Algebra 2012 ITBA FINAL - 12 DE DICIEMBRE DE Calificación

(1)

Algebra 2012 ITBA Legajo y Nombre:

FINAL - 12 DE DICIEMBRE DE 2012

1 2 3 4 5 Calificaci´on

Nota:Todo debe estar debidamente justificado.

Ejercicio 1. Pruebe que la funci´onf :_N×_N→_N,f(n, m) = 21n₅m _{es inyectiva pero} no sobreyectiva.

Ejercicio 2. En R[X] se define la siguiente relaci´on:

fRg ⇐⇒ X2+ 1|f −g. 1. Pruebe que la relaci´on es de equivalencia.

2. Pruebe que dado f ∈_K[X], existe un ´unico g ∈_K[X] con gr(g)≤1 ´o g = 0 tal quef Rg. Halle talg paraf =X3_{+ 2}_X2₋_X_{+ 1.}

Ejercicio 3. Hallar los posibles restos de la divisi´on dex∈Zpor 92 sabiendo que: x2+ 46x−50≡0 (mod 23) y 7x−15≡0 (mod 4).

Ejercicio 4. Pruebe que el conjuntoS={f ∈_R3[X] :f(−1) =f0(−1) = 0} es subespa-cio de_R[X] y que{(X+ 1)2_,₍_X_{+ 1)}3_}_{es una base del mismo.}

Ejercicio 5. Determine, para cada valor dek∈R, la dimensi´on del subespacioS cuyos elementos son las soluciones del sistema de ecuaciones

X =   1 k 1 1 2k 1 −k 0 k2  X. 1

(2)

FINAL - 14 DE FEBRERO 2014

Ejercicio 1. Sea X un conjunto de 30 elementos.

1. Calcular cu´antas relaciones de equivalencia pueden definirse enX si cada clase de equivalencia debe tener exactamente 6 elementos.

2. Calcular cu´antas funciones inyectivas pueden definirse deX a {k∈_N: k≤100} si el conjunto {97,98,99,100} debe estar incluido en la imagen.

Ejercicio 2. Determinar la existencia o no de n´umeros naturales ny mque satisfagan la igualdad 9n3_{= 5}_m5_.

´Idem pero con la igualdad 9n3_{= 15}_m6_.

Ejercicio 3. Hallar todos los pares (x, y)∈Z×Zque satisfagan las condiciones 2x+ 3y≡1 (mod 11) y 3x+ 6y≡2 (mod 11). Ejercicio 4. Sea A=   k 0 k −1 k k k k k  , k∈R.

Determine los valores dekpara los cuales la dimensi´on de Nul(A) es positiva, y para tales valores halle bases de ese subespacio.

Ejercicio 5. Sea W={p∈R[X] :X2−1|p}. 1. Pruebe que W es subespacio deR[X]. 2. Halle una base deS =W ∩R3[X].

(3)

Algebra

2015

ITBA

Legajo y Nombre:

FINAL - 17 JULIO 2015

1

2

3

4

5 Calificaci´

on

Nota:

Todo debe estar debidamente justificado.

Ejercicio 1.

En

_Z

se define la relaci´

on

R

como sigue:

x

R

y

si y solo si

5 |

x

−

y

∧

7 |

x

−

y.

Pruebe que

R

es una relaci´

on de equivalencia. Halle [8] y determine cu´

antas

clases distintas hay.

Ejercicio 2.

De cu´

antas maneras se pueden repartir 30 bol´ıgrafos id´

enticos,

8 carpetas id´

enticas y 14 sobres diferentes entre 3 personas, si cada persona

debe recibir un n´

umero par bol´ıgrafos.

Ejercicio 3.

Determine para qu´

e valores de

k

∈

_R

la matriz

A

=

B

3

_{, con}

B

=





1 k

2

₊

_k

₁

−

k

2

k

−

k





,

es equivalente por filas a una matriz de la forma





1 0

∗

0 1

∗

0 0 0





.

Ejercicio 4.

Determinar, en cada caso, si existen n´

umeros naturales

n

y

m

que cumplan:

1. 4

m

4

_{= 3}

_n

2

_.

2. 15

n

2

_{= 2}

_m

3

_.

Ejercicio 5.

Sea

S

=

{

p

∈

_C

4

[

X

] : (

X

+1)

2

|

f

}

. Pruebe que

S

es subespacio

de

_C

[

X

] y halle una base del mismo.

(4)

Nombre y Apellido:

N´

umero de Legajo:

1

2

3

4

5 Calificaci´

on

Ejercicio 1.

Sea

X

=

A

5

, con

A

=

{

0 ,

1 ,

2 ,

3 ,

4 ,

5 }

. Para un elemento

x

∈

X

,

x

i

denota la

i

-´

esima componente de

x

. Definimos en

X

la relaci´

on:

xRz

⇔

5

X

i=1

(

x

i

−

z

i

) = 0

.

1. Pruebe que la relaci´

on es de equivalencia.

2. Encuentre [(0

,

1 ,

0 ,

0)] y determine cu´

antos elementos tiene [(0

,

1 ,

2 ,

0)].

Ejercicio 2.

Sea

p

n

el

n

-´

esimo primo positivo (

p

1

= 2,

p

2

= 3,

p

3

= 5, etc.). Pruebe que para todo

n

∈

N

,

p

n+1

≤

Q

ni=1

p

i

+ 1.

Sugerencia

: considere la descomposici´

on en primos del n´

umero

Q

n

i=1

p

i

+ 1.

Ejercicio 3.

Sea

X

n

el

n

-´

esimo elemento de la suceside n´

umeros enterosque que satisface las condiciones

X

n+2

= 7

X

n+1

−

12 Xn,

X

1

= 1

, X

2

= 2

.

1. Halle

X

n

para todo

n

∈

N

.

2. Calcule el resto de la divisi´

on de

X

100

por 35.

3. Ejercicio 4.

Sea

S

=

{p

∈

_R

₄

[

X

] : 1 es ra´ız de multiplicidad mayor o igual a tres de

p}

.

a

) Halle la dimensi´

on de

S

.

b

) Determine si es cierto que

S

= gen

{

(

X

−

1)

3

, X

(

X

−

1)

3

}

.

4. Ejercicio 5.

Sea

f

:

R

3

→

R

3

,

f

(

x

) =

Ax

con

A

=





1 −

1

2

2 −

1

3

3 −

2

5 



.

a

) Pruebe que el conjunto

N

=

{x

∈

R

3

:

f

(

x

) = 0

}

es subespacio de

R

3

y halle una base del

mismo.

b

) Pruebe que el conjunto imagen de

f

, Im(

f

) =

{y

∈

_R

3

_:

_y

₌

_f

₍

_x

₎

_{, x}

_∈

R

3

}

, es subespacio

(5)

Algebra 2011 ITBA

Legajo y Nombre:

FINAL - 15 DE JULIO DE 2011

Ejercicio 1. Un hombre tiene a palomas y q jaulas. Determinar a y q sabiendo que

a≥100 ,q≤50 y que si colocara 17apalomas en 8qjaulas poniendo 7 palomas por jaula, le sobrar´ıan dos palomas.

Ejercicio 2. Seana, b∈Ztales que (a:b) = 1. Probar que

f(x) =x10_{+ 5}_x6₋₂_x5₋₁₀_x3₊_bx₊_a_{no tiene ninguna ra´ız m´}_{ultiple en}

Q.

Ejercicio 3. Calcular de cu´antas maneras pueden colocarse 65 discos numerados en tres pilas si la ´ultima pila no puede quedar vac´ıa y la primera debe tener exactamente 15 discos.

Ejercicio 4. Seaf :_N→_Nuna funci´on que cumple que cualquiera sean∈_N,nyf(n) son coprimos. Se define la siguiente relaci´on en_N:

aRb si y solo si af(b)≤bf(a).

Probar queRes una relaci´on de orden.

Ejercicio 5. Probar que el conjuntoS de todas las matricesA∈R2×3que satisfacen las condiciones A   1 −1 0  = 0 0 , A   1 1 1  = 0 0 y A   0 −1 1  = 0 0

es un subespacio de_R2×3_{. Halle una base de}_S _{y calcule su dimensi´}_on.

(6)

93.58 ÁLGEGRA

FINAL

14 / 7 / 2016

Ejercicio 1.

𝑓: ℤ → ℤ / 𝑓(𝑘) = {

𝑘

2

_{− 𝑘, 𝑘 𝑝𝑎𝑟}

𝑘 − 2, 𝑘 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

1. Probar que es inyectiva y no sobreyectiva.

2. Probar que la relación en

ℤ

𝑥ℛ𝑦 ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦)

es de orden.

Ejercicio 2. Hallar

(𝑥, 𝑦)𝜖 ℤ / 2𝑥 + 3𝑦 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 11) ∧ 3𝑥 + 2𝑦 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 11)

Ejercicio 3. X es el conjunto de formas de ordenar la palabra ORNITORRINCO.

ℛ

en X,

𝑥ℛ𝑦 ⇔ 𝑥 tiene el mismo orden relativo de las consonantes que y

. Probar que es de

equivalencia. ¿Cuántas clases de equivalencia hay y cuántos elementos tiene cada una?

Ejercicio 4. Para qué valores de

k,

𝑆 = {(𝑘, 2𝑘, 1), (𝑘, 1, 0), (1, 0, −1)} = ℝ

3

_.

_{Para los valores de}

_k

que no cumple, ¿

(3, 4, 1) 𝜖 𝑆

?

Ejercicio 5. Sea

𝑆 = {𝑝 𝜖 ℂ

4

[X] / (𝑥 + 1)

2

|𝑝}

. Probar que es un subespacio, hallar su base y

(7)

93.58 ÁLGEBRA

FINAL

15 / 2 / 2016

Ejercicio 1. Sea C el conjunto de arreglos de 8 bits, es decir

𝑋 = {𝑎

1

𝑎

2

… 𝑎

8

: 𝑎

𝑖

= 0 ∨ 𝑎

𝑖

= 1, 𝑖 = 1, … , 8}

Se define en X la relación

ℛ

mediante

𝑎

1

𝑎

2

… 𝑎

8

ℛ𝑏

1

𝑏

2

… 𝑏

8

⇔ 𝑎

1

− 𝑎

8

= 𝑏

1

− 𝑏

8

∧ ∑ 𝑎

𝑖

=

7 𝑖=2

∑ 𝑏

𝑖 7 𝑖=2

Probar que

ℛ

es de equivalencia, hallar

[10010001]

y el número de elementos de

[01110100]

.

Ejercicio 2. Calcular el número de arreglos de 25 bits con exactamente 15 unos y al menos un par

de ceros consecutivos.

Ejercicio 3. Sea

{𝑋

_𝑛

}

una sucesión que satisface la relación

𝑋

𝑛+2

− 𝑋

𝑛+1

− 6𝑋

𝑛

= 36𝑛, 𝑋

0

= 1, 𝑋

1

= −6

Pruebe que

𝑋

𝑛

es entero para todo

𝑛 𝜖 ℕ

0

y halle el resto de dividir

𝑋

1000

por 21.

Ejercicio 4. Pruebe que el conjunto

𝑊 = {𝑝 𝜖 ℝ

4

[𝑋]: 𝑝(0) = 𝑝(1) = 𝑝

′

(1)}

es subespacio de

ℝ

4

[𝑋]

y halle una base del mismo.

Ejercicio 5. Sea

𝑆 = 𝑔𝑒𝑛{(𝑘, 0, −𝑘), (2, 𝑘, 1), (3, 1, 0)}, 𝑘 𝜖 ℝ

.

1. Hallar la dimensión de

S

en función de

k

.

2. Determine para qué valores de

k,

{𝑥 𝜖 ℝ

3

_{: 𝑥}

(8)

93.58 ÁLGEBRA

FINAL

20 / 7 / 2016

Ejercicio 1. Considere en

ℤ

2

la relación

(𝑥, 𝑦)ℛ(𝑧, 𝑤)

si y sólo si

3|2(𝑥 − 𝑧)

y

5|4(𝑦 − 𝑤)

. Pruebe

que la relación es de equivalencia, grafique

[(4, 7)]

y calcule cuántas clases diferentes hay.

Ejercicio 2. Quince trabajos de herrería distintos son enviados a 5 herreros. Calcule de cuántas

formas distintas pueden distribuirse los trabajos si el orden en quye le son asignados a cada