Departamento de Matemática Miss Romina Heredia
Guía Nº 5
Síntesis Unidad 5: “Sistemas de Ecuaciones Lineales”
Nombre: ___________________________________ Curso: II medio
Rut: ______________ Nº de lista: _____ Fecha: ___________________
OBJETIVOS
1. Ubicar rectas en el plano cartesiano y determinar diversos elementos de ella. 2. Determinar condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
3. Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
4. Aplicar los sistemas de ecuaciones lineales a problemas de enunciado verbal. INSTRUCCIONES GENERALES
a. Desarrolle esta guía en su cuaderno o cuadernillo según corresponda. b. Cada respuesta debe estar justificada.
RECUERDA QUE…
Una recta es de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 donde 𝑚 es su pendiente y 𝑛 es su coeficiente de posición.
La pendiente𝒎 de una recta puede ser positiva, negativa o cero y representa el grado de inclinación que posee la recta respecto al eje 𝑥. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2) está dada por 𝑚 =∆𝑦∆𝑥=𝑦𝑥2−𝑦1
2−𝑥1
El coeficiente de posición 𝒏 es el punto donde intersecta al eje 𝑦. Dos rectas son paralelas cuando poseen igual pendiente.
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es igual a -1.
Un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, representa la búsqueda del punto en el cual estas rectas se intersectan. Cuando esto ocurre decimos que el sistema posee una única solución. Cuando las dos rectas involucradas en el sistema son paralelas diremos que el sistema no posee solución; mientras que para dos rectas paralelas coincidentes se tienen infinitos puntos de intersección o infinitas soluciones.
Cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales son: Igualación, sustitución, determinantes y Regla de Cramer.
Selección Única:
Desarrolle los ejercicios de selección múltiple de su cuadernillo de las páginas 120, 121 y 122.
Desarrollo:
I. Para cada una de las siguientes rectas determine su pendiente, coeficiente de posición y ubíquelas en el plano cartesiano. Determine si el punto indicado pertenece o no a la recta.
a) 3𝑥 − 2𝑦 = 𝑥 + 2 (2,2) b) 𝑥 + 𝑦 = 2 (6, −4) c) 𝑥 − 𝑦 = −1 (10,11) d) 𝑦 = 14𝑥 + 2 (8, −1) e) 𝑥 = 5𝑦 − 3 (−3,0) f) 6 = 𝑥 + 𝑦 − 2 (4, −1)
II. Escriba una recta paralela y una perpendicular a cada una de las siguientes rectas. a) 3𝑥 − 𝑦 = 8 b) 𝑥 − 𝑦 = 3 c) 2𝑥 − 3𝑦 − 8 = 2 d) 9𝑥 − 3𝑦 = 3 e) 10 − 𝑦 − 𝑥 = 0 f) 𝑥 = 8𝑥 − 𝑦 g) 3𝑦 − 𝑦 = 5
III. Determine la pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos. a) (3,2) y (1, −2)
b) (5,1) y (−2,0) c) (−1, −2) y (−3,2) d) (1, −9) y (−2, −2) e) (2,1) y (3,4)
IV. Resuelva los siguientes sistemas según el método que se indica y clasifique su solución en única, infinitas o sin solución.
a) 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 03𝑥 − 5𝑦 = 7 Reducción e) 3𝑥 + 2𝑦 = 85𝑥 − 𝑦 = 9 Reducción
b) 𝑥 + 4 = 3 − 3𝑦2𝑥 − 8 − 𝑦 = 1 Sustitución f) 𝑥 − 2𝑦 = 54𝑥 + 1 = 0 Sustitución
c) 3𝑥 − 4𝑦 = 15𝑥 + 2𝑦 = 2 Determinantes g) 5𝑥 − 𝑦 − 8 = 03𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 Determinantes
d) 3𝑥 − 5𝑦 = 𝑥 + 32 + 3𝑦 = 2 Igualación h) 𝑥 − 1 = 𝑦 + 2𝑥𝑥 + 3𝑦 = 2 Igualación
V. Desarrolle de la sección “Para Aplicar” todos los ejercicios que no fueron trabajados en clases.
Recuerde revisar y resolver los ejercicios trabajados en clases
Departamento de Matemática Miss Romina Heredia
Guía de Síntesis, Unidad N°6:
“La Circunferencia y sus ángulos”
Nombre: ___________________________________ Curso: II medio Rut: ______________ Nº de lista: _____ Fecha: ___________________
OBJETIVOS
1. Identificar la posición relativa de dos circunferencias.
2. Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.
3. Relacionar la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.
4. Relacionar la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo semi-inscrito, e inscrito.
5. Relacionar las medidas de ángulos interiores y exteriores en una circunferencia con las medidas de los arcos que subtienden.
6. Explicar propiedades de las cuerdas en una circunferencia.
7. Aplicar las relaciones que se establecen entre trazos determinados por cuerdas, secantes y tangentes de una circunferencia.
INSTRUCCIONES GENERALES
a. Lea con atención cada ejercicio y resuelva según corresponda en su cuaderno o cuadernillo.
b. En el caso que sea necesario, realice el dibujo respectivo para el ejercicio que corresponde.
c. Utilice su compás y transportador de forma pertinente, recuerde que los materiales son personales.
RESUMEN
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto llamado centro. Se denomina radio al trazo que une a la circunferencia con su centro.
Los principales elementos de la circunferencia son:
Una circunferencia con respecto a otra circunferencia puede tener diferentes posiciones que dependen de la relación que se establece entre los radios de ambas y la distancia entre sus centros. Es por ello que con respecto a la posición relativa de dos circunferencias se puede diferenciar los casos siguientes:
Si las dos circunferencias no tienen puntos comunes pueden ser circunferencias exteriores, circunferencias interiores o concéntricas.
Si las dos circunferencias tienen dos puntos comunes entonces son secantes.
Si las dos circunferencias tienen un punto común entonces pueden ser circunferencias tangentes exteriores o circunferencias tangentes interiores. El punto de intersección o punto común de las dos circunferencias se denomina punto de tangencia.
Algunas relaciones angulares es la circunferencia son:
Selección única:
Desarrollo:
I. Construya en su cuaderno, usando compás y transportador, los casos solicitados a continuación: a. Una circunferencia de radio 3[cm] que sea tangente exterior a una circunferencia de 4[cm].
b. Un ángulo inscrito de 33° en una circunferencia, y un ángulo del centro que subtienda el mismo arco. c. Un ángulo del centro de 120°, y un ángulo semi-inscrito que subtienda el mismo arco.
II. Identifique el(los) tipo(s) de ángulo(s) y encuentre el valor del(los) ángulo(s) desconocido(s):
a. b.
c. d.
e. f.
III. Encuentre el valor del segmento desconocido:
a. b.
c. d.
IV. Realice todos los ejercicios restantes de su cuadernillo de las secciones “Para Ejercitar” y “Para Aplicar”.
Recuerde revisar y resolver los ejercicios y guías trabajadas
Departamento de Matemática Miss Romina Heredia
Guía Síntesis Unidad 7: “Estadística”
Nombre: ______________________________________ Curso: II medio
Rut: _________________ Nº de lista: _____ Fecha: ___________________
OBJETIVOS
1. Identificar población, muestra y tipos de variables.
2. Construir tablas de frecuencias para datos agrupados y no agrupados.
3. Conocer y aplicar las medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados.
4. Conocer y aplicar las medidas de dispersión y localización para datos agrupados y no agrupados.
5. Interpretar muestras estadísticas.
INSTRUCCIONES GENERALES
a. Desarrolle esta guía en su cuaderno o cuadernillo según corresponda.
b. Cada respuesta debe estar justificada.
RECUERDA QUE…
Para realizar un estudio es siempre importante conocer la población y muestra de estudio, así como las variables.
Los diversos tipos de gráficos nos permiten representar los datos de una muestra. Las tablas de frecuencias nos permiten ordenar los datos de una muestra.
Las medidas de tendencia central son: Moda (Mo), mediana (Me) y media aritmética (𝑥̅) Para el caso de datos agrupados, tenemos:
𝑥̅ =𝑥1· 𝑓1+ 𝑥2· 𝑓2+ ⋯ + 𝑥𝑛· 𝑓𝑛 𝑛 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖+ 𝑓𝑖− 𝑓𝑖−1 (𝑓𝑖− 𝑓𝑖−1) + (𝑓𝑖− 𝑓𝑖+1)· 𝑐 𝑀𝑒 = 𝐿𝑖+ 𝑛 2⁄ − 𝐹𝑖−1 𝑓𝑖 · 𝑐 Donde: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛marca de clase.
𝑛 número de datos de la muestra.
𝐿𝑖 extremo inferior del intervalo donde se encuentra la moda o mediana.
𝑓𝑖frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la moda o mediana.
𝑓𝑖−1frecuencia absoluta del intervalo anterior al donde se encuentra la moda o mediana.
𝑓𝑖+1frecuencia absoluta del intervalo posterior al donde se encuentra la moda o mediana.
𝐹𝑖−1frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra la mediana.
𝑐 amplitud o longitud del intervalo.
Cuatro de las medidas de dispersión son: rango, desviación media, varianza y desviación estándar. Desviación Media 𝐷𝑀 =|𝑥1− 𝑥̅| · 𝑓1+ |𝑥2− 𝑥̅| · 𝑓2+ ⋯ + |𝑥𝑛− 𝑥̅| · 𝑓𝑛 𝑛 Varianza 𝑠2 =(𝑥1− 𝑥̅)2· 𝑓1+ (𝑥2− 𝑥̅)2· 𝑓2+ ⋯ + (𝑥𝑛− 𝑥̅)2· 𝑓𝑛 𝑛 Desviación estándar 𝑠 = √(𝑥1− 𝑥̅)2· 𝑓1+ (𝑥2− 𝑥̅)2· 𝑓2+ ⋯ + (𝑥𝑛− 𝑥̅)2· 𝑓𝑛 𝑛
Para la desviación media, desviación estándar y varianza ha de considerarse que:
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛datos de la muestra o marca de clase según corresponda.
𝑥̅ media aritmética
𝑛 número de datos de la muestra.
Las medidas de localización son: Cuartiles, quintiles, deciles, percentiles. N-ésimo percentil
𝑃𝑛= 𝐼𝑖+ (𝐼𝑖+1− 𝐼𝑖) · 𝑓𝑛− 𝑓𝑖 𝑓𝑖+1− 𝑓𝑖
𝐼𝑖 extremo izquierdo del intervalo donde se ubica el percentil.
𝐼𝑖+1 extremo derecho del intervalo donde se ubica el percentil.
𝑓𝑖frecuencia acumulada hasta 𝐼𝑖
𝑓𝑖+1frecuencia acumulada hasta 𝐼𝑖+1
𝑓𝑛 frecuencia acumulada hasta el percentil buscado 𝑃𝑛
Selección única:
Desarrolle los ejercicios de selección única de su cuadernillo de las páginas 178, 179 y 180.
Desarrollo:
Resuelva los siguientes ítems en su cuaderno:
1) Considere los siguientes datos correspondientes a una encuesta que preguntaba a 30 personas de una empresa textil: ¿Cuántos vasos de agua consume al día?
4 6 5 0 2 7 9 2 9 0
6 4 9 3 5 8 4 5 8 4
0 1 1 5 2 5 2 3 4 7
a) ¿Cuál es la población estudiada? b) ¿Cuál es la muestra estudiada?
c) ¿Qué tipo de variable se puede identificar?
d) Construya una tabla de frecuencias de datos no agrupados en la que se observe: Frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa, frecuencia relativa acumulada, frecuencia porcentual, frecuencia porcentual acumulada.
e) Con la ayuda de la tabla anterior calcule: Moda, mediana, media y rango.
f) Construya una tabla de frecuencias para datos agrupados, considerando que cada intervalo debe contener 3 datos y el primer intervalo comienza con el menor de los datos.
g) Calcule las medidas de tendencia central para la tabla del ítem f. h) Calcule D6, Qn4, P76, para la tabla del ítem f.
i) Calcule las desviaciones medias y estándar para la tabla del ítem f. j) Enuncie al menos cinco ideas a partir de los datos y tablas obtenidos. 2) Desarrolle en su cuaderno los siguientes problemas:
Sección “Para Aplicar”: Ejercicio 3. Sección “Para Reflexionar”: Ejercicio 3.
Recuerde revisar y resolver los ejercicios trabajados en
clases de la sección “Para Ejercitar” de su cuadernillo
Fuente: capítulo 6: “El personaje de la grafica”
Texto completo disponible en http://nsaruba.athost.net/huff/estadisticas.pdf
Departamento de Matemática Miss Romina Heredia
Guía de Síntesis Unidad N°8:
“Probabilidades”
Nombre: ________________________________________________ Curso: II medio Rut: _____________________ Nº de lista: _____ Fecha: ___________________
OBJETIVOS 1. Comprender el concepto de variable aleatoria.
2. Aplicar el concepto de variable aleatoria en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. 3. Verificar que, a medida que el número de pruebas crece, la media muestral se aproxima a la media de la población.
4. Resolver problemas en contextos diversos, aplicando la propiedad de la suma de probabilidades 5. Resolver problemas en contextos diversos, aplicando la propiedad del producto de probabilidades. 6. Aplicar el concepto de combinatoria al cálculo de probabilidades.
7. Relacionar conceptos de conjuntos con el cálculo de probabilidades. INSTRUCCIONES GENERALES
a. Lea con atención cada ejercicio y resuelva según corresponda en su cuaderno o cuadernillo.
b. En el caso que sea necesario, realice el dibujo respectivo para el ejercicio que corresponde. RESUMEN
La Variable Aleatoria es una función que a cada elemento del espacio muestral le asigna un número perteneciente al conjunto de los números reales.
La ley de los Grandes Números indica que al realizar una gran cantidad de repeticiones de un experimento, los resultados obtenidos se aproximarán a aquellos resultados teóricos esperables.
La probabilidad que un suceso A o uno B ocurra es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad que ocurra A y B de manera conjunta. La probabilidad que un suceso A y uno B ocurra es igual a la multiplicación de sus probabilidades.
Las permutaciones, variaciones y combinaciones nos ayudan a determinar las posibilidades de orden de una cantidad de elementos de un conjunto.
Un conjunto es una agrupación de elementos que poseen alguna característica en común. El conjunto sin elementos es el conjunto vacío simbolizado por ∅. El complemento de un conjunto son todos los elementos que no están en él y se simboliza por 𝑀𝑐 si 𝑀 es conjunto.
Si 𝑀 y 𝑁 son conjuntos la unión𝑀 ⋃ 𝑁 corresponde a los elementos de 𝑀 o de 𝑁. La intersección𝑀 ⋂ 𝑁 son los elementos presentes en 𝑀 y en 𝑁.
La probabilidad de 𝑴 ⋃ 𝑵 es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección. La probabilidad de 𝑴 ⋂ 𝑵 es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos.
Adicionalmente, debes recordar que puedes utilizar tu texto de estudio entre las páginas 258 y 311. La sección relacionada con esta unidad de estudio, está presente a partir de la página 274.
En clases se desarrollaron y se dejó propuesta como ejercitación las páginas: 282, 283, 296, 297, 300, 301, 306, 307. Esta ejercitación también será evaluada en tu prueba parcial.
A modo de síntesis, se sugiere realizar la ejercitación de las páginas 310 y 311.
Selección única:
Desarrollo:
I. Defina un experimento probabilístico. Luego, en base a él, escriba su espacio muestral, el diagrama de árbol respectivo y una variable aleatoria pertinente al mismo experimento.
II. Responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Fundamente su respuesta.
a. ___ Una variable aleatoria es el conjunto de todos los posibles resultados en un experimento.
b. ___ La multiplicación de probabilidades se utiliza cuando quiero conocer la probabilidad de que ocurra un elemento del espacio muestral u otro.
c. ___ Una permutación es una combinación en la cual un diferente orden implica considerarlo un resultado diferente.
d. ___ La probabilidad de la unión de dos conjuntos se obtiene multiplicando la probabilidad de cada uno de ellos.
III. Para los siguientes experimentos, aplique cada variable aleatoria a dos elementos de su espacio muestral respectivo. Indique el elemento del espacio muestral y el resultado obtenido tras aplicársela.
a. Experimento: lanzar una moneda tres veces seguidas.
Variable aleatoria: número de lanzamientos hasta obtener sello. b. Experimento: lanzar dos dados de seis caras, de manera simultánea. Variable aleatoria: valor de la suma de ambos resultados en los dados.
c. Experimento: elegir la directiva del segundo medio, compuesta por 5 integrantes al azar. Variable aleatoria: cantidad de integrantes de la directiva que usan anteojos.
IV. Resuelva los siguientes problemas.
a. Si usted lanzara 17.000 veces una moneda no cargada. ¿Cuántas caras y cuántos sellos esperarían obtener?
b. Suponiendo que dispone de dos bolsas opacas. La primera posee en su interior 2 bolas azules, 1 roja y 3 blancas. La segunda tiene 5 azules, 4 rojas y 2 blancas. ¿Qué es más probable, sacar una azul o una blanca de la primera bolsa, o sacar una roja o una azul de la segunda bolsa?
c. Un mazo de cartas inglés sin comodines se compone de 52 cartas. ¿Qué probabilidad tengo de sacar una carta roja y que sea igual o menor que 5?
d. Se encuentra en un programa de televisión que conduce su artista preferido. Está en la última instancia de un juego en que el premio mayor es un viaje al rededor del mundo en un lujoso crucero. El último juego consiste en tres puertas (A, B y C) de las cuales debe elegir una de ellas. Dos de ellas no tienen nada al abrirlas y solo una posee el premio mayor. Una vez que se decide por una puerta, el conductor le propone cambiar por alguna de las dos restantes o mantener su opción inicial. ¿Qué decisión tomaría, mantiene su puerta o cambia de opción? Argumente en base a sus probabilidades de ganar el juego en cada situación.
e. La prueba del próximo 24 de octubre posee 7 preguntas de verdadero o falso, y 3 de selección única, cada una con 4 alternativas. Si faltó a todas las clases de la unidad y responderá la prueba al azar, ¿cuál es la probabilidad de tener un 7?, ¿cuál es la probabilidad, que en la misma situación obtenga un 4 al tener las primeras 5 buenas de la sección de verdadero o falso solamente?
f. Se tiene una urna con 8 bolas amarillas, 3 negras, 5 rojas y 4 verdes, ¿cuál es la probabilidad de al sacar una bola al azar, ésta sea roja o verde?
g. Se dispone de un mazo de cartas inglesas de 52 cartas, sin comodines. Identifique los elementos del conjunto A para las cartas de corazón, del conjunto B para las menores a 3 y C para los káiseres. Calcule la probabilidad de 𝐴 ⋃ 𝐵, y la probabilidad de 𝐴 ⋂ 𝐵.
V. Realice todos los ejercicios restantes de su cuadernillo de las secciones “Para Ejercitar” y “Para Aplicar”
“Un hombre tenía miedo de viajar en avión por aquello de los secuestros aéreos.
Mirando unas estadísticas, encontró que la probabilidad de que hubiese una bomba en su vuelo era de 1 entre 1.000, mientras que la probabilidad de que hubiesen dos era 1 entre 100.000.
