Resumen de Matemáticas II

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Resumen de Matem´

aticas II

Cristi´an Reyes R.

Invierno, 2005

Estas notas no pretenden ser una gu´ıa del curso Matemáticas II, solo será un compendio de definiciones y resultados (solo de los más importantes), las motivaciones son dadas por el profesor y los ejemplos también. Lo único que pretenden es ser una ayuda de memoria a la hora de estudiar (por ejem-plo:¿Qué era lo que significaba integrable?) o de hacer ejercicios.

1. Algunos recuerdos de Matem´

aticas I.

En esta parte recordaré someramene algunas cosas acerca de sumatorias y de supremo e ´ınfimo, para una explicación más completa ver mis apuntes de Matemáticas I.

Definición 1.1 Si tenemos una colección finita de números, digamos {x1, x2, x3, . . . , xn}, el s´ımbolo n X i=1 xi significará la suma x1+ x2+ x3+· · · + xn

Algunas propiedades claras de la sumatoria, son las siguientes: (las de-mostraciones se dejan al estudiante.)

Propiedades 1.1 Si _{x1, x2, x3, . . . , xn} y {y1, y2, y3, . . . , yn} son dos

con-juntos de n´umeros y λ es un n´umero fijo cualquiera. Entonces:

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3)Si 1≤ N ≤ n, entonces n X m=1 xm = N X m=1 xm+ n X m=N +1 xm. 4)(Propiedad Telesc´opica) n−1 X i=1 (xi+1− xi) = xn− x1 5) n X k=1 λ = nλ

Definici´on 1.2 Un subconjunto A de R se dice acotado superiormente, si existe M ∈ R tal que para cualquier a ∈ A se tiene que a ≤ M, a M se llama una cota superior de A. Se dice acotado inferiormente, si existe m _{∈ R tal} que para cualquier a_{∈ A se tiene que m ≤ a, a m se llama una cota inferior} de A. A se dice acotado si es acotado inferiormente y superiormente a la vez.

Ejemplo: El conjunto X = (0, 1) es acotado. Pues para cualquier elemento de x _{∈ X se tiene que 0 ≤ x ≤ 1.}

Notar que si M es una cota superior de A, y si N _{≥ M entonces N es} una cota superior de A tambi´en. Del mismo modo si m es una cota inferior para A y n_{≤ m entonces n es tambi´en una cota inferior de A.}

Definici´on 1.3 Si A es un conjunto acotado superiormente y s es una cota superior de A tal que si t es otra cota superior de A siempre se cumple que s ≤ t, entonces s se llama Supremo de A. Y anotamos sup(A) = s. Si A es un conjunto acotado inferiormente e i es una cota inferior tal que si j es otra cota inferior siempre se cumple que j _{≤ i entonces i se llama ´ınfimo de} A. Y anotamos inf (A) = i.

Ejemplo: sup((0, 1)) = 1 e inf ((0, 1)) = 0.

La siguiente es una propiedad muy importante de los números reales, que si los hubiésemos construido la podr´ıamos demostrar, pero como nuestra presentación fue axiomática la presentamos como

Axioma 1.1 (Axioma del Supremo) Todo conjunto no vac´ıo de n´umeros reales que es acotado superiormente tiene un supremo.

Como concecuencia de este axioma se tiene el siguiente

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Lo que tenemos que tener claro es que el supremo de un conjunto acotado superiormente no vac´ıo es la menor de las cotas superiores. Cuando el supre-mo de un conjunto A es un elemento de A, entonces al supresupre-mo en ese caso se le llama Máximo y se anota M ax(A). Cuando el supremo de un conjunto no es un elemento del conjunto en cuestión, es un punto que está pegado al con-junto, está adherido al conjunto. Es decir, no lo podemos separar de nuestro conjunto, es decir, si sup(A) = s entre A y s no existe ningún intervalo. Es decir, cualquier vecindario de la forma (s− ǫ, s + ǫ) contiene elementos de A. Otra forma de entender el concepto de supremo es la siguiente: s = sup(A) si y solamente si s es una cota superior de A y cada vez que nos movemos un poco a la izquierda de s se nos cuela un elemento de A. De otro modo, para cualquier ǫ > 0 existe a_{∈ A tal que s − ǫ < a.}

Lo mismo podemos decir del ´ınfimo: i = inf (A) si y solamente si i es una cota inferior de A y para cualquier ǫ > 0 existe a _{∈ A tal que i + ǫ > a.} En el caso en que A es acotado inferiormente y i = inf (A) y adem´as i_{∈ A} decimos que i es el m´ınimo de A y anotamos i = min(A)

Algunas observaciones:

Observaci´on 1.1 El supremo de un conjunto no vac´ıo acotadado superior-mente es ´unico, lo mismo ocurre con el ´ınfimo, por eso le llamamos “el supremo” y “el ´ınfimo”.

Observación 1.2 Un conjunto A es acotado si y solamente si existe un número positivo M tal que para cualquier a_{∈ A se tiene que |a| ≤ M.} Observación 1.3 Si A es un conjunto acotado superiormente y_{∅ 6= B ⊆ A,} entonces B es acotado superiormente y sup(B)≤ sup(A).

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Observaci´on 1.6 Si A es un conjunto n vac´ıo acotado superiormente y λ_∈ R, definamos λA = {λa/ a ∈ A}, entonces si λ ≥ 0 se tiene que λA es acotado superiormente y se tiene que sup(λA) = λsup(A). ¿Qu´e puede decir si λ < 0?

Ejemplo 1.1 El ´ınfimo de A =_{1

n/n∈ N} es 0.

Demostraci´on:

Que el conjunto A es acotado inferiormente es claro pues A es un conjunto de n´umeros positivos, por lo tanto 0 < a _{∀a ∈ A. Luego 0 es una cota inferior} de A.

Para probar que 0 es el ´ınfimo de A tenemos que probar que si me muevo un poco a la derecha de 0 hay un elemento del conjunto que se cuela entre medio. Es decir, debemos probar que para cualquier ǫ > 0 se tiene que existe a _{∈ A tal que 0 + ǫ > a. O equivalentemente: Para cualquier ǫ > 0 existe} n _{∈ N tal que ǫ >} 1

n.

Pues bien, sea ǫ > 0 cualquiera, pero desde ahora fijo, por propiedad arquimedeana existe N _{∈ N tal que} 1

ǫ < N multiplicando esta ´ultima

de-sigualdad por ǫ

N que es un n´umero positivo, por lo tanto el sentido de la

desigualdad se mantiene, se obtiene que 1

N < ǫ que es lo que queremos probar. 2

Una funci´on f : D_{→ R se dice acotada si Im(f) es un conjunto acotado,} es decir, f es acotada si existe M ∈ R tal que |f(x)| ≤ M para cualquier x_{∈ D.}

Un resultado de Matem´aticas I es el siguiente:

Teorema 1.2 Si f : D _{→ R es continua y [a, b] ⊆ D entonces f : [a, b] → R} es acotada y adem´as alcanza su m´aximo y su m´ınimo.

2. Ideas Nuevas

En este apartado resumiremos las definiciones básicas para poder hablar de integrabilidad y daremos algunos resultados necearios para continuar en la teor´ıa. Las demostraciones de los resultados no las daremos en este resumen, ni tampoco se darán todas en este curso, pero un estudiante interesado las puede encontrar en el libro de M.Spivak: “Cálculo infenitesimal”.

Definici´on 2.1 Consideremos un intervalo cerrado I = [a, b], con a_{6= b, un} conjunto finito P = _{x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn} se dice una partici´on de I, si

x0 = a, xn = b y xk < xk+1, para cualquier k = 0, 1, 2, . . . , n− 1. Si P y Q

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Por ejemplo: P =_{0,1₃,1₂,7₈, 1_{} es una partici´on de [0, 1].} Por ejemplo: P′ ₌_{0, 1 25, 1 24, 1 23, 1 22, 1 2, 1} es una partici´on de [0, 1]. Por ejemplo: Q =_{0, 1

25,₂14,₂13,₂12,1₃,1₂,7₈, 1} es una partici´on de [0, 1], que

es un refinamiento de P y de P′_.

Lo que hace una partici´on es dividir el intervalo original en peque˜nos subintervalos, a saber [a, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−2, xn−1], [xn−1, b].

Consideremos ahora una funci´on acotada f : [a, b]→ R y P = _{x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn}

una partici´on de [a, b]. Como f es acotada en [a, b], entonces tambi´en es acotada en cada subintervalo [xk−1, xk], es decir, el conjunto

{f(x)/ xk−1 ≤ x ≤ xk}

es acotado, entonces tiene supremo e ´ınfimo, denotemos por Mk y mk esos

valores respectivamente, esto es

Mk= sup{f(x)/ xk−1 ≤ x ≤ xk} y mk = inf{f(x)/ xk−1 ≤ x ≤ xk}. Definici´on 2.2 Al n´umero s(f, P ) = n X k=1 mk(xk− xk−1)

se le llama la “suma inferior de f con respecto a la partición P.” Si f es una función continua y positiva, la suma inferior representa la suma de las áreas de los rectángulos que están bajo el gráfico de f, definidos por la partición.

Definici´on 2.3 Al n´umero S(f, P ) = n X k=1 Mk(xk− xk−1)

se le llama la “suma superior de f con respecto a la partición P.” Si f es una función continua y positiva, la suma superior representa la suma de las áreas de los rectángulos que están por sobre el gráfico de f, definidos por la partición.

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Observaci´on 2.1 Si f : [a, b]_{→ R es acotada y P = {x}0, x1, x2, . . . , xn−1, xn}

una partici´on de [a, b], entonces s(f, P ) ≤ S(f, P ). Suponga que en la de-sigualdad anterior se cumple la igualdad para todas las particiones P, en-tonces ¿Qu´e puede decir de f ?

Observaci´on 2.2 Si f : [a, b]_{→ R es acotada y P ⊆ Q particiones de [a, b],} entonces S(f, Q)_{≤ S(f, P ) y s(f, P ) ≤ s(f, Q) (¿por qu´e?)}

Observaci´on 2.3 Si f : [a, b] _{→ R es acotada y P, P}′ _particiones

cua-lesquiera de [a, b], entonces s(f, P′₎_{≤ S(f, P ). (¿por qu´e?)}

Observación 2.4 Si f : [a, b] _{→ R es acotada, entonces por la observación} anterior se tiene que cualquier elemento del conjunto _{{s(f, P )/ P partición}} es menor o igual que cualquier elemento del conjunto{S(f, P )/ P partición}, luego

sup_{{s(f, P )/ P partición} ≤ inf{S(f, P )/ P partición}.} Definición 2.4 Si f : [a, b]_{→ R es acotada, entonces al número}

sup{s(f, P )/ P partici´on}

se le llama la integral inferior de f en [a, b], y se denota por Z b

a

f.

Al n´umero

inf{S(f, P )/ P partici´on}, se llama la integral superior de f en [a, b] y se denota por

Z b

a

f.

Por la observaci´on anterior se tiene que

Z b a f ≤ Z b a f.

Definici´on 2.5 Una funci´on f : [a, b]_{→ R acotada, se dice integrable si} Z b a f = Z b a f = I.

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Algunas propiedades de la sumatoria que hereda la integral son las si-guientes :

Propiedad 2.1 Si f : [a, b] _{→ R es integrable, entonces f es integrable en} cualesquiera intervalos [a, c] y [c, b] con c∈ [a, b] y adem´as se tiene:

Z b a f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx

Propiedad 2.2 Si f, g : [a, b] _{→ R son integrables, entonces f + g es} inte-grable y se tiene: Z b a (f + g)(x)dx = Z b a f (x)dx + Z b a g(x)dx

Propiedad 2.3 Si f : [a, b]_{→ R es integrable, entonces λf tambi´en lo es y} se tiene: Z b a (λf )(x)dx = λ Z b a f (x)dx

Ejemplo 2.1 La funci´on f : [0, 1]_{→ R definida por} f (x) =½ 0 si x ∈ Q

1 si x /∈ Q no es integrable. De hecho, para cualquier partici´on

P =_{x0 = 0, x1, x2, . . . , xn−1, xn= 1}

de [0, 1], se tiene que mi = 0 y Mi = 1 para cualquier i.

Luego s(f, P ) = 0 y S(f, P ) = 1. (¿por qu´e?)

Luego _{{s(f, P )/ P } = {0} y entonces sup{s(f, P )/ P } = 0, luego} Z 1

0

f = 0.

Por otra parte {S(f, P )/ P } = {1} y entonces inf{s(f, P )/ P } = 1, luego

Z 1

0

f = 1. Luego f no es integrable.

Ejemplo 2.2 La funci´on f : [a, b]_{→ R definida por f(x) = c (una} constan-te) es integrable. De hecho, para cualquier partici´on

P = {x0 = a, x1, x2, . . . , xn−1, xn = b}

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Luego s(f, P ) = c(b_{− a) y S(f, P ) = c(b − a). (¿por qu´e?)}

Luego{s(f, P )/ P } = {c(b − a)} y entonces sup{s(f, P )/ P } = c(b − a), luego

Z b

a

f = c(b_{− a).}

Por otra parte{S(f, P )/ P } = {c(b − a)} y entonces inf{S(f, P )/ P } = c(b_{− a), luego} Z b a f = c(b− a). Luego f es integrable y Z b a f = c(b− a) o tambi´en Z b a cdx = c(b− a). Hagamos unos convenios:

Convenio 2.1 Z b a f =− Z a b f Convenio 2.2 Z a a f = 0

Un resultado muy importante es el siguiente

Teorema 2.1 Si f : [a, b]_{→ R es continua, entonces f es integrable.}

El rec´ıproco de este teorema es falso, es decir, existen funciones que no son continuas, pero que si son integrables.

Ejemplo 2.3 La funci´on f : [0, 2] _{→ R definida por f(x) = [x] (la funci´on} parte entera) es integrable, pese a no ser continua y se tiene

Z 2

0

f = 1. (¿por qu´e?).

Cuando la funci´on a estudiar es continua (o continua a trozos) todo se vuelve m´as simple.

Observaci´on 2.5 Si f : [a, b]_{→ R es continua y P}n ={x0,n, x1,n, x2,n, . . . , xn−1,n, xn,n}

una familia de particiones, para cada n definamos

|∆Pn| = max{xk,n− xk−1,n/ k = 1, 2, . . . n− 1, n},

escojamos x∗

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Notemos que una vez dado f y Pn y una vez escogidos los x∗i,n la suma

n−1

X

i=0

f (x∗

i,n)(xi+1,n − xi,n)

solo depende de n. (A la suma anterior se le llama suma de Riemann) Si suponemos adem´as que si n _{→ ∞ entonces |∆P}n| → 0 entonces se

tiene que l´ım n→∞ n−1 X i=0 f (x∗

i,n)(xi+1,n− xi,n) =

Z b

a

f (x)dx.

Notar que la condici´on “si n → ∞ entonces |∆Pn| → 0”, no es

redun-dante, puede pasar que n _{→ ∞, pero no necesariamente |∆P}n| → 0, por

ejemplo la familia de particiones

Pn={0, 1 2n, 1 2n−1, 1 2n−2, . . . , 1 22, 1 2, 1} de [0, 1], no cumple con esa condici´on.

Por ejemplo, la siguiente figura muestra una suma de Riemann, para una funci´on continua. Notar que esta suma no es inferior ni superior.

¡Cuidado!

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3. Teorema Fundamental del C´

alculo y sus

Aplicaciones

El siguiente es un resultado que muestra lo simple e interesante que es estudiar la integral de funciones continuas.

Teorema 3.1 (Teorema Fundamental del C´alculo) Si f : [a, b]_{→ R es} continua, entonces la funci´on

F (x) = Z x

a

f (t)dt

es diferenciable y adem´as se tiene

F′_{(x) = f (x)} _{∀x ∈ (a, b).}

Antes de dar la demostraci´on, notemos que F (a) = 0 y F (b) =Rb

af (t)dt,

es decir, el teorema dice que F′_{(x) = f (x) y F (b) permite calcular la integral}

de f en [a, b], o lo que es lo mismo F (b)− F (a) =Rb

af (t)dt.

Demostraci´on:

Sea x_{∈ (a, b) cualquiera y consideremos el intervalo [x, x + h] contenido} en [a, b], (notemos que impl´ıcitamente estamos considerando h > 0). Como f es continua en [a, b] tambi´en lo es en [x, x + h], por lo tanto

Mh = max{f(t)/ t ∈ [x, x + h]}

es alcanzado por alg´un f (Xh), con Xh ∈ [x, x + h], por la misma raz´on existe

xh ∈ [x, x + h] tal que f(xh) = mh = min{f(t)/ t ∈ [x, x + h]}.

Ahora bien, si h _{→ 0, entonces X}h → x y xh → x, y por continuidad

de f se tiene que f (Xh) → f(x) y f(xh)→ f(x). Concluyendo se tiene que

Mh → f(x) y mh → f(x) (Esto es crucial en la demostraci´on, no lo pierdas

de vista).

Por fin, calculemos la derivada de F en x∈ (a, b), esto es, calculemos el l´ımite

l´ım

h→0

F (x + h)_{− F (x)} h

(consideremos h > 0 el caso h < 0 ser´a un ejercicio para el estudiante, pero es id´entico a este). El l´ımite anterior es el siguiente

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Notemos ahora que

hmh ≤

Z x+h

x

f (t)dt≤ hMh

dividiendo por h > 0 se tiene

mh ≤ 1 h Z x+h x f (t)dt≤ Mh,

ahora si h → 0 entonces mh → f(x) y Mh → f(x), luego por teorema del

sandwich se tiene l´ım h→0 F (x + h)_{− F (x)} h = f (x). Luego F es diferenciable y F′_{(x) = f (x). 2}

Ejemplo 3.1 Consideremos la funci´on L : (0,_{∞) → R definida por} L(x) =

Z x 1

1 tdt.

En este caso particular f (t) = 1_t la cual es continua en (0,∞), por lo tanto es continua en cualquier intervalo cerrado contenido en (0,_{∞), luego L est´a bien} definida.

Por el teorema anterior, tenemos que L es diferenciable y

L′_{(x) =} 1

x ∀x > 0,

luego L′_{(x) es positiva para cualquier valor de x en el dominio de L, luego L}

es creciente estrictamente, por lo tanto L es inyectiva, por lo tanto tambi´en no tiene ni m´aximos ni m´ınimos.

Como L′′_{(x) =} −1

x2 se tiene que L es c´oncava, luego L no tiene puntos de

inflexi´on.

Notar que L(1) = 0, y adem´as L(x) > 0 si x > 1 y L(x) < 0 si 0 < x < 1. Notar que ya sabemos bastante de L, incluso si conoci´esemos los l´ımites

l´ım

x→∞L(x) y

l´ım

x→0+L(x)

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De hecho, si asumimos que l´ım

x→∞L(x) = ∞ y que l´ımx→0+L(x) = −∞, (el

estudiante debiera decir, por que es correcto asumir esto) se tiene que el gr´afico es similar a

Una observación importante es la siguiente, también es un recuerdo de Matemáticas I, pero me parece conveniente hacerlo ahora y no antes, por la inmediatez de la necesidad.

Proposici´on 3.1 Si H : (a, b) _{→ R es diferenciable y H}′_{(x) = 0}_{∀x ∈ (a, b),}

entonces H es una constante.

Demostraci´on:

Sea c ∈ (a, b) y sea H(c) = C. Probaremos que H(x) = C, ∀x ∈ (a, b), si x = c no hay nada que probar. Entonces consideremos c_{6= x ∈ (a, b), por} teorema del valor medio se tiene que existe ξ _{∈ (c, x) (o ξ ∈ x, c)) tal que}

H(c)_{− H(x)} c_{− x} = H

′_{(ξ) = 0,}

de donde se tiene que H(c)_{− H(x) = 0, luego H(x) = H(c) = K, que es lo} ququer´ıamos probar. 2

Es importante notar, que el resultado depende fuertemente del dominio, si este no es un intervalo el resultado es

FALSO.

Como corolario a este resultado tenemos:

Corolario 3.1 Si F, G : (a, b)_{→ R son diferenciables y F}′_{(x) = G}′_(x)_{∀x ∈}

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La demostración de este corolario resulta de aplicar la proposición anterior a la función H = F − G.

Recordemos que el teorema fundamental del c´alculo dice: que si f es continua entonces la funci´on

F (x) = Z x

a

f (t)dt

es diferenciable y F′_{(x) = f (x), adem´as F (a) = 0 y F (b) =}Rb

af (t)dt.

Ahora bien, supongamos que por otros métodos, por otros caminos, o por otras circunstancias conocemos una función G tal que G′_{(x) = f (x), ¿Cómo}

nos puede ayudar esto para calcular la integral Z b

a

f (t)dt? La respuesta es as´ı:

Como F (x) = Rx

a f (t)dt y G tienen la misma derivada, entonces ellas

difieren en una constante, como acabamos de ver, es decir, existe C tal que F (x) = G(x) + C, pero sabemos que F (a) = 0 luego G(a) + C = 0, luego C = _{−G(a). Luego F (x) = G(x) − G(a), pero como sabemos que}

F (b) = Z b a f (t)dt se tiene que Z b a f (t)dt = G(b)− G(a).

A este resultado tambi´en se le llama el teorema fundamental del c´alculo y lo enunciamos ahora

Teorema 3.2 (TFC, segunda versi´on) Si f : [a, b]_{→ R es continua y G} es una funci´on tal que G′_{(x) = f (x)} _{∀x ∈ (a, b), entonces}

Z b

a

f (t)dt = G(b)_{− G(a).}

Este resultado es la maravilla misma, pues permite calcular integrales de funciones continuas de forma muy simple, evitando los l´ımites de sumatorias. Ejemplo 3.2 Consideremos la funci´on f : [0, π] _{→ R definida por f(x) =} sen(x), la cual es continua. Luego

l´ım n→∞ n−1 X k=0 senµ kπ n ¶ ³π n ´ = Z π 0 sen(x)dx,

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bastante conocida. Usemos el TFC entonces, necesitamos conocer una fun-ción tal que su derivada sea sen(x), la solufun-ción es fácil, a saber, la funfun-ción G(x) =_{−cos(x) tiene esa virtud. Luego}

−cos(π) − (−cos(0)) = Z π 0 sen(x)dx, luego Z π 0 sen(x)dx = 2.

De regalo sabemos que

l´ım n→∞ n−1 X k=0 senµ kπ n ¶ ³π n ´ = 2.

Como hemos visto, para calcular la integral de una funci´on continua f en un intervalo [a, b], basta encontrar una funci´on G tal que G′_{(x) = f (x)}

y restar los valores evaluados en los extremos. A la resta G(b) − G(a) la denotamos por G(x)¤_b a. Es decir, Z b a f (t)dt = G(x)¤_b a.

Si f es continua y G′_{(x) = f (x), entonces a G se le llama una primitiva}

de f. Como hemos visto dos primitivas de f difieren en una constante. El s´ımbolo

Z f denota la familia de todas las primitivas de f.

Por ejemploR 1 es la familia de las funciones de la forma x + n, donde n es constante. Abusando del lenguaje escribiremos

Z

1 = x + n.

Del mismo modo escribimos Z

x = x

2

2 + C

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1. R xn_{dx =} xn+1 n+1 + C,−1 6= n ∈ Q 2. R sen(x)dx = −cos(x) + C 3. R cos(x)dx = sen(x) + C 4. R sec2_{(x)dx = tg(x) + C} 5. R ₁ 1+x2dx = Arctg(x) + C 6. R ₁ √ 1−x2dx = Arcsen(x) + C

Ejemplo 3.3 ¿Cuál es el área entre 0 y 1 bajo la curva y = x√x? La respuesta es Z 1 0 x√xdx = Z 1 0 x32dx = x 3 2+1 3 2 + 1 ]1 0 = 2 5. Observación 3.1 Una observación obvia, pero útil, es que

Z f′_{(x)dx = f (x) + C.} En particular Z (f g)′_{(x)dx = (f g)(x) + C =} Z f′_{(x)g(x)dx +} Z f (x)g′_(x)d(x),

es decir, asuminedo que las constantes son absorvidas por las integrales se tiene:

Z

f (x)g′_{(x)dx = f (x)g(x)}₋

Z

f′_(x)g(x)dx,

escrito como integral definida resulta Z b a f (x)g′_{(x)dx = f (x)g(x)]}b a− Z b a f′_(x)g(x)dx,

A esta última relación se llama integración por partes, la cual suele ser muy útil.

Ejemplo 3.4 Para calcular la integral Z π

0

sen2(x)dx,

podemos usar la integraci´on por partes poniendo f (x) = sen(x) y g′_{(x) =}

sen(x), podemos considerar g(x) =−cos(x) . As´ı resulta Z π 0 sen2_{(x)dx =} Z π 0 sen(x)sen(x)dx =_{−sen(x)cos(x)]}π 0 + Z π 0 cos2_(x)dx

Como sen(0) = sen(π) = 0 se tiene que −sen(x)cos(x)]π

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pero como cos2_{(x) = 1}_{− sen}2_{(x) se tiene} Z π 0 sen2(x)dx = Z π 0 1− sen2_(x)dx, Z π 0 sen2(x)dx = Z π 0 1dx₋ Z π 0 sen2(x)dx, 2 Z π 0 sen2(x)dx = Z π 0 1dx, 2 Z π 0 sen2(x)dx = π, luego Z π 0 sen2(x)dx = π 2. 2

Una observaci´on bastante simple, pero muy usada a la hora de calcular integrales es la siguiente:

Si F′_{(x) = f (x) entonces aplicando la regla de la cadena se tiene que si g}

es una funci´on diferenciable tal que Im(g)⊆ Dom(F ), entonces (F _{◦ g)}′_{(x) = F}′_(g(x))g′_{(x) = f (g(x))g}′_(x),

lo que en otras palabras dice Z

f (g(x))g′_{(x)dx = F (g(x)) + C}

escrito en formato de integrales definidas resulta Z b a f (g(x))g′_{(x)dx = F (g(b))}_{− F (g(a))} Notar que Z g(b) g(a) f (u)du = F (g(b))_{− F (g(a))} luego Z b a f (g(x))g′_{(x)dx =} Z g(b) g(a) f (u)du.

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Z b a f (g(x))g′_{(x)dx =} Z g(b) g(a) f (u)g′_(x)dx.

Falta a´un transformar g′_{(x)dx, pero hasta el momento dx para nosotros no}

tiene ningún significado, es una expresión que denota la variable por la cual estamos integrando, pero nada más, de hecho podemos prescindir de ella si se subentiende la variable. Sin embargo, para los matemáticos tiene un significado que se estudia en un curso de Formas Diferenciales que no es el momento de comentar, pero quien quiera saber acerca de estas cosas el libro de M.Spivak Cálculo en Variedades es una muy buena referencia. Para nuestros intereses lo que necesitamos saber es que si y = g(t), entonces

dy

dt = g′(t), lo que anotaremos por dy = g′(t)dt.

Bien, hecho este paréntesis volvamos a nuestro problema, tenemos que la sustitución u = g(x) en la expresión

Z b

a

f (g(x))g′_(x)dx

nos ha llevado hasta el momento a Z b a f (g(x))g′_{(x)dx =} Z g(b) g(a) f (u)g′_(x)dx,

pero como hemos visto de la relaci´on u = g(x) se obtiene du = g′_{(x)dx, luego}

Z b a f (g(x))g′_{(x)dx =} Z g(b) g(a) f (u)g′_{(x)dx =} Z g(b) g(a) f (u)du

que es lo ya sabemos por otros métodos menos heur´ısticos que estos últimos, pero más engorrosos.

Esto último se llama integración por sustitución. Ejemplo 3.5 Para calcular la integral

Z √π

0

xsen(x2)dx

podemos hacer primero Z √π 0 xsen(x2)dx = 1 2 Z √π 0 2xsen(x2)dx.

Ahora podemos hacer u = x2 _{de donde se tiene du = 2xdx, y si x = 0}

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Los (pocos) ejemplos que hemos resuelto en este resumen, son solo eso, ejemplos. Como siempre en matemáticas, existen muchas formas distintas de resolver un problema y desde luego esta que presentamos no es la mejor, ni la ms fácil, ni la más bonita, ni la más elegante ni nada, es solo la forma que se me vino a la mente mientras escribo estas notas.

Hecha esta aclaraci´on continuemos con este resumen.

Recordemos que si tenemos una cantidad finita de puntos, digamos {x1, x2, x3, . . . , xn},

el promedio de esos valores es 1 n n X k=1 xk.

Supongamos que f : [a, b] → R es continua, ¿que entenderemos por el prome-dio de la función en ese intervalo?, un estudiante apurete podr´ıa pensar en el promedio entre el máximo y el m´ınimo de la función, ¿será una buena idea? La verdad es que no, de hecho en el caso finito, por ejemplo en las notas del curso, el promedio entre la nota máxima y la nota m´ınima suele no ser el promedio del curso.

Estudiemos un ejemplo particular y luego tratemos de pensar en forma general. Pensemos en la funci´on f : [0, 1]_{→ R definida por f(t) = t}4_{, y para}

mayor comprensión pueden pensar que se trata de la altura de de un móvil en función del tiempo.

Entonces tomemos tk = k_n, para n un entero positivo, y evaluemos la

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esto es 1 n n−1 X k=0 f (tk),

y parece l´ogico pensar que cuando n _{→ ∞ obtendremos el promedio de la} funci´on.

Pues bien calculemos ese l´ımite

l´ım n→∞ 1 n n−1 X k=0 f (tk) o lo que es lo mismo l´ım n→∞ n−1 X k=0 t4_kµ 1 n ¶ ,

que no es otra cosa que el l´ımite de una suma de Riemann de la funci´on f (t) = t4 _{y partici´on P =}_{0,1 n, 2 n, 3 n, . . . , 1}, luego el promedio es l´ım n→∞ n−1 X k=0 t4_kµ 1 n ¶ = Z 1 0 t4dt = 1 5.

Ahora estamos en condiciones de considerar el caso general, esto es una función continua cualquiera f : [a, b] → R y consideremos la partición canónica del intervalo

P = {a, a + b− a n , a + 2(b− a) n , a + 3(b− a) n , . . . , b ¾

y calculemos el promedio de la funci´on el los puntos de la partici´on, esto es

1 n n−1 X k=0 fµ k(b − a) n ¶

y el l´ımite de esta suma será el promedio de la función en intervalo en cuestión,

l´ım n→∞ 1 n n−1 X k=0 fµ k(b − a) n ¶ o lo que es lo mismo l´ım n→∞ n−1 X k=0 fµ k(b − a) n ¶ µ 1 n ¶

lo cual no es el l´ımite de una suma de Riemann, pero casi, lo que falta es multiplicar cada sumando por b−a

n en vez de 1

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l´ım n→∞ 1 b− a n−1 X k=0 fµ k(b − a) n ¶ µ b − a n ¶ = 1 b− a Z b a f (x)dx

Concluimos entonces que el promedio de f en el intervalo [a, b] es

1 b_{− a}

Z b

a