Ingeniería Civil 173/2014 | 1
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Estudios sobre flexión en vigas de inercia variable
Bending studies on variable inertia beams
Carlos Méndez Esteban*
Palabras clave viga; flexión; curvatura; cortante; inercia variable; Sumario
Se plantea en este artículo un desarrollo basado en las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban (Ecuaciones 1), Se procede forzando la tercera ecuación de Méndez-Esteban a que los cortantes internos debidos a la flexión se anulen en todos los puntos de la viga. De esta manera se obtienen unas ecuaciones diferenciales que darían lugar a unas formas de vigas o leyes de cantos.
Para esta ley de cantos como se ha impuesto, los cortantes internos de flexión son nulos, lo cual daría lugar a dos cosas, la primera, que las curvaturas internas deben ser constantes a lo largo de toda la viga y, la segunda, que las fuerzas tangentes deben provenir siempre de la proyección de una compresión inclinada.
Las curvaturas internas constantes darían como resultado un diagrama de momentos internos distribui-dos según la inercia de la viga, mientras que la ley de momentos externos tendría distribución lineal o pa-rabólica. Esto daría lugar a un conflicto puesto que si el mecanismo de trabajo de la viga fuera la flexión, los momentos internos debidos a las curvaturas internas deben coincidir con los momentos externos. Al no cum-plirse esto, se considera que el mecanismo de funcionamiento de estas vigas con la ley de cantos que se de-duce, debe ser diferente a la flexión y se busca un mecanismo de funcionamiento alternativo a modo de arco comprimido. Keywords beam; bending; curvature; shear; variable inertia; Abstract
The scope of this article is a development based on the Méndez-Esteban bending equations. Forcing the third Méndez-Esteban bending equation that the internal shear due to bending to be null in all the points of the beam, a differential equation is obtained whose solution give a distribution of depths. For this distribution of depths the fact that the internal shear is null give place to two things , first that the internal curvatures must be constant along all the beam and second that the tangent forces must come from a projection of a inclined com-pression. The fact of the internal curvatures are constant give place to a internal moments diagram distributed following the inertia, this in general do not match with the distribution of the external moments. This would make a conflict of the second Méndez –Esteban equation, because the internal moments due to the curvature should coincide with the external moments. Cause of this conflict, an alternative mechanism for this beams is deducted, as a compressed arch.
1. INTRODUCCIÓN
Este artículo se desarrolla en el marco de una de las teo-rías científicas del sólido deformable: la teoría de vigas, que tiene su origen en las investigaciones de Leonhard Euler (1707-1783), Daniel Bernoulli (1700-1782) y Henri Navier (1785-1836). Sus aportaciones científicas siguen vigentes después de dos siglos, utilizándose en la práctica de la in-geniería civil.
Mediante la derivación completa de las ecuaciones de fle-xión tradicionales y considerando la inercia de área como una función variable, y tomando el eje x como la abcisa de la viga (el paramento superior en el caso normal de variación de can-to por el paramencan-to inferior), se obtienen las nuevas ecuacio-nes de flexión de Méndez-Esteban, publicadas en un artículo anterior (1). La realidad física de los resultados obtenidos es objeto de posibles líneas de investigación ya que se trata de consideraciones teóricas, fruto de resoluciones numéricas matemáticas, que no han sido contrastadas físicamente.
Las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban son (el apóstrofe significa derivada respecto de x, doble apóstrofe es derivada segunda):
En el presente artículo desarrollo una nueva investiga-ción a partir de estas ecuaciones.
2. COMPORTAMIENTO DE VIGAS CON EXTREMOS FIJOS En una viga con extremos inferiores fijos sometida a carga, el centro de giro en las secciones extremas nor-malmente no coincide con el punto de apoyo. Para que se produzca el giro, es necesaria una traslación inferior. Si la traslación está impedida, el giro también lo está. Por lo tanto, si suponemos que la viga se comporta como si estuviera empotrada en los extremos, aparecería en estos
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Las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban son (el apóstrofe significa derivada
respecto de x, doble apóstrofe es derivada segunda):
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜃𝜃𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2 =𝐸𝐸𝐸𝐸∙𝐼𝐼𝐼𝐼𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑑𝑑3𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥3 = − 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′ 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼2 𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥4 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼 − 2 ∙ −𝑄𝑄𝑄𝑄 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′ 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼2 + 2 ∙ 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′2 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∗ 𝐼𝐼𝐼𝐼3 − 𝑀𝑀𝑀𝑀 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼′′ 𝐸𝐸𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼2
En el presente artículo desarrollo una nueva investigación a partir de estas
ecuaciones.
3. COMPORTAMIENTO DE VIGAS CON EXTREMOS FIJOS
En una viga con extremos inferiores fijos sometida a carga, el centro de giro en las
secciones extremas normalmente no coincide con el punto de apoyo. Para que se
produzca el giro, es necesaria una traslación inferior. Si la traslación está impedida, el
giro también lo está. Por lo tanto, si suponemos que la viga se comporta como si
estuviera empotrada en los extremos, aparecería en estos un momento provocado por
una fuerza P, tal y como se muestra en la figura 1:
Si consideramos ahora sucesivas vigas de inercia variable por variación del canto
hecho mediante recortes, la fuerza horizontal va aumentando y, por lo tanto, los
momentos en los extremos también.
El mecanismo de funcionamiento básico de estas vigas sería el que se muestra en la
figura 2:
Figura 1
Ecuaciones 1
Figura 1. Viga con extremos fijos.
Si consideramos ahora sucesivas vigas de inercia va-riable por variación del canto hecho mediante recortes, la fuerza horizontal aumenta y, por lo tanto, los momentos en los extremos también.
El mecanismo de funcionamiento básico de estas vigas sería el que se muestra en la figura 2:
Figura 2. Viga de inercia variable con extremos fijos.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE NO CORTANTE INTERNO
Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento en flexión de las vigas de inercia variable son las ecuaciones de flexión de Méndez-Esteban.
En estas ecuaciones, las leyes de fuerzas externas son M,Q,p mientras que los esfuerzos internos de flexión son:
Si se parte de la tercera ecuación de flexión de Méndez-Esteban, obligando a que el cortante interno sea cero, esto es:
Esta última es la ecuación diferencial general que debe cumplir la ley de cantos de la viga para que el cortante
in-terno se anule.
Si suponemos que actúa una carga puntual “P” en el centro de la pieza y poniendo la fuerza horizontal en los extremos como una constante K multiplicada por una expresión de “P”, entonces, siendo ce el canto en el extremo:
Se obtiene la ecuación diferencial anterior particulari-zada para la carga puntual en el centro de la pieza.
En el caso de carga uniforme repartida “p” a lo largo de la pieza y poniendo la fuerza horizontal en los extre-mos también en proporción mediante K a una expresión de “p”:
Esta sería la ecuación diferencial que debe cumplir la ley de cantos para que no haya cortantes internos y por lo tanto la curvatura interna o es constante o es cero.
A continuación se muestran dos soluciones de la ley de cantos a partir de las ecuaciones diferenciales anteriores. Son soluciones para una viga de 10 metros con 2 metros de canto en los extremos.
Ecuación 2
La primera solución es para carga puntual forzando K=1.5 y son dos jabalcones cuyo vértice coincide con la posición de la carga puntual. El canto que sale en el centro es 0.66 (figura nº 3).
La segunda solución es para carga uniformemente re-partida forzando K=1.5 y es una parábola. El canto en el centro es 1 (figura nº4).
El hecho de que la curvatura interna sea constante o cero daría lugar a una distribución de momentos internos que sigue una distribución paralela a las inercias (p.ej para-bólica para distribución de cantos lineal en el caso estudiado) mientras que la ley de momentos externos M es variable en función de las cargas externas (para una carga puntual en una viga con distribución de cantos lineal por ejemplo, los mo-mentos internos darían una ley parabólica y los momo-mentos externos darían una ley lineal). Este hecho entra en conflicto con la segunda ecuación de flexión de Méndez-Esteban pues-to que no se cumpliría la igualdad, con la distribución de can-tos c(x) solución de las ecuaciones diferenciales anteriores.
Esto podría implicar el descarte del mecanismo de fle-xión para la distribución de cantos c(x) por no cumplirse la igualdad segunda de las ecuaciones de Méndez-Esteban y habría que buscar un mecanismo de comportamiento al-ternativo a la flexión
4. MECANISMO ALTERNATIVO A LA FLEXIÓN
Veamos ahora cual podría ser el mecanismo de funciona-miento de estas vigas, vamos tantear simplemente una com-presión del paramento inferior a modo de arco comprimido.
Figura 5. Mecanismo alternativo a la flexión para carga puntual en el centro.
Figura 6. Mecanismo alternativo a la flexión para carga repartida uniforme.
Figura 3. Ley de cantos solución de la ecuación diferencial para carga puntual en el centro.
tantea, tomando P=1 se obtienen los siguientes gráficos
coincidentes (figuras números 7 y 8): compresión serían:Y los momentos internos producidos por la fuerza de
Figura 8. Fuerzas tangenciales internas para carga puntual en el centro. Figura 7. Fuerzas tangenciales externas para carga puntual en el centro.
Comprobemos para P=1 que efectivamente los gráficos son coincidentes (figuras números 9 y 10).
Veamos ahora el caso de la carga uniformemente repartida:
Comprobación 1:
Se incluyen a continuación las expresiones de la fuerza tangencial externa Fe y la fuerza tangencial interna Fi:
A continuación se incluyen los gráficos de ambas distri-buciones de fuerzas Fi y Fe coincidentes en todas las secciones (figuras números 11 y 12).
Esto implica además, al igual que antes, que las fuerzas de compresión siguen el paramento inferior.
Comprobación 2:
Se puede comprobar que en cada sección los momentos externos vienen dados por la siguiente ecuación:
Figura 11. Fuerzas tangenciales externas para carga repartida uniforme. Figura 10. Momentos internos para carga puntual en el centro.
Y los momentos internos:
A continuación se incluyen los gráficos de ambas dis-tribuciones que son coincidentes en todas las secciones (fi-guras números 13 y 14).
Luego en ambos casos se cumplirían lo siguiente: la compresión sigue el paramento inferior, el equilibrio de fuerzas verticales en todas las secciones y el equilibrio de momentos en todas las secciones.
5. CONCLUSIÓN
En función de las dimensiones de la viga y de las car-gas aplicadas y condiciones de contorno se puede en-contrar ciertas ecuaciones diferenciales que dan lugar a determinadas formas de la distribución de cantos de una viga de inercia variable para las cuales se produce una in-coherencia en la segunda ecuación de flexión, y se dedu-ce que debe haber un mecanismo de funcionamiento de estas vigas alternativo a la flexión. Se ha encontrado que pueden existir vigas que no flectarían y que una com-presión constante en el paramento inferior puede ser un mecanismo alternativo. Las formas de los cantos que se obtienen como solución de las citadas ecuaciones dife-renciales son similares a las isostáticas de compresión que pasan por los apoyos.
6. BIBLIOGRAFÍA
Méndez Esteban, C. Ecuaciones de la flexión en piezas con inercia variable Revista Ingeniería Civil, (I.S.S.N 0213-8468- N.I.P.O.:163-10-012-8. Depósito Legal M-28150-1971), nº 159, pp103-113, jul-ago-sept 2010. 2010).
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Figura 14. Momentos internos para carga repartida uniforme. Figura 13. Momentos externos para carga repartida uniforme.
