PROBLEMARIO DE MATEMÁTICA FINANCIERA

(1)

PROBLEMARIO DE MATEMÁTICA

FINANCIERA

(2)

PRIMER LAPSO

01.- Interés Simple

a) Resumen de Fórmulas.

Interés o Beneficio

I Cin

I

M

C

Capital, Valor Actual o Valor Presente

I

C

in

;

1 M

C

in

Tasa de Interés al tanto por 1 (i%/100)

I

i

Cn

M C

i

Cn

Tiempo

n

I

Ci

M

C

n

Ci

Monto o Valor Futuro

M

C

I

M

C

1 in

1 I

in

M

in

Relación entre el Interés Exacto o Natural y el Interés Comercial

72 ₇₃

,

73

72

E E

I

_I

I

Beneficio o Monto final luego de depósitos y retiros.

M = ∑D

i

- ∑R

i

+ ∑I

i

I

T

=(∑R

i

)+S

F

- ∑D

i

Problemas Resueltos de Interés Simple

PROBLEMA 01.- Un comerciante al colocar un capital éste le produjo un beneficio de Bs 565,00. Hallar el monto, si fue colocado en las siguientes condiciones: a) En 3 años al 5% semestral., b) En 10 meses y 15 días al 1% semanal, c) En 285 días al 0,8% semanal y d) En mes y medio al 40% trimestral. (Interés Simple)

1 :

565;

:

1 I

I

in

Datos I

Fórmulas M

C

in y C

M

in

(3)

a)

3 ; %

5%

;

?

3 2

;

0,05

565 1

0,05 6

0,0

5 6

2.448,33

n

años i

semestral M

n

semestres i

semes

M

tral

M

b)

10

15 ; %

1%

;

?

0,01

10 30

15

315 ;

7 0,01 315

565 1

7 0,01 3

1.820

7 ,

5

56

1 n

meses y

días i

semanal M

n

días

días i

diario

M

c)

285 ; %

0,8%

;

?

0,008

285 ;

7 0,008 285

565 1

7 0,00

8 285

2.299, 5

7

6 n

días i

semanal M

n

días i

diario

M

d)

3.390 1,5

; %

40%

;

?

1,5

_0,5

_;

_{0, 4}

3 565 1

,00

0, 4 0,5

n

meses i

trimestral M

n

trimestres

trimestres i

trimestra

M

l

M

PROBLEMA 02.- Al principio de un mes cualquiera se colocan Bs 2.500,00, al comenzar el segundo mes se coloca el doble del capital anterior y así sucesivamente hasta empezar el quinto mes, en el cual se hizo la última colocación. Si la tasa de Interés Simple es del 6% semestral; ¿Qué dinero se retira al concluir el mes 10?

5 0, 06 _{0, 01} 6

: %

6 ;

2.500; 5.000; 10.000; 20.000; 40.000;

10;9;8;7;6

.

5 :

1

k k i i mensual mensual

Datos i

semestral C

n

meses

k

Fórmulas M

C

in

y M

M

k

_k

T

_k

(4)

Desarrollo

2.500 1

0, 01 10

5.000 1

0, 01 9

10.000 1

0, 01 8

20.000 1

0, 01 7

40.000 1

0, 01 6

2.750

5.450

10.8

00

21.400

42.400 82.800; 00

T T

M

PROBLEMA 03.- Una persona invierte un capital al 7% anual, y Bs. 250,00 más de lo que había invertido anteriormente al 9% anual. Si la ganancia a los 18 meses a Interés Simple fue de Bs 1.250,00. ¿Cuánto habría sido el capital invertido cada vez? y ¿Cuánto el interés producido por cada uno?

:

18 1,5

;

1.250; %

7%

;

%

9%

;

1

2 :

;

:

250 ;

1.250

1

2

1

2 Datos n

meses

años I

i

anual i

anual

Fórmula I

Cin Condiciones C

C

I

Desarrollo 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1

0, 07 1, 5

0,105 ;

1 0, 09 1, 5

0,135

2

2 :

0,105

0,135

0,105

0,135

1.250;

:

250;

0,105

I

C

I

C

ECUACIÓN

I

C

I

C

ECUACIÓN

Sumando la ecuación con l ecuación

resulta I

I

C

en donde sustituimos a C conociendo que C

C

₁ ₁ ₁ ₁ 1 1 1 1 2 1 2

0,135

250

1.250 0,105

0,135

33, 75

1.250 0,105

0,135

1250

33, 75

26, 25

1.216, 25

0, 240

1.216, 25

5.067, 71

250 5.317, 71

0, 24

0, 07 1, 5 5.067, 71

532,11

0, 09 1, 5 5.317, 71

717 C

C

I

e I

1

5.067, 71;

2

5.317, 71;

1

532,11;

2

717,

8

8 ,

9

9 C

C

I

PROBLEMA 04.- Un capital se coloca al 11% anual a Interés Simple durante 42 meses y al mismo día se coloca otro capital del mismo monto también a Interés Simple al 13% anual durante 60 meses. Si la diferencia de los beneficios entre las dos colocaciones fue de Bs 5.500,00; ¿cuál es el monto de ambos capitales?

:

42 3,5

;

%

11%

1

1 ;

60

5 ;

%

13%

;

?

2

1

2 :

;

:

5.500;

;

1.250

2

1

2

1

2 Datos n

meses

años i

anual n

meses

años i

anual C y C

Fórmula I

Cin Condiciones I

I

C

I

(5)

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0,11 3, 5 0, 385 0,13 5 0, 65 : 0, 65 0, 385 5.500 0, 265 5.500 20.754 72, I Ci n I C I C I Ci n I C I C

Sustituyendo en la primera condición C C C C

PROBLEMA 05.-Después de varias colocaciones durante 6 años a Interés Simple una persona retira Bs 9.422,00. Al inicio colocó una cantidad la cual no se acuerda, a los 3 años coloca Bs 4.000,00 y luego a los 4 años y medio Bs 1.600,00. Si las colocaciones se hicieron a un 9% anual;¿ cuánto fue el monto del capital inicial y cuánto fue el beneficio percibido por la persona?

: ; 0, 09; 9.422, 00

: 1

T

Datos En la linea del tiempo para el flujo de caja i M Fórmula M C in

Desarrollo

MT=9.206 A nAB= 3 años B nBC=1,5 años C nCD= 1,5 años D

CA=? CB=4.000 CC= 1.600 1 1 0, 09 6 1, 54 1 4.000 1 0, 09 3 5.080 1 1.600 1 0, 09 1, 5 1.816, 00 1, 54 5.080 1.816 9.206 1, 54 9.206 5.0 1.50 80 1.816 1, 54 2. 13 0 0 0, 0 A A AD A A A B B BD B C C CD C A B C T A A A A M C in C M C M C in M M C in M M C M M M C C C

PROBLEMA 06.- Una persona desea obtener Bs 8.008,00 en 20 meses. ¿Cuánto debe depositar en un banco que abona el12% anual de Interés Simple durante el primer año, y el 5% trimestral durante el resto de tiempo?

1 2

: ; 0,12 ; 0, 05 ; 8.000

:

T

Datos En la linea del tiempo para el flujo de caja i anual i trimestral M Fórmula M C I

Desarrollo

MA=7.930 iAB=0,01 mensual 0,0125 mensual

(6)

0, 01 12 0, 01 6.50 25 8 7.930 1, 22 7.930 0, 00 AC A AB BC A A A A A M C I I C C C C C

PROBLEMA 07.- Se tienen dos capitales los cuales suman Bs 8.200,00. El primero fue colocado a una tasa de Interés Simple del 6% semestral y el segundo también a Interés Simple a una tasa del 3,75% trimestral. ¿A cuánto monta cada capital si al cabo de 30 meses se retiran del banco Bs 11.012,50?

1 2

: 30 2,5 ; % 6% 0,12 ; 3,75% 0,15 ; 11.012,50 : 1 ; : 8.200;

T

Datos n meses años i semestral anual i trimestral anual M

Fórmula M C in Condición C C Desarrollo 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2

11.012,50

1

1 11.012,50

1 0,12

2,5

1 0,15 2,5

11.012,50

1,3

1,375

11.012,50 1

8.200,00 2

8.200,00

1 1,3 8.200,00

1,375

11.012,50

10.660 1,3

1,375

M

C

i n

C

i n

C

C sustituyendo en

C

2 1 2 1 2

4.700,

11.012,50

0,

075 C

352 ,5

C

00;

luego C

8.200

4.7

0

0 C

3.5 0 0

0 0

,

PROBLEMA 08. -Una persona ahorrativa abre una Cuenta de Ahorro efectuando 4 depósitos bimestrales: a) Al inicio Bs 3.000,00, b) Luego Bs 4.000,00, c) Siguiendo con Bs 5.000,00 más el 40% de los interese simples devengados a la fecha y d) Por último Bs. 8.000,00. Estos depósitos fueron efectuados para retirar el dinero en un año, con sus respectivos beneficios. Si las tasas de Interés Simple varían trimestralmente de la manera siguiente: 12%, 15%, 18% y 21% respectivamente y todas anuales; ¿cuánto retirará la persona al finalizar el año?

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 2 : ; ; 6 3 2 3 3.000,00; 4.000,00; 5.000,00 40% int . . ; 8.000,00 0,12 ; 0,15 ; 0,18 0, 21 : ;

Datos n años n años n años y n años

C C C delos dev a la fecha C

i anual i anual i anual y i anual

Fórmulas M C I I Cin

(7)

* 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 3.000 0,12 3.000 0,15 3.000 0,18 3.000 0, 21 495, 00 4 4 4 1 1 1 4.000 0,12 4.000 0,15 4.000 0,18 4.000 0, 21 580;00 12 4 4 4 I I I I I I I I I I

Intereses devengados a los meses de haberse re

** 1 3 3 ₂ ₃ 3 4 4 5 4 3 4 4 5 : 1 1 1 1 3.000 0,12 3.000 0,15 4.000 0,12 4.000 0,15 217,50 4 12 12 12 1 1 1 5.217,50 0,15 5.217,50 0,18 5.217,50 0, 21 639,14 6 4 4 1 1 8.000 0,18 8.000 0 4 4 A

alizado el primer depósito I I I I I I I I , 21 780,00 ; 3.000,00 4.000,00 5.217,50 8.000,00 20.217,50 T T T T M C I C 495,00 580,00 639,14 780 2.494,14 _T 22.711,64 T I M

PROBLEMA 09.- Un comerciante obtuvo un beneficio exacto o natural de Bs 506,94, a Interés Simple. El quisiera saber ¿qué capital?, le produciría el equivalente beneficio o interés comercial en las condiciones siguientes: a) Al 11% anual en 21 meses, b) Al 0,39 % mensual en 3 años, c) Al 0,18 % semanal en 19 meses y d) Al 9% anual desde el 06-04-04 al 21-03-06. 1 1

:

_E

506,94;

:

72 73

_E

Datos I

Fórmulas C

I in

e I

I

Desarrollo 1

72 73

506,94

499,9956

500,00

I

a) 1

7 _;

_0,11

_;

_?

4 0,11 7

500

4 2.597, 40

n

años i

anual C

C

b) 1

0,0013

3 ;

;

?

3.561,

4 500 0,0039 12 3

25 n

años i

anual C

C

c) 1

0,0018

19

570 ;

0,0018

;

?

7

0

3.4 ,0018 570

5

00 11,31

7 n

meses

días i

semanal

diarios C

(8)

d) 1 2

0,01

6 / 4 / 2010

21 / 3 / 2012;

0,09

;

?

40 6 / 4 / 10

6 / 4 / 11

1

360 ;

;

334 n

Desde

hasta el

i

anual

diarios C

Del

al

año

n

días Año Comercial

Se emplea laTabla de entre fechas para lapsos menores a un año

Mes Inicial

Abril Mes Final

Marzo

n

Día M

3 1

2.82 6;

21

21 tan

,

15

360

334

15

709 0,01 709

500

40 0,87

es Inicial

Día Mes Final

Como falta para llegar al

se res

y setoman positivo

es decir n

días

n

día

C

s

PROBLEMA 10.- Se dan en crédito dos capitales a tasas de intereses simples distintas. La suma de esos capitales es de Bs 18.000,00y la suma de las tasas es de 22% anual, el primer capital produce un beneficio de Bs 2040,00 y el segundo capital Bs 1900,00 ambos en 2 años. Determinar el monto de los dos capitales y las tasas de interés que se le aplicaron. 1 2 1 2 1 2 : 2.040; 1.900; 2 : ; : 18.000; 0, 22 Datos I I n años I I Fórmula i y C Condición C C i i Cn in Desarrollo 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2

2.040

1.900 ;

;

2

18.000

1.020

950 0, 22

1.020

950 0, 22

950 1020

0, 22

950

1.020 I

I

i

C n

C

C C

C

2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

1.020

510

18.000 0, 22

950 0,11

475 0,11

475

510 0,11

475

1.980

8.550.000 0,11

1.945

8.550.000

0

1.945

1.945 4 0,11 8.550.000

18.000

9.500 2 0,11

9.500,00

C

1 2 2 2 1 2

8.500,00;

0,12

%

1.020

950 ;

8.500 i

i

12%

9.

500 i

0,10

i

%

10%

i

ó

i

ó

(9)

colocado 8 meses más que el segundo produciendo ambos el mismo interés o beneficio de Bs 500,00. ¿Cuánto será el monto de cada capital y su tiempo de colocación?

1 2 1 2 1 2

:

0,15

0,0125

;

:

,

;

:

10.000;

8 ;

500 I

Datos i

anual

mensual

Fórmula I

Cin y C

in

Condiciónes C

C

n

meses I

I

Desarrollo 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0,15 0,0125 0,10 500; 0,0125 0,0125 500; 10.000 12 3 500 0,0125 10.000 500 125 0,0125 500 125 1 1 0,0125 n I C n C C I n C n C como C C n C n C n sustituyendo en C 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ₁

2 0,15

0,0125

0,10

500;

0,0125

500;

12

3

10.000 0,0125

10.000

500

125 0,0125

500 0,0125 500

500 _0,10

125 0,0125

₁₂₅

_0,012

1

5

1 n

I

C

n C

C

I

n C

como C

C

n

C

n

C

n

sustituyendo en

C

_C

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1

500 6, 25

0,10

125 0,0125

500 125

0,0125

6, 25

12,5

0,00125

62.500 6, 25

25

25 4 0,00125 62.500

0,00125

25

62.500

0 17.071,07 ; 2.928,93 ,

2 0,00125

10.00 0;

2.92

i

C

por ser C

C

se toma

C

_, ₂

2 1 2 2 1

;

:

500

125 0,0125

125 0,012

8,93

7.071,07

5,656

5 2.928,93

852

5

20

13

20 C

n

m

por l

eses

meses y

días

n

meses y

día

o

e

n

C

s

qu

PROBLEMA 12.- Un capital de Bs 1.000,00 y otro de Bs 2.000,00, producen entre ambos anualmente Bs 400,00. ¿A qué tasa de Interés Simple están colocados cada uno de esos

capitales, si las tasas de interés guardan una relación de 4 a 5? Y ¿Cuál será el beneficio que produce ambos capitales?

1 2 1 1 2 1 2 2 : 1.000; 2.000; 1 ; : ; 4 : 400; 5 4 5

Datos C C n año Fórmula I Cin

i

Condiciónes I I i i

i

(10)

2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1

4

4 400;

:

400,

5

4.000 2000

400

800 2000

400

28

4

5

1

4

7

5

4

1.000 ;

2.

1 _0,1429

_%

_{14, 29}

00 %

7

4 _0,1143

_%

_11.43%

35

114

35 , 2

9

0 i

C i

como podemos hacer i

C i

sustituy

i

endo

i

I

i

I

1

₂

285,

7

7 I

1

PROBLEMA 13.- Una persona tal día como hoy coloca un capital al 12% anual a Interés Simple, al pasar 4 meses desea colocar el 40% del monto producido por la primera colocación. Manteniendo la misma tasa de interés simple, ¿cuál sería el capital colocado si al finalizar el año retira del banco un monto de Bs 1.569,28?

1

: ; 0,12 ; 1 12 ; 1.569, 28

: 1

1

T

Datos En la linea del tiempo para el flujo de caja i anual n año meses M M

Fórmula M C in y C

in

Desarrollo

MT= 1569,28 A

n

AB=4 meses B

n

BC=8 meses C CA=? CB=40%MAB 1.569, 28 ; 1 0, 01 4 1, 04 0, 40 1, 04 0, 416 ; : 1 0, 01 12 1 0, 01 8 1.569, 2 1.000 8 1,12 0, 416 1, 08 1.569, 28 1, 56928 , 0 1.56 0 1 8 1 9, 2 AC BC AB A A B A A A B A A A A M M M C C C C C desarrollando C C C C C C

PROBLEMA 14.- Tal día como hoy una persona está planificando reunir para dentro de 2 años y medio un dinero para completar la cuota inicial para la compra de un vehículo.

Hace 6 meses ya había colocado Bs 500,00 en una entidad bancaria al 15% anual a Interés Simple, hoy se dispone a depositar en la misma entidad bancaria Bs 1.200,00 y para dentro de 8 meses tiene previsto depositar Bs 4.000,00 más un 60% del interés que

haya producido las colocaciones anteriores a la fecha. Si 6 meses antes de finalizar los dos y medio la tasa de interés aumenta en un 3% anual; ¿cuánto será el monto que retirará la persona al finalizar el segundo año contado desde hoy para darlo en pago de

la cuota inicial de su vehículo?

1 1 : ; 0, 0125 ; 0, 01 ; : ; AD DE n n k K k K

(11)

Desarrollo

i

AD=0,0125

i

AD=0,015 A nAB=6 meses B nBC=8 meses C nCD=10 meses D nDE E CA=500 CB=1.200 CC=4.000+60%IC 1 1 2 1 2 1 2

500 0, 0125 14

87,50;

1.200 0, 0125 8

120, 00;

207, 5;

4.000, 00

0, 6 207,5

4.124,50;

500 0, 0125 24

500 0, 015 6

195, 00

AC BC AC BC C A AD A DE AD A DE A B AD B DE AD B DE B

I

luego I

I

por lo que

C

I

C i n

I

C i n

2 3 1 2 2 3 1 1

1.200 0, 0125 18

1.200 0, 015 6

378, 00

4.124,5 0, 0125 10

4.124,5 0, 015 6

886, 77

500, 00

1.200, 00

4124,50

195, 00

378, 00

1. 531,5

5 7.284, 2

7

C AD C DE AD C DE C T k K k k T

I

C i n

I

M

C

I

M

PR

OBLEMA 15.- Con lo que produce un capital en 5 años colocado al 15% anual a Interés Simple, se compraron Bonos de la Deuda Pública que producen beneficios a un 12% anual, gravado con el 45% de impuesto, obteniendo de este modo Bs 1.000,00 de utilidad

cada año. Calcular el capital colocado al 15% anual.

:

5 ;

1.000;

_Capital

0,15

;

_Bono

0,12

;

:

Datos n

años Utilidad

i

anual i

anual Fórmula I

Cin

Desarrollo

:

0,15 5

0,75 ;

0,12 0,75

0,09 ;

:

0,09

0, 45 0,09

1.000 0,0495

1.000 20.202,02

C

Interés del Capital I

C

Interés del Bono

C

C luego de

acuerdo a las condiciones del problema setien

C

e que

C

02.- Descuento y Vencimiento Simple

(12)

(13)

Valor nominal de la deuda consolidada en Descuento Racional

1

2

1

2

1 ₁

1 ₂

1 ₁

1 ₂

1

1 ...

1

2

1

2

2 ...

G

N

ik

in

G

ik

G

ik

N

in

N

in

Vencimiento

Común

Descuento Comercial

(

)

N

A

n

Nd

Descuento Racional

(

)

(

)

N

A

n

Ai

Vencimiento Medio

G k

1 1

G k

2 2

N n

1 1

N n

2 2 Cálculo del Valor Actual para Varios compromiso s nominales 1

1

1 2

1

2

A

N

dn

N

dn

Problemas Resueltos de Descuento y

Vencimiento Simple

PROBLEMA 01.- Teniendo una letra cuyo Valor Nominal es de Bs. 5.000,00, se quiere saber; ¿cuál es su Descuento Comercial y su Descuento Racional en las condiciones siguientes: a) En 15 meses al 125 anual, b) En 210 días al 5% semestral y c) En 8 semanas al 4% trimestral?

1

:

5.000,00;

:

R

1 Datos N

Fórmulas D

Ndn y D

Nin

in

Desarrollo a) 1

15 1, 25

;

0,12

;

:

5000 0,12 1, 25

750,00

:

_R

5.000,00 0,12 0,125 1

0,12 1, 25

_R

652,17

n

meses

años i

d

anual

Descuento Comercial D

D

(14)

b)

1

210 ;

0,05

0,000278

:

5000 0,000278 210

291,90

:

_R

5.000,00 0,000278 210 1

0,0002

78 210

_R

275,

80 n

días i

d

semestral

diario

Descuento Comercial D

D

Descuento R

acional

D

c) 1

8

56 ;

0,000444

:

5000 0,000444 56

124,32

:

_R

5.000,00 0,000444 56 1

0,00044

4 56

_R

121,3

0 n

semanas

días i

d

diario

Descuento Comercial D

D

Descuento Racional D

D

PROBLEMA 02.- En Descuento Comercial y Descuento Racional, ¿cuál será el Valor Actual de una letra de Bs. 2.000,00 descontada bajo las condiciones siguientes: a) En 6 meses al 10% anual, b) En 60 días al 5% cuatrimestral y c) En 30 semanas al 0,75% mensual? 1

:

2.000,00;

:

1

1 ;

?

_R

?

Datos N

Fórmulas A

N

dn y A

N

in

D

y D

Desarrollo a) 1

6 0,5

;

0,1

;

:

2.000,00 1

0,1 0,

5 1.900,00

:

R

2.000,00 1

0,1 10,5

R

1.904,76

n

meses

años i

d

anual

Descuento Comercial D

Descuento Racional

D

A

D

b) 1

60 ;

0,05

0,000417

:

2.000,00 1

0,

1.949,96

1.951 000417 60

:

_R

2.000,00 1

0 ,000417 60

_R

,1

8 n

días i

d

cuatrimestral

diario

Descuento Comercial D

Descuento Racional

D

A

D

c) 1

30

210 ;

0,0075

0,00025

:

2.000,00 1

0,00025 210

:

1.895,00

2.000,00 1

0,00025 2

10 1.900, 24

R R

n

semanas

días i

d

mensual

diario

Descuento Comercial D

Descuento Racion

l

D

A

a

PROBLEMA 03.- En Descuento Comercial y Descuento Racional, hallar el Valor Nominal de una letra de cambio cuyo Valor Actual es de Bs. 2.500,00 descontada a las tasas de Interés Simple y lapsos de tiempos siguientes: a) En 4 meses al 8% anual, b) En 120 días al 2,5% bimestral y c) En 20 semanas al 2/3% mensual.

1

:

2.500,00;

:

1

1 ;

?

_R

?

Datos N

Fórmulas N

A

dn

y N

A

in

D

y D

(15)

a) 1

4 0,333333

;

0,08

;

:

2.500,00 1

0,08 0,

333333

2.568, 49

:

2.500,00 1

0,08 0,33333

3

2.5 66,67

n

meses

años i

d

anual

Descuento Comercial

N

Descuento Racional

N

b) 1

120 ;

0,025

0,000417

:

2.500,00 1

0,0

00417 120

2. :

2.50 568, 4

0,00 1

0,0004

9 2.566,67

17 120

n

días i

d

bimestral

diario

Descuento Comercial

N

Descuento

N

Racional

N

c) 1

20

140 ;

0,0067

0,000223

:

2.500,00 1

0,000223 1

40 2.580,5

:

2.500,00 1

0,00022

7

2 3 140

.578,05

n

semanas

días i

d

mensual

diario

Descuento Comercial

N

Descuento Racional

N

PROBLEMA 04.- ¿A cuánto montará el Valor Nominal de las letras siguientes si se tiene: a) D=Bs. 120,00y DR=Bs. 110,00 y b)D=Bs.235,00 y DR=Bs.225,00.

1

:

_R _R

;

?

Datos Ver los literales

Fómula N

D

D D

D

N

Desarrollo 1 1

)

120;

110 120 110 120

110 )

235;

225 235 2

1.320,00

5.287,5

25 235

225

0

R R

a D

D

N

b

N

D

N

PROBLEMA 05.- Si el Descuento Racional de un pagaré es de Bs. 800,00 y la diferencia con respecto al Descuento Comercial es de Bs. 120,00, ¿cuál será el Valor Nominal del pagaré?

1

:

_R

800,00 :

:

_R _R

;

:

_R

120 Datos D

Fómula N

D

Condición D

D

Desarrollo 1

120

800

920 920 800 920

80

0 6.133,3

3

R R

D

N

D

N

PROBLEMA 06.- Sabiendo que la diferencia entre el Descuento Comercial y el Descuento Racional es de Bs. 120,00en una letra de cambio girada a 90 días a la vista y con una tasa a Interés Simple del 12% anual; se pide obtener el Valor Nominal de esa letra de cambio.

1 1

: 90 0, 25 ; 0,12 ; : ;

: 120; ?

R R

R

Datos n días años i d anual Fómulas N D dn y D D D in

Condición D D N

(16)

1 1

120 0,12 0, 25

4.000,00

120

4.0 137.333,3

00

120

4.120 4.120 0,12 0, 25

3

R R

D

N

PROBLEMA 07.- Un comerciante tiene una letra de cambio de Bs. 2.500,00 pagadera a 75 días, si lo descuenta comercialmente recibe Bs. 2.350,00 y si lo descuenta racionalmente recibirá Bs. 15,00 que si lo descontara comercialmente. ¿Qué tasa a Interés Simple se le aplicó para obtener el Valor Nominal de la letra de cambio.

1

: 2.500,00; 75 0, 208333 ; 2.350; : ;

: 15 15 2.335; ?

R R

Datos N n días años D Fórmula i D D nD

Condiciones D D D D d i Desarrollo 1

0,0308

15 0, 2

08333 2.335

d

diario

d

%

3,08

%

diari

d

ó

o

PROBLEMA 08.- El precio de contado de una maquinaria es de Bs. 1.500,00. Al momento de la negociación se cancela la mitad de su costo y el resto mediante 4 letras de cambio de igual Valor Nominal pagaderas trimestralmente. ¿Cuál será el valor de cada letra de cambio, si la operación se realizó aplicando una tasa de Descuento Comercial simple del 9% anual?

1

1.500;

750

750 750;

0,09

0,0075

;

:

1 ;

?

Costo deContado

Cuota Inicial

Deuda a Cancelar

A

d

anual

mensual

Fórmula A

N i

dn y N

A

dn

N

Desarrollo 1 2 3 4

1 0,0075 3

1 0,0075 6

1 0,0075 9

1 0,0075 12

0,9775

0,9550

0,9325

0,9100

750 3,775

750

198.68 A

A

N

PROBLEMA 09.- Se debe un pagaré de Bs. 5.000,00 pagadero en 9 meses. El deudor luego de transcurridos 3 meses de haberlo firmado resuelve abonar con cargo al mismo Bs. 2.000,00. Si la operación se realiza a una tasa de Descuento Comercial simple del 10%, y el resto de la deuda se desea cancelar mediante 2 letras de igual monto para ser pagadas de manera trimestral durante los últimos 6 meses, ¿cuánto será el Valor Nominal de las 2 letras?

:

5000,00;

9 0,75

;

0,10;

:

1 Datos N

n

meses

años d

Fórmula A

N

dn

Desarrollo 1 2 2

:

5.000 1

0,10 0,5

4.750

2.000 2.750;

:

1 0,10 0, 25

1 0,10 0,50

2.750 0,97

BD CD

Se actualiza el monto del pagaré a los tres meses A

A

teniendo el valor actual conla cancelación realizada a los

tres meses se hace A

A

N

5 N

0,950

N

2.750 1,925

N

2.750 N

1.428,57

(17)

entidad bancaria descuenta Bs. 1.000,00, determinar ¿qué tasa de Interés Simple se aplicó para aprobar el préstamo?

:

2.500,00; Pr

10.000;

;

1.000;

:

1 ;

:

10.000

1.000

9.000

i

Datos N

éstamo

n

cuatro cuotas trimestrales D

Fómula A

N

dn

Condición A

Desarrollo 1 2 3 4 1 ; 2.500 1 0, 25 1 0,5 1 0,75 1 9.000 4 2,5 9.000 2.500 2,5 0, 4 d 0,16 d% 16% A A A A A d d d d d d ó

PROBLEMA 11.- Un acreedor tiene en su poder 3 letras de cambio; la primera por Bs. 2.500,00 a 45 días, la segunda por Bs. 2.000,00 a 90 días y la tercera por Bs. 1.500,00 a 135 días. El deudor propone una negociación para consolidar las 3 letras en una sola para cancelarla en 90 días. Con la aceptación del acreedor de las letras, la operación se realiza a una tasa de Descuento Simple del 15% anual. ¿Cu{al será el valor letra única de cambio tanto en Descuento Comercial como Descuento Racional?

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 . 1 1 1 1 ... 1 1 2 2

:

2.500;

0,125

;

2.000;

0, 25

;

1.500;

0,375

;

?;

0, 25;

0,15

:

;

1

G ik G ik

Datos N

n

años N

n

años N

n

años

G

k

i

d

anual

Fórmulas Descuento Comercial

Descuento Raciona

G

dk

G

dk

N

dn

N

dn

l

N₁ 1 in₁ 1 N₂ 1 in₂ 1 ... Desarrollo 1 1 2 2 3 3 1

1

1 :

1 2.500 1

0,15 0,125

2.000 1

0,15 0, 25

1.500 1

0,15 0,37

6.0 5 1

0,15 0

19 ,

, 48

25 N

dn

N

dn

N

dn

Descuento Comercia

G

l G

dk

G

1 2 3 1 2 3 1 1 1

:

1

1 2.500 1

0,15 0,125

2.000 1

0,15 0, 25

1.500 1

0,15 0,375

1 0,

6.019,39

15 0, 25

N

Descuento Racional G

ik

in

n

i

G

i

n

G

(18)

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3

:

;

0, 25

;

0,5

;

0,75

;

5.000;

0, 25;

0,12

;

5.000;

0,75

:

1

1 :

1

1 Datos G

G

G k

años k

años G

k

i

d

anual

N

n

años

Fórmulas Descuento Comercial G

dk

G

dk

G

dk

N

dn

Descuento Racional G

ik

G

ik

G

ik

3 1

N

1 in

1 Desarrollo 1 1 1 1

1.613

141

3 0,12 0, 25

0,12 0,5

0,12 0,75

5.000 1

0,12 0,75

4.550

50

1 0,12 0, 25

1 0,12 0,5

1 0,12 0,75

5.000 1

0,12 0,75

2,831701

4 , 48

1.619,9

.587,155963

3 G

G

PROBLEMA 13.- Una entidad bancaria tiene un cliente que debe dos letras de cambio, una de Bs. 1.500,00 con vencimiento a 45 días, y otra de Bs. 1000,00 con vencimiento a 120 días. Se acuerda darle un año para pagar mediante cuotas bimestrales iguales a Descuento Simple Comercial siendo la tasa del 12% anual. ¿Cuál sería el pago de cada cuota bimestral?

1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 : 1.500; 0,125 ; 1.000; 0,333333 ; ?; 0,12 : : : 1 1 1 1 1 1 1 1

Datos N n años N n años

Cuotas bimestrales G i d anual

Fórmula Fórmulas Descuento Comercial G dk G dk G dk G dk G dk G dk

N dn N dn Desarrollo 1 2 3 4 5 6 6 1.500 1 0,12 0,125 1.000 1 0,12 0,333333 6 0,12 0,166667 0,333333 0,5 0,666667 0,833333 1 2.437,50 5,58 2.437,50 43 ,836 G dk dk dk dk dk dk G G G

PROBLEMA 14.- ¿Cuál sería el Vencimiento Medio de 3 letras de cambio de monto: Bs. 1.200,00; Bs. 1.500,00y Bs. 2.000,00 cada una, las cuales vencen a los 45, 90 y 135 días respectivamente, estando a una tasa de Descuento Simple del 9% anual?

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 1 1 2 2

: 1.200; 45 ; 1.500; 90 ; 2.000; 135 ;

:

Datos N n días N n días N n días

Fórmula G k G k N n N n Desarrollo 1 1 2 2 3 3 1 2 3

1.200 45

1.500 90

2.000 135

1.200

1.500

2.00

0

98 N n

N n

n

N

n

días

(19)

Descuento Comercial de la primera vale tanto como él de las otras 2 juntas más Bs. 4,00 y el Descuento Comercial de la segunda es de Bs. 13,30 menos que él de las otras dos juntas; ¿cuál será el Valor Nominal de cada letra?

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3

:

5 ;

7 ;

9 ;

0,08

0,006667

;

:

1.278,00;

4;

13,30

:

A D dn

Datos n

meses n

meses d

i

anual

mensual

Condiciones N

N

D

Fórmula

Desarrollo 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3

30 21, 43

16,67

1.278,00

0,006667 5

0,006667 7

0,006667 9

30 21, 43

16,67

1.278,00

2

3 : 2

4 13,3

4

4 (1)

,65;

(

2)

1 D

D

dn

D

Sumando

y

resulta que

D

sustituyendo este valor en

qued

1 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2

:

13,30

30 21, 43

1.200, 48

30 21, 43

1.200, 48

8,65

30 8,65

21, 43

1.200, 48

51, 43

940,98

18,30;

:

18,30

8,65

26,95

1 ;

0,00666

808, 46

(3

7 )

5 a

D

por lo que

D

N

D

N

8,30

₂

392,12

;

₃

4,65

₃

0,006667 7

N

0,006

667 9

N

77,50

PROBLEMA 16.- Tenemos una deuda de Bs. 2.000,00 que se vence dentro de 4 meses. Se desea cancelarla en dos partes: Bs. 1.400,00 a 5 meses. Determinar por cuantos días debemos anticipar el resto de Bs. 600,00 para que haya compensación de intereses, si la operación se realiza a una tasa simple del 12% anual.

1 1 2 2

: 2.000; 4 ; 1.400; 5 ; 600; ?;

:

Datos N n meses G n meses G n

Condición Nn G n N n Desarrollo 1 1 2 2 2 2

2.000 4

1.400 5

600

5 ₅₀

3 n

meses

día

Nn

G n

n

s

N

PROBLEMA 17.- Se tiene una deuda de Bs. 3.000,00 que se vence en 5 meses. Si se cancela Bs. 1.200,00, 3 meses antes de vencerse; Bs. 800,00, dos meses antes de su vencimiento y Bs. 600,00, mes y medio después de su vencimiento. Determinar la fecha de vencimiento de los restantes Bs. 400,00 en que se cancelaría el total de la deuda.

1 1 2 2 3

3 4 4 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4

: 3.000; 5 ; 1.200; 2 ; 800; 3 ; 600;

6,5 ; 400; ? :

Datos N n meses G n meses G n meses G

n meses G n Condición Nn G n G n G n G n G n

(20)

1 1 2 2 3 3 4 2 4 2

3.000 5

1.200

2 800 3

600 6.5

40

6 ₄

4

0

3 ₇₃

n

mes

Nn

G n

es

G n

n

d

G

ías

PROBLEMA 18.- Se obtiene un préstamo de Bs 10.000; para cancelarlo en 15 meses, junto con sus intereses, a una tasa de interés simple del 15% anual. Transcurridos 9 meses, se descuenta el documento en una entidad bancaria a una tasa de descuento simple del 12% anual. Se pide determinar: a) ¿Cuánto recibió en efectivo el acreedor del documento al descontarlo? y b) ¿Cuál es la tasa de la ganancia de la entidad bancaria al cambiar el documento?

1

:

10.000;

15 ;

0,15

0,0125

9 ;

0,12

0,01

;

:

_N

1 ;

_N

Datos C

n

meses i

anual

mensual n

meses

I

d

anual

mensual

Fórmulas M

C

in

A

M

i

dn y i

Cn

Desarrollo

)

10.000 1

0,0125 15

11.875,00;

11.875 1

0,01 6

)

10.000

9 0,75

11.162,5

10.000 1.162,50

11.162,

;

1.162,50

;

10.000 0,

50 0,1550

%

15,50%

75

N

a M

por lo que A

b En una inversión de Bs

en

meses

años se ha ganado

A

i

Bs

luego i

o

i

SEGUNDO

LAPSO

03.- Interés Compuesto

a) Resumen de Fórmulas.

Monto Capital Tasa de Interés Tiempo Tasa Efectiva 1 n M C i 1 , 1 n C M i M C n i 1, 1 1, M n i C n M i C log log log 1 M C n i Tasa Proporcional 1 m n Jm M C m 1 , 1 m n Jm C M m M C m n Jm m 1, 1 1 M m n J m m _C M m n J m m _C log log log 1 M C n Jm m m Tasa

Instantánea

_M

_Ce

i n

_C _Me i n

log

(21)

Problemas de Interés Compuesto

Problema 01.- Determinar el capital que invertido en 5 años a una tasa nominal anual del 15%, con capitalización trimestral, produjo un monto de Bs. 1.500,00.

:

?;

5 ;

0,15

min

;

4;

1.500,00

.

:

1 ;

m m n m m

Datos C

n

años J

no

al anual m

M

Bs

m n

J

Fórmulas C

M

C

M V

m

0,15

1.500,00 1

4 :

4 15%

0,963855;

:

1500,

718,34

00 0,96

3 8 5

5

718 ,

33

m m

C

Usando Tablas

para m

y J

V

luego

C

Factores Acumulación o

Capitalización Actualización o Amortización Tasa de Interés Equivalente Tasa Efectiva:

1 i

S

Tasa Proporcional

1 m

m

J

S

m

Tasa Efectiva:

1 1 i

V

Tasa Proporcional

1

1 m

m

J

V

m

1

e

m

i

Fórmulas Usando Tablas

Monto Capital Tiempo

Tasa Efectiva

n

₁

M

C S

_m

para m

C M V_m n para m 1

log

_;

log

1 M

C

n

Sm

para m

Tasa Proporcional 1 m n M _{C Sm} para m 1 m n C _{M Vm} para m

log

;

log

1 M

C

n

m

_Sm

para m

Obtención del Beneficio o Interés

En función del Monto

1

1 :

1

n m m n m m

m

Usando Tablas

V

J

I

M

I

M

En función del Capital

(22)

Problema 02.- Determinar la tasa nominal anual con capitalización semestral a la cual se invirtió un capital de Bs. 800,00, si en 42 meses se retiró del banco un total de Bs. 1.243,19.

42

7 :

?;

2;

800, 00

.;

3, 5

;

1.243,19

12

2

1 :

1

m

Datos

J

m

C

Bs n

años m

M

Bs

m n

M

Fórmulas J

_m

m

C

Desarrollo 1 2 3,5

1.243,19

2

1 800, 00

m

0,13

m

%

13%

m

J

Problema 03.- Determinar el tiempo que estaría invertido un capital de Bs. 750,00 a una tasa de interés nominal anual del 12% con capitalización bimestral para que produzca un monto de Bs. 1.071,18.

:

?;

;

750,00

.;

0,12

min

;

6;

1.071,18

.

og

log

:

;

log

log 1

m m

Datos n

años C

Bs J

no

al anual m

M

Bs

l

M

C

M

C

Fórmulas n

n

J

_m

_S

m

_m

Desarrollo

log1.071,18

log 750,00

0,12

6log 1

6 :

6 12%

1,020000;

log1.071,18

log 750,00

:

6log1

3

02

3 ,

m m

n

Usando Tablas

para m

y J

n

añ

S

luego

os

n

años

n

Problema 04.- Determinar el interés producido por un capital invertido a una tasa de interés nominal anual del 12%, con capitalización cuatrimestral que en 4 años produjo un monto de Bs. 2.800,00.

:

?;

4 ;

0,12

min

;

3;

2.800,00

.

:

1

1 ;

1

m m n m m

Datos I

n

años J

no

al anual m

M

Bs

m n

J

Fórmulas I

M

I

M

V

m

0,12

2.800,00 1

1

3 :

3 12%

0,961538;

:

2.800,00 1

0,961538

1.051,12

1.051,14

m m

C

Usando Tablas

para m

y J

V

luego

C

(23)

Problema 05.- Un capital en 45 meses produce un beneficio de Bs. 2.246,84, a una tasa de interés nominal anual del 15% con capitalización mensual. ¿Cuál fue el monto de ese capital?

45 :

?;

3,75

;

0,15

min

;

12;

2.246,84

.

12 :

;

1

m m n m m

Datos C

n

años J

no

al anual m

I

Bs

I

Fórmulas C

_{m n}

C

S

J

m

Desarrollo 12 3,75 12 3,75

2.246,84

0,15

1

12 :

12 15%

1,012500;

:

2.246,84

1,012

3.000,00

5

1

m m

I

Usando Tablas

para m

y J

S

lueg

C

o

C

Problema 06.- Se tiene un capital de Bs. 600,00, colocado a una tasa nominal anual del 9%, durante 30 meses determinar y comentar los montos si los períodos de capitalización son: a) Anual, b) Semestral, c) Cuatrimestral d) Trimestral, e) Bimestral y f) Mensual.

30 :

?;

2, 55

;

0, 09

min

;

600, 00

.

12 1;

2;

3;

4;

6

12 :

1 ;

m a b c d e f m n m

Datos M

n

años J

no

al anual

C

Bs

m

y m

J

m n

Fórmulas M

C

M

_{C Sm}

m

Desarrollo a) 1 2,5

0, 09

600 1

744, 25

1 M

M

2,5 : 1 9% 1, 090000; : 600 1, 09 744, 25 m m

Usando Tablas para m y J

S luego M C b) 2 2,5

0, 09

600 1

747, 71

2 M

M

2 2,5

:

2 9%

1, 045000;

:

60 0 1

, 0

45

7 47, 7

1

m m

Usando Tablas

para m

y J

S

luego M

C

c) 3 2,5

0, 09

600 1

748,91

3 M

M

3 2,5 : 3 9% 1, 090000; : 600 1 0, 3 748,91 m m

S luego M C d) 4 2,5

0, 09

600 1

749,52

4 M

M

4 2,5 : 4 9% 1, 022500; : 600 1, 0225 749,52 m m

(24)

e) 6 2,5

0, 09

600 1

750,14

6 M

M

6 2,5

:

6 9%

1, 015000;

:

60 0 1

, 0

15

7 50,1

4

m m

Usando Tablas

para m

y J

S

luego M

C

f) 12 2,5

0, 09

600 1

12 750, 76

M

12 2,5

:

12 9%

1, 007500;

:

600 1, 0075

750,

76

m m

Usando Tablas

para m

y J

S

luego M

C

COMENTARIO: Observando los resultados obtenidos podemos concluir: “Que a mayor Capitalización los Montos serán mayores, en otras palabras, a mayor Capitalización mayores serán los Beneficios o Intereses ”

Problema 07.- Se colocan en una entidad bancaria Bs. 850,00 a una tasa nominal semestral del 5% con capitalización trimestral. Por razones de emergencia pasado 3 años, 10 meses y 16 días se tiene que retirar el dinero colocado, determinar el monto retirado.

10

16 :

?;

3 3,877778

;

0, 05

min

;

850, 00

.;

4;

12

360 :

1 ;

m m n m

Datos M

n

años J

no

al anual

C

Bs m

J

m n

Fórmulas M

C

M

_{C Sm}

m

Desarrollo 4 3,877778

0, 05

850, 00 1

1.030, 63

4 M

M

; 4 3,877778 : 4 5% 1, 012500; : 850, 00 1, 0125 1.030, 63 m m

S luego M C

Problema 08.- ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse un capital a una tasa nominal anual del 12% con capitalizaciones: a) Semestrales y b) Trimestrales.

log log log 1 : ?; 0,12; 2; 4 log log : ; log m a b m M C n Jm m m

Datos n para duplicarse a una tasa J m m

M C

Fórmulas n

m S

Desarrollo

2 log 2 log 2

log log log log log 2 ;

log log 1 M C M C n Usando Tablas n J C C m m m Sm m a) 5,947831 log 2 0,12 2 5 , 11 lo 1 2 11 g

n Años Mese Día

n s y s 5 ; 11 : 4 12% 1, 030000; : log 2 2 log1, 06 11 m m

Usando Tablas para m y J S lu

n Años Meses y D ego n ías b) 5,862443 log 2 0,12 4 5 , 10 lo 1 4 10 g

n s y s log 2 5,862443 0,12 4 5 , 10 lo 1 4 10 g