INTRODUCCION Teoría de la Estimación

(1)

(2)

INTRODUCCION



La Teoría de la Estimación es la parte de

la Inferencia Estadística que sirve para

conocer o acercarse al valor de los

parámetros, características poblacionales,

generalmente desconocidos

(3)

Se puede estimar por varios métodos

1. Estimación puntual

2. Estimación por intervalo

3. Estimación por máxima verosimilitud 4. Estimación por método de momentos 5. Estimación por mínimos cuadrados

(4)

ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALO

 No se trata de formas alternativas de estimación, sino

complementarias. La estimación puntual representa el primer paso para obtener la estimación por intervalo.

 ESTIMADOR PUNTUAL

 Se trata de asignar al parámetro un único valor que será

un valor aproximado y que depende de la muestra.

 La media muestral es un estimador puntual de la media

poblacional : el valor que toma la media muestral con una muestra dada constituye una estimación para la media poblacional.

(5)

¿QUÉ ES UN ESTIMADOR?



Un estimador es una función de valores

observados (muestra) que no depende de

ningún parámetro desconocido.



Un estimador es un estadístico, y una

(6)

ESTIMADORES PUNTUALES



Un estimador puntual de un parámetro



es

simplemente un único valor del parámetro; rara

vez coincide con el parámetro a estimar,

generalmente es suficiente que el estimador

esté “cerca” de la cantidad desconocida.



La variable aleatoria se denomina estimador

de



y el valor que toma se llama estimación

(puntual) de



.



Un estimador es un estadístico y una estimación

es cualquiera de sus posibles valores

valores.



ˆ

(7)

PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES



INSESGADO: el estimador se dice que es un

estimador

insesgado

de



si su valor esperado

es igual a



:

E( ) =





EFICIENCIA: si su dispersión con respecto al

valor central (varianza) sea tan pequeña como

sea posible. A < varianza del estimador >

eficiencia.



CONSISTENCIA: cuando el tamaño de la

muestra crece arbitrariamente, el valor estimado

se aproxima al parámetro desconocido.







ˆ

(8)

(9)

Problema que presenta el uso de estimadores

puntuales:



Los estimadores puntuales sólo dan una idea

de lo que puede valer el parámetro que

queremos conocer (estimar), sin conocer

cuánto se aproxima el estimador al parámetro;

es decir, simplemente proporcionan un valor de

los muchos posibles que pueden proponerse

(10)

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

 Dada una variable aleatoria con distribución Normal, se

trata de encontrar para el parámetro desconocido



, (por ejemplo



), un intervalo con un cierto

nivel de

confianza

(1- ). Si se cumple que:

Diremos entonces que

(a, b) es un intervalo de

confianza para el parámetro

θ

construido al (1-



) %

de probabilidad (confianza

)



a







b





1 



(11)









ˆ



k



__ˆ





1 



P



O bien:



k __ˆ  ˆ  k__ˆ



1 P





ˆ



k



__ˆ









ˆ



k



__ˆ





1 



P

(12)



Por ejemplo para el caso de la media:

2

Error de estimación

| z

|

n

      





2 2 2 2

z

n

Error











_ˆ

k

estimación

de

Error



(13)



El significado de la palabra "confianza" es el

Si se construyeran muchos intervalos a partir

de muestras aleatorias del mismo tamaño de la

misma población, entonces 95% de estos

intervalos contendrían la media de la población

y 5% no la contendrían.

(14)

Gráficamente:_{Intervalos de confianza obtenidos para 20 muestras del mismo tamaño}



(15)



Cuando se halla un intervalo de confianza de

95%, aunque es frecuente que se interprete

como el 95% de probabilidad de que el intervalo

de confianza contenga



, en realidad el

inter-valo contiene la media de la población o no la

contiene:

(16)



Puede ser que el intervalo obtenido

pertenezca al 95% de los intervalos que

contienen la media de la población.



O bien formar parte del 5% de los intervalos

(17)

INTERVALOS PARA PARÁMETROS

Intervalos para la media poblacional



Población normal con desvío σ conocido



Población normal desvío σ desconocido: muestra

(18)



Intervalo para la proporción poblacional

(19)



Intervalo para la diferencia de

medias poblacionales

•

Poblaciones normales, desvíos poblacionales

conocidos

•

Poblaciones normales desvíos poblacionales

desconocidos: muestras grandes-muestras

chicas: iguales y distintos.

(20)



Intervalo para la diferencia de

(21)



Intervalo para la razón de varianzas

(22)

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL

Si se conoce la varianza poblacional σ2

Este caso que planteamos es más a nivel teórico que práctico: difícilmente vamos a poder conocer σ

El intervalo para la media poblacional se basa en el

estimador media muestral. Su distribución muestral es la siguiente:

la variable media muestral se obtiene:

)

1 ;

0 (

N

z

n

x





























n

N

x

N

x









;

(23)

INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA CONOCIDA 2







2 z z p  _ _/₂  





2

1

2 /

1 









z

_

z

p

(24)

INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA CONOCIDA

 Un intervalo de confianza al nivel 1- para la media

con varianza conocida es el comprendido entre los valores:

































1

2

1

2

1 n

x

z

n

z

x

P

(25)

INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DESCONOCIDA, MUESTRA GRANDE (N  30)

 La desviación estándar poblacional  desconocida

puede estimarse por S. Aunque S no cumple con la condición de ser un estimador no sesgado de :

la diferencia (n-1)/n, el sesgo, tiene realmente

importancia cuando n es pequeño, ya que en caso contrario el sesgo tiende a 1.

2 2 2 2 2 2 2 2

]

[

1 ]

[

















S

E

n

S

E

_x _x _x x _x

(26)

INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DESCONOCIDA, MUESTRA GRANDE (N  30)



La distribución del estimador media muestral

será:



La expresión general del intervalo:





_ 























 

1

2 1 2 1

n

S

z

x

n

S

z

x

P













n

S

N

x





;

(27)

INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DESCONOCIDA, MUESTRA CHICA (N < 30)

 Al tratarse de muestras de tamaño pequeño no

podemos reemplazar  por S. Sabemos que

 Por otra parte, se define la distribución 2:









n

i

n

x

1

2

1 )

(





)

1 ,

0 (

N

n

x

z



_









(28)

INTERVALO PARA LA MEDIA, VARIANZA DESCONOCIDA, MUESTRA CHICA (N < 30)

 Las distribuciones z y 2 son independientes. A partir

de estas relaciones podemos construir una t de Student con n-1 grados de libertad:

n

S

x

t

_n

'

1 







(29)

(30)

 Por simetría de la distribución de Student, el intervalo

de confianza se obtiene de la siguiente manera:

o bien: 2 / 1 , 1 n 2 / , 1 n

t

_ _





_ _ _





_ 























   

1 '

'

2 1 , 1 2 1 , 1

_n

S

t

x

n

S

t

x

P

n n





_ 

























   

₁

1

2 1 , 1 2 1 , 1

_n

S

t

x

n

S

t

x

P

n n

n

S

t

x



_n_₁_,₁__ _/₂

.

'

(31)

INTERVALO PARA LA VARIANZA

POBLACIONAL































1

1 ;

2

1 ;

2

1

2

2 n

n

nS

P

(32)

INTERVALO PARA LA PROPORCION

POBLACIONAL







_





















_





1

2 1

n

z

p

P

(33)

INTERVALO PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

POBLACIONALES



Poblaciones Normales con desvíos parámetros

conocidos





_



_

























1

2 2 2 1 y y x x

n

z

y

x

P

(34)

POBLACIONES NORMALES CON DESVÍOS PARÁMETROS DESCONOCIDOS (ns>30)





_

_

























1

2 2 2 1 y y x x

n

S

n

S

z

y

x

P

(35)

POBLACIONES NORMALES CON DESVÍOS

PARÁMETROS DESCONOCIDOS

E IGUALES (ns<30)





2 2 1 1 1 2 2 ; 2 1                      y x y x y y x x p y x p n n n n n S n S S n n S t y x P





 

(36)

POBLACIONES NORMALES CON DESVÍOS

PARÁMETROS DESCONOCIDOS

Y DISTINTOS (ns<30)

  2 1 ' 1 ' ' ' 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 ' ; 2 1                                             y y y x x x y y x x y y x x n n S n n S n S n S n S n S t y x P    

(37)

INTERVALO PARA LA RAZÓN DE VARIANZAS

POBLACIONALES









     











































             

1

1 ; 1 ; 2 2 1 2 1 1 ; 1 ; 2 2 1 1 ; 1 ; 2 1 1 ; 1 2 ; 2 1 1 ; 1 ; 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 ; 1 ; 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n

F

S

F

S

P

F

S

F

S

P

(38)

INTERVALO PARA LA DIFERENCIA DE

PROPORCIONES POBLACIONALES

   



_





















_









1 ˆ

ˆ

1 ˆ

2

1

2

1

2

1 n

n

z

p

P

(39)

TABLA RESUMEN– ESTIMADORES, SU

DISTRIBUCIÓN E INTERVALOS DERIVADOS

Parámetro Supuesto Estimador

puntual Distribución del estimador Intervalo de confianza

 _ _conocido _x _      n N x ~ ,  _               _n S Z x | | 2 1   _ _desconocid_o_,_n_₃₀ _x       n S N x ~ ,                 _n S Z x | | 2 1   _ _desconocid_o_,_n_₃₀ _x   1 1 ' 1        tn n S x ó t n S x n                 _ _ n S t x n ' | | 1 ; 2 1  2  Población normal 2 S _ _   _ __         2 2 2 2 2 2 1 1 ~ ' . 1 ~ . n n S n ó S n _    _                 _      _ _ 2 2 2 1 ; 2 1 ; 2 1 . . n n S n S n       Población normal p   n p Z       1           _         _n Z p | _ |  1  2 1 y x    _conocidas y x   , _x_y                     y y x x y x n n N y x 2 2 ~                        _y y x x n n Z y x 2 2 2 1 | | _  

(40)

y x    _desconocid_as y x   , _x_y         2 2 ' 1 ' 1 1 1 2 2 2 2 2                       y x y y x x y x y y x x n n y x y x n n S n S n S con ó n n S n S n S con t n n S y x y x     _                   y x n n S t y x | | 1 1 2 1  y x    desconocidas y x   , y distintas y x   2 1 ' 1 ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                  y y y x x x y y x x v y y x x y x n n S n n S n S n S v con t n S n S y x     _                   y y x x n S n S v t y x 2 2 2 1 | | _ 2 1       _{Poblaciones normales} p p p₂    _           2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ; ~         N p         2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 | |                             I I Z p

(41)

y x   _Poblaciones normales S_y x S 2 2 2 y y x x S S F                  _ _       _ _     1 ; 1 ; 2 1 ; 1 ; 2 1 y x y x n n n n y x y x y x F II F I II S S I S S    