MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

PROGRAMA DEL MÓDULO I I: IDENTIFICACIÓN

NOMBRE DEL MÓDULO: MATEMÁTICA FINANCIERA

UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de:

Resolver problemas de matemática financiera en el contexto de la actividad empresarial, utilizando eficazmente calculadora científica e interpretar dicha información en el marco de situaciones reales.

DURACIÓN: 72 horas pedagógicas

HORAS AULA: 36 horas pedagógicas (2 horas a la semana, clase expositiva) HORAS TALLER 36 horas pedagógicas (2 horas a la semana, trabajo en aula)

II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO

Área de formación: general diferenciada Ubicación en la malla: 2o semestre Prerrequisito: Matemática I

III: UNIDADES DE APRENDIZAJE

1° Unidad: Fundamentos Funcionales de la Matemática Financiera Duración: 24 horas pedagógicas

Objetivos Aprendizajes Esperados Contenidos relevantes

Operar con funciones, relacionando su estudio con el ámbito de las

matemáticas financieras, demostrando habilidad en el uso de calculadora científica.

-Representan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico.

-Representan la parábola en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico.

-Analizan fenómenos de crecimiento exponencial en forma analítica y gráfica relacionados con el ámbito financiero y económico.

-Analizan fenómenos de crecimiento logarítmico en forma analítica y gráfica relacionados con el ámbito financiero y económico. - Función lineal Características Ecuación representativa Gráfico Aplicaciones financieras - Función cuadrática. Características La parábola Elementos

Ecuación general y particular Gráfico Aplicaciones financieras - Función exponencial: Gráficos Aplicaciones financieras - Función logarítmica: Gráficos Aplicaciones financieras

2ª UNIDAD: Cálculos financieros básicos Duración: 48 horas pedagógicas

Objetivos Aprendizajes Esperados Contenidos

Relevantes

Operar con fundamentos de interés simple y compuesto, anualidades y amortizaciones, demostrando capacidad para calcular, evaluar y decidir alternativas financieras en casos sencillos, con apoyo de calculadora científica.

-Calculan interés simple.

-Calculan monto o valor futuro con interés simple. -Calculan valor actual, utilizando tasa de interés simple.

-Calculan valor actual, utilizando tasa de descuento.

-Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de interés simple.

-Resuelven problemas de aplicación de interés simple financiera y comercialmente.

-Calculan valor futuro, valor actual, interés y número de períodos en situaciones de interés compuesto.

-Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de interés compuesto.

-Resuelven problemas de aplicación de interés compuesto financiera y comercialmente.

-Resuelven problemas de cálculo de anualidades: vencidas, anticipadas, diferidas, perpetuas. -Comparan tasas de interés de distintas casas comerciales y su impacto en las anualidades.

-Confeccionan tablas de amortización según sistema francés.

-Identifican particularidades de otros sistemas de amortización.

- Comparan gráficamente las tasas de interés ofrecidas por diversas casas comerciales (mensualmente, trimestralmente, semestralmente etc.)

-Construyen tablas de Amortización, para diferentes valores de créditos, tasas y períodos.

Interés simple:

-Cálculo del interés

-Cálculo de la tasa de interés -Cálculo del número de períodos -Valor Futuro o Monto

-Valor actual

-Problemas de interés simple aplicados

Interés compuesto:

-Cálculo de Valor futuro y valor actual con interés compuesto.

-Cálculo de interés y períodos a interés compuesto.

-Comparación del interés simple y compuesto.

Anualidades:

-Anualidades Vencidas, Anticipadas, Diferidas, Perpetuas.

-Gráfico de anualidades.

Amortización:

-Definición. Distinciones de los Sistemas de Amortización y sus características. -Sistema de amortización Francés, Alemán, Americano.

I. DESARROLLO

PRIMERA UNIDAD:

CLASE 1 y 2

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Representan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico Función lineal: Características Ecuación representativa Gráfico Aplicaciones financieras

Una función expresa la idea de que una cantidad esté determinada o dependa de otra, es aquí donde decimos que esto está en función de lo otro. Por ejemplo:

- El costo mensual de producir un determinado bien depende del número de bienes producidos. Entonces decimos que el costo mensual está en función del número de bienes producidos.

- El área de un círculo depende de la longitud de su radio, es decir, si se conoce la longitud del radio, podemos afirmar que el área es una función del radio.

Una función se define de la siguiente forma:

Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que se asigna a cada elemento x pertenece X una única y ∈ Y. Si una función asigna y a un x ∈ X particular, decimos que y es el valor de la función en x.

Generalmente una función se denota por f, g, F ó G. En el siguiente caso

denotaremos con f una determinada función. El conjunto X para el cual f asigna una única y que pertenece a Y se denomina dominio de la función f. Frecuentemente se

indica mediante Df . El conjunto de valores correspondientes a y ∈ Y se conoce como rango de la función y se anota como Rf

Ejemplo 1: Sea X el conjunto de estudiantes de una clase. Sea f la regla que asigne a cada estudiante su calificación final. Dado que cada uno tiene una sola calificación final, esta regla define una función. En este caso, el dominio es el conjunto de todos los estudiantes de la clase y el rango es el conjunto de todas las calificaciones

Ejemplo 2: El valor de los activos de una empresa es una función del tiempo. Aquí el dominio es el conjunto de valores del tiempo y el rango de la función es el conjunto de valores de los activos

En síntesis una función puede estar definida por casos tales como: • Le regla que asigna a cada persona el número de hijos.

• La regla que asigna a cada persona los nombres de sus hijos. • Un diccionario de inglés alemán.

•

Ejemplo 3: Dadaf(x)=2x2 −5x+1, calcule el valor de f(x) para 4 1 ; 2 ; 3 ; = =− =− =a x x x x

Solución: Dado que f(x)=2x2 −5x+1, con el objetivo de calcular f(a) reemplazamos x por a en la ecuación, es decir, 2a2 − a5 +1

Lo mismo para los casos siguientes:

4 1 ; 2 ; 3 =− =− = x x x obteniendo como resultados: 4, 19 y 19/8 respectivamente.

Ejemplo 4: Consideremos 2 5 , 0 2 ) (x x

f = + , el dominio de f es el conjunto de todos lo

números reales, ya que podemos evaluar f(x) para cualquier valor real de x. Alguno de los valores de esta función aparecen en la tabla 1, en la cual algunos valores de x están listados en el renglón superior y los valores de y = f(x) están debajo de los valores correspondiente a x. Los puntos correspondiente a los valores de x e y se graficaron como puntos en la figura 1. La gráfica de la función 2

5 , 0 2 ) (x x f = + es una

curva con forma de U que pasa por los puntos ya graficados. Tabla 1

x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

EJEMPLOS

1. El departamento de policía de una pequeña ciudad estudia la compra de un nuevo carro de patrulla. Los analistas de la policía, estiman que el costo del carro, completamente equipado, es de 18.000 dólares. Han estimado un costo promedio de operaciones de 0,40 dólares por milla.

a) Determine la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra.

b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida útil? c) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 100.000 millas en su vida útil? Solución:

El costo del carro completamente equipado es de 18. 000 dólares. El costo promedio de operaciones es de 0,40 dólares por milla.

a) Determinar la función matemática que represente el costo total de la obtención y operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra.

Solución:

Como lo que queremos determinar es una función en x, primero definimos x. X = total de millas recorridas.

Entonces la función de costo la denotaremos con la letra C y estará en función de x, es decir, el costo estará en función del total de millas recorridas.

C(x)

Y como el costo promedio por milla es de 0.40, entonces tenemos C(x) = 0.40x

Y ahora debemos agregarle el total del costo del carro, que son 18.000 dólares. Por lo cual la función nos queda:

C(x) = 0,40x + 18.000

b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida útil? Tendremos que evaluar:

C (50 .000) = 0,40(50.000) + 18. 000 C (50 000) = 20.000 + 18. 000

C (50 000) = 38 000

El costo proyectado del carro si recorre 50.000 millas será de 38.000 dólares. c) Si recorre 100.000 millas.

C (100.000) = 0,40(100.000) + 18 000 C (100 000) = 40 000 + 18.000

C (100.000) = 58. 000

El costo proyectado para el carro cuando recorra 100.000 millas será de 58.000 dólares.

2. Una compañía de seguros cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de 10 dólares por todas las pólizas más 1,5 dólares por cada mil dólares del importe de la póliza. Por ejemplo, una póliza de 20.000 dólares costará 10 dólares por el cargo fijo más 30 dólares, cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. Si p es la prima anual en dólares y x denota el valor nominal de la póliza (expresado en miles de dólares), a) a) a) Determine la función que puede emplearse para calcular las primas anuales.

b) Determine el importe de la prima anual si la póliza es de 250.000 dólares. Solución:

Se cobra un cargo anual de 10 dólares por todas las pólizas. Se cobra 1,5 dólares por cada mil del importe de la póliza.

X = el valor nominal de la póliza.

El importe de la prima anual de la póliza está en función de x, es decir, en función del valor nominal de la póliza. Entonces denotamos como P(x)

Como hay que multiplicar 1,5 por cada mil del importe de la póliza, entonces debemos dividir X entre 1.000 y luego multiplicarlo por 1,5.

Lo que nos da la siguiente función:

10 1000 5 . 1 ) ( ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x P

Esta es la función para determinar el importe de la prima anual de la póliza.

Ahora determinemos el valor de la prima anual cuando la póliza es de 250.000 dólares. 10 000 . 1 000 . 250 5 , 1 ) 000 . 250 ( ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = P 10 000 . 1 000 . 250 5 , 1 ) 000 . 250 ( ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = P

( )

250 10 5 . 1 ) 250000 ( = + P 10 375 ) 000 . 250 ( = + P

385 ) 250000

( =

P

El valor anual de la prima de una póliza de 250.000 dólares será de 385 dólares.

CLASE 3 y 4

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Representan la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico Función cuadrática: Características Ecuación representativa Gráfico Aplicaciones financieras Función Cuadrática

Una función de la forma f(x)=ax2 +bx+c (a≠0)

Con a, b y c constantes, se denomina función cuadrática. El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales.

La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo

caso obtenemos 2

) (x ax

f = Las gráficas más comunes de esta función en los casos

en que a es positiva o negativa son:

El punto más bajo de la gráfica cuando a > 0 ocurre en el origen, mientras que este mismo es el punto más alto si a < 0, a cada una de estas se les denomina parábolas. El origen que es el punto más bajo o alto en los dos casos se denomina vértice.

La función cuadrática general f(x)=ax2 +bx+c (a≠0) tiene una gráfica idéntica en tamaño y forma a la correspondiente a 2

) (x ax

f = ; la única diferencia es que el

vértice de f(x)=ax2 +bx+c (a≠0) está trasladado fuera del origen.

EJEMPLOS

1.-Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse?

Solución:

Denotemos los lados del terreno con x e y como se indica en la figura, con el lado y el paralelo ya existente. Se sigue que la longitud de la nueva cerca es:

2x +y = 200

Comparando la expresión anterior con f(x)=ax2 +bx+c , advertimos que A es una

función cuadrática de x, con a=-2, b=200 y c=0. Por lo tanto, dado que a<0, la función cuadrática tiene un máximo en el vértice, este es cuando:

El área máxima que puede encerrarse es de 5.000 metros cuadrados. Las dimensiones de esta área máxima son x=50 e y=100 metros.

CLASE 5

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Analizan fenómenos de crecimiento exponencial en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico. Función exponencial: Gráficos Aplicaciones financieras FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función:

+

⇒ IR

IR f :

Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

Ejemplos de funciones exponenciales 1. La función x

y 2= es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores

que toma esta función _{⇒ IR}+

IR

f : son:

Algunos de los valores que toma esta función f :IR ⇒ IR+son:

Propiedades de la función exponencial x

a

y=

1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f (0) = a0=1

2. Para x = 1, la función toma el valor a: f (1) =a1 =a

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.

4. Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

Representación gráfica de la función exponencial

Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función

x

a

y=

A) a > 1

Para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva Como caso particular se representa la función x

y 2= .

B) 0 < a < 1

CLASE 6

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Analizan fenómenos de crecimiento logarítmico en forma analítica y gráfica relacionados con el ámbito financiero y económico

Función logarítmica: Gráficos

Aplicaciones financieras

Se llama función logarítmica de base a a la función f(x)=log_a x, siendo a > 0 y a ≠

1.

Ejemplo:

Son funciones logarítmicas f(x)=log2 x, f(x)=log10 x (logaritmo decimal), h(x)=lnx

(logaritmo neperiano).

El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) y las gráficas son similares, dependiendo del valor de a:

SEGUNDA UNIDAD: CLASES 7, 8 y 9.

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Calculan interés simple

Calculan monto o valor futuro con interés simple

Calculan valor actual, utilizando tasa de interés simple

Calculan valor actual, utilizando tasa de descuento

Analiza y comparan valor futuro a distintas tasas de interés.

Resuelven problemas de aplicación de interés simple financiera y comercialmente.

Interés simple: Cálculo del interés

Cálculo de la tasa de interés Cálculo del número de períodos

Matemáticas Financieras

Son aplicaciones a las operaciones comerciales que realiza la empresa de manera que a partir de una base matemática y un lenguaje técnico y simbólico podamos interpretar las variables que participan en la evaluación del dinero a través del tiempo. Estas variables son:

- Capital (c): suma de dinero prestado o invertida.

- Tiempo (t): período durante el cual se usa el capital.

- Tasa de interés (i): es el precio que se paga por usar el dinero.

Interés Simple

En general se da en períodos de corto plazo.

La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo capital durante un período de tiempo.

I

=

c

⋅

i

⋅

t

Interés Comercial Interés Real Año = 360 días Mes = 30 días Año = 365 días Mes = 28, 30 ó 30 días Ejercicios

1. Determine el interés pagado por un préstamo de $2.000.000 a una tasa de interés de 4% trimestral durante 2 meses.

c = 2.000.000 i = 4% trimestral t = 2 meses

I= 2.000.000 * 0.04 * (2/3) I = 53.333//

2. Calcular la cantidad de dinero prestada, si se paga por ella un interés de $15.000 con una tasa de interés semestral de 3,5% durante 145 días.

i = 3, 5 % semestral t = 145 días

I = 15.000

15.000 = c * 0.035 * (145/180) c = $532.020

3. Determine la tasa de interés mensual aplicada a un capital de $550.000 si éste genera un interés de $6.500 en 7 meses.

c = 550.000 t = 7 meses I = $6.500

6.500 = 550.000 * i * 7

i = 0.0016883116883 * 100 i = 0.17%

4. ¿En cuantos meses, un capital de $200.000 genera un interés de $80.000 con una tasa de interés de 5% semestral?

I = $80.000 c = $200.000 i = 5% semestral

80.000 = 200.000 * 0.05 * (t/6) t = aproximadamente 50 meses

5. Se deposita un 60% de un capital al 3% de interés simple y el resto se deposita al 3,5% de interés simple durante 8 meses con lo cual se genera un interés de $45.000, calcular el capital. I = $45.000 i = 3% anual t = 8 meses 45.000 = (0, 6 c * 0,03 * (8/12)) + (0,4 c * 0.035 * (8/12)) c = $2.109.375

Monto Simple

Es la suma del capital y los intereses.

I

C

M

=

+

Reemplazando la fórmula de Interés simple tenemos

)

(

C

i

t

C

M

=

+

⋅

⋅

Luego

)

1

(

i

t

C

M

=

⋅

+

⋅

Capital (c) Inversión o Préstamo de la empresa.

Capitalizar calcular Valor Futuro, Valor Final, Monto Futuro o Monto Final. Monto

Monto Capital

Valor Futuro Valor Final

Ejercicios

a) Calcular el monto de un capital de $1.800.000 a una tasa de interés de 4% por un período de 245 días. c = 1.800.000 i = 4% trimestral t = 245 días ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⋅ ⋅ = 90 245 04 , 0 1 1.800.000 M 000 . 996 . 1 $ = M

b) Calcular el valor actual de $500.000 pagaderos en 8 meses y 10 días a una tasa de interés del 5,22% semestral.

M = 500.000 i = 5,22% semestral t = 8 meses, 10 días ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ ⋅ ⋅ = 180 250 0522 , 0 1 000 . 500 c 200 . 466 $ = c

c) Calcular la tasa de interés aplicable a un capital de $2.600.000 para obtener un monto de $2.800.000 durante 11 meses y 25 días. (Cuando nada se dice se entiende que la tasa es anual)

c = 2.600.000 M = 2.800.000 t = 11 meses, 25 días ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ ⋅} ⋅ = 360 355 1 000 . 600 . 2 000 . 800 . 2 i % 8 , 7 = i

Tiempo

¿En cuanto tiempo un capital de $1.200.000 depositado al 4% de interés un monto de $1.236.000? c = 1.200.000 i = 4% M = 1.236.000

[

+ ⋅t

]

⋅ =1.200.000 1 0,04 000 . 236 . 1 días t=270 CLASES 10

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Calculan valor futuro, valor actual, interés y número de períodos en situaciones de interés compuesto. Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de interés compuesto. Resuelven problemas de aplicación de interés compuesto financiera y comercialmente.

Interés compuesto:

Cálculo de Valor futuro y valor actual con interés compuesto Cálculo de interés y períodos a interés compuesto.

Comparación del interés simple y compuesto.

Interés Compuesto

En cada período de tiempo se agregan los intereses al capital, con lo cual se forma un nuevo capital.

_I

=

_c

⋅

₍

( )

₁

+

_i

n

−

₁

₎

n = tiempo

Ejercicios

Si usted deposita hoy $1.950.000 a un tasa de 4,25% durante 3 años ¿Cuál es el monto de interés que recibirá?

(

)

[

1 0,0425 1

]

1.950.000⋅ + 3 − = I 341 . 259 $ = I

Monto Compuesto con capitalización Anual

Indica que los intereses se transforman en capital en forma anual.

_M

=

_c

⋅

( )

₁

+

_i

n

Monto

¿Cuánto dinero se recibirá dentro de 5 años si hoy se deposita $2.500.000 a un tasa de 3,75%?

(

)

5 0375 , 0 1 .500.000 2 ⋅ + = M 250 . 005 . 3 $ = M Monto Capital Capitalización Actualización

Capital

¿Cuánto tiene que depositar hoy a interés compuesto de un 5,25% anual para obtener $4.200.000 en 3 años?

(

)

3 0525 , 0 1 000 . 200 . 4 = c⋅ + 326 . 602 . 3 $ = c

Tasa de interés (usaremos raíces)

Un depósito de $550.000 produce un monto de $685.000 durante 4 años, determine la tasa de interés aplicada al depósito.

( )

4 1 000 . 550 000 . 685 = ⋅ +i % 64 , 5 = i

Tiempo (usaremos Log)

¿Cuánto tiempo debe transcurrir para obtener un monto de $1.200.000 si hoy se deposita $1.000.000 a una tasa de i de 3,65%?

(

)

n 0365 , 0 1 000 . 000 . 1 000 . 200 . 1 = ⋅ + días n 1831=

Monto compuesto con capitalización anual y tiempo fraccionario

Regla Comercial

A interés compuesto se trabaja período anual. A interés simple se trabaja período fraccionario.

_M

=

_c

⋅

( ) (

₁

+

_i

n

⋅

₁

+

_i

⋅

_f

)

Con f = meses

Período Anual Período Fraccionario

Calcular el monto de una deuda de $3.500.000 pagaderas en 3 años, 5 meses a una tasa de 4,35%

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} • + ⋅ = 12 5 0435 , 0 1 0435 , 0 1 000 . 500 . 3 3 M 988 . 048 . 4 $ = M

Monto compuesto con períodos de capitalización

m n

m

j

c

M

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

1

j = tasa nominal anual

m = período de conversión o capitalización dentro el año

E F M A M J J A S O N D

Período de conversión

Ejercicios (guía de ejercicios)

Guía ejercicios de Interés compuesto con capitalización.doc

Monto

1.- ¿Cuál es el monto de un capital de $300.000 depositado a una tasa de interés del 3% mensual y que se capitalizó mensualmente durante un año?

c = 300.000 j = 3% mensual m = 12 n = 1

(

)

1 03 , 0 1 000 . 300 ⋅ + = M 728 . 427 $ = M _√ Anual m = 1 Semestral m = 2 Trimestral m = 4 Cuatrimestral m = 3 Bimestral m = 3 Mensual m = 12

2.- ¿Cuál será el monto que se obtiene por un capital depositado a 5 años plazo y una tasa del 6% capitalizable trimestralmente, si el capital es de

$ 371.235? c = 371.235 j = 6% m = 4 n = 5 4 5 4 06 , 0 1 235 . 371 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = M 000 . 500 $ = M

3.- Ud. necesita obtener un préstamo por $400.000 a 4 años. En el mercado de capitales existen las siguientes ofertas:

a) 15% de interés capitalizable trimestralmente

4 4 4 15 , 0 1 000 . 400 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = M M=$720.891

b) 15,375% de interés capitalizable semestralmente

2 4 2 15375 , 0 1 000 . 400 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = M 891 . 723 $ = M c) 15,5% de interés simple

(

1 0,155 4

)

000 . 400 ⋅ + ⋅ = M 000 . 648 $ = M Es más rentable la opción b.

4. Calcular monto con los siguientes datos: c = 100.000 j = 8% semestral m = 2 (períodos de capitalización) n = 3 años

(

)

32 08 , 0 1 000 . 100 ⋅ + ⋅ = M 687 . 158 $ = M _√ Monto

5.- ¿Qué cantidad de dinero se deposito hace 2 años, con una tasa de interés del 5% trimestral capitalizable trimestralmente, si hoy se convirtió en $ 30.458?

j = 5% trimestral m = 4 capitalizable trimestral n = 2 años M = 30.458

(

)

24 05 , 0 1 458 . 30 = c⋅ + ⋅ 615 . 20 $ = c

6.-Calcule el Valor Presente de $360.000 pagaderos dentro de 3 años al 5% capitalizable semestralmente

j = 5%

m = 2 capitalizable semestral n = 3 años

M = 360.000 2 3 2 05 , 0 1 000 . 360 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = c 427 . 310 $ = c Tasa de interés

7.- ¿A qué tasa de interés semestral estuvo invertido un capital de $220.000, si al cabo de 2 años se convirtió en $364.174, habiéndose capitalizado semestralmente? m = 2 capitalizable semestral n = 2 años M = 364.174 c = 220.000

(

)

22 1 000 . 220 174 . 364 = ⋅ + j ⋅ % 43 , 13 = j

Tasa nominal anual

8.- Determine la tasa nominal anual para:

a) $125.000 se transformen en $237.650 en 15 años con capitalización trimestral n = 15 años M = 237.650 c = 125.000 m = 4 capitalizable trimestral 4 15 4 1 000 . 125 650 . 237 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = j % 31 , 4 = j

b) $250.000 se transformen en $275.391 en 4 años con capitalización mensual n = 4 años M = 275.391 c = 250.000 m = 12 capitalizable mensual 12 4 12 1 000 . 250 391 . 275 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = j % 42 , 2 = j Tiempo

9.- ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital de $250.000, que con capitalizaciones semestrales y a una tasa del 10% semestral se convirtió en $442.890? M = 442.890 c = 250.000 j = 0.01 m = 2 capitalizable semestral

(

₊

)

⋅n ⋅ = 2 1 , 0 1 000 . 250 890 . 442 días semestres n=3 ⇒540

10.-Determine el tiempo que es necesario esperar para que:

a) $ 85.000 se transformen en $150.000 al 15% capitalizable semestralmente M = 150.000

j = 15% capitalizable semestral m = 2 n ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = 2 2 15 , 0 1 000 . 85 000 . 150 n=3,9semestres⇒707días

b) $47.500 se transformen en $104.700al 14% capitalizable mensualmente

M = 104.700 c = 47.500 j = 14% capitalizable mensual m = 12 n ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = 12 12 14 , 0 1 500 . 47 700 . 104 días meses n=5,67 ⇒170

Monto compuesto con períodos de capitalización y tiempo fraccionario

Recordemos que:

(

j

f

)

m

j

c

M

m n

⋅

+

•

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

⋅

1

1

Con f = meses

11- Calcule el valor presente de $280.000 pagaderos en 3 años 2 meses a la tasa de 5% capitalizable trimestralmente. M = 280.000 j = 5% m = 4 capitalizable trimestral n = 3 años f = 2 meses ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} • ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = ⋅ 12 2 05 , 0 1 4 05 , 0 1 000 . 280 3 4 c 229 . 239 $ = c _√

Tasa de interés Efectiva – Tasa de interés Nominal

Tasa Efectiva (i): que NO tiene períodos de capitalización dentro del año.

( )

n

i

c

M

=

⋅

1

+

Monto compuesto con capitalización anual

Tasa Nominal (j): que SI tiene períodos de capitalización dentro del año.

m n

m

j

c

M

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

1

Monto compuesto con períodos de capitalización en el año.

( )

_c

m

j

c

i

c

m n n

•

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⋅

=

+

⋅

⋅

1

1

( )

( )

n m n n

m

j

i

1

₁

1

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

+

Nos queda m

m

j

i

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

+

1

1

Tasa Efectiva Tasa Nominal

Tasa Efectiva

Ejercicios

1- ¿A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de 4% capitalizable trimestralmente? 4 4 04 , 0 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + i i=4,06%

2- ¿A que tasa nominal anual capitalizable semestralmente equivale una tasa efectivamente anual de 8,16%? 2 2 1 0816 , 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + j j =8%

Tasa de interés Nominal - Tasa de interés Nominal

2 1 2 1

1

1

m m

m

j

m

j

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

Tasa Nominal (m1) Tasa Nominal (m2) Ejercicios

1- ¿Que tasa nominal anual capitalizable trimestralmente es equivalente a un 5% nominal anual capitalizable mensual?

12 4 12 05 , 0 1 4 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + j j=5,02%√

2- ¿A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de 6,25% capitalizable semestralmente? 2 2 0625 , 0 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + i

i=6,35%

3- ¿Qué tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente equivale a una tasa efectiva anual de 5,75%? 3 3 1 0575 , 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + j j=5,64%_√

4- ¿Qué tasa nominal anual capitalizable bimestralmente es equivalente a un 4,45% nominal anual capitalizable trimestral?

4 6 4 0445 , 0 1 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + j j=4,44%_√

Tasa de interés Equivalente

Dos tasas de interés son equivalentes no iguales si aplicadas sobre el mismo capital durante el mismo tiempo generan intereses iguales.

Ejemplo

1- Si tenemos una tasa de 15% anual y la queremos convertir en tasa mensual Interés Simple i i 1,25%mensual 12 15 , 0 _{⇒ =} = Interés Compuesto

(

1

+

i

_e

) (

=

1

+

i

_a

)

ie =TasaEquivalente

ia =TasaAnual ⇒

(

1+ie

)

12 =

(

1+0,15

)

ie =1,17%mensual Tasa Equivalente Mensual

(

)

(

)

a e i i = + + ⇒ 1 12 1 Trimestral

(

) (

)

a e i i = + + ⇒ 1 4 1 Cuatrimestral

(

) (

)

a e i i = + + ⇒ 1 3 1 Semestral

(

) (

)

a e i i = + + ⇒ 1 2 1 Bimestral

(

) (

)

a e i i = + + ⇒ 1 6 1 Anual

(

) (

)

a e i i = + + ⇒ 1 1 Ejemplo mensual i_e = anual i_a =8%

(

1+

)

12 =

(

1+0,08

)

⇒ ie % 64 , 0 = e i _√

Tasa de interés Equivalente con períodos de capitalización Mensual

(

a

)

e i i + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ 1 12 1 12 Trimestral

(

a

)

e i i + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ 1 4 1 4 Cuatrimestral

(

a

)

e i i + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ 1 3 1 3 Semestral

(

a

)

e i i + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ 1 2 1 2 Bimestral

(

a

)

e i i + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ 1 6 1 6 Anual ⇒

(

1+i_e

) (

= 1+i_a

)

6.- Con las siguientes tasas: 1.- 12,4% anual

2.- 7,5% trimestral con capitalización quincenal 3.- 14% anual con capitalización mensual Calcule las tasas:

a.- Equivalente mensual

b.- anual con capitalización trimestral c.- efectiva anual capitalización anual d.- efectiva trimestral

ie =0,98% 1.b)

(

1 0,124

)

4 1 4 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ ie i_e =11,86% 1.c) ⇒

(

1+i_e

) (

= 1+0,124

)

i_e =12,4% 1.d) ⇒

(

1+i_e

) (

4 = 1+0,124

)

ie =2,97% 2.a)

(

)

6 4 12 6 075 , 0 1 1 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + ⇒ i_e ie =2,52% 2.b) 6 4 4 6 075 , 0 1 4 1 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ ie i_e =30,95% CLASES 11,12, 13 y 14

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Resuelven problemas de cálculo de Anualidades Vencidas

Comparan tasas de interés de distintas casas comerciales y su impacto en las anualidades

Anualidades: Vencidas

Rentas o Anualidades

Corresponde a una serie de cuotas iguales que pueden ser percibidas o pagadas en intervalos iguales de tiempo las cuales incluyen intereses determinados con interés compuesto.

Clasificación:

De acuerdo a la certeza de la renta.

Cierta: existe la certeza absoluta de que será percibida o pagada. Ej.: Sueldo.

- Incierta: es aquella que ocurrirá solamente si se provoca un evento que no es

controlable. Ej.: seguro de vida.

De acuerdo al agotamiento de capital.

Temporal: el capital se agota, la duración del pago se fija. Ej.: Préstamo.

Perpetua: el capital no se agota, la duración de pagos es indefinida. Ej.: pensión vitalicia.

De acuerdo a la recepción de la renta:

Vencida: percibida o pagada al final del período de renta. Ej.: sueldo.

Anticipada: percibida o pagada al inicio del período. Ej.: mensualidad escolar. Según convenio o contrato:

Diferida: percibida o pagada después de existir un cierto rendimiento. Ej.: período de gracia, pago diferido.

Valor Presente de una serie de flujos

( )

( )

⎥

_⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⋅

−

+

•

=

n _n

i

1

i

1

i

1

R

P

P = valor presente. R= renta o cuota i = tasa de interés n = Nº de cuotas Ejemplo

Una persona solicita un préstamo y debe cancelar la deuda en 2 años con cuotas mensuales iguales de $24.000. ¿Cuál es el valor hoy del préstamo si la tasa de interés es del 1% mensual?

(

)

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₂₄ 24 01 , 0 1 01 , 0 1 01 , 0 1 000 . 24 P P=509.841

Valor Futuro de una serie de flujos

Corresponde a la ∑ de los valores futuros de cada uno de los flujos que componen la renta.

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

₊

₋

•

=

i

1

i

1

R

F

n Ejemplo1

¿Cuánto se obtiene al depositar durante 6 meses la suma de $150.000 si al final de cada mes se deposita la cuota y la tasa de interés es de 1,25% mensual compuesto?

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = 0125 , 0 1 0125 , 0 1 000 . 150 F 5 F=928.598

Renta, calcular la cuota

Ejemplo2

Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un préstamo de $1.200.000 pagadero en 12 cuotas mensuales considerando 1,8% de interés con capitalización mensual. ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • = 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 R 000 . 200 . 1 12 R =97.029

Renta Cierta Temporal Inmediata Anticipada

Se pagan o perciben al INICIO del período de renta. De ella se calcula:

Valor Presente (Sumatoria de valores presentes de cada uno de los flujos de renta

( )

( )

⎥_⎦⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = n _n i 1 i 1 i 1 R P Ejemplo

Calcular el valor de contado (valor de hoy, valor presente) de una propiedad vendida a 11 años plazo con pago de $350.000 mensuales por mes anticipado a una tasa de interés de 8% convertible mensual.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • = • 131 12 11 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 000 . 350 P P=30.864.612

Valor Futuro (Sumatoria de valores futuros de cada uno de los flujos de renta)

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = i 1 i 1 R F n

Ejemplo

Una persona arrienda una casa en $250.000 pagaderos por mes anticipado. Si tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que paga el 1,5% mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = 015 , 0 1 015 , 0 1 000 . 250 F 12 F=3.260.303_√ Renta (Cuota)

¿Qué suma debe depositarse al principio de cada año en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de máquinas, cuyo costo es de $2.000.000 con una vida útil de 5 años y un valor residual estimado de 10% del costo.

000 . 000 . 2 Vbien = 000 . 200 V_residual = años 5 VidaUtil= % 6 i= 000 . 800 . 1 V Vbien − residual =

(

)

(

)

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₄ 5 06 , 0 1 06 , 0 1 06 , 0 1 R 000 . 800 . 1 R=403.126

CLASES 15 y 16

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Confeccionan Tablas de Amortización según sistema francés

Identifican particularidades de otros sistemas de amortización

- Comparan gráficamente las tasas de interés ofrecidas por diversas casas comerciales (mensualmente, trimestralmente, semestralmente etc.)

- Construyen tablas de Amortización, para diferentes valores de créditos, tasas y períodos

Amortización:

Definición. Distinciones de los Sistemas de Amortización y sus características. Sistemas de amortización Francés, Alemán, Americano

Interés y Tablas de Amortización

Amortización

Extinguir una deuda, pagando una cuota que se compone por los intereses más el capital amortizado.

Es la devolución a través de una serie de pagos o plazos regulares del capital prestado pagando también los intereses que sobre ella (deuda) se devengan.

En este sistema cada pago amortiza una parte de la deuda y el interés correspondiente al período. Las cuotas incluyen interés y amortizaciones del capital y por lo general de igual monto.

Ejemplo

Se obtiene un préstamo de $20.000.000 se acuerda pagar 48 cuotas mensuales con una tasa del 12% anual capitalizable mensual.

Tasa mensual

2. Calcular la cuota (o renta) (R)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • = ₄₈ 48 12 012 , 0 1 12 012 , 0 1 12 012 , 0 1 R 000 . 000 . 20

_R

=

₅₂₆

_.

₆₇₇

_√

3. Tabla Amortización para los últimos 4 meses.

PERIODO CUOTA INTERES

CAPITAL AMORTIZADO DEUDA RESIDUAL 2.055.074 45 526.677 20.551 506.126 1.548.948 46 526.677 15.489 511.188 1.037.760 47 526.677 10.378 516.299 521.461 48 526.677 5.215 521.461 (+1) √

* Para calcular la Deuda Residual:

(

)

(

)

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₄ 4 06 , 0 1 01 , 0 1 01 , 0 1 677 . 526 P

_P

=

₂

_.

₀₅₅

_.

₀₇₄

_√

* Para calcular el capital amortizado:

rtizado

CapitalAmo

Interes

Cuota

−

=

* Para calcular el Interés:

Deuda Residual

•

intereses mensuales. Ejercicios

1.- Si Ud. al comprar se compromete a pagar 10 cuotas mensuales de $150.000. Determine el valor contado del artículo si la tasa de interés del crédito es del 2,8% mensual efectiva. R= 150.000 i = 2,8% mensual n = 10 cuotas mensuales

ntaVencida

Re

esente

Pr

Valor

l

ValorActua

do

ValorConta

=

=

(

)

(

)

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₁₀ 10 028 , 0 1 028 , 0 1 028 , 0 1 000 . 150 P

_P

=

₁

_.

₂₉₂

_.

₆₉₀

2.- Cuánto se obtiene al depositar durante 5 meses la suma de $100.000. Si al final de cada mes se deposita la cuota y la tasa de interés es del 3% mensual compuesta.

R= 100.000 i = 3% n = 5 meses

ntaVencida

Re

o

ValorFutur

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} • = 03 , 0 1 03 , 0 1 000 . 100 F 5

F

=

$

530

.

914

3.-Si Ud. solicita un préstamo de 200 UF pagaderas en 32 cuotas iguales de pago vencido. Si la tasa de interés efectiva del período es de 2,1778%. ¿Cuál es el valor de la cuota a cancelar?

R =? i = 2,18% n = 32 cuotas P = 200 UF

esente

Pr

Valor

l

ValorActua

do

ValorConta

=

=

ntaVencida

Re

(

)

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₃₂ 32 0218 , 0 1 0218 , 0 1 0218 , 0 1 R 200

R

=

8

,

75

UF

_{(valor cuota)}

Agregado en clases

ValorFutur

o

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = 0218 , 0 1 0218 , 0 1 75 , 8 F 32

F

=

399

UF

√

4.- Una persona deposita $200.000 al final de cada año, durante 15 años en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el monto al efectuar el último pago.

ntaVencida

Re

P = 200.000 n = 15 años i = 8%

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = 08 , 0 1 08 , 0 1 000 . 200 F 15

F

=

5

.

430

.

423

5.- A cuanto deben ascender los ahorros previsionales de una persona que jubilara dentro de 12 años. Si la AFP ofrece una rentabilidad anual y se deja una pensión mensual de 32 UF por 14 años

ntaVencida

Re

12

UF

32

R

=

_mensual

•

R

=

384

UF

_anual

esente

Pr

Valor

l

ValorActua

do

ValorConta

=

=

(

)

(

)

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₁₄ 14 034 , 0 1 034 , 0 1 034 , 0 1 384 P

P

=

4

.

221

,

75

6- Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un préstamo de $1.200.000 pagaderas en 144 cuotas mensuales, considerando un 8% de interés con capitalización mensual.

ntaVencida

Re

P =12.000.000 n = 144 i = 8% (/12)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • = ₁₄₄ 144 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 R 000 . 000 . 12

_R

=

₁₂₉

_.

₈₉₄

_√

Agregado en clases

ValorFutur

o

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + • = 12 08 , 0 1 12 08 , 0 1 894 . 129 F 144

F

=

31

.

240

.

671

√

7.- Halle el monto y el valor actual de una anualidad de $50.000 pagadera semestralmente durante 7 años y 6 meses al 8,6% capitalizable semestralmente

esente

Pr

Valor

l

ValorActua

do

ValorConta

=

=

R =50.000 n = 7 años y 1 semestre i = 8,6% (/2 son semestres)

(

)

(

)

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₁₅ 15 043 , 0 1 043 , 0 1 043 , 0 1 000 . 50 P

_P

=

₅₄₄

_.

₄₃₇

_√

o

ValorFutur

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = 043 , 0 1 043 , 0 1 000 . 50 F 15

F

=

1

.

023

.

793

√

8- Una persona viaja fuera de la ciudad deja una propiedad en arriendo por 5 años con la condición que se pague $900.000 por trimestre vencidos que serán consignados en una cuenta de ahorro que paga el 8% anual nominal. Halle el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de arriendo

ntaVencida

Re

esente

Pr

Valor

l

ValorActua

do

ValorConta

=

=

R =900.000

n = 5 años (*4 son trimestres) i = 8% (/4 son trimestres)

(

)

(

)

⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ − + • = ₂₀ 20 02 , 0 1 02 , 0 1 02 , 0 1 000 . 900 P

_P

=

₁₄

_.

₇₁₆

_.

₂₉₀

_√

o

ValorFutur

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − • = 02 , 0 1 02 , 0 1 000 . 900 F 20

F

=

21

.

867

.

633

√

III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

1. Problemas de Interés Simple Formulas de Interés Simple I = C * t * i

VF =C (1 + i * t) C =VF (1 + i * t)-1 VF = C + I

I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de: a $2.500 durante 8 meses al 8%. C = $2.500 t = 8 meses i= 0,08 0,08 $133 12 8 500 . 2 ⋅ ⋅ = = I b. $60.000 durante 63 días al 9%. I =$60.000 t =63 días i =0,09 0,09 $945 360 63 000 . 60 ⋅ ⋅ = = I c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %. C =12.000 t =3 meses i =0,085 255 $ 085 , 0 12 3 000 . 12 ⋅ ⋅ = = I

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año.

696 $ 10 , 0 360 167 000 . 15 ⋅ ⋅ = = I

Calcular el interés simple comercial de:

a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = 5.000 i = 0,0075 t =38,67 meses

3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3020 meses = 38,67 meses I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta

Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresada en meses por lo que debe

transformarse el tiempo también a meses

b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual. C = $8000 t =7,5 i = 0,015 meses meses 7,5 30 15 7 + = I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900.

1.2 Un señor pagó $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a una tasa del 41/2 % de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

VF = 2.500,20 C =2.400 i = 0.045 t =? VF = C (1 + i * t) 2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

0,04175=0,045 t

t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? 000 . 124 360 150 08 , 0 1 000 . 120 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} ⋅ = VF 122.201 360 53 1 , 0 1 000 . 124 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} −

Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento? 280 . 14 12 3 08 , 0 1 000 . 14 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} = VF 558 . 14 $ 360 70 10 , 0 1 280 . 14 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} = VF (Valor de mora)

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe $19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré? ) 1 ( i t VP VF= + ⋅ ) 360 90 1 ( 90 , 559 . 19 000 . 20 = +i⋅ i =0, 09 o 9%

Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

200 . 21 12 9 08 , 0 1 000 . 20 1 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} = VF 427 . 16 12 4 08 , 0 1 000 . 16 2 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} ⋅ = VF Deuda = 21.200 + 16.427 Deuda = 37.62 Pagos x x P 1,04 12 6 08 , 0 1 1 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ ⋅} = x P2= Pagos = P1 +P2 Pagos =2,04 x Deuda = Pagos 37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debes llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.

2. Problemas de Descuento Formulas para Descuento Real D = VP * t * d

VN= VP + D VN = VP (1 + d* t) VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias. i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento VF =VN valor nominal C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial D = VP * t * d

VN= VP + D VN = VP (1 + d* t) VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas indicadas a continuación:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento. 750 . 19 360 45 1 , 0 1 000 . 20 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} ⋅

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

17.730 12 2 09 , 0 1 000 . 18 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} ⋅

c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.

704 . 13 360 95 08 , 0 1 000 . 14 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} ⋅

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.

761 . 9 $ 360 86 1 , 0 1 000 . 10 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} ⋅

2.2. Se vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:

a. $20.00 de contado

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año. Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta. a. 20.000 contado b. 19.540 360 92 09 , 0 1 000 . 20 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} c. 28.853 360 153 09 , 0 1 000 . 30 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} Total =20.000 + 19.540 + 28.853 = $68.393

Un pagaré de $10.000 se descuenta al 10% y se reciben del banco $9.789. Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.

10.000=9.789 (1+0.1 * t) t = 0,21 años

0,21 años * 12 meses = 2,52 meses

El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.

000 . 78 360 90 1 , 0 1 000 . 80 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} 500 . 78 360 75 09 , 0 1 000 . 80 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} Utilidad 78.500-78.000=$ 500

¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos? ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 360 60 1 67 , 666 700 i = 0.30 o 30%

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− ⋅} = 360 85 49 , 0 1 52 , 146 VF VF = 165,68 dólares. 3. Transformación de Tasas Método de igualación

Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente

12 12 12 4 3 1 4 18 , 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ntmn

T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 o 17,01% R.

l capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente. 4 4 4 4 2 1 4 12 , 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + nsct

Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 o 6% R.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

(

₁+_0,22

)

26 =

(

₁+_eb

)

66

Tasa efectiva bimensual = 0,06852 o 6,85%

Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(

₁+_0,52

)

12 =

(

₁+_ntcs⋅₂

)

22

Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 o 11,54%.

4. Problemas de Interés Compuesto Formulas de Interés Compuesto:

( )

n i C M= 1+

( )

n i M C= 1+ −

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral n = 10 años M = 20.000 C =? 4 10 4 15 , 0 1 000 . 20 ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = C C =4.586,75 Respuesta

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en $7.500?

n =? C = 2.000 i = 0, 03 M =7.500 7.500 = 2.000 (1 +0, 03)n ln 15/4 = n ln 1,03 n = 44,71 años

44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: a. al 5% efectivo anual M = 100 (1 + 0,05)10 _{= 162,89 Respuesta} b. al 5% capitalizable mensualmente ( )12 10 12 05 , 0 1 100 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = M M= 164,20 c. al 5% capitalizable trimestralmente ( )4 10 4 05 , 0 1 100 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = M M =164,36 d. al 5% capitalizable semestralmente ( )2 10 2 05 , 0 1 100 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = M M = 163,86

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.

(

_{1 0,08}

)

10412 000 . 20 + ⋅ = VF VF = 44.300,52

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente? 2 2 2 4 2 . . 1 4 08 , 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ncs i =0,0808 o 8,08% Respuesta

Hallar la tasa nominal capitalizable semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años. 10 2 1 000 . 10 500 . 12 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = i i =0,0451 o 4,51%

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

10.000=6.000 (1+ 0,08)n

n = 13,024 /2 n = 6,512 años

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente? M =2 C = 1 2=1(1+ i)10 i = 7,17% sociedad maderera --- 40 4 06 , 0 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = M M =1,8140 no duplico

Una inversionista ofreció comprar un pagaré de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08)−3

C = 95.259,87

Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, capitalizable mensualmente. VF = 20.000(1 + 0,05) 10 _{= 32.577,89} VF = 20.000 120 12 05 , 0 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 32.940,19 capitalizable mensualmente.

5. Problemas de Anualidades Vencidas Formulas de Anualidades Vencidas

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} = i i A F n 1 1 Valor Futuro

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − i i A P n 1 1 Valor presente F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} = 04 , 0 1 04 , 0 1 000 . 2 17 F F =47.395,07 valor futuro

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − 04 , 0 04 , 0 1 1 000 . 2 17 P P = $24.331,34 valor presente

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

F=

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − 073 , 0 1 073 , 0 1 000 . 4 6 F = 28.830,35 valor futuro

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +} = − 073 , 0 073 , 0 1 1 000 . 4 6 P P = 18.890,85 valor presente

(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 0067 , 0 1 0067 , 0 1 200 40 F F = 9.139,68 valor futuro

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +} = − 0067 , 0 0067 , 0 1 1 200 40 P P = 6.997,26 valor presente

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: 20.000 dólares de contado; 1.000 dólares por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de 2.500 dólares un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual. i =0,09/12=0,0075

(

)

26.775,08 0075 , 0 0075 , 0 1 1 000 . 1 30 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − P 2.500(1+0,0075)−31=1.983,09 26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 dólares

¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: 14.000 dólares de cuota inicial; 1.600 dólares mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de 2.500 dólares, si se carga el 12% con capitalización mensual?

i =0,12/12=0,01

(

)

41.292,33 01 , 0 01 , 0 1 1 600 . 1 30 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − P 2.500(1+0,01)−31 =1.836,44 41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 dólares

Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.

(

)

19 , 651 . 680 . 53 08 , 0 08 , 0 1 1 000 . 000 . 8 10 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − P

En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.

1.500.000

(

1+0,08

)

−10=694.790,23 53.680.651,19⋅0,25=13.420162,8

694.790,23 + 13.420.162,80 = $14.114.953,03

En el momento de nacer su hija, un señor depositó 1.500 dólares en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a 3.000.dólares. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

(

)

23 , 968 . 24 08 , 0 1 08 , 0 1 500 . 1 11 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} = F

(

1 0,08

)

42.791,16 23 , 968 . 24 + 7=

(

)

41 , 768 . 26 08 , 0 1 08 , 0 1 000 . 3 7 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = F 03 , 994 . 5 ) 08 , 0 1 ( 500 . 1 + 18= 42.791,16 + 26.768,41 + 5994,03 = 75.553,60 dólares

Una persona deposita 100 dólares al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. 0,06 /12 =0,005 tasa mensual

(

)

09 , 204 . 46 005 , 0 1 005 , 0 1 100 240 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{+ −} = F Dólares

6. Problemas de Anualidades Anticipadas Formulas de Anualidades Anticipadas

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = i i i A F n 1 1 ) 1 ( Valor Futuro

( )

( )

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = − i i i A P n 1 1 1 Valor Presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de 3.000 dólares mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% capitalizable mensualmente.

(

)

(

)

252.464.64 01 , 0 01 , 0 1 1 01 , 0 1 000 . 3 180 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +} + = − P Dólares

Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) 400.000 euros de contado; (b) 190.000 euros de contado y 50.000 euros semestrales, durante 2 ½ años (c) 20.000 euros por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de 250.000 euros , al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual? Oferta b

(

)

(

)

231.494,76 04 , 0 04 , 0 1 1 04 , 0 1 000 . 50 5 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = − P P=231.494,76+190.000=421.494,76 Oferta c

(

)

215.736,96 02 , 0 02 , 0 1 1 ) 02 , 0 1 ( 000 . 20 12 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +} + = − P 250.000

(

1+0,08

)

−4 =183.757,46 215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42 Respuesta = Oferta b es la más conveniente.

¿Cuál es el valor presente de una renta de 500 euros depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, capitalizable mensualmente?

(

)

42 , 666 . 49 0075 , 0 0075 , 0 1 1 ) 0075 , 0 1 ( 500 180 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = − P Euros

¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? 2.000.000 * 0.10= 200.000 2.000.000 - 200.000 = 1.800.000

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = 06 , 0 1 06 , 0 1 ) 06 , 0 1 ( 000 . 800 . 1 5 A A = 301.239,17 Respuesta.

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% capitalizable mensualmente.

(

) (

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⋅ + = 0075 , 0 1 0075 , 0 1 0075 , 0 1 000 . 8 12 A A = 634,85 Respuesta.