Tablas de dispersión

Estructuras de datos

Tablas de dispersión

Dra. Elisa Schaeffer [email protected]

PISIS / FIME / UANL

Tablas de dispersión dinámicas

Una

tabla de dispersi´on

estructuras de datos que asocien

claves

valores

La idea es reservar primero espacio en la memoria de la computadora y después alocarlo a la información

insertada, de tal manera que siempre será rápido obtener la información que corresponde a una clave dada.

Función de dispersión

Una

funci´on de dispersi´on

funci´on hash

Su implementación típica es por arreglos

unidimensionales, aunque existen también variantes multidimensionales.

Tiempo de acceso

El tiempo de acceso promedio es

constante

En el caso que la posición indicada ya está ocupada, se puede por ejemplo asignar el elemento al espacio libre

siguiente, en cual caso el proceso de búsqueda cambia un poco: para ver si está o no una clave, hay que ir a la

posición dada por la función hash y avancar desde allá hasta la clave o en su ausencia hasta llegar a un espacio no usado.

Ajuste de tamaño

Cuando toda la memoria reservada ya está siendo

utilizada (o alternativamente cuando el porcentaje utilizado supera una cota pre-establecida), hay que reservar más. Típicamente se reserva una área

de tama ˜no doble

Primero se copia todas las claves existentes con sus valores en la área nueva, después de que se puede empezar a añadir claves nuevas.

Resumen del análisis

“Casi todas” las operaciones de inserción son de tiempo constante.

El caso peor es Ω (n) para una inserción.

El caso peor para un total de n inserciones es Ω (n2).

Colas de prioridad

Una

cola de prioridad

El menor valor corresponde a la prioridad más urgente.

Elemento mínimo

La operaciones de

colas de prioridad de adjunto

están enfocadas a lograr fácilmente averiguar el

elemento

m´ınimo

claves), o sea, el elemento más importante.

=⇒ Es necesario los elementos tengan un orden.

Operaciones

1. insertar un elemento

2. consultar el elemento mínimo 3. retirar el elemento mínimo

4. reducir el valor de un elemento 5. juntar dos colas

Uso e implementación

También es posible utilizar el mismo dato como la clave en las aplicaciones donde solamente es de interés tener

acceso al elemento mínimo pero el concepto de prioridad no aplica.

Las colas de prioridad se puede implementar con montículos.

Estructuras unir-encontrar

Una estructura

unir-encontrar

elementos.

Cada elemento debe tener un nombre único.

Operaciones básicas

form(i, S) que forma un conjunto S = {i} y lo añade

en C: C := C ∪ {S}; no está permitido que el elemento i pertenezca a ningún otro conjunto de la estructura,

find(i) que devuelva el conjunto S ∈ C de la

estructura donde i ∈ S y reporta un error si i no está incluido en ningún conjunto guardado,

union(S, T, U) que junta los dos conjuntos S ∈ C y

T ∈ C en un sólo conjunto U = S ∪ T y actualiza

C := (C \ {S, T}) ∪ {U}; recuerda que por definición S ∩ T = ∅.

Definición alternativa

No es realmente necesario asignar nombres a los

conjuntos, porque cada elemento pertenece a un sólo conjunto en C.

Entonces, se puede definir las operaciones también en la manera siguiente:

form(i): C := C ∪ {i},

find(i): devuelva la lista de elementos que estén en

el mismo conjunto con i,

union(i, j): une el conjunto en el cual pertenece i con

el conjunto en el cual pertenece j.

Conjuntos con árboles

Cada elemento está representada por un vértice hoja del árbol.

El vértice padre de unas hojas representa el conjunto de los elementos representadas por sus vértices hijos. Un subconjunto es un vértice intermedio, el padre de cual es su superconjunto.

El conjunto de todos los elementos es su propio padre.

Ejemplo

Creación

La operación de crear un árbol nuevo es fácil: 1. Crear el primer vértice v.

2. Marcamos su clave (única) con c.

3. Hay que asignar que sea su propio padre: P(c) := c. Esto toma tiempo constante O (1).

Búsqueda

La operación de búsqueda del conjunto a cual pertenece una clave c, habrá que recorrir el árbol (o sea, el arreglo) desde le vértice con la clave deseada:

p := c;

mientras P(p) 6= p p := P(p);

devuelve p;

En el peor caso, el arrego se ha degenerado a una lista, por lo cual tenemos complejidad asintótica O (n).

Unión

Para juntar dos conjuntos, basta con hacer que la raíz de una (con clave c₁) sea un hijo de la raíz de la otra (con clave c₂): P(c₁) := c₂.

Esta operación necesita tiempo O (1).

Secuencias de operaciones

Podemos considerar la complejidad de una

secuencia de

operaciones

1. creamos n conjuntos

2. ejecutamos por máximo n − 1 operaciones de unir dos conjuntos

3. ejecutamos no más de dos búsquedas de conjuntos por cada unión

Tiempo total: Θ(n + n − 1 + 2(n − 1)n) = Θ(n2).

Altura del árbol

Si aseguramos que el juntar dos árboles, el árbol de menor tamaño será hecho hijo del otro, se puede

demostrar que la altura del árbol que resulta es O (log n).

=⇒ Podemos asegurar que la operación de búsqueda del conjunto toma tiempo O (log n) y la secuencia analizada sería de complejidad asintótica O (n log n), que ya es

mejor.

Lo único que hay que hacer es guardar en un arreglo auxiliar el tamaño de cada conjunto y actualizarlo al unir conjuntos y al generar un nuevo conjunto.

Mejora

Aún mejor sería guardar información sobre la altura de cada árbol, la altura siendo un número menor o igual al tamaño.

La ventaja de la complejidad asintótica queda igual, pero solamente necesitamos O (log log n) bits para guardar la altura.

Caminos de búsqueda

Hay diferentes opciones para modificar los caminos cuando uno realiza una búsqueda de conjunto en la estructura.

Condensaci´on del camino:

Divisi´on del camino:

Cortar el camino a su mitad:

Condensación del camino

Traer los vértices intermedios a la raíz:

p := c; mientras _P(p) 6= p p := P(p); q := i; mientras P(q) 6= q r := P(q); _P(q) := p; q := r devuelve p;

División del camino

Mover vértices intermediados a otra parte:

p := c; mientras _P(P(p)) 6= P(p) q := P(p); P(p) := P(P(p)); p := q devuelve y;

Cortar el camino a su mitad