ....(
...
6 . 0 75
DF CE
CE DF
F F
F F
=
−
=
N F
F F
CE
CE CE
7 . 26
) 6
. 0 75
(
* 45 . 0
=
−
=
Problema 4.4: Solución
Hallando esfuerzos: P
A
= P σ
m KPa N
m KPa N
DF CE
) 188 01
. 0 (
*
27 . 59
) 151 0075
. 0 (
*
7 . 26
2 2
2 2
=
=
=
=
π π
σ
σ
: Hallando
b) δ A
) 01 . 0
* )(
10
* 75 (
) 8
. 0 )(
27 . 59 (
*
*
2 9 π
δ
δ δ
m N
A E
L F
DF DF DF
D
D A
=
=
=
Problema 4.4: Solución
Dos barras cilíndricas, una de acero () y la otra de latón (), están unidas en C. El extremo A de la barra compuesta así obtenida esta fijo, mientras que existe una separación de 0.12 mm entre el extremo E y el muro vertical. Se aplica entonces en B una fuerza de 60 kN y otra de 40 kN en D, ambas horizontales y de izquierda a derecha. Determine: (a) las reacciones en A y E, (b) la deflexión del punto C.
Problema 4.5:
Solución.
Tramo AB: Tramo BC: Tramo CD: Tramo DE:
6 0 4 0 0
D E A
F + + − R =
En la ecuación (2):
Reemplazando datos:
Solución.
Reemplazando en (1):
(b) la deflexión del punto C.
Problema 4.6:
Una barra que consta de dos partes cilíndricas AB y BC está restringida en
ambos extremos. La parte AB es el latón y la parte BC es de acero. Sabiendo
que no hay esfuerzos iniciales, determine: (a) los esfuerzos normales
inducidos en AB y BC por un aumento de , (b) la deflexión correspondiente
del punto B.
Solución:
Datos:
(a) los esfuerzos normales inducidos en AB y BC por un aumento de
Reemplazando (*), (**) en (1):
Solución:
(b) la deflexión correspondiente del punto B.
De (*), Reemplazando los valores:
Problema 4.7:
Dos alambres de acero y un alambre de cobre (coeficiente de dilatación lineal: ACERO: 0.000012 , COBRE: 0.000017 ) soportan una barra rígida de 6000N, tal como se muestra en la figura. Suponiendo que todos los alambres son de la misma longitud y que cada uno tiene un área de .Determinar:
a) El esfuerzo inicial en cada alambre cuando se acaba de construir el sistema
b) El esfuerzo en cada alambre después de que la temperatura se ha
b) El esfuerzo en cada alambre después de que la temperatura se ha
incrementado en 150 °C
Problema 4.7:
Problema 4.7:
SOLUCION:
DATOS:
a. Analizando antes de elevar la temperatura SAH +
…(1)
Problema 4.7:
a.1 Analizando las deformaciones de los cables
……(2)
Para el acero:
Para el cobre:
Observando la figura P2 notamos que:
Problema 4.7:
De (3) y (4) en (5)
Tenemos Tenemos
De (6) en (1) De(7 )en (6)
Problema 4.7:
Piden esfuerzo:
Analizando después de elevar la temperatura
σac 200MPa σcu 100MPa
Analizando después de elevar la temperatura
b.1 Deformaciones por temperatura:
SAH +
Problema 4.7:
b.2 Deformaciones por esfuerzo: ……(2)
De (13) y (5):
(9), (10), (11) y(12) en (14)
Problema 4.7:
De (15) en (8)
De (16) en (8) De (16) en (8) Piden esfuerzo:
σac 230MPa σcu 40MPa
