TEMA 3.- Els nombres reals Correspondència amb el llibre de text: Temes 1 i 2.

TEMA 3.- Els nombres reals

Correspondència amb el llibre de text: Temes 1 i 2.

Guió dels continguts d’aquest tema:

Continguts

TEMA 3. Els nombres reals

3.1. Nocions de Teoria de Conjunts.

o Elements i conjunts: Notació i relacions.

}

{

∈ ∉ ⊂ ∅

=

^{a b c a A a B B A}

A , , ,...

o Operacions entre conjunts

Unió

_{( )}

_∪ , intersecció

_{( )}

_∩ y diferència

_{( )}

₋ 3.2. Los conjunts numèrics.

o ^{N, Z} i ^Q.

o ^I (Nombres irracionals)

o El conjunt dels nombres reals: ^R=^Q_∪^I 3.3. Intervals en ^R: definició i operacions. 3.4. Radicació en ^R.

3.4.1. Conceptes y notació. (coeficient, índex, radicand, ...) 3.4.2. Arrel n-èsima de un nombre real. Existència en ^R. 3.4.3. Expressió potencial d’un radical: potències de exponent

racional.

o Ús de la calculadora en el càlcul de potències y arrels. 3.4.4. Radicals equivalents.

o Simplificació de radicals o Passar a comú índex 3.4.5. Radicals semblants.

o Extracció e introducció de factores d’un radical. 3.5. Operacions amb radicals:

o Suma i resta.

o Producte i quocient de radicals: o Potència d’un radical.

o Arrel d’un altra arrel. 3.6. Operacions combinades.

o Identitats notables

Qualificació

[7 punts] Examen (23 de novembre) [1 punt] Treball amb textos matemàtics [2 punt] Exercicis per grups [1 punt] Exercicis per a entregar voluntaris

NOTA DEL TEMA 2

Departament de Matemàtiques

https://sites.google.com/a/salesianos.edu/departament-de-matematiques/ MATEMÀTIQUES 4t ESO Quadern Tema 3. NOMBRES REALS

Què has de saber fer en aquesta unitat

Competències curriculars

• Operar amb intervals mitjançant les operacions unió, intersecció i deferència entre conjunts.

• Passar de radical a potència

• Passar de potència a radical

• Simplificar radicals

• Extraure factors de radicals

• Sumar i restar radicals

• Introduir factors en un radical

• Transformar a un únic arrel, una expressió radical amb arrels niades

• Reduir a comú índex

• Fer el producte de radicals amb distint índex

• Fer el quocient de dos radicals amb distint índex

• Fer operacions combinades amb radicals

Exercicis complementaris:

1.- Indica raonadament si les següents afirmacions son vertaderes o falses: a) ₋2_∉^N

b) ⁻ ∈

8 24 Z

c)

a

_∈

_{ a , b , c , d , e _{} {}

_∩

a , e , i , o , u _}

d) ^N∩^Z=^Z

e) ^N_∪^Z=^Z f) ^N∈^Z g) ^N∉^Z h) ^N_⊂^Z

i) L’arrel quadrada d’un nombre positiu es sempre irracional. j)

π

∉^R

k)

[ ] [ ] ] ] ^{1 , 5}

∩

^{3 , 8}

−

^{3 , 5}

=∅ l) 1,2345678..._∈^Q

m)

_{] ]}

1,4 2

3∈

n)

_[ 2 ,

_+∞

_[

_⊂^Q o)

_[ ^{2 ,}

+∞

_[

⊂^R p) −⁵⊂^Z

2.- Representa a la recta real els següents conjunts, i si es possible expressa’ls com intervals:

a)

_{] ] [ ]} 0 , 3

_∪

1 , 7

b)

_{[ ] ] ]}

₋

1 , 3

_∩

2 , 6

c)

_{[ ] ] ]} 1 , 6

₋

3 , 8

d) ^R₋

_{] ]}

₋

5 , 1

e) ^R₋

_]

_−∞

, 2 _]

3.- Ja saps que 3²=9 _⇔ 9 =3^.

Sabent que: 2⁴=16, (-2)³=8, 2⁵=32,

8 27 3

2 ³ ₌



 



 , (0’4)³=0’064,

com definiries ⁴16, ³ −8, ⁵ 32, ³

8

27

, ³ 0'064? 4.- Escriu amb potències d’exponent fraccionari:

a) a _b)

₃

³

c) ³

3

2

_d) ⁴

_ab

²

a) ³

2

3 b) ⁴

1

2a c) ⁵

2

) 3

( a d) ²

5

2 3_⋅

6.- Simplifica al màxim els següents radicals, recordant que ^n⋅m

a

^m ₌ⁿ

a

: a) ⁴

4

b) ⁴ 9

c) ⁶ 27 d) ¹⁰

7

⁵

e) ¹²

a

³ f) ¹²

a

⁶

g) ¹²

a

¹² h) ^3x

a

^x

7.- Extrau els factors que es puga dels següents radicals: a) 8

b)

12

c) ³ 16

d) ³ 54

e) ⁵ 64 ^f)

4

27

g) ³

32

81

h) ⁵

8

5 10

y x

8.- Introdueix el coeficient dins del radical i simplifica: a) 5

2

b) 3 8 c) 2 5 d) 7 a

e)

^x x

1

f) ⁴

2

27

3

1

g)

3

2

3

2

h)

2

2 ax

a

i) ³

4

81

3

2

9.- S’anomenen radicals semblants els que tenen igual índex i igual radicand. Demostra que són semblants els següents radicals:

a) 5 2,3 8, 18 b)

3 a

²

, 27 , 75

c) ³ 81,³ 24,⁶ 9 10.- Opera:

a) 6 3-4 3+5 3 b) 3

²

+5

²

-8

²

c) 3

2

-3 8+3 18 d) 2a 3-

27a

² +a

12

e) 2a 2₋ 8₊3 2 f) 5_⋅ 6

g) 5_⋅³ 6 h) ³ 5_⋅ 6 i) a_⋅³ a j) a_⋅ 2a

k) ³ a⋅⁴ 2a l) a a·³ a·⁴ a m) 2·³ 3·⁴ 4 n)

8 2

o) 3 3

81 3

p)

512 32

q) 3 ₂

2

r)

4 3

3

2

2

·

2

s)

5 3

6

3

_·

a

a

a

t) 4 3 5 4

6 5

3 2

·

·

· a a

a a a

11.- Expressa amb un únic arrel i simplifica:

a) 8 _{c) 2 3 4}

e)

3

_⋅

¹

Departament de Matemàtiques

https://sites.google.com/a/salesianos.edu/departament-de-matematiques/ MATEMÀTIQUES 4t ESO Quadern Tema 3. NOMBRES REALS

f)

3

³

3

3 1

3

g) ³

4

2

2 1

h) a a i) ³

¹

a a

j) ³

a

b

b

a

12.- Realitza les següents operacions combinades amb radicals: a) 2 3⋅

₍

3 12+5

₎

b)

₍

2 3₋3 2

₎

² c)

₍

1−4 5

₎₍

1+4 5

₎

d)

₍

2 3−4 5

₎₍

12+2 5

₎

e)

₍

3−2 2

₎₍

3+2 2

_{) (}

−31+ 6

₎

f) 3 2−

₍

2 2+1

_{) (}

² + 3−5 8

₎₍

2 18−2

₎

a) ⁻ _∈ 7

21 Z

b)

e

_∈

_{ a , b , c , d , e _{} {}

₋

a , e , i , o , u _}

c) ^N_∈^Z

d) L’arrel quadrada d’un nombre positiu es sempre irracional. e) Les arrels de radicand negatiu no tenen solució

f) ⁻ _∉

4 8 2³

R

g) El resultat de

[ ] [ ] ^{1 , 5}

∩

^{3 , 8}

és un conjunt que només té tres elements: 3, 4 i 5 h) 1,2345678..._∈^Q

2.- Representa a la recta real els següents conjunts, i si es possible expressa’ls com intervals:

a)

_{] ] [ ]} 0 , 3

_∪

1 , 7

b)

_{[ ] ] ]}

₋

1 , 3

_∩

2 , 6

c)

_{[ ] ] ]} 1 , 6

₋

3 , 8

3.- Realitza les següents sumes i restes entre radicals. En alguns casos cal extraure

factors o simplificar prèviament.2³ 7+5³ 7

a) 3 20+4 45−6 5 b) 4 8−5⁴ 4+3 50 ^c)

175

3

3

5

56

12

2

1

+

4.- Realitza les següents multiplicacions i divisions, passant a índex comú. a)

_{( ) ( )}

^{36 2} ⋅ ^{54 8}

b) ₃3 ₂₅

5 2

5.- Expressa amb un únic arrel, i com a potencia de base 2.:

a) 2 2 _b) ³ _{2 32}²



 





6.- Realitza les següents operacions combinades amb radicals: a)

₍

^{3 8}−^{5 2}

_{) (}

⋅ ³+ ²

₎

b)

₍

2 3−3 2

₎

²

c)

₍

3₋2 2

₎₍

3₊2 2

_{) (}

₋ 1₊ 6

₎

²

7.- Les següents operacions no són correctes. Troba l’error: a)

₍

2 3+5

_{) ( )}

² = 2 3 ² +5² =4⋅ 3² +25=37

b)

_{( )}

¹⁵

29 3 4 5 3 2

4 5 3

10 5

2 5

2 ⋅ = ⋅ ⁺ =

c) ³ 4_⋅² 7 ₌⁶ 8_⋅⁶ 21₌⁶ 168