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TEMA 4
TÉCNICAS SISTEMÁTICAS DE
ANÁLISIS DE CIRCUITOS
Como es bien sabido el análisis de un circuito comporta formular por una parte las ecuaciones topológicas del circuito, que dependen únicamente de la forma en que se hallan interconectados los elementos de circuito, y no de su naturaleza, por lo cual a efectos de la topología un circuito puede abstraerse en un grafo; y por otra parte de las ecuaciones constitutivas de los elementos. Al comenzar este tema avanzado de técnicas sistemáticas de análisis de circuitos supondremos conocidos todos los aspectos relativos a las distintas formulaciones de las leyes de Kirchoff (KVL y KCL) usando tanto la matriz de incidencia A, la matriz de bucles fundamentales B, como la matriz de cortes Q, así como la formulación de las ecuaciones constitutivas de los distintos tipos de elementos.
Como recordatorio digamos que las ecuaciones topológicas son:
y las ecuaciones constitutivas en relación con la rama genérica mostrada en la Fig. 4.1 son:
(4.1)
4.1 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de impedancia
Supongamos que las relaciones constitutivas en (4.1) se pueden expresar de manera que:
(4.2) Entonces:
(4.3)
Las implicaciones de esta suposición son:
1) No se admiten fuentes de intensidad aisladas, que darían una fila de ceros en M. 2) De las fuentes controladas sólo se admiten como entes aislados las de tensión
controladas por intensidad (CCVS). Para los demás tipos es necesario combinar componentes para lograr que sea M=−1.
4.1.1 Método directo
En este método se eliminan variables entre las ecuaciones constitutivas en (4.3) ya las ecuaciones topológicas:
(4.4) para obtener un conjunto de B ecuaciones en las B intensidades de rama:
M V( –Vs) N I I+ ( – s) = 0 + v − i vs is
Figura 4.1: Rama genérica (la fuente de intensidad también puede colocarse en paralelo sólo del elemento de dos terminales).
M = –1 N = Z s( )
V = Vs+Z s( ) I I( – s)
4.1 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de impedancia
(4.5)
Debemos hacer las siguientes observaciones en esta formulación directa: 1) Debe seleccionarse un árbol para escribir B.
2) Las ecuaciones anteriores proporcionan I(s). Con éste puede obtenerse V(s) usando las ecuaciones constitutivas.
El problema principal es que la dimensión de las matrices implicadas es muy grande debido a que se resuelve para todas las intensidades de rama. Normalmente, además, sólo un conjunto reducido de éstas serán de interés.
(hacer problema 26)
4.1.2 Análisis de bucles
En esta técnica se obtienen un conjunto reducido de variables auxiliares, las intensidades de bucles, en función de las cuales se calculan las demás:
(4.6)
Aplicando KVL:
(4.7) y eliminando V entre ambas ecuaciones:
(4.8)
La matriz
(4.9)
se conoce como matriz de impedancia de bucles y las intensidades de bucle quedan:
(4.10)
Podemos realizar las siguientes observaciones: 1) Se requiere encontrar un árbol del grafo asociado.
2) Puede ser de interés si el número de bucles fundamentales es pequeño (B−N<N) 3) A partir de Il las restantes intensidades I pueden calcularse a través de:
(4.11)
Para circuitos con grafos planares se puede considerar una variación del análisis de bucles: análisis de mallas:
(4.12)
donde M es la matriz de mallas y las variables Im son las llamadas intensidades de malla. (hacer problema 27)
4.2 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de admitancia
Supongamos que se pueden expresar las relaciones de componentes de manera que:
(4.13) donde Y(s) es la matriz de admitancia de las ramas:
(4.14)
Las implicaciones de esta suposición son:
1) No se admiten fuentes independientes de tensión aisladas, que darían lugar a una fila de ceros en N.
2) De las fuentes controladas sólo se admiten las de intensidad controladas por tensión (VCCS). Cualquiera de las otras hace que se viole la hipótesis de N=−1.
4.2.1 Método directo
Se basa en eliminar variables entre las ecuaciones constitutivas en (4.14) y las relaciones topológicas:
(4.15) para obtener un conjunto de B ecuaciones en las B tensiones de rama:
(4.16)
Debemos hacer las siguientes observaciones en esta formulación directa: 1) Debe seleccionarse un árbol para escribir B.
2) Calculado V(s) de las ecuaciones anteriores, I(s) puede calcularse mediante las relaciones constitutivas.
El problema principal es que para calcular V(s) hay que invertir una matriz BxB. Normalmente, además, sólo se requiere un conjunto reducido de tensiones en las ramas.
4.2 Formulación de ecuaciones basada en la matriz de admitancia
4.2.2 Método de análisis nodal
Como todas las tensiones de rama se pueden obtener a partir de las de nudo es interesante resolver para el conjunto de tensiones de nudo:
(4.17)
Aplicando KCL:
(4.18) y eliminando I entre ambas ecuaciones:
(4.19)
La matriz:
(4.20)
se conoce como matriz de admitancia nodal y el vector de tensiones en los nudos viene dado por:
(4.21)
Es interesante hacer las siguientes observaciones:
1) Esta técnica no requiere encontrar un árbol por lo que es computacionalmente más fácil.
2) Es de interés si el número de nudos es menor que el de bucles fundamentales (N<B− N) lo cual ocurre normalmente.
3) Conocida Vn se pueden calcular las restantes tensiones e intensidades. (hacer problema 29)
4.2.3 Método de análisis de cortes
Es similar al método de análisis nodal pero se basa en la matriz de cortes fundamentales. Las variables auxiliares de este método son las tensiones en los ramales:
(4.22)
(4.23)
Resolviendo esta ecuación obtenemos Vr, el vector de tensiones en los ramales. Conocido éste se puede calcular cualquier otra tensión o intensidad en el circuito.
A diferencia del método nodal, en el de cortes se necesita encontrar un árbol del grafo. Por una parte, esto significa mayor complejidad de cómputo. Por otra, da mayor flexibilidad debido a la posibilidad de encontrar muchos árboles distintos en el mismo grafo.
4.3 Tratamiento de las fuentes controladas
Tratamos aquí con más detalle la manipulación de fuentes controladas en relación con las distintas técnicas de análisis.
4.3.1 Técnicas basadas en hacer N=-1
Las únicas fuentes permitidas son las VCCS como la que se muestra en la Fig. 4.2.
La fila p-ésima de las relaciones constitutivas en (4.14) es:
(4.24)
y la fila k-ésima:
(4.25)
Los restantes tipos deben ser previamente transformados. Consideraremos separadamente la puerta controlada y la de control.
Transformación de la puerta controlada
4.3 Tratamiento de las fuentes controladas
Transformación de la puerta de control
Si el control es por intensidad, la intensidad de control deberá expresarse en función de tensiones de rama y/o fuentes independientes, tal como se ilustra en la Fig. 4.4.
La intensidad:
(4.26)
De este modo la puerta controlada queda como una rama compuesta del tipo de la Fig. 4.5, con la siguiente ecuación constitutiva:
(4.27) μVp
Y
μYVp
Y
Figura 4.3: Ilustrando la transformación de la puerta controlada.
I1 Y1 Vs1 Is1 Ic Im Ym Ism Vsm μIc Ik Vk + −
Figura 4.4: Ilustrando la transformación de la puerta de control.
4.3.2 Técnicas basadas en hacer M=-1
Las únicas fuentes permitidas son las CCVS como la que se muestra en la Fig. 4.6.
La fila p-ésima de las relaciones constitutivas en (4.3) es:
(4.28)
y la fila k-ésima:
(4.29)
Los restantes tipos deben ser previamente transformados. Consideraremos separadamente la puerta controlada y la de control.
Transformación de la puerta controlada
Si la puerta controlada es una fuente de intensidad debe combinarse en paralelo con una resistencia, condensador o bobina y aplicar Norton-Thevenin, tal como se ilustra en la Fig. 4.7.
Ik + − Vk μ YpVp p=1 m
∑
μ (Isp–YpVsp) p=1 m∑
≡IskFigura 4.5: Puerta controlada resultante de la transformación de la puerta de control.
4.3 Tratamiento de las fuentes controladas
Transformación de la puerta de control
Si el control es por tensión, la tensión de control deberá expresarse en función de intensidades de rama y/o fuentes independientes, tal como se ilustra en la Fig. 4.8.
La tensión:
(4.30)
De este modo la puerta controlada queda como una rama compuesta del tipo de la Fig. 4.9, con la siguiente ecuación constitutiva:
(4.31) (hacer problema 30) μΖIp Z μIp Z
Figura 4.7: Ilustrando la transformación de la puerta controlada.
I1 Z1 Vs1 Is1 μVc Ik Vk + −
Figura 4.8: Ilustrando la transformación de la puerta de control.
4.4 Formulación por inspección del análisis nodal y de mallas
Aquí veremos cómo formular por inspección del circuito (sin cálculos matriciales) las ecuaciones nodales y de malla. Aunque para las de bucle y corte también se puede derivar un procedimiento de este tipo, puede resultar de aplicación compleja en un caso genérico.
4.4.1 Formulación nodal por inspección
Las ecuaciones nodales se pueden expresar como:
(4.32)
Cada componente de Js resume la influencia de las fuentes independientes en cada nudo: (4.33)
Supongamos que sólo se admiten:
a) Fuentes independientes (tensión o intensidad). b) Resistencias, condensadores y bobinas.
c) VCCS.
Las contribuciones de estas entidades a las matrices Yn y Js se pueden escribir directamente por inspección. Para las fuentes independientes, resistencias, condensadores y bobinas, cuya rama genérica se muestra en la Fig. 4.10 tendremos las siguientes contribuciones:
Ik + − Vk μ ZpIp p=1 m
∑
μ Vsp–ZpIsp ( ) p=1 m∑
≡VskFigura 4.9: Puerta controlada resultante de la transformación de la puerta de control.
YnVn = Js
4.4 Formulación por inspección del análisis nodal y de mallas
(4.34)
Para la VCCS que se muestra en la Fig. 4.11, tendremos la contribución:
(4.35)
Las distintas contribuciones individuales se suman sobre las matrices. Nótese que la suma de filas o columnas es nula.
(hacer problema 31)
Nótese que el método de escritura por inspección se puede extender a un elemento bipuerta genérico, o a uno de tres terminales, con tal que se disponga de una representación de
Yn; j k j k y –y y – y Js; j k yVs–Is y – Vs+Is
Figura 4.10:Rama genérica.
admitancia para los mismos. Así, para una bipuerta como la de la Fig. 4.12, con la descripción de admitancia que se muestra la formulación por inspección de la matriz nodal es:
(4.36)
Suponiendo que los nudos j’ y k’ coinciden tenemos un elemento de tres terminales. La correspondiente matriz nodal de admitancias se obtiene sumando primero las columnas j’ y k’ y después las filas j’ y k’.
4.4.2 Formulación de mallas por inspección
Recordemos que la formulación de mallas se aplica sólo a grafos planares:
(4.37)
Para las fuentes independientes, resistencias, condensadores y bobinas, cuya rama genérica se muestra en la Fig. 4.13 tendremos las siguientes contribuciones:
(4.38)
Para la CCVS que se muestra en la Fig. 4.14, tendremos la contribución: Yn j j′ k k′ j j′ k k′ y11 –y11 y12 –y12 y11 – y11 –y12 y12 y21 –y21 y22 –y22 y21 – y21 –y22 y22 k j j‘ k‘ I1 I2 V1 V 2 + − + − I1 I2 y11 y12 y21 y22 V1 V2 =
Figura 4.12: Bipuerta con descripción de admitancia.
4.5 Formulación tableau
(4.39)
Las distintas contribuciones individuales se suman sobre las matrices.
4.5 Formulación tableau
Los métodos anteriores son eficientes y se han utilizado en muchas aplicaciones pero no pueden manejar todos los elementos ideales debido a la necesidad de escribir las ecuaciones constitutivas de forma restringida, en uno de los siguientes tipos:
(4.40)
Si no se impone dicha restricción las ecuaciones constitutivas se escriben en la forma: Figura 4.13: Rama genérica.
(4.41)
lo que significa que en la correspondiente formulación no resulta posible eliminar V o I. Las formulaciones anteriores son casos particulares de una formulación general denominada tableau. En esta formulación, todas las ecuaciones que describen el circuito: constitutivas, KVL y KCL se combinan en una gran ecuación matricial sin eliminar variables.
Por ejemplo, una posible formulación desde esta perspectiva sería:
(4.42)
En esta formulación se ha utilizado la matriz B. En otras puede utilizarse la matriz Q. Sin embargo, estas dos matrices, que sabemos que están relacionadas, requieren un esfuerzo importante para calcularlas: selección de un árbol y transformación adecuada de las matrices. Resulta mucho más fácil trabajar con la matriz de incidencia por lo que la formulación tableau la utiliza. De esta forma la formulación KCL utilizada en la formulación tableau es:
(4.43)
y las ecuaciones KVL:
(4.44)
Las formulación de las ecuaciones constitutivas se verá detalladamente en la Sección 4.6. Únicamente hacer notar que los condensadores se introducen en forma de admitancia y los inductores en forma de impedancia para mantener la variable s en el numerador.
La formulación tableau resulta de combinar estas ecuaciones:
(4.45)
Puede observarse que la formulación es muy general, en el sentido de que todo está disponible después de resolver las ecuaciones, aunque las matrices resultantes son de gran tamaño.
4.6 Análisis nodal modificado
4.6 Análisis nodal modificado
En el método de análisis nodal modificado se usan las siguientes variables: Vn: vector de tensiones en los nudos
Iaux: vector de intensidades auxiliares donde en Iaux se enbloba a:
a) Intensidades en elementos sin descripción de admitancia. A veces se incluyen aquí las intensidades en las bobinas ya que para las bobinas suele usarse la representación de impedancia.
b) Intensidades requeridas como salidas para elementos con descripción de admitancia.
Relaciones topológicas para MNA
(4.46)
(4.47)
donde se distinguen tres grupos de ramas:
(V1,I1) ramas con descripción de admitancia cuyas intensidades no se pidan como salida (V2,I2) ramas auxiliares (I2=Iaux)
(V3,I3) ramas de fuentes independientes de intensidad
Relaciones constitutivas para MNA
Para la escritura de estas ecuaciones supondremos que:
a) Cada elemento de dos terminales se asocia a una rama. No se usan ramas compuestas. b) En el caso más general, a cada bipuerta se le asocian dos ramas del grafo, una por puerta. Estos dos casos se ilustran en la Fig. 4.15.
Con esto las ecuaciones constitutivas para los distintos grupos de ramas quedan como:
La Fig. 4.16 muestra las ecuaciones constitutivas para los elementos básicos del grupo 1 mientras que la Fig. 4.17 muestra las ecuaciones constitutivas para los elementos básicos del grupo 2. La escritura de ecuaciones para los elementos del grupo 3 es inmediata.
Formulación de las ecuaciones MNA
Combinando las ecuaciones topológicas y constitutivas se obtiene:
(4.49) donde: j k k’ j k j’ j k’ k j’ j k
Figura 4.15: Ramas del grafo correspondientes a elementos de dos terminales y bipuertas. + − V I y I1 I2 V1 V2 gV1 + + − − I = yV I1 I2 0 0 g 0 V1 V2 =
Figura 4.16: Ecuaciones constitutivas para elementos básicos del grupo 1.
4.6 Análisis nodal modificado + − I1 I2 V1 V2 + − V I z + − V I + − Vs + − I1 I2 V1 V2 μI1 + − + − I1 I2 V1 V2 μV1 + − μI1 + − − + V1 V2 I1 I2 0I+1V = Vs 1V – +zI = 0 0 0 μ 1– V1 V2 1 0 0 0 I1 I2 + 0 0 = 1 0 0 –1 V1 V2 0 0 μ 0 I1 I2 + 0 0 = 1 0 0 0 V1 V2 0 0 μ 1– I1 I2 + 0 0 = 1 0 0 0 V1 V2 0 0 1 0 I1 I2 + 0 0 =
(4.50)
El primer grupo de filas en (4.49) da cuenta del balance de intensidades en cada nudo. El segundo grupo de filas son las ecuaciones constitutivas de los elementos del grupo 2.
Una vez resueltas las ecuaciones anteriores el resto de variables se puede obtener como:
(4.51)
Conviene hacer notar que tanto Yn1 como Js pueden escribirse por inspección según la técnica explicada en la Sección 4.4.1.
4.6.1 Escritura por inspección de las ecuaciones MNA
La derivación de las ecuaciones MNA usando grafos da lugar a información redundante asociada a las VCVS, CCCS, etc.
La escritura por inspección permite: (a) eliminar la información redundante y (b) simplificar la escritura.
Veamos ahora la metodología de escritura. Se pretende rellenar la siguiente matriz:
(4.52)
que se puede notar de forma general como:
(4.53)
La submatriz NxN T11 se rellena con los elementos del grupo 1, usando las técnicas vistas en relación con el análisis nodal. De modo análogo se rellena el vector Js. Lo anterior define el núcleo inicial de T y de Ks. Además el núcleo inicial de X está formado por Vn:
(4.54)
Ahora se insertan uno a uno los elementos del grupo 2: cada nuevo elemento amplía en 1 o 2 filas y columnas la matriz T, en 1 0 2 filas el vector Ks, e introduce 1 0 2 intensidades auxiliares
4.6 Análisis nodal modificado Ip I2 Ip z Ip E Ip μVc μIp + Ip Vc gVc − j j′ FILA j j′ COL 1 1 – 1 –1 –z j j′ FILA j j′ COL 1 1 – 1 –1 E j j′ k k′ j j′ k k′ 1 1 – g –g –1 k’ j’ j k j’ j j j’ + Vc − j j’ k k’ j j’ k k’ j j′ k k′ j j′ k k′ 1 1 – μ – μ 1 1– Ip Iq rIp j j′ k k′ j j′ k k′ 1 1 – μ μ – 1 –1 k’ k j’ j j j′ k k′ j j′ k k′ p q 1 1 – 1 1 – 1 –1 1 –1 –r 0 = Vj–Vj′–zIp E = Vj–Vj′ Ip – +g V( j–Vj′) = 0 Vk–Vk′–μ(Vj–Vj′) = 0 Vk–Vk′– Ir p = 0 Vj–Vj′ = 0 Vj–Vj′ = 0
4.6.2 Técnicas nodales para circuitos activos
En un número importante de circuitos sólo se requieren VCVS y fuentes independientes de tensión. Además las salidas son en tensión.
Supongamos que un terminal de cada VCVS y cada fuente independiente está conectado al nudo de referencia. Entonces:
a) La tensión en el otro terminal es conocida. b) La intensidad puede tomar cualquier valor.
La metodología de análisis es la siguiente:
1) Señalar las tensiones conocidas en el diagrama del circuito.
2) Escribir las ecuaciones KCL para los nudos que no correspondan a tensiones conocidas, es decir, para nudos no conectados a fuentes de tensión controladas o independientes.
3) Si hay A.O. y funcionan linealmente escribir tensiones iguales para los dos terminales de entrada. No escribir KCL para el nudo de salida del A.O. (tener en cuenta que se puede modelar mediante una VCVS por lo que el paso 2) impone esta restricción. (hacer problema 34) Ip k’ k j’ j k j j’ j j′ k j j′ k 1 1 –1 j j′ k k′ j j′ k k′ p q 1 1 – 1 1 – 1 –1 –sL1 –sM 1 –1 –sM –sL2 Ip Ip L1 L 2 M Vj–Vj′ = 0 0 = Vj–Vj′–sL1Ip–sMIq 0 = Vk–Vk′–sMIp–sL2Iq
4.7 Métodos algebraicos de resolución
4.7 Métodos algebraicos de resolución
El análisis de cualquier sistema lineal (mediante cualquiera de las formulaciones vistas anteriormente o variaciones sobre ellas) implica la resolución de un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
(4.55) donde:
(4.56)
Hay muchas formas de resolver (4.55). El método más conocido pero también el mas ineficiente es la regla de Cramer. Puede demostrarse que resolver (4.55) mediante la regla de Cramer requiere del orden de (2n+1)! multiplicaciones. El método más eficiente es el método de eliminación de Gauss.
4.7.1 Eliminación de Gauss
El método de eliminación de Gauss se basa en la elemental idea de eliminar sucesivamente variables hasta que quede una sola ecuación con una única variable. Entonces se resuelve esta ecuación para una variable, a la que llamaremos por ejemplo xn. Se sustituye esta variable en las ecuaciones anteriores para obtener las soluciones restantes. Para ilustrar el procedimiento consideremos el caso en que n=4, siendo el sistema a resolver:
(4.57)
(4.58)
(4.59)
(4.60)
El método de eliminación de Gauss para resolver un sistema de n ecuaciones consiste de dos etapas principales: (a) una eliminación adelante y (b) una sustitución hacia atrás.
Eliminación adelante
Es una etapa que se realiza en n−1 pasos, siendo n el número de ecuaciones. Para el caso considerado:
Paso 1: Eliminar x1 para obtener:
(4.61)
(4.62)
(4.63)
(4.64)
La ecuación (4.62) se obtiene multiplicando (4.57) por y sumando el resultado con (4.58).
De forma similar (4.63) y (4.64) se obtienen multiplicando (4.57) por y y sumando
el resultado con (4.59) y (4.60) respectivamente.
Este proceso de eliminación es equivalente a premultiplicar el sistema matricial de ecuaciones (4.57)-(4.60) por las siguientes matrices elementales:
(4.65)
Obsérvese que esta operación es válida solamente si . Este elemento se denomina pivote. Dejaremos para más adelante la discusión de cómo operar cuando el pivote es nulo.
Paso 2: Eliminar la variable x2 de las ecuaciones (4.63) y (4.64) para obtener:
4.7 Métodos algebraicos de resolución
(4.70)
Paso 3: Eliminar x3 de (4.69) para obtener:
(4.71)
(4.72)
(4.73)
(4.74)
La ecuación (4.74) se obtiene premultiplicando la ecuación matricial (4.66)-(4.69) por la siguiente matriz:
(4.75)
Las ecuaciones (4.71)-(4.74) se pueden escribir matricialmente:
(4.76)
Sustitución hacia atrás
Tras la eliminación adelante se puede obtener inmediatamente la última variable de (4.74) y mediante una sustitución hacia atrás en las ecuaciones previas ((4.71)-(4.73)) se obtiene el resto.
El elemento por el que se divide en cada paso, el pivote, debe ser no nulo. Si en algún paso es nulo se intercambian esa fila con otra inferior en el sistema de ecuaciones en el que el pivote
no sea nulo. Esta operación corresponde a un simple intercambio de ecuaciones y se refleja en un simple cambio de índices en la matriz.
Puede demostrarse que en el proceso de resolución aparecen errores de redondeo. Estos errores aumentan, pudiendo llegar a ser críticos, cuando el pìvote tiene pequeño valor. Una estrategia que suele funcionar bien consiste en intercambiar la fila con la fila, de entre las que quedan por debajo, que tenga el pivote mayor.
4.7.2 Factorización LU
Supongamos que C se puede descomponer como el producto de dos matrices:
(4.77) tal que L es una matriz triangular inferior (tiene elementos únicamente en la diagonal y debajo) con elementos no nulos en la diagonal, y U es una matriz triangular superior (tiene elementos en la diagonal y encima) con todos los elementos de la diagonal igual a la unidad. Una vez que se ha obtenido la factorización en la forma de la ecuación (4.77) la ecuación:
(4.78) se transforma en:
(4.79) y
(4.80) Primero se resuelve para y en (4.79) y después para x en (4.80). Dados que ambos son sistemas de ecuaciones triangulares las soluciones se obtienen fácilmente mediante sustitución hacia atrás.
El único problema que queda por resolver es la descomposición en los factores L y U. En la eliminación de Gauss el proceso de eliminación adelante proporciona explícitamente U. Puede demostrarse que cada elemento de L aparece en alguna etapa del proceso de eliminación adelante.
El método de Crout proporciona una forma de calcular los elementos de L y U de forma recursiva. Consideremos de nuevo el caso en que n=4; entonces la factorización debe ser tal que:
4.7 Métodos algebraicos de resolución
(4.82)
Los elementos de Q se calculan en el orden que marca la siguiente matriz, cuya posición de elementos corresponde con los de la ecuación (4.82):
(4.83)
Los elementos de L y U se obtienen simplemente igualando los elementos cjk sucesivamente en el orden indicado por (4.83):
(4.84)
Es importante destacar en este algoritmo que el cálculo de cada elemento de la matriz auxiliar Q sólo depende del elemento correspondiente de C y de elementos de Q que han sido ya calculados.
Tanto el método de eliminación de Gauss como el método de factorización LU de Crout requieren del orden de n3/3 operaciones para n grande. Las principales ventajas del método de Crout son por una parte que los errores de redondeo son menores y por otra parte que es más apropiado para la incorporación de técnicas para matrices sparse.
4.8 Métodos topológicos de resolución
4.8 Métodos topológicos de resolución
complejo), especialmente si el análisis se realiza mediante ordenador. Por métodos topológicos de análisis entendemos aquellas técnicas que proporcionan la función de red a partir de la estructura de un grafo relacionado de alguna forma con el circuito problema. Los métodos topológicos de análisis son interesantes por dos razones:
(a) La técnica de grafos de flujo de señal permite realizar razonamientos cualitativos cuando se realiza análisis a mano, por ejemplo visualizar realimentaciones, etc. (b) Estas técnicas son competitivas frente al cálculo de determinantes cuando se trata de
análisis simbólico, es decir, cuando todos o alguno de los parámetros del circuito permanece como parámetro simbólico.
4.8.1 Grafos de flujo de señal
4.8.1.1 Grafos de flujo de señal y la regla de Mason
Un grafo de flujo de señal es un grafo dirigido con peso que representa un sistema de ecuaciones lineales siguiendo las siguientes reglas:
1) Los nodos del grafo representan variables (dependientes o independientes). 2) Los pesos de las ramas representan coeficientes de las relaciones entre variables. 3) A cada nudo al que llegue alguna rama le corresponde la ecuación:
variable del nudo = (peso de la rama que llega x variable desde donde llega la rama)
donde el sumatorio se extiende a todas las ramas que llegan.
Es interesante pues ver ahora cómo obtener el conjunto de ecuaciones que representa un grafo de flujo de señal dado y cómo se puede construir un grafo de flujo de señal a partir de un cierto sistema de ecuaciones. Consideremos por ejemplo el grafo de flujo de señal de la Fig. 4.19.
De acuerdo con la regla (3) el grafo de flujo de señal representa el sistema de ecuaciones:
∑
x0 x1 x2 x3 a b c d e f g(4.85)
Un nodo de un grafo de flujo de señal que tiene únicamente ramas que salen de él se denomina nudo fuente. Un nudo con algunas ramas que entran en él se denomina nodo dependiente. Si un nudo dependiente tiene únicamente ramas que entran se denomina nodo sumidero. Por ejemplo, en el grafo de la Fig. 4.19, x0 es un nodo fuente, x1,x2, y x3 son nodos dependientes y x3 es un nodo sumidero.
Veamos ahora el problema de construir un grafo de flujo de señal a partir de un sistema de ecuaciones. Supongamos que las ecuaciones están expresadas de la forma:
(4.86)
Entonces la manera de construir el grafo de flujo de señal es obvia. Las variables en X son nodos dependientes, las variables en Xs son nodos fuente y los elementos de C y D son transmitancias de rama: Cij es la transmitancia de la rama que va del nodo Xj al nodo Xi y Dij es la transmitancia de la rama que va del nodo Xsj al nodo Xi.
Sin embargo, es frecuente que el sistema de ecuaciones lineales apareza en la forma:
(4.87) Existen distintos métodos para transformar un sistema de ecuaciones de la forma en (4.87) a la forma (4.86). Dependiendo del método usado el grafo de flujo de señal será distinto. Veremos que para circuitos lineales activos es posible formular las ecuaciones directamente en la forma (4.86).
Veamos en primer lugar cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones topológicamente a través del grafo de flujo de señal asociado. Para ello, es necesario introducir algunas definiciones previas:
Definiciones
Camino: consideremos que las ramas del grafo dirigido sólo se pueden recorrer en la dirección que marca la flecha. Un camino del nodo Xi al nodo Xj es cualquier ruta que salga del nodo Xi y llegue al nodo Xj, sin atravesar ningún nodo más de una vez.
Bucle: es un camino con igual nodo inicial y final.
Bucle de orden n: es un conjunto de n bucles sin nodos ni ramas en común.
Peso del camino: es el producto de todas las transmitancias de las ramas del camino. Peso del bucle: es el producto de todas las transmitancias de las ramas del bucle.
x1 = ax0+ dx2 x2 = bx0+cx1+ex2 x3 = fx1+gx2
X = CX+DXs
4.8 Métodos topológicos de resolución
(4.88)
y tres bucles cuyos pesos son:
(4.89)
Hay un bucle de segundo orden cuyo peso es . L1L3 y L2L3 no forman bucle de segundo orden porque se tocan entre sí.
Si en la ecuación (4.86) despejamos X en función de Xs obtenemos:
(4.90)
donde asumimos que la inversa de existe. Por tanto, cualquier variable correspondiente a un nodo dependiente puede expresarse en función de las variables de los nudos fuente como:
(4.91)
Cada Tji se denomina la transmisión del nodo fuente Xsi al nodo dependiente Xj. La llamada regla de Mason proporciona un mecanismo topológico para evaluar Tji. De acuerdo con ella:
(4.92)
donde Δ=1−(suma de los pesos de bucle)+(suma de los pesos de bucle de segundo orden)− (suma de los pesos de bucles de tercer orden)+...
Pk=peso del camino k-ésimo del nodo fuente Xsi al nodo dependiente Xj.
Δk=suma de los términos de Δ en los que ninguno de los bucles constituyentes tocan al camino k-ésimo.
P1 = ab P2 = cdfb
L1 = h L2 = de L3 = fbg
L1L2 = hde
Se puede demostrar que Δ es igual a por lo que a Δ se le suele denominar determinante del grafo.
(hacer problema 35) (hacer problema 36) (hacer problema 37)
4.8.1.2 Formulación del grafo de flujo de señal
En esta Sección describiremos cómo formular sistemáticamente un grafo de flujo de señal (SFG) para cualquier circuito lineal consistente de elementos pasivos RLC y fuentes, tanto independientes como controladas.
Consideremos primero el caso en que el circuito contiene unicamente inmitancias y fuentes independientes. Si consideramos que no existen bucles de fuentes de tensión ni cortes de fuentes de intensidad, entonces es posible encontrar un árbol T tal que todas las fuentes de tensión VE son ramas del árbol y todas las fuentes de intensidad IJ son ramas del coárbol. Consideraremos caracterizadas las ramas pasivas del árbol por la matriz de impedancia ZT y las ramas del coárbol por la matriz de admitancia YL. El SFG se construye siguiendo los siguientes pasos que se muestran esquemáticamente en la Fig. 4.21:
1) Expresar cada elemento de VL en función de VE y VT utilizando KVL. 2) Expresar cada elemento de IT en función de IL y IJ utilizando KCL.
3) Expresar la tensión de cada rama pasiva del árbol en función de la intensidad de la rama: VT=ZTIT.
4) Expresar la intensidad de cada rama pasiva del coárbol en función de la tensión de la rama: IL=YLVL.
El grafo de flujo de señal resultante se denomina grafo de flujo de señal primitivo. Se 1–C
4.8 Métodos topológicos de resolución
1) Para cada rama pasiva del coárbol Yk, expresar su intensidad en función de tensiones de las ramas del árbol utilizando Ik=YkVk y la ecuación KVL.
2) Para cada rama pasiva del árbol Zj, expresar su tensión en función de intensidades de las ramas del coárbol utilizando Vj=ZjIj y la ecuación KCL.
Este grafo de flujo de señal compacto se muestra esquemáticamente en la Fig. 4.21.
Si el circuito contiene además fuentes controladas se sigue el siguiente procedimiento para formular el grafo de flujo de señal compacto:
1) Reemplazar todas las fuentes controladas por fuentes independientes del mismo tipo. El circuito resultante no tiene fuentes controladas.
2) Formular el SFG compacto para el circuito resultante.
3) Expresar (y representar en el SFG) las salidas deseadas y las variables de control en función de tensiones de las ramas del árbol e intensidades de las ramas del coárbol, si ya no lo eran.
4) Imponer las restricciones de las ramas de las fuentes controladas. (hacer problema 38)
Figura 4.22:Grafo de flujo de señal compacto. VE
VT
IL
