Programa Analítico Vicerrectoría de Educación Superior

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Vicerrectoría de Educación Superior

División de Arquitectura, Diseño e Ingeniería Departamento de Física y Matemáticas

Periodo : Primavera 2010

Nombre del curso: MATEMÁTICAS DISCRETAS Clave: FM1330 Seriación: FM 1140 Línea Curricular: Matemáticas

HTS: 3 HPS: 0 THS: 3 Créditos: 6

HTS: HORAS TEÓRICAS SEMANALES HPS: HORAS PRÁCTICAS SEMANALES THS: TOTAL DE HORAS POR SEMANA

Idioma(s) en que se imparte el curso: ESPAÑOL Tipo(s) de Curso: Presencial

Objetivo y/o competencias generales del curso :

Conocer, evaluar y programar los conceptos de matemáticas que con más frecuencia se utilizan en las Ciencias Computacionales.

Competencias a desarrollar:

-Evaluará las funciones matemáticas enteras que tienen aplicación en las Ciencias Computacionales.

-Identificará técnicas de la lógica que dan solución a problemas que se solucionan mediante el uso de la computadora y aprenderá las diferentes formas de razonamiento y demostración matemática para poder comprobar que los algoritmos de computación cumplen con su objetivo.

-Conocerá, identificará y aplicará las diferentes relaciones de recurrencia comunes al análisis de algoritmos.

-Identificará y conocerá lo que es un grafo, así como los diferentes problemas que resuelven al ser evaluados mediante el uso de la computadora.

-Conocerá e identificará el concepto de árbol y sus diferentes evaluaciones que dan solución a problemas relacionados con las Ciencias Computacionales.

Descripción de contenidos y calendarización:

TIEMPO OBJETIVOS ESPECIFICOS TEMAS Y SUBTEMAS ACTIVIDADES

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Semana 1:

del 11 al 17 de Enero.

 Comprenderá el concepto y aplicaciones de las

matemáticas discretas

 Adquirirá la terminología básica de Teoría de Grafos

 Adquirirá la terminología básica de subgrafos complementos e isomorfismos.

 Examinar los conceptos adquiridos.

Introducción: ¿Qué estudian las matemáticas discretas?

 Definición de matemáticas discretas.

 Teoría de Grafos.

Definiciones y ejemplos.

Subgrafos, complementos e isomorfismos de grafos.

 Presentación del Curso.

 Encuadre del Curso.

 Aplicaciones de las matemáticas discretas

 Solución de ejercicios en clase

TAREA LIBRO DE TEXTO Ejercicios 11.1 # 3, 5, 7.

Ejercicios 11.2 # 1, 3, 5, 11, 15, 19.

Ejercicios 11.3 # 1, 3, 5, 7, 19, 21, 27, 31

 Lectura previa en libro de texto: “Prefacio pág. V-VIII”

Semana 2:

del 18 al 24 de Enero.

 Podrá determinar el grado de un vértice y realizar

recorridos sobre grafos.

 Entenderá y podrá aplicar en la solución a problemas matemáticos el concepto de circuitos de Euler

 Resolverá problemas mediante el uso de grafos.

 Definiciones de: Grado de un vértice, recorridos y circuitos Eulerianos

 Aplicaciones de recorridos y circuitos Eulerianos

 Definición de Multigrafos

 Aplicaciones de Multigrafos

 Grados de entrada y salida de un vértice.

 Examen frecuente de lectura previa.

 Ejemplo: “Los siete puentes de Konigsberg”

 Examen frecuente de aplicación

TAREA

 Ejercicios 11.3 # 1, 3, 5, 7, 19, 21, 27, 31

 Resumen conceptual

 Lectura previa en libro de texto: Sección 11.4

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Semana 3:

del 25 al 31 de Enero

 Resolverá la estructura de un grafo plano y resolverá problemas mediante el uso de éstos

 Comprenderá el problema que resuelve un camino Hamiltoniano

 Comprenderá el concepto de ciclo Hamiltoniano.

Grafos planos:

- Definiciones y conceptos - Aplicaciones y ejercicios - Grafos bipartitos

- Aplicaciones y ejercicios de grafos bipartitos Caminos y ciclos Hamiltonianos.

- Definiciones y conceptos - Aplicaciones y ejercicios

 Ejemplos de aplicaciones de grafos planos

 Representación

computacional de un grafo plano usando la estructura de datos adecuada

 Examen frecuente de aplicación.

TAREA

 Ejercicios 11.4 # 3, 5, 7, 17, 19, 25, 27

 Ejercicios 11.5 # 1, 3, 5, 7, 27.

Semana 4:

del 1 al 7 de Febrero.

 Comprenderá la coloración de grafos y sus aplicaciones

 Definirá el concepto de polinomio cromático.

 Examinar los conceptos adquiridos

Coloración de grafos - Definiciones y conceptos

- Aplicaciones Polinomios cromáticos.

- Definiciones y teoremas - Determinación del polinomio cromático de un grafo

- Obtención del número cromático de un grafo

 Resolver mediante el uso de grafos problemas de

aplicación

 Determinación del polinomio cromático de grafos y de número cromático de ejemplos en clase

(Lunes 1 de Febrero es asueto)

TAREA

 Ejercicios 11.6 #1, 3, 7, 9 11, 17

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Semana 5:

del 8 al 14 de Febrero

 Comprenderá el concepto de árbol como estructura matemática y analizará su implementación

computacional

 Aplicará los conceptos adquiridos para la resolución de problemas

Árboles

- Definiciones y conceptos - Aplicaciones

- Representación computacional.

- Solución de problemas mediante el uso de árboles

 Ejemplos de aplicaciones de árboles

 Solución de ejercicios en clase.

EXAMEN PARCIAL 1 (viernes 12)

TAREA

 Sección12.1: 1, 3, 5

Semana 6:

 Comprenderá el concepto de árbol como estructura matemática y analizará su implementación

computacional

 Comprenderá el concepto de

“arbol con raíz”.

Arboles con raíz

- Árboles ordenados con raíz

- Recorridos en orden previo y posterior - Árbol binario - Recorrido en orden simétrico

 Resolución de problemas mediante árboles con raíz

 Ejercicios de recorridos de árboles binarios.

 Examen frecuente de aplicación

TAREA

 Sección 12.2: 1, 2, 3, 4, 5

 Lectura previa en libro de texto: “Búsqueda en

profundidad”

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Semana 7:

 Podrá implementar el Algoritmo de búsqueda en profundidad en algún lenguaje de programación.

 Podrá implementar el Algoritmo de búsqueda en anchura en algún lenguaje de programación

 Utilizará árboles para implementar algoritmos de búsqueda eficientes.

Búsqueda en Profundidad - Definición

- Algoritmo - Implementación

Búsqueda en Anchura - Definición

- Algoritmo - Implementación Arboles y ordenamientos

 Resolución de ejercicios asignados por el profesor

TAREA

 Sección 12.2: 5, 7,10, 17 y 19

 Sección 12.3: 2

Semana 8:

del 1 al 7 de Marzo.

 Adquirirá los conceptos de árboles ponderados

 Implementará soluciones computacionales mediante el uso de árboles ponderados

Árboles ponderados

- conceptos y definiciones - Aplicaciones

- Definición de código prefijo y aplicaciones

 Resolución de ejercicios

 Algoritmo para el uso de un código prefijo

TAREA

 Sección 12.4: 1, 3, 5 y 6

Semana 9:

del 8 al 14 de Marzo.

 Adquirirá los conceptos de componentes Biconexas y puntos de articulación

 Resolverá problemas que involucren el uso de grafos con componentes biconexas y puntos de articulación.

 Entenderá los conceptos de relaciones de recurrencia.

Componentes Biconexas y puntos de articulación.

Relaciones de recurrencia - Definiciones y conceptos

 Resolución de ejercicios

 Implementación de grafos con componentes biconexas y puntos de articulación.

TAREA

 Sección 12.5, 1, 3, 5 y 7

 Lectura previa en libro de texto: Sección 10.1

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Semana 10:

Del 15 al 21 de Marzo.

 Resolverá ecuaciones lineales de primer orden.

 Aplicará las relaciones de recurrencia lineal de primer orden en la solución de problemas.

Relaciones de Recurrencia de primer orden

- Progresiones geométricas.

- definición de relación de recurrencia

- Condiciones de frontera

 Resolución de problemas utilizando relaciones de recurrencia de primer orden.

 Examen frecuente de aplicación.

(Lunes 15 de Marzo es asueto)

TAREA

 Sección 10.1: 1, 2, 3, 5, 7 y 9

Primera presentación de reporte parcial del proyecto en equipo

Semana 11: del 22 al 28 de Marzo.

 Comprender las Relaciones de recurrencia Homogénea

 Identificar y solucionar problemas que involucren el uso de relaciones de recurrencia de segundo orden

 Identificar y solucionar problemas que involucren el uso de relaciones de recurrencia de segundo orden.

 Entenderá este método para obtener las soluciones de las ecuaciones homogéneas y particulares

Relaciones de recurrencia de segundo orden

-Concepto de Relación de recurrencia homogénea - Definiciones y conceptos -Solución de relaciones de recurrencia homogénea de segundo orden con

coeficientes constantes a) Con raíces reales distintas

b) Con raíces complejas

 Solución de ecuaciones de recurrencia de segundo orden.

 Solución de problemas mediante ecuaciones de recurrencia

 Serie de Fibonacci

 Examen frecuente de aplicación.

TAREA

 Sección 10.2: 1, 3, 4, 6 y 7

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Semana 12: del 29 de Marzo al 4 de Abril.

SEMANA SANTA (RECESO ACADÉMICO)

Semana 13: del 5 al 11 de Abril.

 Identificar y solucionar problemas que involucren el uso de relaciones de recurrencia de segundo orden (continuación)

 Adquirirá los conceptos de Relaciones de recurrencia no Homogéneas.

 Aplicará las relaciones de recurrencia no homogéneas en la solución de problemas

Relaciones de recurrencia homogéneas de segundo orden

- caso c) raíces reales iguales

Relaciones de recurrencia NO homogéneas de segundo orden

-Concepto de Relación de recurrencia NO

homogénea

- Definiciones y conceptos

- Solución de relaciones de recurrencia No

homogénea

 Solución de ecuaciones de recurrencia No homogéneas de segundo orden.

 Solución de problemas mediante ecuaciones de recurrencia

TAREA

 Sección 10.2: 13, 15 y 17

 Sección 10.3: 1, 3, 4 y 7

 Lectura previa en libro de texto: Sección: 10.4 Semana

14: del 12 al 18 de Abril.

 Aplicará el método de funciones generatrices en la obtención de las soluciones de las relaciones de recurrencia lineales no homogéneas.

El método de Funciones Generatrices

- Solución de problemas mediante el método de las funciones generatrices

 Solución de ecuaciones de recurrencia No homogéneas mediante funciones

generatrices

 Solución de problemas mediante ecuaciones de recurrencia mediante funciones generatrices

TAREA

 Sección 10.4: 1, 3

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Semana 15: del 19 al 25 de Abril.

 Comprender los conceptos sobre: El principio de inclusión y exclusión y Generalizaciones

 Aplicar el principio de inclusión y exclusión y Generalizaciones en la resolución de problemas.

 Aplicar el principio de inclusión y exclusión y para realizar demostraciones

El principio de Inclusión y Exclusión

- Teorema del Principio de inclusión y exclusión - Solución de problemas - Demostraciones

Generalización del principio de Inclusión y Exclusión

 Solución de problemas mediante el uso del principio de inclusión y exclusión

 Generalización del principio de inclusión y exclusión

TAREA

 Sección 8.1: 1, 3, 5 y 7

 Sección 8.2: 1, 3, 7

Segunda presentación de reporte parcial del proyecto en equipo

Semana 16: del 26 de Abril al 2 de Mayo.

 Comprenderá el principio de Inducción Matemática.

 Comprenderá el concepto de sucesión

 Aplicará el principio de la inducción matemática en la demostración de fórmulas matemáticas de sucesiones.

 Definirá la forma recursiva de las sucesiones

El principio del buen orden:

Inducción Matemática.

-Propiedades de los números enteros

-Axioma de la inducción matemática

- Sucesiones

-Progresión aritmética -Progresión geométrica -Definiciones

recursivas - Demostración mediante inducción matemática

 Definición recursiva y explícita de una sucesión

 Ejercicios de

demostraciones de teoremas mediante inducción

matemática

TAREA

 Sección 4.1: 1, 3, 4 y 5

 Lectura previa asignada por el profesor

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Semana 17: del 3 al 09 de Mayo.

 Definirá la forma recursiva de las sucesiones

(continuación)

 Comprender el método de demostración con

contraposición.

 Aplicar la demostración contrapositiva

- Sucesiones en su forma recursiva

Demostración por contraposición

- Definición y conceptos del método de demostración por contraposición

- Demostración de teoremas mediante el método de contraposición

 Ejercicios resueltos en clase propuestos por el profesor

TAREA

 Ejercicios propuestos por el profesor

 Lectura previa asignada por el profesor

Semana 18: del 10 al 16 de Mayo.

 Aplicará la demostración con reducción al absurdo.

 Aplicará la demostración con reducción al absurdo y demostración con contraejemplo

Demostración con Reducción al absurdo.

- Ejercicios propuestos por el profesor.

Demostración con Contraejemplo.

- Ejercicios propuestos por el profesor

 Demostraciones por reducción al absurdo

 Demostraciones mediante contraejemplo

 Ejercicios propuestos por el profesor.

Entrega del reporte final del proyecto en equipo

Cierre del curso

Método Pedagógico empleado :

Se revisan los contenidos temáticos seleccionando métodos y técnicas que involucran a todos los estudiantes, apoyados por los recursos disponibles, orientando las discusiones hacia la aplicación de los conceptos y técnicas aprendidos a situaciones reales. La actividad en el aula esta fuertemente apoyada por el uso de equipo de cómputo, lenguajes de programación y calculadoras científicas. El contenido es presentado por el instructor. Los estudiantes deasrrollan un proyecto durante el curso y hacen presentaciones de los avances parciales y una presentación final . Se realizan actividades orientadas a un aprendizaje más significativo del contenido temático tanto de manera individual como en grupos. Se dejan tareas a resolver de manera individual o en equipo y reportes de revisión de bibliografía a fin de que los estudiantes obtengan una mejor compresión de los temas comprendidos en el curso de matemáticas discretas y sus aplicaciones en situaciones reales. Se aplican tres evaluaciones parciales, señalados en el calendario escolar. En todos éstos, se hará una retroalimentación pertinente como parte de la evaluación formativa. La definición de lo que se entenderá por cada uno de estos aspectos se describe más adelante . A lo largo del curso, los estudiantes realizan un proyecto de trabajo de campo en el cual tienen que aplicar las técnicas matemáticas vistas en clase y al final deben entregar un reporte escrito de acuerdo a un formato previamente establecido. Detalles de cómo se

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un examen integrador. Este examen involucra todos los contenidos vistos en el curso. Para lograr el desarrollo de habilidades de lectoescritura y un mayor entendimiento de los conceptos claves de la matemática discreta, la realización de exámenes frecuentes de comprensión de lectura es otra de las actividades en este curso.

Estos exámenes versan sobre el contenido a cubrir la semana con la que se inicia el examen.

Para integrar lo aprendido en una unidad temática se realizan laboratorios de preguntas, ejercicios que se resuelven en clase y asesorías y tareas en papel que los alumnos desarrollan solos en su casa.

Recursos Didácticos

Computadora, Software Java, Flash, calculadoras científicas, Internet, Plataforma WEBCT

Fechas de exámenes:

Primer parcial: Viernes 12 de Febrero Segundo Parcial: Viernes 19 de Marzo Tercer Parcial: Viernes 23 de Abril

Final: Miércoles 19 de Mayo, 14:30 hrs, salón de clase.

NOTA: Es importante asistir puntualmente al examen para contar con tiempo suficiente para resolverlo. En el caso de que llegues tarde al examen, podrás presentarlo pero toma en cuenta que el tiempo que tendrás para resolverlo será menor al estipulado para el mismo.

Políticas del curso Tarea.

Es una actividad fuera del aula que involucra la realización de problemas del texto asignados, o de actividades previamente elaboradas por el maestro, o la elaboración de un reporte escrito de una investigación bibliográfica. La entrega de la tarea es de una sesión a otra si son del libro de texto, de una semana si son reportes escritos.

El formato de la tarea es: los datos en computadora en un recuadro en la parte superior derecha de la primera hoja (nombre completo del alumno, matrícula, carrera, el número de la tarea y la fecha), la redacción de los problemas con sus incisos correspondientes, las respuestas o proceso de solución después de cada pregunta o inciso del problema y las hojas debidamente grapadas.

La tarea de un reporte será entregada con portada y con el contenido del reporte en computadora y además grapada. En todos los casos debe usarse una hoja tamaño carta.

Proyecto en Equipo.

Es una actividad en la que los alumnos desarrollarán un proyecto durante el semestre en el que aplican los conocimientos adquiridos en el aula. Los equipos estarán integrados por un máximo de 4 personas. Se realizarán dos presentaciones y reportes parciales durante el semestre y una presentación final con entrega del proyecto terminado, todas las fechas están señaladas en el programa.

Criterios de evaluación del Proyecto en Equipo.

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El Proyecto en equipo tendrá un valor del 10% del promedio final de la materia y se determinará de la siguiente manera: 1% del primer avance, 1% del segundo avance, 3% de la coevaluación y 5% del reporte final, los porcentajes están sobre el promedio final de la materia. En los avances parciales y en la entrega final se deberá entregar un reporte por escrito y hacer una presentación frente al grupo de su proyecto. El profesor evaluará las presentaciones parciales y el reporte final. Los integrantes de cada equipo evaluarán el desempeño de sus compañeros de manera anónima y al final se integrará la calificación final obtenida en el proyecto por cada alumno.

Asistencia.

Según el reglamento de evaluación del estudiante los retardos son considerados como falta se tomará lista al inicio de la clase, así que llegue puntual, tiene el derecho de faltar durante el semestre el equivalente al doble de las frecuencias de su clase. Si tiene que asistir a un evento de tipo formativo de la UDEM la clase será negociada según lo marca el reglamento y CON ANTERIORIDAD, de lo contrario procede la falta.

Asesoría del maestro.

Además de asistir a la clase el estudiante tiene derecho a solicitar asesoría a su maestro extra-clase. Para este curso el maestro debe negociar al menos una hora en la que debe presentar dicha asesoría y el horario lo dará a conocer durante la primera semana de clase y publicarlo en su cubículo.

Por acuerdo Departamental, queda sin validez la solicitud de otro examen en caso de no lograr el éxito esperado, así que hay que trabajar mucho para lograr la calidad del éxito a la primera. Recuerda que los exámenes frecuentes si te llegas a equivocar son para corregir cuando llegue el parcial pero si te equivocas en el parcial entonces hay que trabajar más arduamente.

Evaluación.

La evaluación de los cursos se hace de manera continua y considerando los siguientes elementos:

• Tareas

• Exámenes Frecuentes

• Exámenes de verificación de lectura previa

• Actividades Especiales

• Exámenes Parciales

• Examen Final

• Trabajo final.

Nivel del Objetivo Actividad

Conocimiento y Comprensión

Habilidades y Destrezas

Aplicación e Interpretación Exámenes Frecuentes 100%

Tareas en Ingeniat 25% 75%

Laboratorios 20% 80%

Actividades dentro de clase

30% 20% 50%

Actividades fuera de clase

20% 30% 50%

Proyecto final 30% 70%

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Examen parcial 20% 35% 45%

Examen final 20% 35% 45%

Políticas de Evaluación del curso:

NOTA: Deberán estar alineadas a las Políticas y Reglamentos de Evaluación de alumno de acuerdo al nivel correspondiente, Profesional o Posgrado

Calificación Parcial Calificación Final Profesor Investigaciones

y/o tareas

Prácticas y exámenes rápidos

Examen Parcial

Total (100%)

3 Parciales

Trabajo Final

Examen Final

Total (100%)

Lic. Jesús Liahut Atzin. ²⁰ ¹⁵

a

5^b 60 100 60 10 30 100

a.- Examen frecuente de aplicación.

b.- Examen frecuente de verificación de lectura

Datos Generales del(de los) Profesor(es):

Nombre Teléfono Ubicación Correo E Hrs. de Asesoría

Lic. Jesús Liahut Atzin.

1438 6304 [email protected]

x

Lunes y Miércoles de 14:30 a 16:00 hrs.

Bibliografía básica y complementaria : BASICA:

Grimaldi P. Ralph : DISCRETE and COMBINATORIAL MATHEMATICS an applied Introduction. Addison- Wesley, Pearson. Quinta Edición. USA 2004.

Complementaria :

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Graham, Knuth & Patashnik : Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. Addison Wesley. U.S.A. 1994.

Johnsonbaugh Richard : Matemáticas Discretas. Grupo Editorial Iberoamérica. México. 1988.

Rosen, K H. : Discrete Mayhematics and its Applications. McGraw-Hill. (5a ed.) New York. 2003

Scheinerman , Edward Matemáticas Discretas

México: 2001; Thomson Learning

Kolman, Bernard; Busby, Robert y Ross, Sharon

Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación México: 1997; Prentice Hall. Tercera Edición

Lipschutz Seymour, Lipson Marc Matemáticas discretas

McGraw Hill, Serie Schaum México: 2009, 3era. Edición

Veerarajan, T.

Matemáticas Discretas con teoría de gráficas y combinatoria McGraw Hill

México: 2008

Chacón, Dulce

En el país de las mates para novatos Madrid: 2000, Nivola.

Goosdman, A,. Y Hirsch, L. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, México: 200 Huit Michael: Matemáticas recreativas II, Moscu: 2002, Mir.

Martínez Garza, J. y Olvera Rodríguez, J. Organización y Arquitectura de Computadoras, México 2000 Prentice Hall.

Miller, CH. D.; Heeren , V. E: Hornsby, E. J. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. México: 2000, Pearson. 8ª Edición

Pereleman, Y.

Matemáticas Recreativas I, Moscu: 2002: Mir

Rodríguez A, J: G:, Caraballo R., A. L., Cruz M., T. Hernández R. O.

Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones, México: 2000, Thomson.

Sullivan, M. Algebra and Trigonometry, USA: 2002, Prentice Hall.

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Summers, G. J. Juegos de Ingenio II, Madrid: 2002, Ediciones Martínez Roca Vives, P Juegos de Ingenio I, Madrid: 2002, Ediciones Martínez Roca Swokowsky, E. W y Cole J. E: Trigonometría, México: 1996, Thomson.

Swokowsky, E. W y Cole J. E: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, México: 2002, Thomson.

Rosen, K. H.: Elementary Number Theory and Its Applications ; New York :2000, 4a Edición Addison-Wesley

Vanden-Eyden, C.: Elementary Number Theory; New York: 2001; 2a. Edición Mc- Graw Hill

Ayres, F.: Álgebra Moderna; México: 1991; Mc. Graw Hill

Burton, D.: Elementary Number Theory; New York: 2002; Mc Graw Hill.

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