Series de Laurent
En la práctica, los coeficientes de una serie de Laurent se obtienen por métodos distintos a las expresiones
integrales
a
n yb
n dadas anteriormente.● Además se puede demostrar que la serie de Laurent (y
de Taylor) son únicas.
También se puede demostrar que:
● una serie de potencias (serie de Taylor) es una función
analítica en el disco de convergencia
● Una serie de potencias se puede derivar e integrar
término a término en el interior de su radio de convergencia
Teoría de los residuos
Recordemos que: Singularidades:
● se dice que un punto es singular si la
función en cuestión no es analítica en ese punto, pero es analítica en el entorno de .
● Se dice que un punto singular es aislado si
existe un entorno “perforado”
Teoría de los residuos
Supongamos que queremos evaluar la integral
de una función f sobre un contorno cerrado
(positivo) y f es una función analítica, excepto
Teoría de los residuos
● Sabemos que en este caso, f tiene una
expansión en serie de Laurent:
Noten que anteriormente habíamos escrito la serie de Laurent como:
Teoría de los residuos
Pero también sabemos que el valor de la
integral no cambia si deformamos el contorno de integración:
Así, la integral puede calcularse integrando
Teoría de los residuos
Sin embargo, el único término que no nulo es aquel con , es decir, (o ).
De modo que:
Teoría de los residuos
Definición:
Si f tiene una singularidad aislada en el punto
entonces el coeficiente de en la
serie de Laurent de f alrededor de , se le
llama residuo de f en y se denota como
●
●
Teoría de los residuos
Si existe un número finito de singularidades dentro del contorno de integración, podemos utilizar el llamado teorema de los residuos:
● Sea C un camino cerrado simple (positivo). Si
una función es analítica en C y en su interior,
excepto en un número finito de singularidades
Teoría de los residuos
Clasificación de singularidades y definición de otros puntos/términos de la series de Laurent y Taylor:
● f(z) tiene una singularidad removible/evitable
en si para toda n
● f(z) tiene una singularidad esencial en si
existen infinitos no nulos
● f(z) tiene un polo de orden n en , si el último
coeficiente no nulo de la parte principal es . Si el único coeficiente no nulo es , se dice que f(z) tiene un polo simple en
Teoría de los residuos
Ejemplo:
Sea
Entonces, f tiene un polo simple en = 2
Teoría de los residuos
Para encontrar los polos y residuos se puede utilizar el siguiente resultado:
Un punto singular aislado de una función f
es un polo de orden m si y solo si f se puede
escribir como:
donde es analítica y no nula en Además,
Teoría de los residuos
Comentario:
● Los ceros de una función pueden ser una
fuente de polos
Definición: Se dice que una función analítica en
tiene un cero de orden n en
si y sólo si y
Teoría de los residuos
Resumen (método básico para encontrar los polos y residuos):
Supongamos que tenemos la serie de Laurent
Notamos que es un polo de orden k.
Teoría de los residuos
Entonces si multiplicamos f(z) por
Teoría de los residuos
Ahora, supongamos que sabemos el orden k
del polo (por ejemplo usando el método
anterior). Entonces considerando la función
tenemos que
Teoría de los residuos
O bien, sustituyendo g(z), tenemos
Cuando es un polo simple, el resultado anterior se reduce a:
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
● La teoría de residuos tiene muchas
aplicaciones en matemáticas aplicadas y física Por ejemplo, está teoría es muy útil para
calculo de varios tipos de integrales reales. Por mencionar dos ejemplos:
● integrales de la forma:
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
● Integrales impropias
En Cálculo la integral impropia de una función continua se define como
Cuando los límites existen se dice que la integral converge
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
O bien,
y cuando los límites existen se dice que la integral converge.
● Comentario: los límites pueden existir, pero la
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Con este motivo se introduce el valor principal de Cauchy o simplemente, valor principal (VP):
siempre que los límites existen.
● Comentarios:
- La existencia del valor principal no asegura que la integral impropia sea convergente
- Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor principal
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior puede aplicarse a una clase general de
integrandos.
De hecho, el éxito del procedimiento anterior depende de dos condiciones:
● f sea analítica en el eje real y encima de él,
excepto por un número finito de singularidades
aisladas (en la parte superior del plano complejo).
Aplicaciones de la teoría de los
residuos
Se puede demostrar que si P(z) y Q(z) son dos
polinomios de grado m y n, respectivamente, y
entonces para
:semicírculo superior
